Subject 01. 행렬의 곱셈

(1)

기억해야 할 행렬의 성질 BEST 25

Subject 01. ^{행렬의 곱셈}

(1) aA + bB = E이면 _{AB = BA}이다. (단, _ab≠0) _{( True)} [증명] aA + bB = E의 왼쪽에 _A를 곱하면

A( aA) + A( bB) = A, aA²+b(AB)= A ……㉠ aA + bB = E의 오른쪽에 _A를 곱하면

_aA²+b(BA)= A ……㉡㉠_-㉡을 하면 b( AB - BA) =O

그런데 _b≠0이므로 AB - BA = O ∴ AB = BA

(2) _{AB = O}이면 _{BA = O}이다. _{( False)}

[반례] A =

(

^{0 0}0 1

)

, _{B =}

(

^{0 1}0 0

)

라 하면 _{AB = O}이지만 _BA≠O이다.

(3) _{AB = BA}이면 자연수 _n에 대하여 _Aⁿ_{B = BA}ⁿ이다. _{( True)} [증명] AⁿB = (A․A․A․A․ … ․A․A)B

= B( A․A․A․ … ․A․A․A) ( ∵ AB = BA)

Example 1 M을 이차 정사각행렬 전체의 집합이라 하고 A =

(

^{0 - 1}1 0

)

이라 한다. Mn을 Mn={X ∈ M∣XAⁿ= AⁿX}라 할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

(단, n = 1, 2, 3, …이고 _E는 단위행렬이다.) ㄱ. _{X ∈ M}_n_{, Y ∈ M}_n이면 _{XY ∈ M}_n이다.

ㄴ. _M₁_{⊂ M}_n

ㄷ. X=

(

^{x y}z w

)

∈ M₁이면 X = xE + zA이다.

① _ㄱ ② _ㄴ ③ _ㄱ,ㄴ ④ _ㄴ,ㄷ ⑤ _ㄱ,ㄴ,ㄷ

(4) _A²_{= B}²_{= E}이면 _{( AB)}²_{= E}이다. _{( False)} [반례] A²= B²= E를 만족하는 두 행렬 _{A, B}를 각각

_{A =}

(

¹0 - 1⁰

)

, _{B =ꀌ} ꀘ

︳︳ ꀍ ꀙ

︳︳ 0 2 1 2 0

이라 하면

_{AB =}

(

¹0 - 1⁰

)

ꀌ ꀘ

︳︳ ꀍ ꀙ

︳︳ 0 2 1 2 0

= ꀌ ꀘ

︳︳

ꀍ ꀙ

︳︳ 0 2 -1

2 0 _{( AB)}²_{= ꀌ}

ꀘ

︳︳

ꀍ ꀙ

︳︳ 0 2 -1

2 0 ꀌ ꀘ

︳︳

ꀍ ꀙ

︳︳ 0 2 -1

2 0

=

(

^{- 1}0 - 1⁰

)

=- E ≠E

A^가n^개

Q

(2)

2

(5) _{( AB)}²_{= A}²_B²이면 _{AB = BA}이다. _{( False)}

Example 2 다음 <보기> 중 이차 정사각행렬 _{A, B}에 대하여 _{AB = B A}가 성립하기 위한

충분조건을 모두 고르면? (단, _E는 단위행렬이다.)

ㄱ. _{A + B = E} ㄴ. _{AB = E} ㄷ. (AB)²= A²B² ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(6) _A³_{+ A}²_{+ A +E = O}이면 _A⁴_{= E}이다. _{( True)} [증명] 양변에 _{( A - E)}를 곱하면 _A⁴_{-E= O} _{∴ A}⁴_{= E}

(7) _{A =}

(

^{a b}^{c d}

)

^{일 때,} ^Aⁿ= O ( n = 1, 2, 3, …)이면 ad - bc = 0, _{a + d = 0}이다. _{( True)}

(8) ₂ 이상의 자연수 _n에 대하여 _Aⁿ_{= O}이면 _{A = O}이다. _{( False)} [반례] A =

(

^{1 - 1}1 - 1

)

이면 _A²_{= A}³_{= … = A}ⁿ_{= O}이지만 _A≠O이다.

(9) ₂ 이상의 자연수 _n에 대하여 _Aⁿ_{= E}이면 _{A = E}이다. _{( True)} [증명] Aⁿ= E의 양변에 _A를 곱하면 _A^{n + 1}_{= A}

그런데 ₂ 이상의 모든 자연수 _n에 대하여 _Aⁿ_{= E}이므로 _A^{n + 1}_{= E}이다. ∴ _{E =A}

(10) ₂ 이상의 자연수 _n에 대하여 Aⁿ= A이면 _{A = O} 또는 _{A = E}이다. _{( False)} [반례] A =

(

^{1 0}1 0

)

이면 _A²_{= A}³_{= … = A}ⁿ_{= A}이지만 _A≠O이고 _A≠E이다.

(11)

(12) _A^k_{= A}^l_{= A}^m_{= E}를 만족하는 자연수 _{k, l, m}이 존재하면 _{A = E}이다. _{( False)} _C.F.) _A¹²_{= E}이고 _Aⁿ_{= E}이면 모든 자연수 _n에 대하여 _A ⁿ_=E이다. _{n = ?} _Sol) _a¹²_{= 1, a}^△_{= 1}일 때, _a^{( 임의의 자연수)}_{= 1}이다. _{△ = ?}

이 때, _a¹_{= 1}인 것을 밝히면 된다.

∴ △₌(₁₂와 공약수가 ₁인 수)_{= ( 12}와 서로소인 수) 예를 들어, <_a⁰_{= 1}, _a²⁰_{= 1}일 때>라고 가정하면 _a⁸_{= 1}, _a⁴_{= 1}, _…를 더 이상 밝힐 수 없다.

∴ _a⁴ⁿ_{= 1}(_4n은 모든 자연수가 될 수 없다. ₁₂, ₂₀의 최대공약수의 배수이다.) (12-1) _A^k_{= A}^l_{= A}^m_{= E}를 만족하는 서로소인 자연수 _{k, l, m}이 존재하면 _{A = E}이다. _{( True)}

Q

(3)

Subject 02. ^영인자

수의 성질과는 달리 _A≠O를 _A의 역행렬이 존재해서 _A를 없앨 수 있다로 해석하면 안된다.

(13) _A≠O이고 _{AB = A}이면 _{B = E}이다. _{( False)}

(14) _{AB = AC}이면 _{A = O}또는 _{B = C}이다. _{( False)}

(15) _{AB = AC}이고 _A≠O이면 _{B = C}이다. _{( False)}

(16) _{AB = O}이면 _{A = O} 또는 _{B = O}이다. _{( False)}

행렬의 경우는 _{A≠O, B≠O}일 때 _{AB = O}인 경우도 있다. 이 때, 두 행렬 _{A, B}를 영인자라 한다.

(17) _{AB = O}이고 _B≠O이면 _{A = O}이다. _{( False)}

(18) _{( A - E)}²_{= O}이면 _{A = E}이다. _{( False)}

(19) _A²_{= B}²이면 _{A = B} 또는 _{A =- B}이다. _{( False)}

Example 3 두 이차 정사각행렬 _{A, X}가 ( X - A)²= O를 만족시킬 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, _O는 영행렬이다.)

ㄱ. _{X = A}

ㄴ. _n≧3인 정수 _n에 대하여 _{( A - x)}ⁿ_{= O}이다.

ㄷ. X( X - A) = ( X - A)A

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

Q

(4)

4

Subject 03. 역행렬

A^{- 1}이 존재하면 언제든지 _A를 없앨 수 있다. 수의 성질에서 _a≠0과 같은 것으로 이해!!!

(20) _{AB = E}이면 _{BA = E}이다. _{( True)}

(21) _A^{- 1}이 존재할 때, _{AB = A}이면 _{B = E}이다. _{( True)}

(22) _{A + B}의 역행렬이 존재하면, _{A, B}의 역행렬이 모두 존재한다. _{( False)} [반례] 두 행렬 _{A, B}를 각각 _{A =}

(

^{1 0}0 0

)

, _{B =}

(

^{0 0}0 1

)

라 하면

_{A + B = E}이므로 역행렬이 존재하지만 _{A, B}는 역행렬이 존재하지 않는다.

(23) _AB의 역행렬이 존재하면 _{A, B}의 역행렬이 모두 존재한다. _{( True)}

[증명] AB의 역행렬을 _C라 하면 ( AB) C = A( BC) = E이므로 _A의 역행렬 _BC가 존재한다.

또한, C( AB) = ( CA) B = E이므로 _B의 역행렬 _CA가 존재한다.

(24) _A가 역행렬을 가지면 _{AB = BA}이다. _{( False)}

(25) _{AB = O}이고 _B≠O이면 _A의 역행렬은 존재하지 않는다. _{( True)}

Example 4 두 이차 정사각행렬 _{A =}

(

^{a b}c d

)

, _{E =}

(

^{1 0}0 1

)

에 대하여 집합 L( A) = { rE + sA∣r, s는 실수_}라 할 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ.

(

^{2 0}0 - 1

)

∈L( A)이면 _{s ≠ 0}이다.

ㄴ. _{B ∈ L( A)}이면 _B^{- 1}가 존재한다.

ㄷ. C ∈ L( A), D ∈ L( A)이면 C + D ∈ L( A)이다.

① _ㄱ ② _ㄴ ③ _ㄱ,ㄷ ④ _ㄴ,ㄷ ⑤ _ㄱ,ㄴ,ㄷ

Example 5 이차 정사각행렬 _{A, B, C, O}에 대한 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르 면? (단, _O는 영행렬이고 _A^{- 1}는 _A의 역행렬이다.)

ㄱ. _A²_{- B}²= ( A + B)( A - B )를 만족하는 행렬 _B가 존재하는 경우가 있다.

ㄴ. _{AB = O}는 _{A = O} 또는 _{B = O}이기 위한 필요충분조건이다.

ㄷ. _A^{- 1}_,B^{- 1} 중 적어도 하나가 존재하면 _AB의 역행렬이 존재한다.

① _ㄱ ② _ㄷ ③ _ㄱ,ㄴ ④ _ㄴ,ㄷ ⑤ _ㄱ,ㄴ,ㄷ

Q

(5)

Example 6 이차 정사각행렬 _{A, B}에 대하여 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. _A의 역행렬이 존재할 때, _B=A-A^{- 1}이면 _{AB = BA}이다.

ㄴ. _A²_{= O}일 때, _{A - E}의 역행렬이 존재한다.

ㄷ. _AB의 역행렬이 존재하지 않으면 _A 또는 _B의 역행렬이 존재하지 않는다.

① _ㄱ ② _ㄷ ③ _ㄱ,ㄴ ④ _ㄴ,ㄷ ⑤ _ㄱ,ㄴ,ㄷ

Example 7 이차 정사각행렬 _{A =}

(

^{a b}c d

)

에 대하여 f ( A ) = ad - bc라 할 때, 다음 <보기

> 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, _A^{- 1}는 _A의 역행렬이다.) ㄱ. _{A =}

(

^{2 - 1}1 3

)

이면 f ( A ) = 7이다.

ㄴ. f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) (단, _B는 이차 정사각행렬이다.) ㄷ. f ( A ) = 1인 행렬 _A에 대하여 _{f ( A + A}^{- 1}) = ( a + d)²이다.

① _ㄱ ② _ㄴ ③ _ㄱ,ㄷ ④ _ㄴ,ㄷ ⑤ _ㄱ,ㄴ,ㄷ

Example 8 A, B가 이차 정사각행렬이고 _{A + B = AB}를 만족할 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, _E는 단위행렬이다.)

ㄱ. _{E - B}의 역행렬은 존재하지 않는다 ㄴ. _{AB = BA}

ㄷ. _{A + B = E}이면 _A²_{- A = O}이다.

① _ㄱ ② _ㄴ ③ _ㄱ,ㄴ ④ _ㄴ,ㄷ ⑤ _ㄱ,ㄴ,ㄷ

Q

(6)

6

Subject 04. 행렬식

A =

(

^{a b}c d

)

일 때, 행렬식 D( A) = ad - bc에 대하여 다음이 성립한다.

① _{D( E) = 1}

② _{D( kA) = k}²(ad - bc) = k²D(A)

③ D( AB) = D( A)D( B)

④ _D(Aⁿ) = { D( A)}ⁿ

⑤ _A^{- 1}가 존재한다. ⇔ _{D( A)≠0}

⑥ D( A^{- 1}) = 1 D( A)

(7)

Example 해설

Example 1

ㄱ. (참) _X∈M_n, _Y∈M_n이면 _XAⁿ_{= A}ⁿ_X, _YAⁿ_{= A}ⁿ_Y ∴ _{( XY)A}ⁿ_{= X( YA}ⁿ_{) = X( A}ⁿ_{Y) = ( XA}ⁿ_{)Y = A}ⁿ_(XY) ∴ _XY∈M_n

ㄴ. (참) _X∈M₁이면 _{XA = AX}이므로 _XA²= ( XA)A = ( AX)A = A(XA) = A( AX) = A²X ∴ _X∈M₂ ∴ _M₁_⊂M₂

같은 방법으로 _X∈M₂이면 _X∈M₃ ∴ _M₂_⊂M₃ ∴ _M₁_⊂M_n

ㄷ. (참) _{X =}

(

^{x y}z w

)

∈M₁이므로 _{XA = AX}

(

^{x y}z w

) (

^{0 - 1}1 0

)

=

(

^{0 - 1}1 0

) (

^{x y}z w

)

이므로

(

w - z^{y - x}

)

=

(

^{- z - w}x y

)

∴ _{y = - z}, _{x = w}

∴ _{X =}

(

^{x - z}z x

)

=

(

^{x 0}0 x

)

+

(

^{0 - z}z 0

)

= x

(

^{1 0}0 1

)

+ z

(

^{0 - 1}1 0

)

= xE + zA

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤ Example 2

ㄱ. (←) _{A + B = E}에서 _{A =E - B}이므로

AB = ( E - B)B = B - B², BA = B( E - B) = B -B² ∴ _{AB =BA}

(↛) (반례) _{A =}

(

^{1 0}0 0

)

, _{B =}

(

^{0 0}1 0

)

……㉠이면 _{AB = BA =}

(

^{0 0}0 0

)

이지만 _{A + B =}

(

^{1 0}1 0

)

≠E

따라서 충분조건이다.

ㄴ. (←) _{AB = E}이면 _A와 _B는 서로 역행렬 관계에 있으므로 AB = BA = E (↛) (반례) ㉠에서 _{AB = BA}이지만 _{AB = BA =}

(

^{0 0}0 0

)

≠E

따라서 충분조건이다.

ㄷ. (↚) (반례) _{A =}

(

^{1 0}0 0

)

, _{B =}

(

^{0 1}0 0

)

이면

_{AB =}

(

^{1 0}0 0

) (

^{0 1}0 0

)

=

(

^{0 1}0 0

)

, _{( AB)}²₌

(

^{0 1}0 0

) (

^{0 1}0 0

)

=

(

^{0 0}0 0

)

= O

_A²₌

(

^{1 0}^{0 0}

) (

^{1 0}^{0 0}

)

⁼

(

^{1 0}^{0 0}

)

^, ^B²⁼

(

^{0 1}^{0 0}

) (

^{0 1}^{0 0}

)

⁼

(

^{0 0}^{0 0}

)

^{= O}

이므로 _(AB)²_{= A}²_B²

그런데 _{BA =}

(

^{0 1}0 0

) (

^{1 0}0 0

)

=

(

^{0 0}0 0

)

= O이므로 _AB≠BA (→) _{AB = BA}이면 _(AB)²= ABAB = AABB = A²B² 따라서 필요조건이다.

(8)

8 따라서 충분조건인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ② Example 3

ㄱ. (거짓) (반례) _{A =}

(

^{2 1}2 4

)

, _{X =}

(

^{2 1}3 4

)

라 하면 _{( X - A)}²_{= O}이지만 _X≠A ㄴ. (참) _{( X - A)}²_{= O} ⇔ _X²- XA - AX + A²= O ⇔ _{( A - X)}²_{= O}

∴ _{(A- X)}ⁿ_{= ( A - X)}²_{(A - X)}^{n - 2}_{= O(A-X)}^{n - 2}_{= O} ㄷ. (거짓) _{( X - A)}²_{= O} ⇔ _X²- XA - AX + A²= O

⇔ _X²- XA = AX - A²

⇔ X( X - A) = A( X - A) ≠( X - A)A 따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

ꂼ ② Example 4

ㄱ. (참)

(

²0 - 1⁰

)

∈L( A)이므로

(

²0 - 1⁰

)

= rE + sA

이 때, _{s = 0}이면

(

²0 - 1⁰

)

= rE = r

(

^{1 0}0 1

)

이므로 실수 _r는 존재하지 않는다.

따라서

(

²0 - 1⁰

)

∈L( A)이면 _s≠0이다.

ㄴ. (거짓) (반례) _{A =}

(

¹^{0 - 1}⁰

)

^, ^{B =}

(

^{2 0}^{0 0}

)

^{이라 하면}^{B =E + A}^이므로 ^{r = 1}^, ^{s = 1}^이다.

따라서 _{B∈L( A)}이지만 B^{- 1}는 존재하지 않는다.

ㄷ. (참) _{C∈L( A)}, _{D∈L( A)}이므로 네 실수 _r, _s, _r', _{s '}에 대하여 C = rE + sA, D = r'E + s 'A

∴ C + D= ( r E + sA) + ( r'E + s 'A) = ( r + r')E + ( s + s')A∈L( A) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③ Example 5

ㄱ. (참) _{B = E ( E}는 단위행렬)이면

( A + B) ( A - B) = ( A + E) ( A - E) = AA - AE + EA - EE = A²- E²= A²- B² ㄴ. (거짓) (반례) _{( ↛)} _{A =}

(

^{- 1}³ ^{- 6}²

)

^, ^{B =}

(

^{4 2}^{2 1}

)

^이면

_{AB =}

(

^{- 1}3 - 6²

) (

^{4 2}2 1

)

= O이지만 _A≠O, _B≠O이다.

ㄷ. (거짓) (반례) _{A =}

(

^{0 0}0 0

)

, _{B =}

(

^{1 2}3 4

)

이면

_B에서 1×4 - 2 ×3≠ 0이므로 _B의 역행렬은 존재하지만 _{AB = O}이 되어 _AB의 역행렬은 존재 하지 않는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

ꂼ ①

(9)

Example 6

ㄱ. (참) AB = A( A -A^{- 1}) = A²- E, BA = ( A - A^{- 1})A = A²- E ∴ _{AB = BA}

ㄴ. (참) _A²_{= O}이므로 _A²- E =O -E =- E 한편, _E²_{= E}이므로

_A²_{- E = A}²_{- E}²= ( A + E) ( A - E) ∴ ( A + E) ( A - E) =- E

∴ ( - A - E) ( A - E) = E ∴ _{( A - E)}^{- 1}_{=- A- E}

ㄷ. (참) _A와 _B의 역행렬이 존재한다고 하면 _{(AB )(B}^{- 1}_A^{- 1}_{) = A( BB}^{- 1}_)A^{- 1}_{= AEA}^{- 1}_{= AA}^{- 1}_{= E} ∴ _(AB)^{- 1}_{= B}^{- 1}_A^{- 1}

따라서 _AB의 역행렬이 존재하지 않으면 _A 또는 _B의 역행렬이 존재하지 않는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤ Example 7

ㄱ. (참) _{A =}

(

^{2 - 1}1 3

)

이므로 f( A) = 2․3 - ( - 1) ․1 = 7 ㄴ. (거짓) (반례) _{A =}

(

^{1 0}0 1

)

, _{B =}

(

- 1 1¹ ⁰

)

이면

_{A + B =}

(

- 1 2² ⁰

)

이므로 _{f( A) = 1}, _{f( B) = 1}, f( A + B) = 4 ∴ f( A + B)≠f( A) + f( B)

ㄷ. (참) _{A =}

(

^{a b}c d

)

에서 _{f( A) =1}이면 _A^{- 1}₌

(

- c^d ^{- b}a

)

이므로

_{A + A}^{- 1}₌

(

^{a b}c d

)

+

(

- c^d ^{- b}a

)

=

(

^{a + d}0 a + d⁰

)

∴ _{f(A + A}^{- 1}) = ( a + d)²

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③ Example 8

ㄱ. (거짓) _{A + B = AB}에서 AB - A - B = O

양변에 _E를 더하면 AB - A -B +E = E ∴( E - A) ( E - B) = E 따라서 _{E - B}의 역행렬 _{E - A}가 존재한다.

ㄴ. (참) _{E -A}, _{E - B}가 서로 역행렬이므로

( E - A) ( E - B) = ( E - B) ( E - A) = E - B - A+ AB = E -A - B + BA ∴ _{AB = BA}

ㄷ. (거짓) _{A + B = E}에서 _{B =E - A} 그런데, _{A + B = AB}이므로 _{AB = E}

즉, AB = A(E -A) = A -A²= E ∴ _A²_{- A =- E}

따라서 옳은 것은 ㄴ이다. ꂼ ②

Subject 01. 행렬의 곱셈

기억해야 할 행렬의 성질 BEST 25