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2016년 3월 학력평가 (짝수)

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(1)

삼각함수

문항 2

핵심노트

1

1

   

 일 때, sin  cos 의 값은?

[2점][2016(가) 3월/교육청 2]

①    ②   ③ 

④  ⑤ 

2

2

cos   

 일 때, sec

 의 값을 구하시오.

[3점][2018(가) 6월/평가원 23]

3

3

     

 일 때, gsin   gcos    

 log을 만족시키는 의

값은? (단, log 는 상용로그)

[3점][2001(인) 수능(홀) 19]

①  

  ②  

  ③  

 

④  

  ⑤  

 

유리 ․무리함수의 치환적분법

문항 4

핵심노트

4

4

 

  

 의 값은?

[3점][2016(가) 3월/교육청 4]

① ln   ② ln   ③ ln  

④ ln   ⑤ ln  

5

5

 

 

 

의 값은?

[3점][2018(가) 7월/교육청 9]

① ln ② ln ③ ln

④ ln ⑤ ln

6

6

함수    

   

  에 대하여 상수  가     

 을 만족시

킬 때, 

   

  

 의 값은?

[3점][2009(가) 9월/평가원 28]

①  

  

②     ③ 

④  

  

⑤    

2016 2016 2016 2016 2016

2016년 년 3 3 3 3 3 3월 월 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 ((((((짝수 짝수 짝수 짝수 짝수 짝수)))))) 2016년 3월 학력평가 (짝수)

1 1

1

1

1 1

1

(2)

지수함수와 로그함수가 만나는 경우

문항 6

핵심노트

7

7

자연수  에 대하여 함수   

 

  

  

의 그래프와 함수

   ln   의 그래프가 만나는 점의 개수를   이라 할 때,

      의 값은?

[3점][2016(가) 3월/교육청 6]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8

8

두 함수 

 

과 g

 log

 의 교점의 개수를  라 할 때, 옳 은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  ≠ ,   ,

 ≠ ,   )

[4점][2010(가) 11월/대전 16]

ㄱ.    

    이면,   이다.

ㄴ.       이면,   이다.

ㄷ.   이면,    이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

9

9

두 함수     

  

 , g  log

     에 대하여 <보기>

에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[3점][2008(가) 9월/평가원 15]

ㄱ. 

 

⋅g   이다.

ㄴ.    의 그래프와   g의 그래프는 직선   에 대하여 대칭이다.

ㄷ.    의 그래프와   g 의 그래프는 만나지 않는다.

< 보 기 >

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10

10

일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[4점][2005(가) 9월/평가원 15]

ㄱ. 함수   

  

의 그래프와 함수     log

 의 그래프 는 직선    에 대하여 대칭이다.

ㄴ. 함수   

의 그래프와 함수   log

 의 그래프는 만 난다.

ㄷ. 함수    

의 그래프와 함수   log

 의 그래프가 만 나도록 하는 양의 실수  가 존재한다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11

(3)

미분계수와 삼각함수의 미분법

문항 8

핵심노트

12

12

함수    sin   cos 에 대하여 lim

 → 

   

   

  일 때,

 

  의 값은? (단,  는 상수이다.)

[3점][2016(가) 3월/교육청 8]

①     ②    ③ 

④   ⑤  

13

13

함수    tan  sin 에 대하여 lim

→ 

 

          의 값 은?

[3점][2018(가) 6월/평가원 6]

 

 

 

 

 

전개식의 합 계산하기

문항 10

핵심노트

14

14

자연수  에 대하여   

  

C

 

일 때, log     을 만족 시키는  의 최솟값은? (단, log    로 계산한다.)

[3점][2016(가) 3월/교육청 10]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

15

15

  

C

 

 

  

의 값을 구하시오.

[3점][2010(가) 4월/교육청 18]

16

16

수열 

에 대하여 

  

C

  

이다.

  

 

 

  

 일 때,   의 값을 구하시오. (단,  는 서로소인 자연수이다.)

[3점][2010(가) 11월/대전 22]

(4)

지수 ․로그함수 그래프의 극한값

문항 12

핵심노트

17

17

함수  가

    

 ≤   ≥ 

ln        

이고, 함수   g 의 그래프가 그림과 같다.

lim

→  

 g  lim

 →  

g  의 값은?

[3점][2016(가) 3월/교육청 12]

①  ②    ③   

④ 

  ⑤ 

 

18

19

19

함수    가     인 모든 실수  에 대하여 부등식 ln    ≤   ≤  

  



   을 만족시킬 때, lim

 → 

 

  

의 값은?

[3점][2012(가) 6월/평가원 8]



20

20

함수    에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2009(가) 6월/평가원 29]

ㄱ.     

이면 lim

 → 

 

 

    이다.

ㄴ. lim

 → 

   

 

  이면 lim

 → 

   

 

 ln 이다.

ㄷ. lim

 → 

     이면 lim

 → 

 

 

 

이 존재한다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21

21

>

, 

>,

 ≠ ,  ≠ 일 때, 함수

     

 log

 log

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2008(가) 9월/평가원 29]

ㄱ. <

<

이면 

>인 모든 

에 대하여   >이다.

ㄴ. 

<<이면

lim    이다.

< 보 기 >

(5)

지수 ․로그함수의 극한의 활용

문항 14

핵심노트

22

22

좌표평면에 두 함수    

의 그래프와 g  

 

의 그래프가

있다. 두 곡선     ,   g 가 직선       과 만나는 점 을 각각 A , B라 하자. 점 A 에서  축에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, lim

 →  

  AH

 AB

의 값은?

[4점][2016(가) 3월/교육청 14]

① ln ②  

 ln ③  

 ln

④  

 ln ⑤ ln

23

23

곡선   ln     위를 움직 이는 점 P 와 원점 O 를 이은 선 분이  축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를  라 한다. 점 P 가 원점 O 에 한없이 가까워질 때 tan 의 극한값은?

[3점][2005(가) 7월/교육청 27]

①  ②  ③ 

④  ⑤ ln

24

24

 보다 큰 실수  에 대하여 두 곡선   

,    

  가  축과 만나는 점을 각각 A , B라 하고, 두 곡선의 교점을 C라 하자.

   일 때, 삼각형 ACB 의 넓이는?

[3점][2014(B) 3월/교육청 13]

①  log

 ②  

 log

 ③ log

④  

 log

 ⑤ log

25

25

 보다 큰 실수  에 대하여 두 곡선   

,    

  가  축과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 두 곡선의 교점을 C라 하자. 직선 AC 의 기울기를   , 직선 BC 의 기울기를   라 할 때,

lim

 →  

   g 의 값은?

[4점][2014(B) 3월/교육청 14]

①  ln

 ②  ln

 ③ ln

④  ln  ⑤ 

x

(6)

대칭성을 이용한 정적분 계산

문항 16

핵심노트

26

26

함수    lim

→ ∞



 



 cos

에 대하여 함수 g 를 g  

 

    

  

라 할 때, g   g 의 값은?

[4점][2016(가) 3월/교육청 16]

 

27

27

함수   가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  ≤  ≤ 에서     

 이다.

(나) 모든 실수 에 대하여        이다.

(다) 모든 실수 에 대하여           이다.

수열 

에 대하여

 

 

 ⋯  

 

 

  

      ⋯ 일 때, 

  

 이다.   의 값을 구하여라.

(단,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(A) 삼사 28]

28

28

연속함수       의 그래프가  축에 대하여 대칭이고, 모든 실수  에 대하여

  

  

        

일 때, 

     의 값은?

[3점][2014(B) 10월/교육청 10]











(7)

도형에서 삼각함수의 덧셈정리의 활용

문항 18

핵심노트

29

29

좌표평면에 중심이 원점 O 이고 반지름의 길이가  인 원 

과 중심이 점 A   이고 반지름의 길이가  인 원 

가 있다. 그림과 같이 기 울기가 양수인 직선  이 선분 OA 와 만나고, 두 원 

, 

에 각각 접 할 때, 다음은 직선  의 기울기를  에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

(단,   )

직선 OA 가  축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를  , 점 O 를 지나고 직선  에 평행한 직선  이 직선 OA 와 이루는 예 각의 크기를  라 하면

tan   

 , tan  (가) 이다.

직선  이  축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를  라 하면     

이므로

tan  (나) 이다.

따라서 직선  의 기울기는 (나) 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  , g 라 할 때,     g 

의 값 은?

[4점][2016(가) 3월/교육청 18]

 

 

30

30

두 직선     ,    

   가 원 

 

 

에 접하는 점을 각 각 P

, P

라 하고 ∠P

O P

  일 때, tan의 값은?

(단,      )

[4점][2008(가) 7월/교육청 29]

    

   

   

 

 

 

 

 

 

31

31

그림과 같이 원점에서  축에 접하는 원  가 있다.

원  와 직선    

  가 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 P 라 할 때, 원  위의 점 P 에서의 접선의 기울기는?

[3점][2015(B) 3월/교육청 12]

 

 

 



 



 



(8)

단면이 밑면과 수직인 입체도형의 부피

문항 20

핵심노트

32

32

그림과 같이 함수

     

 

ln       ≥    

의 그래프 위의 점 P   에서  축에 내린 수선의 발을 H 라 하 고, 선분 PH 를 한 변으로 하는 정사각형을  축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 P 의  좌표가    ln 에서      까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는?

[4점][2016(가) 3월/교육청 20]

①    

 ②    

 ③    

④    

 ⑤    

33

33

함수 

 log

  

에 대하여 곡선   

가 축과 만나는 점을 A 라 하고, 이 곡선 위의 점 P에서  축에 내린 수선의 발을 Q라 하자.    일 때, 그림과 같이 선분 PQ를 한 변으로 하는 정사각형을

 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 P의 좌표가   에서   까 지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는?

[4점][2016(가) 5월/전북 14]

① ln   

② ln   

③ ln   

④ ln   

⑤ ln   

(9)

지수방정식

문항 22

핵심노트

34

34

방정식 

  

  의 해를 구하시오.

[3점][2016(가) 3월/교육청 22]

35

35

 의 세제곱근 중 실수인 것을  라 할 때, 지수방정식 

 

  

 

해는?

[3점][2013(B) 3월/교육청 5]

  

  

 

  

  

36

36

지수방정식 

 

  

  의 모든 실근의 합은?

[3점][2010(나) /수능 4]

 

 

37

37

지수방정식 

 

 

  

 

 

     의 두 근을   라 할 때, 

 

의 값은?

[2007학년도 경찰대 7]



집합의 분할

문항 24

핵심노트

38

38

원소의 개수가  인 집합을 공집합이 아닌  개의 서로소인 부분집합으 로 분할하는 방법의 수를 구하시오.

[3점][2016(가) 3월/교육청 24]

39

39

다음은 집합        에 대하여

함수    →  의 치역  가     이고, 집합  의 모든 원소 의 합이 홀수인 함수  의 개수를 구하는 과정이다.

(i) 공역  의 원소 중 짝수인 원소가  개이므로 집합  의 네 원소 중 세 원소는 홀수이고 한 원소는 짝수이다.

따라서 집합  의 원소 중에서 집합  의 네 원소를 택하는 경우의 수는  이다.

(ii) 정의역  를  개의 부분집합으로 분할할 때,

 개의 부분집합의 원소의 개수는 각각     이 되어야 한다.

따라서 집합  를  개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수는

이다.

(iii) (i)과 (ii)의 각 경우에 대하여 집합  를 분할한  개의 부분 집합을 집합  의 네 원소에 하나씩 대응시키는 경우의 수는

이다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 함수  의 개수는

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각    라 할 때,      의 값은?

[4점][2018(가) 9월/평가원 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(10)

두 직선이 이루는 각의 크기

문항 26

핵심노트

40

40

그림과 같이 기울기가   

 인 직선 이 원 

 

  과 점 A 에서 접하고, 기울기가  인 직선  이 원 

 

  과 점 B 에서 접한다.

 cos

∠AOB의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2016(가) 3월/교육청 26]

41

41

점    에서 원 

 

  에 두 접선을 그었을 때, 두 접선이  축 의 양의 방향과 이루는 각은 각각    이다. tan    의 값은?

[3점][2010(가) 7월/교육청 27]

①  

 ②  

 ③ 

④  

 ⑤  

42

42

그림과 같이  AB 이고 ∠A   

 인 직각삼각형 ABC에 대하여 선 분 BC를 등분한 점을 점 B에서 가까운 순서대로 P

, P

, P

, P

, P

라 하고, ∠P

AP

 , ∠P

AC   라 하자.

tan  tan 일 때, 삼각형 ABC의 넓이는  이다. 

의 값을 구 하시오.

[4점][2014(B) 11월/교육청(고2) 28]

A B

P

P

P

P

P

C

(11)

정적분의 치환적분법

문항 28

핵심노트

43

43

함수       

cos 

cos 

에 대하여

  

  

 

,   

  

일 때,    

  의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 3월/교육청 28]

44

44

함수    가 연속일 때, 다음 중 임의의 실수  에 대하여

       와 값이 같은 것은?

[3점][2002(자) 10월/교육청 11]

①  

   ② 

 

 

③ 

   ④  

 

⑤ 

 

  

45

45

아래 그림은  ≤  ≤  에서 정의된 함수

    cos    cos   의 그래프이다. 이때, 

    

  

값은?

[4점][2003(자) 삼사 24]

 

 

 

 

    

①  

 ②  

③ 

④   ⑤  

 

46

46

실수  와 연속함수   에 대하여 함수 g  

  

     

이다. g   일 때, 

    의 값은?

[4점][2017(가) 10월/경남 16]











(12)

함수의 그래프의 활용

문항 30

핵심노트

47

47

함수     



   에 대하여 부등식   ≥     을 만족 시키는  의 최댓값을 g 라 정의하자. 함수 g 가    

 에서 불 연속일 때, 

의 값을 구하시오. (단, lim

 → ∞

    )

[4점][2016(가) 3월/교육청 30]

48

48

최고차항의 계수가 1인 삼차함수   에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 g 를

g 

 

 

   ≤ 

     

이라 하고, 양의 실수  에 대하여 방정식 g   를 만족시키는 실수

 의 최솟값을  라 하자. 함수   가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) lim

 →  

   lim

 →  

  

(나) lim

 →  

   lim

 →  

   

 인 양의 상수  가 존재한다.

 의 값을 구하시오.

[4점][2017(가) 10월/전북 30]

(13)

빠른 정답 정답과 해설

1

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 삼각함수의 값을 계산한다.

  

는 제사분면의 각이므로

sin 

  sin

  

 sin 

 

cos 

  cos

  

  cos 

  

 이므로

sin 

  cos 

  

 

 

2

[정답] 

sec  cos

  

3

[정답] ④ [풀이]

로그의 성질에서

gsin   log cos   log cos

sin  log tan 

즉, gtan   

log   log

을 풀면 tan 

 이때, tan 



이고     

이므로

  

4

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 적분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다.



  

 

 





ln  

 

 ln        ln  

5

[정답] ①

[출제의도] 분수함수의 정적분 이해하기

 

  

  

  



ln   ln

 ln

6

[정답] ② [풀이]

 

  

  이므로 ′    

  로 치환하면

  

 

 

  

   (∵ ′   )

7

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프를 이해하여 교점의 개수를 구한다.

  

1 ③ 2  3 ④ 4 ⑤ 5 ①

6 ② 7 ③ 8 ③ 9 ③ 10 ③

11 ③ 12 ② 13 ① 14 ② 15 

16 11 17 ⑤ 18 ⑤ 19 ③ 20 ③

21 ③ 22 ① 23 ③ 24 ① 25 ④

26 ③ 27  28 ① 29 ⑤ 30 ②

31 ⑤ 32 ④ 33 ② 34  35 ①

36 ⑤ 37 ③ 38  39 ⑤ 40 

41 ② 42 40 43  44 ③ 45 ③

46 ② 47  48 

(14)

ⅰ)   일 때,    과   ln 의 교점의 개수가 이므로   

ⅱ)   일 때,     

과   ln 의 교점이  뿐이므로

  

따라서         

8

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질과 관계를 파악할 수 있 는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 는 감소함수이고, g는 증가함수이다. 따라서 제사분면의 한 점에서 만나므로   이다. (참)

ㄴ.  



은   와 두 점     에서 만난다. 따라서

  와   g서로 다른 두 점에서 만나므로   이다. (참) ㄷ. (반례)      

이라 하면,   이다. (거짓)

9

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 지수․로그 함수와 역함수의 그래프 이해

       에서 역함수를 구하면

 를 서로 바꾸어      

∴   log         g이다.

ㄱ.  g   ⋅      [참]

ㄴ. 원함수와 그 역함수는   에 대칭이다.

[참]

ㄷ. 두 그래프의 교점은 대칭축   의 교점과 일치하므로 그림에서 교점은 두 개

 임을 알 수 있다. [거짓]

10

[정답] ③ [풀이]

ㄱ.     를 에 대하여 정리하면     log 즉,   log  이다.

이제  를 바꾸면   log  이므로 함수     의 역함수는

  log  이다.

따라서 두 함수의 그래프는 직선   에 대하여 대칭이다. (참) ㄴ.   이면 두 함수   ,   log의 그래프는 만나지 않는다.

따라서 두 함수   ,   log의 그래프는 만나지 않는다.

이때,  log  log

이므로 두 함수   ,   log

의 그래프는

주어진 방정식은 

 log

  이다.

  

의 그래프는   인 범위에서 점근선(  )으로 근접해가는 그래프인데 반해,   log 의 그래프는 가 쪽으로 갈 때는

 ∞로 가고, 값이 작아지는 경우, ∞로 가는 그래프이므로 교점은 1개 생긴다.

ii)   일 때 주어진 방정식은 

 log

 이다.

그런데 



이므로 두 그래프는 서로 역함수 관계에 있으며

  에 대칭이다.

또한 두 그래프의 교점 역시   위에 존재한다.

즉,   

그래프와   의 교점을 조사해도 된다.

 log

  ⇔ 

  ⇔  의 교점을 조사하면 된다.

이 그래프는    or 에서 만나기 때문에 교점을 2개 갖는다.

i), ii)에 의해 주어진 방정식은 총 3개의 실근을 갖는다.

(참고) 그래프는 다음과 같이 나타난다.

<그림1>은   

,   log

  ,   의 그래프를 나타낸 것이며

<그림2>는   과   의 그래프를 나타낸 것이다.

<그림1> <그림2>

12

[정답] ② [풀이]

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미지수를 구하고, 함숫값을 구한 다.

  sin  cos에서

 sin 

 cos

 이므로

lim

→

  

  

lim

→

  

  

 ′

′  cos  sin에서

′

 cos 

  sin 

      따라서    이므로   sin  cos

 sin 

 cos 

 

  × 

 

13

[정답] ①

        

(15)

  



log   log



 log   log 

   log 

    × 

   

   

  

   ⋯

따라서 구하는 자연수 의 최솟값은 이다.

15

[정답] 

[풀이]

[출제의도] 이항정리를 이용하여 계산하기

  

C



  

 



  

16

[정답] 11 [풀이]

[출제의도] 이항정리를 이용하여 등비급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

  

  

C  에서

  

C      이다.

  



 

  



 

  

  

 

  



 

  



 

 

  

  

∴     

17

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한값을 구한다.

함수  

 ≤   ≥ 

ln        

와 함수 g에 대하여

ⅰ) g  로 놓으면

 →  일 때 g →  이므로

lim

→ g 

lim

→  

ⅱ)   로 놓으면

 →  일 때  →  이므로

lim

→ 

g

lim

→ 

g  따라서

lim

→ 

g 

lim

→ 

g   

18

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이해하고 극한값을 구한다.

lim

→

ln   이고,

lim

→

  이므로

lim

→

ln   

lim

→

 이므로   로 놓으면

lim

→

ln  

lim

→ 

ln   

lim

ln   

 ln  

lim

→



lim

→



lim

→ln   



· 

ln  

· 

  ×  × 

 

19

[정답] ③ [풀이]

  일 때



ln   

≤ 



≤ 



 

이고

     일 때



ln   

≥ 



≥ 



 

이므로

lim

→



 

20

[정답] ③ [풀이]

(ㄱ)   이면

lim

→

 

×   (참) (ㄴ)

lim

→

 

lim

→

 

× 

  이므로

lim

→

  

lim

→

 

lim

→

 

× 

  ln(참) (ㄷ) 반례)    라 하면

lim

→ 

 

lim

→  

 

× 

  

lim

→ 

 

lim

→  

 

× 

  

lim

→

 

은 존재하지 않는다. (거짓)

21

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 로그함수의 극한에의 응용

ㄱ.     이면, 다음 네 함수의 그래프에서   일 때,

  … ① log  log  … ②

①, ②에 의하여

 log   log  

∴  log

 log

  ∴    [참]

ㄴ.     이면

lim

→∞

 

lim

→∞ log

 log

lim

→∞

 log

log

 log

log

lim

→∞loglog  loglog

loglog  log log

lim

→∞

log

loglog log 

log

loglog log

 log [거짓]

ㄷ.

lim

→  

lim

→  log

 log

lim

→ 

 log

 log

log

(16)

lim

→ loglog  log log

loglog  log log

 log [참]

22

[정답] ① [풀이]

[출제의도] 선분의 길이를 이용하여 지수함수의 극한값을 구한다.

A , B



, H 에서

AH 이고, AB 

이므로

 → 

lim

AH

AB

lim

 → 

lim

 → 



 

 

 

 ln  ln 

 ln

[참고]

  일 때,    로 놓으면

   이므로   ln

ln   

 ≠ 

→ 일 때, → 이므로

lim

→

 

lim

→ln   

 ln

lim

→



ln   

ln  ln

23

[정답] ③ [풀이]

점 P의 좌표를 P ln    라 하면

tan  

ln   

이때, P → O 이면  → 이므로

lim

P→Otan 

lim

→

ln   

lim

→

ln   

×  

24

[정답] ① [풀이]

곡선   이 축과 만나는 점은 A  

곡선     가 축과 만나는 점은 B    

두 곡선   과     가 만나는 점은

   ,    

  log    log

,   log

 

C

log

 

  일 때, B  , C

log 

이므로 삼각형 ACB의 넓이는

×  × log   log 

g  log

  



   

   log



 

∴  g  ×  log



 



   라 하면 → 일 때 → 이므로

→ 

lim

 g  

lim

 → log  

 

lim

 → 



log  

 

lim

 → 

log  

  × log

  ln 

[다른풀이]

→ 이면 점 C는 곡선   을 따라 점 A에 한없이 가까워진다.

따라서 직선 AC의 기울기는 곡선    위의 점 A에서의 접선의 기울기에 한없이 가까워진다.

′ × ln 이므로

lim

→ 

  × ln  ln

한편, 점 C를 지나고 축에 평행한 직선을 이라 하면 곡선

    와 곡선   은 항상 직선 에 대하여 대칭이다.

따라서 직선 BC와 직선 AC도 항상 직선 에 대하여 대칭이다.

lim

→ 

g  

lim

→ 

   ln

lim

→ 

  g

lim

→  

lim

→ g

 ln   ln  ln

26

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 극한으로 표현된 함수의 대칭성을 이용하여 정적분의 값을 구 한다.

ⅰ)    또는   일 때

lim

 →∞

  이므로

 

lim

→∞ 

 cos 

lim

→∞

  

  

 × cos  

 

ⅱ)   일 때  

lim

→∞ 

 cos 

 

ⅲ)    일 때   

lim

→∞  

  cos  

 

(17)

g 

 

 

에서

함수   의 그래프는 축에 대하여 대칭이고, 함수    의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

g  

 

 



  

 



 

   g 

  



 

  

 



 

 



 



 sin

 

 

     

따라서 g   g       [참고]

함수   의 그래프가 축에 대하여 대칭이면

   이고, g   라 하면 g     

  

  g이므로

함수   의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

27

[정답] 

[풀이]

[출제의도] 이해 능력 – 정적분의 활용 (ⅰ) (가)와 (나)에서

 

  

  

 

 



 

 

(나)와 (다)에서        이므로

  의 그래프는 마다 반복된다.

   

   

(ⅱ)   ⋯  

에    을 대입하면

 ⋯   



 ⋯  

따라서 변끼리 빼면  

 ∴  

 따라서      이므로     

[다른풀이]

조건 (가), (나)에서 함수   의 그래프는 축과 직선   에 대하여 대칭이다.

 

  ×

     ×

 

  ×



 

 



  

 

 따라서  ≥ 일 때,



  



  

  

 

∴  

× 

 

∴   ,   

∴     

28

[정답] ① [풀이]

[출제의도] 치환적분법을 이용하여 적분값을 구한다.

    로 놓으면 

   이고,

    일 때    ,     일 때   이므로

     

  

 

함수   의 그래프가 축에 대하여 대칭이므로

 

 

  

따라서

  

29

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 직선의 기울기를 구하는 과 정을 추론한다.

직선 OA가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 , 점 O를 지나고 직선 에 평행한 직선 이 직선 OA와 이루는 각의 크기를 라 하자.

점 A에서 축과 직선 에 내린 수선의 발을 각각 B, C라 하고, 선분 AC가 원 와 만나는 점을 D라 하자.

직각삼각형 OAC에서

AC AD DC     이므로

직각삼각형 AOB와 직각삼각형 OAC에서

∠OBA  ∠OCA  , AB AC , 선분 OA는 공통이므로 ∆AOB ≡∆AOC이다.

∠AOB  ∠AOC이므로   이다.

따라서 tan  tan   이다.

참조

관련 문서

 일정한 속도로 직선 트랙 위를 달리는 사람이 내 앞을 지나 는 순간