포물선형 개수로에서 공액수심비의 양해적 해석
김 대 근†
†목포대학교, 토목공학과
Explicit Solution for the Conjugate Depth Ratio in Parabolic Open Channels Dae-Geun Kim†
†Department of Civil Engineering, Mokpo National University, Jeonnam, Korea (Received : Oct. 12, 2020, Revised : Nov. 23, 2020, Accepted : Dec. 21, 2020)
Abstract : This study derived a non-linear specific force equation for parabolic open channel flows. In addition, an explicit method is presented for obtaining accurately a solution to the specific force equation.
The Newton-Raphson method, which has 2nd-order accuracy, was used to obtain the solution of the derived equation. The initial value of the calculation was obtained from recent research results in the form of a regression equation. The maximum relative error is about 0.33% when the conjugate depth ratio is calculated using the existing regression equation, but it is 0.07% using the results of this study, even in the extreme case where the Froude number is around 1.0. That is, the conjugate depth ratio of the parabolic channel can be calculated accurately and easily by using the explicit method presented in this study.
Keyword : specific force, parabolic open channel, Newton-Raphson method, conjugate depth
1. 서 론1)
비력(specific force)은 개수로에서 짧은 급변류 등류구간에 수로바닥의 마찰을 무시할 수 있다는 가정 하에 운동량방정식으로부터 얻을 수 있다. 이 경우 단위무게당 정수압과 동수압의 합으로 정의되는 비력은 보존되며, 도수(hydraulic jump)와 같은 급변류 현상을 해석하는데 적용할 수 있다[1-2].
직사각형 개수로에서 비력관계식은 3차방정식으로 표현되므로 3개의 해석해를 가지나, 2개의 양수해만이 물리적인 의미를 가지며 하나의 음수해는 물리적인 의미가 없다. 물리적 의미가 있는 2개의 양수해는 각각 사류(supercritical flow)와 상류(subcritical flow)에 대한 수심이다. 즉, 유량이 일정한 조건에서 같은 크기의 비력을 갖는 수심이 사류와 상류에 각기 존재하는데, 이 두 수심을 공액수심(conjugate depths)이라 정의
†Corresponding Author 성 명 : 김 대 근
소 속 : 목포대학교 토목공학과
주 소 : (58554) 전남 무안군 청계면 영산로 1666 전 화 : 061-450-2476
E-mail : kdg05@mokpo.ac.kr
한다. 직사각형 개수로에 대한 3차방정식 형태의 비력 관계식은 그 해석해가 있기 때문에, 도수전후의 수심 변화를 용이하게 풀어낼 수 있다[3-6].
하지만 직사각형 개수로가 아닌 경우, 비력관계식의 해석해를 직접 구할 수 없다. 포물선형 개수로의 경우, 다항식의 차수를 조절하여 다양한 형태의 개수로를 근사적으로 표현할 수 있는 잇점이 있다. 특히 차수가 무한대이면 사각형개수로이며, 차수가 1차이면 삼각형 개수로가 된다. Zhao 등[7]은 2차의 포물선형 개수로에 대해 0.3% 이내의 상대오차를 가지는 공액수심을 구하는 근사해를 구한바 있다. Vatankhan[8]은 임의의 차원을 가지는 포물선형 개수로에 대해 0.4% 내외의 오차를 가지는 공액수심을 구하는 근사해를 제안하였다.
이에 본 연구에서는 임의의 차원을 가지는 포물선형 개수로에 대해 비력관계식을 유도하였다. 유도한 비력 관계식은 음함수이며 비선형이므로 해를 해석적으로 구할 수 없다. 이럴때 일반적으로 도해법(graphical method)이나 시행착오법(trial and error method) 등을 이용하여 해를 찾는 방법이 많이 사용되었으나, 이는 계산에 시간이 많이 소요되고 주관적 요소가 개입 될 수도 있어 사용에 불편한 면이 있다. 이에 주어진 비선형방정식의 해를 간편하게 구할 수 있도록 양함수 (explicit function) 형태의 회귀식을 구하여 이를 이용 하는 경우가 있다. 회귀식을 사용할 경우, 식에 따라
오차의 정도와 적용범위를 확인하고 사용하는 것이 반드시 필요하다. 다양한 개수로 단면에 대해 등류수심 이나 한계수심을 구하기 위하여 양함수 형태의 회귀식을 이용하는 경우에 대한 연구가 최근까지도 수행되었다 [9-14].
Vatankhan[15]은 1차의 정밀도를 가지는 고정점 반복법(fixed-point method)이나 2차의 정밀도를 가지는 Newton-Raphson법과 같은 반복법(iterative method)으로 비선형방정식의 해를 구하는 방법으로 기존 연구에서 제안된 회귀식의 정확도를 높였다.
Kim and Koh[9]는 직사각형과 사다리꼴 개수로단면 의 등류수심과 한계수심을 구하는 회귀식의 정확도를 높이기 위하여 Newton-Raphson법을 사용한 바 있다.
본 연구에는 포물선형 개수로에 대해 유도된 비선형 비력관계식의 해를 양해적으로 정확히 구할 수 있는 방법을 제시하였다. 이를 위해 포물선형 개수로의 비력 관계식을 유도하였다. 유도한 비선형방정식의 해석에 2차 정밀도를 가진 Newton-Raphson법을 사용하였고, 계산에 필요한 초기치는 Vatankhan[8]의 근사해를 이용하였다.
2. 연구방법
개수로에서 비력은 단위무게당 정수압과 동수압의 합으로 정의되며, 도수현상의 해석을 위해 비력관계식을 적용하면, 도수전과 후의 비력은 보존되므로 이를 다음과 같이 표현할 수 있다.
위에서 은 비력, 는 수면에서부터 측정한 단면의 도심까지의 깊이, 는 개수로의 통수단면적, 는 유량, 는 중력가속도이며, 아래첨자 1과 2는 도수발생 전과 후의 단면을 의미한다.
Figure 1은 비력곡선(specific force curve)으로 주어진 단면과 유량에 대해 비력과 수심의 관계를 나타 낸다. 일정한 유량에서 비력이 같은 수심이 사류영역과 상류영역에 각기 존재하는데, 이와 같이 쌍으로 존재 하는 수심 과 를 공액수심이라 정의한다. 또한 Figure 1에서 비력이 최소인 경우에는 이에 대응하는 수심이 하나 존재하는데, 이 때의 흐름이 한계류 (critical flow)이며 한계류에서의 수심을 한계수심 (critical depth)이라 정의한다.
Figure 1. Specific force curve that describes the relationship between water depth and specific force for
a given flowrate and open channel cross-section Figure 2는 수심 인 포물선형 개수로의 개념도 이다. Figure 2에서 와 는 각각 양의 실수이며, 포물 선형 개수로에서 통수단면적 와 수면폭 , 그리고 수면에서부터 측정한 도심까지의 수심 는 다음과 같다.
위에서 는 정수압, 는 정수압에 의해 개수로 단면에 작용하는 힘, 는 물의 단위중량이다.
식 (2), (3), (4), (5)를 식 (1)에 대입하여 정리하면,
위의 식을 로 양변을
나누어 정리하고, 로 치환하여 정리하면
다음의 비선형방정식과 같다.
포물선형 개수로에 대한 비력관계식 (7)의 에 관한 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
포물선형 개수로에서 비력관계식을 만족하는 공액수 심비 를 구하려면 비선형방정식 (7)을 풀어야 한다.
본 연구에서는 식 (7)을 양해적으로 풀기 위해서 2차의 정밀도를 가진 Newton-Raphson법을 사용하였다 [16].
위에서 를 구하기 위해서는 이의 초기값 가 필요 한데, 본 연구에서는 Vatankhan[8]의 다음과 같은 근사해를 이용하였다.
3. 연구결과
Figure 3은 식 (7)의 가 0.5, 1, 2일 때의 공액수 심비에 따른 푸르드수의 결과이다. 특히 가 1인 경우는 삼각형 단면에 대한 결과이다. 의 값이 증가 함에 따라 동일한 공액수심비에 대해 푸르드수는 더 작은 값을 가지게 된다.
Figure 3. Conjugate depth ratio for hydraulic jumps in a horizontal parabolic channels for different values of p
위에서 구한 푸르드수를 식 (10)에 대입하여 를 구하고, 이를 초기값으로 식(9)를 이용하여 공액수심비를 구했다. 식 (9)를 이용하여 반복적으로 구한 공액수심 비와 정해의 상대오차(%)를 Figure 4에 도시하였다.
여기서 정해는 식 (7)에서 푸르드수를 구하기 위해 사용한 공액수심비이다. 비교를 위하여 식 (10)에서 구한 근사해의 상대오차(%)를 함께 도시하였다. 상대 오차는 정해와 추정치의 차이를 정해로 무차원화 한 것 으로 다음과 같이 정의하였다. 단, 그래프로 상대오차를 표현하는 경우에는 정해와 추정치에 대한 정보를 누락 하지 않기 위해 절대값을 뺀 결과를 사용하였다. 식 (10)의 근사식을 사용하여 공액수심비을 구하는 경우, 상대오차는 최대 0.33%정도이다. 하지만 근사식의 결과를 초기값으로 식 (9)를 이용하여 공액수심비를 구하는 경우, 상대오차는 푸르드수가 1.0 부근에서 최대 0.07%이며, 푸르드수가 0.8보다 작은 경우에는 소수점 4째자리 정도의 오차를 보이고 있다.
(a) p = 1/2
(b) p = 1
(c) p = 2
Figure 4. Relative percentage errors for proposed solution
식 (10)을 이용하여 공액수심비의 근사해를 구하면 각각 0.175488, 0.227340, 0.314537이며, 본 연구에서 제시한 식 (7), 8), (9)를 이용하면 공액수심비는 각각 0.175582, 0.227889, 0.314711이다. 이 문제의 정해는 WolframAlpha를 이용하여 소수점 6째자리 까지 구했을 때 각각 0.175582, 0.227885, 0.314711 이다. 근사해의 경우 식 (11)에 의한 상대오차는 각각 0.054%, 0.239%, 0.055%이며, 본 연구의 결과는 p가 1인 경우에 0.002%이며 p가 0.5와 2.0인 경우에는 소수점 6째자리까지 정해와 값이 일치하였다.
4. 결론
본 연구에는 포물선형 개수로에 대해 유도된 비선형 비력관계식의 해를 양해적으로 정확히 구할 수 있는 방법을 제시하였다. 이를 위해 포물선형 개수로의 비선형 비력관계식을 유도하였다. 유도한 비력관계식의 해석에 2차 정밀도를 가진 Newton-Raphson법을 사용하였 으며, 계산에 필요한 초기치는 Vatankhan[8]의 회귀 식을 이용하였다. 기존 회귀식을 이용하여 공액수심비를 구하는 경우에는 최대 상대오차가 0.33% 정도이나, 본 연구결과를 이용하면 푸르드수가 1.0 부근의 극단 적인 경우에도 최대 상대오차가 0.07%이며 대체로 소수점 4째자리 정도의 오차를 보여주고 있다. 즉 본 연구에서 제시하는 양해법을 이용하면, 포물선형 개수 로의 공액수심비를 용이하게 그리고 매우 정확하게 산정할 수 있다.
감사의 글
본 논문은 2020학년도 목포대학교 교내연구비 지원에 의하여 연구되었음.
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