http://dx.doi.org/10.7236/JIWIT.2012.12.2.221
JIWIT 2012-2-28
방향의 선택성 향상을 통한 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 성능 개선
Improvement of Double Density Discrete Wavelet Transformation with Enhancement of Directional Selectivity
임중희*, 신종홍**, 지인호***
Joong-Hee Lim, Jong-Hong Shin, Inn-Ho Jee
요 약 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 정밀하게 표본화되는 이산 웨이브렛 변환에 중요한 특징을 추가하여 그 성 능을 개선한 것이다. 우선적으로 이 변환은 하나의 스케일링 함수와 두 개의 웨이브렛 함수로 구성된다. 즉, 3개 채널 로 분해가 되며 두 웨이브렛 함수는 주파수 대역을 1/2씩 분할하도록 설계되었다. 따라서 입력 데이터보다 더 많은 양의 부대역 데이터들을 생성하면서도 완전재생을 만족한다. 또한 근사적으로 이동 불변의 특징을 만족하도록 설계되 었다. 그러나 웨이브렛들이 모든 방향성을 반영하지 못하는 제약성을 갖는다. 즉, 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환이 기 존의 웨이브렛 변환보다 우수하지만, 다양한 방향성의 부족으로 그에 대한 처리가 제약받는다. 본 논문에서 제안된 방법은 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환에 quincunx 표본화를 결합하여 각각의 장점을 얻도록 하였다. 특히, quincunx 표본화는 더 많은 방향성을 생성할 수 있다. 결과적으로 제안된 방법이 다양한 각도의 회전된 부영상을 생성할 수 있 기 때문에 영상처리 영역에서 향상된 성능을 제공할 수 있다.
Abstract The double-density discrete wavelet transform(DWT) is an improvement upon the critically sampled DWT with important additional properties. It employs one scaling function and two distinct wavelets, which are designed to be offset from one another by one half. And it is overcomplete by a factor of two. Also, this transformation is nearly shift-invariant. But there is room for improvement because not all of the wavelets are directional. That is, although the double-density DWT utilizes more wavelets, some lack a dominant spatial orientation, which prevents them from being able to isolate those directions. Proposed method is a DWT that combines the double-density DWT and quincunx sampling, each of which has its own characteristics and advantages. Especially, the quincunx sampling treats the different directions more homogeneously. As a result, since proposed method can generate sub-images of multiple degrees rotated versions, this method provides an improved performance in image processing fields.
Key Words : Double-density, Quincunx, Shift Invariance, Directional Selectivity
*정회원, 홍익대학교 대학원 전자전산공학과
**정회원, 한국사이버대학교 정보보안학과
***정회원, 홍익대학교 컴퓨터정보통신공학과 접수일자 2012년 3월 1일, 수정완료 2012년 4월 2일 게재확정일자 2012년 4월 13일
Received: 1 March 2012 / Revised: 2 April 2012 / Accepted: 13 April 2012
**Corresponding Author: [email protected]
Dept. of Computer and Information Communications Engineering, Hongik University, Korea
Ⅰ. 서 론
신호의 부호화 기술은 신호 처리 연구에서 매우 중요한
영역이다. 그리고 웨이브렛 변환(wavelet transformation : WT)은 영상 신호와 비디오 신호 부호화를 위한 도구로 서 잘 알려져 왔다. 그래서 많은 연구자들은 웨이브렛을
이용하여 신호의 분석과 재생을 위한 연구를 수행하고 있다. 그러나 그 결과들은 획기적으로 만족스럽지 못했 다. 웨이브렛 변환이 웨이브렛 기저함수의 확장과 축소 그리고 이동(shift)을 통해서 시간과 주파수 영역을 동시 에 표현할 수 있어 푸리에 변환(Fourier transformation) 이 가지고 있는 제약성을 극복한 장점을 갖고 있지만, 주 요한 단점도 가지고 있기 때문이다. 첫 번째로 이동 불변 (shift invariance) 성질을 만족하지 못한다. 그래서 입력 신호에서 작은 이동들은 각 스케일(scale)에서의 DWT 계수간의 에너지 분포에 큰 변화를 일으킬 수 있는 원인 이 된다. 특히, 디지털 영상에 대한 2차원 이산 웨이브렛 변환에서 생성되는 부대역 영상들(subband images)은 상호간의 독립성을 보장할 수 없다. 따라서 어느 특정 부 대역 영상들에 대하여서만 디지털 영상처리 기술이 적용 된다면, 완전재생(perfect reconstruction : PR)의 영향을 주게 되어 2차원 이산 웨이브렛 역 변환을 통해 생성되는 복원 영상의 품질을 보장하기가 어렵다. 두 번째로 영상 처리를 수행하기 위한 방향의 선택성이 부족하다. 실수 영역에서 필터뱅크의 동작으로 수행되는 2차원 이산 웨 이브렛 변환은 수평과 수직의 방향으로만 처리를 수행하 기 때문에 생성되는 방향 성분은 다양하지 못하며, 특히 대각 방향 성분은 부족하다.
이동 불변 성질을 제공할 수 있는 대표적인 방법은 2분 할 필터 트리(dyadic filter tree)의 비압축(undecimated) 표본 형식을 사용하는 것으로 이동 불변 성질를 만족하 는 가장 우수한 방법이다. 그러나 이 방법은 log N의 확 장 인자를 갖는다. 즉, N개의 표본 데이터 벡터가 N log N 표본들로 확장된다. 따라서 DWT에 비해 연산량이 많 고 출력 정보의 데이터량도 많으며, 웨이브렛 변환의 레 벨 수가 증가하면 그 양도 증가하기 때문에 너무 낭비적 이다[1, 2, 4]
.
과표본(oversampling) DWT는 비압축 형식의 DWT 과는 다른 방법으로 레벨에 증가와는 독립적으로 확장인 자 2에 의해서만 데이터의 양이 증가하는 특징을 갖는다.
과표본 DWT의 대표적인 방법으로 이중 트리 이산 웨이 브렛 변환(dual-tree discrete wavelet transformation:
DDWT)이 있다. 이 변환은 이동 불변의 특징을 만족하 도록 설계된 필터를 사용하며, 두개의 트리 구조로 웨이 브렛 변환을 수행한다. 따라서 2차원 이산 웨이브렛 변환 보다 추가된 트리 구조로 인해서 방향성에 대한 선택도 또한 더 증가하게 된다[4, 5].
과표본 이산 웨이브렛 변환의 또 다른 한 종류로 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환(double density discrete wavelet transformation : DDDWT)이 있다. 이것은 이 중 트리 이산 웨이브렛과 마찬가지로 정밀하게 표본화 (critically sampling)되는 이산 웨이브렛 변환에 중요한 특징을 추가하여 그 성능을 개선한 것이다. 이중 밀도 이 산 웨이브렛 변환은 하나의 스케일링(scaling) 함수와 두 개의 웨이브렛 함수가 존재한다. 즉, 3개 채널로 분해가 되며, 두 웨이브렛 함수는 주파수 대역을 1/2씩 분할하도 록 설계되었다. 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 비교해 서 볼 때 방향성분의 선택성이 부족하다[1, 2].
그러나 사용되는 필터의 수는 세 종류만 존재하므로 두 개의 트리에서 8 종류의 필터를 사용하는 이중 트리 이산 웨이브렛 변환보다 복잡도는 훨씬 낮다.
본 논문에서는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 기본 장점을 유지하면서 방향 선택성을 증가시키는 방법을 제 안하였다. 따라서 제안된 방법은 이동 불변성과 많은 방 향성의 특성들은 잡음 제거, 텍스쳐 분할 등에서 효율적 으로 사용될 수 있다.
본 논문의 구성으로 2장에서는 기본이 되는 과표본 이 산 웨이브렛 변환의 개념을 소개하였다. 3장에서는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환에 대한 기본적인 설계와 구조 를 제시하였다. 4장에서는 비교를 위해서 이중 트리 이산 웨이브렛 변환에 대한 개념을 소개하였다. 그리고 5장에 서는 제안된 방법으로 3단계의 분리 처리를 수행하는 이 중 밀도 이산 웨이브렛 변환 기술을 설명하였다. 6장에서 는 제안된 방법에 대한 성능을 평가하기 위한 실험과 그 결과를 제시하였다. 마지막으로 7장에서는 본 연구에 대 한 결론을 제시하였다.
Ⅱ. 과표본 이산 웨이브렛 변환의 개념
일반적인 이산 웨이브렛 변환에서는 다해상도 분해로 생성되는 부대역 신호들의 데이터 크기의 총합은 입력된 이산 신호의 데이터 크기와 동일하다. 그래서 이것을 정 밀하게 표본화되는 이산 웨이브렛 변환(critically samp ling discrete wavelet transformation : CDWT)이라고 한 다. 반면 다해상도 분해로부터 생성된 부대역 신호들의 데이터 총합의 크기가 입력 데이터의 크기보다 더 큰 경 우, 이 변환을 과표본된 이산 웨이브렛 변환(over sampled
wavelet transformation)이라고 한다. 그림 1은 이상적인 시간-주파수 평면을 나타낸 것이다. 상단의 첫 번째 그림 은 CDWT를 나타낸 것으로 인접 표본들과의 거리는 스케 일(scale)또는 레벨이 증가할수록 2만큼씩 증가하는 것을 볼 수 있다. 비압축 이산 웨이브렛 변환(undecimated discrete wavelet transformatuion : UDWT)은 제일 하단 에서 확인할 수 있다. 이 경우에는 스케일에 관계없이 표 본들간의 거리는 일정하다. 중간의 이중 밀도 이산 웨이 브렛 변환은 각 스케일에서 정밀하게 표본화하는 이산 웨이브렛 변환의 표본보다 두 배 많다[2].
그림 1. 이상적인 시간-주파수 평면도
Fig. 1. The ideal Plane Figure of Time-Frequency
CDWT의 이동 불변의 성질을 만족시키기 위해서는 표본수를 증가시켜야 한다. 표본수가 가장 많은 UDWT 의 가장 중요한 특징은 이동 불변의 성질이 가장 우수하 다는 것이다. CDWT의 두 배의 표본수를 갖는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 근사적으로 이동 불변의 성질을 만족한다. 결과적으로 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 UDWT보다 표본수는 적지만 CDWT보다는 많다. 그러 나 이동의 민감도에 있어 이중 밀도 웨이브렛 변환은 CDWT보다 덜 민감하지만 UDWT만큼 완벽하지 않다.
따라서 효율적인 처리를 위해서는 두 배 정도과표본화되 는 이산 웨이브렛 변환에 대한 설계가 필요하다.
Ⅲ. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환
이중 밀도 이산 웨이브렛 변환을 위한 이상적인 필터 뱅크는 그림 2와 같다. 이것은 정교화 표본의 CDWT 실 행에서 사용되는 필터 뱅크와 유사하지만 고역통과 채널 에서 업 샘플링(up sampling) 과정과 다운 샘플링(down sampling) 과정은 삭제되었다. 이 구조는 부대역 신호 c(n)과 d(n)의 총 데이터율은 입력 데이터율의 3/2이 되 어 초과되기 때문에 과표본 필터뱅크(filter bank)라고 한 다. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 이 필터 뱅크의 저 대역 통과의 부대역 신호 c(n)의 반복적인 적용으로 실행 된다. 따라서 반복적인 적용은 7/4, 15/8... 의 과표본화가 진행되어 결과적으로 2배에 가까운 과표본화가 되기 때 문에 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환이라고 한다. 그런데 이 구조에서 중요한 사항은 필터 h0(n)과 h1(n)의 설계를 통한 완전재생 조건을 y(n) = x(n)을 만족하게 하는 것이 다. 그러나 불행하게도 그림 2의 필터 뱅크 구조에서 이 런 요구되는 특성을 만족하는 유한 길이의 필터 hi(n)은 존재하지 않는다[1,2].
그림 2. 이상적인 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 필터뱅크 Fig. 2. Ideal Dual Density Discrete Wavelet Trans formation Filter Bank
이중 밀도 이산 웨이브렛을 개발하기 위해서는 필터 뱅크의 구조를 적절하게 선택하여야 한다. 실행적인 측 면을 고려해서 이중 밀도 이산 웨이브렛은 정교화 표본 의 이산 웨이브렛 변환 실행에서 사용되는 필터 뱅크와 유사해야 한다. 그래서 FIR 필터를 사용하는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 구조는 그림 3과 같은 과표본화된 필 터뱅크를 사용하는 것이다. 필터 h0(n)은 저대역 통과(스 케일링) 필터이고 h1(n)과 h2(n)은 고대역 통과(웨이브렛) 필터가 된다. 완전재생 조건을 만족하기 위해서 X(z)의 항으로 Y(z)를 표현하면 다음과 같다[2, 3].
(1)
그리고 Y(z)=X(z)의 완전재생을 만족하기 위한 필수 조건은 다음과 같다.
(2)
(3)
그림 3. 완전재생을 만족하는 과표본화된 분석과 합성 FIR 필 터뱅크
Fig. 3. An Oversampled Analysis and Synthesis Filter Bank Permitting Perfect Rec on str
uction with FIR Filters.
설계된 이중 밀도 이산 웨이브렛은 표본의 수가 레벨 수에 독립적이고, FIR 필터 뱅크들이 연속적으로 수행되 기 때문에 고속으로 간단하게 실행될 수 있다는 장점을 갖는다.
그림 4. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 이동 불변성질 Fig. 4. Shift Invariance Property of Double Density DWT
그림 4는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환이 이동 불변 성질을 나타낸 것으로 이동된 이산 시간 계단 함수 u(n-n0)가 입력 신호로 사용되었고, 스케일 j에서의 웨이 브렛 계수를 나타낸 것이다. 왼쪽의 이중 밀도 이산 웨이
브렛 변환에서는 이동된 입력들이 웨이브렛 변환 계수에 서 이동 불변성을 그대로 반영하여서 중첩이 거의 없는 것을 확인할 수 있다. 그러나 오른쪽의 이산 웨이브렛 변 환의 결과에서는 이동된 입력들이 변환계수에서는 이동 불변성을 만족하지 못하므로 많은 중첩이 발생한 것을 확인할 수 있다[1, 2].
이중 밀도 이산 웨이브렛 변환을 디지털 영상을 처리 에 적용하려면 2차원 처리가 필요하다. 그림 5는 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 필터뱅크를 나타낸 것 으로 모두 9개의 부대역 영상들이 생성된다[1, 2].
그림 5. 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 Fig. 5. 2-Dimensional Double Density DWT
Ⅳ. 이중 트리 이산 웨이브렛 변환
과표본화 이산 웨이브렛 변환의 또 다른 방법인 이중 트리 이산 웨이브렛 변환(dual-tree discrete wavelet transformation : DDWT)은 마찬가지로 이산 웨이브렛 변환의 이동 불변 성질의 단점을 개선한 것으로 Kingsbury에 의해서 제안되었다. UDWT를 위해서 다운 샘플링(down sampling) 과정을 제거하는 것과 동일하게 이산 웨이브렛 변환에서 표본화 율을 두 배로 하면, 근사 적으로 이동 불변의 특징을 만족한다. 그리고 표본화 율 을 두 배로 하는 또 다른 방법으로 기존의 이산 웨이브렛 변환의 트리 구조를 하나 더 추가하여 2개의 트리가 되도 록 하는 것이다. 그림 6은 이중 트리 이산 웨이브렛 변환 의 구조를 표현한 것으로, 입력 신호에 대하여 이산 웨이 브렛 변환을 2개의 병렬로 구현된다. 각 단계에서의 표본
화는 두 트리 사이의 지연차를 통해서 서로 다른 표본들 을 표본화 한다. 즉, 한쪽은 짝수 번째 표본을 다른 한쪽 은 홀수 번째 표본을 표본화한다. 상단 트리 a의 부대역 신호들은 복소 이산 웨이브렛 변환(complex discrete wavelet transformation)의 실수 부분(real part)으로 해 석되며, 하단 트리 b의 부대역 신호들은 복소 이산 웨이 브렛 변환의 허수 부분(imaginary part)으로 해석될 수 있다. 선형 위상 필터를 사용하기 위해서는 이 방법에서 하나의 트리에서는 홀수 길이 필터를 다른 트리에서는 짝수 길이 필터들이 요구된다. 각 트리에서 홀수와 짝수 필터들을 레벨에서 레벨로 교차하면서 사용한다면, 두 트리 간의 큰 대칭이 발생한다. 그리고 각 필터들은 기본 적으로 완전재생을 만족하도록 설계되었다[4, 6].
그림 6. 이중 트리 이산 웨이브렛 변환의 실행
Fig. 6. The Dual-Tree Discrete Wavelet Transform
결과적으로 이 필터 집합들에 의해서 이중 트리 웨이 브렛 변환은 이동 불변의 성질을 거의 만족하게 된다. 또 한 이 변환은 2차원 처리에서 많은 부대역 신호를 생성할 수 있어 웨이브렛 변환의 방향성에 대한 선택도가 높다.
그렇지만 UDWT는 다르게 적절한 계산량을 유지할 수 있다.
그림 7은 16개의 이동된 인접 표본들로 구성된 단위 계단 함수의 입력 신호에 대한 웨이브렛 변환을 수행한 결과를 나타낸 것이다. (a)는 이중 트리 이산 웨이브렛 변 환을 4번 반복한 결과로 우수한 이동 불변성으로 인해서 변화가 발생하는 에지(edge) 위치에서 중첩이 거의 일어 나지 않았다. 그리고 각 레벨에서 16개의 모든 출력들이 독립적인 이동을 통해서 동일한 모양을 갖는 것을 확인 할 수 있다. (b)는 이산 웨이브렛 변환의 결과로, 에지 위 치의 상당히 많이 중첩이 일어남을 알 수 있다[4, 7, 8]
.
그림 7. 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 이산 웨이브렛 변환 의 이동 불변 특성
Fig. 7. Wavelet and Scaling Function Compo n e nts at Levels 1 to 4 of 16 Shifted Step Responses of the Discrete Wavelet Transform and Dual-tree Discrete Wavelet Transform.
그림 8. 웨이브렛 변환의 주파수 대역과 부대역 영상의 방향성 Fig. 8. (a) Frequency tiling of 2-D DWT, (b) Fr e
quency tiling of 2-D DDWT, (c) Three wavelets of 2-D DWT, (d) six wavelets of 2-D DDWT
그림 8은 이산 웨이브렛 변환과 이중 트리 이산 웨이 브렛 변환의 방향 선택성을 나타낸 것이다. (a)는 2차원 이산 웨이브렛 변환의 주파수 대역을 나타낸 것으로 최 저주파수 LL은 가운데 위치하고 있으면 다음으로 LH와 HL 주파수 성분이 존재한다. LH는 수평방향의 성분이고 HL은 수직방향 성분이다. 그리고 고주파 성분이 HH는 대각 방향의 성분이 된다. 그리고 (c)는 (a)의 주파수 성 분을 부대역 영상으로 나타낸 것으로 수평(0), 수직(90), 대각(45)의 세 가지의 방향이 존재하는 것을 확인할 수
있다. (b)는 2차원 이중 트리 이산 웨이브렛 변환의 주파 수 대역을 나타낸 것으로 6가지의 주파수 대역이 존재하 는 것을 나타낸 것이다. (d)는 (b)를 부대역 영상으로 나 타낸 것으로 상단의 웨이브렛 변환과 하단의 웨이브렛 변환에서 각각의 세 가지 방향이 존재하여서 결국 ±15,
±45, ±75도의 6개의 방향 성분이 존재하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 이중 트리 이산 웨이브렛 변환은 이산 웨이브렛 변환보다 방향에 대한 선택도가 뛰어남을 알 수 있다[5].
Ⅴ. 방향 선택성을 향상한 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환
이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 이동 불변성을 거의 만족하면서 고속으로 간단하게 실행될 수 있다는 장점을 갖는다. 그러나 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 비교해 서 볼 때 방향성분의 선택성이 부족하다. 그래서 본 논문 에서는 방향성분을 향상키는 방법을 제안하였다.
5.1 Quincunx 표본화의 개념
2차원 비분리(non separable) 이산 웨이브렛 변환에서 사용되는 quincunx 표본화 기법은 수평과 수직 방향이외 에 대각선의 45도 방향을 추가해서 필터를 처리할 수 있 게 하는 방법이다.
n1
n2
그림 9. Quincunx 표본화 격자 Fig. 9. Quincunx sampling lattice
그림 9는 quincunx 격자를 나타낸 것으로 남아 있는 화소 또는 버려진 빈 화소의 형태가 모두 마름모꼴이 된 다. 그리고 남겨진 화소의 개수는 일반 이산 웨이브렛 변 환의 분리 처리 과정보다는 많은 것을 확인할 수 있다.
그런데 표본화 과정에서 남겨지는 화소와 버려지는 화소
를 선택하는 작업은 분리 처리와 다르게 쉽게 처리가 되 지 않는다[10].
quincunx 표본화 기법은 영상의 기하학처리 방법에서 영상을 특정한 각도 θ만큼 회전시키는 영상의 회전 (rotation) 기술을 통해서 구현된다. 영상의 회전식은 다 음의 식(4)와 같이 정의 된다.
(4)
여기서, 와 는 회전이 일어나기전의 영상 화소의 좌표가 된다. 그리고 와 는 영상 화소들 이 회전된 후의 좌표를 나타낸다. 회전하는 각도 θ가 45 도라고 하면 식(4)는 다음과 같이 간단해질 수 있다. 그리 고 식(5)에 의해서 디지털 영상은 반 시계방향으로 45도 회전하게 된다[7, 8, 9]
.
(5)
결과적으로 시계방향으로 45도 회전하는 것은 데이터 를 삭제하는 과정으로 Quincunx 표본화 과정과 동일한 결과를 얻게 된다. 따라서 quincunx 표본화는 디지털 영 상을 45도 회전시켜서 수행이 된다. quincunx 표본화 행 렬은 식(6)과 같다.
(6)
5.2 3방향 분리 처리를 수행하는 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 제안
Quincunx 표본화를 채택한 이산 웨이브렛 변환은 기 존의 2차원 분리 이산 웨이브렛 변환과 마찬가지로 주파 수 대역 분할 특성과 완전 재생의 특징은 그대로 유지된 다. 그림 10은 quincunx 표본화를 채택한 이산 웨이브렛 변환의 3단계 과정을 나타낸 것이다. 2차원 분리 이산 웨 이브렛 변환과 다르게 특정 방향에 대한 처리 과정이 없 이 처리가 되지만, quincunx 표본화에 의해서 영상이 회 전하므로 여러 방향으로 처리가 가능하다. 여기서, 표본화 과정을 D는 식 (6)의 45도 회전 행렬을 나타낸다[7, 8, 10]
.
H0
H1 D
D H0
H1 D
D H0
H1 D
D a1
c1
c2
c3 a2
a3
그림 10. Quincunx 표본화를 채택한 3단계 이산 웨이브렛 변환
Fig. 10. Non-Separable Wavelet Transform with Dyadic Tree Structure.
그림 11. 제안한 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 Fig. 11. Proposed Double Density DWT
Quincunx 행렬이 영상을 45도씩 회전하므로 필터뱅 크에서 필터가 처리하는 영상의 방향은 수평, 대각, 그리 고 수직의 순으로 분리되어 처리한다고 생각할 수 있다.
따라서 기존의 수평과 수직 방향으로 분리해서 처리하던 개념에서 대각 방향의 처리가 증가하였다고 할 수 있다.
즉, 3방향의 분리 처리가 가능하다는 것이다. 이 방법을 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환에 적용하면 그림 11과 같 은 처리 과정을 얻을 수 있다. 첫 번째 단계에서는 각 3개
의 대역에서 수평방향으로 필터링과 표본화가 수행된다.
그리고 두 번째 단계에서는 45도 대각 방향으로 필터링 되고 표본화가 수행된다. 마지막으로 세 번째 단계에서 는 수직방향으로 필터링되고 표본화가 된다. 그림 5와 비 교했을 때, 2 방향의 분리에서는 9개의 부대역만 생성되 었지만, 제안된 방법에서는 얻어지는 부대역 영상들이 27 개가 생성되어서 이에 따른 방향의 선택도가 폭 넓어지 게 된다. 결과적으로 이동 불변성의 특징은 물론이고, 세 개의 FIR 필터를 가지고 간단하면서 고속으로 처리가 가 능하지만 많은 방향성을 생성할 수 있는 변환이 된다.
Ⅵ. 제안된 방법에 대한 성능 실험
본 논문에서 제안된 방법의 성능을 테스트하기 위해 서 8비트 256 단계의 회색조(gray)영상을 사용하였다. 그 리고 실험 영상의 크기는 256 × 256 또는 512 × 512를 선택적으로 사용하였다. 실험 성능을 정량적으로 평가하 기 위해 식(6)으로 정의되는 첨두 신호대 잡음비(Peak Signal to Noise Ratio)를 사용하였다.
(7)
MSE(Mean Square Error)는 평균제곱 오차이다[8].
(a) Lenna
(b) Peppers
(c) Stone
(d) Barbara 그림 12. 성능 평가를 위한 실험 영상 Fig. 12. Test Image for Experiment
그림 12는 본 논문에서 사용한 실험 영상을 나타낸 것 으로 (a)와 (b) 영상의 크기는 256 × 256이고 (c)와 (d)의
영상 크기는 512 × 512이다. 그리고 영상의 특성을 고려 하여 선택하였다.
그림 13. 제안된 방법으로 생성된 부대역 영상
Fig. 13. Generated Sub-band Images Using Pro posed Methods
그림 13은 제안된 방법으로 수행된 결과로 1레벨에서 생성된 27개의 부대역 영상중에서 최저주파에서 생성된 9개의 영상만 제시하였다. 왼쪽 3개의 부대역 영상들은 수평 방향으로 필터링되고 45도 회전되어 다운 표본화된 영상이다. 중간의 부대역 영상은 대각선으로 필터링되고 총 90도 회전되며 다운 표본화된 영상이다. 마지막 세 개 의 부대역 영상은 수직 방향으로 필터링되고 총 135도 회 전하면서 다운 표본화된 영상이다. 나머지 고주파 영역 에서도 동일한 수행과정을 거쳐서 18개의 부영상이 얻어 진다.
6.1 완전재생 실험
웨이브렛 변환은 기본적으로 완전재생을 만족하여야 만 한다. 따라서 제안된 방법으로 복원된 영상이 원 영상 과 동일한 지를 PSNR를 가지고 확인하였다. 또한 다른 웨이브렛의 완전재생 성능과 비교를 수행하였다. 표 1은 실험영상들에 대한 이산 웨이브렛 변환(DWT)[11], 이중 트리 이산 웨이브렛 변환(DTDWT), 이중 밀도 이산 웨 이브렛 변환(DDDWT), 그리고 제안된 방법을 1~5단계까 지 수행하고 역변환을 통해서 복원했을 때의 복원된 영 상의 PSNR을 나타낸 것이다.
표 1. 웨이브렛 변환에 대한 완전 재생 실험
Table 1. Perfect Reconstruction Experiment for Wavelet Transform
실험 영상 DWT DTDWT DDDWT Proposed
Lenna (256*256)
1단계 267.6040 267.5785 277.2506 273.8504 2단계 261.6922 153.6794 271.3427 268.1427 3단계 258.2983 147.7735 267.9322 265.0194 4단계 255.9178 144.3686 265.5600 263.2233 5단계 254.0834 141.9789 263.7561 262.3717
Peppers (256*256)
1단계 267.5203 267.4935 277.1950 273.8356 2단계 261.5803 153.5646 271.2528 268.0970 3단계 258.1550 147.6311 267.8156 264.9439 4단계 255.7546 144.2032 265.4115 263.1221 5단계 253.8952 141.7885 263.5728 262.2145
Stone (512*512)
1단계 267.4081 267.3823 277.1328 273.6551 2단계 261.4138 153.3993 271.1388 267.7387 3단계 257.9260 147.4093 267.6471 264.3540 4단계 255.4702 143.9271 265.1881 262.1991 5단계 253.5979 141.4882 263.3064 260.9242
Barbara (512*512)
1단계 267.4820 267.4564 277.1942 273.7517 2단계 261.5126 153.5004 271.2221 267.8630 3단계 258.0553 147.5365 267.7531 264.5447 4단계 255.6326 144.0841 265.3186 262.4226 5단계 253.7731 141.6612 263.4574 261.1634
실험 결과를 분석하여 보면 이중 트리 이산 웨이브렛 변환이 제일 성능이 좋지 못하다. 그리고 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환이 제일 우수하다. 제안된 방법은 완전재 생을 잘 만족한다. 제안된 방법과 이중 트리 이산 웨이브 렛 변환은 많은 필터링과 표본화를 수행하므로 이상적이 지 못한 필터설계로 부터의 오차를 감안하여야 한다. 그 렇지만 간단한 필터뱅크 구조를 가진 제안된 방법은 성 능저하는 거의 없다고 할 수 있다.
6.2 선택적 방향성 실험
이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 이중 트리 이산 웨이 브렛 변환과 비교해서 방향성 선택이 부족한 단점을 가 지고 있다. 그러나 제안된 방법에서는 표본화 과정에서 다양한 방향성을 만들 수 있다.
그림 14와 그림 15는 이산 웨이브렛 변환과 이중 트리 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분을 실험한 것으로 이산 웨이브렛 변환에서는 수직방향, 수평방향, 대각선방향이
존재한다. 그리고 이중 트리 이산 웨이브렛 변환은 상단 실수부와 하단 허수부에 각각 수직방향, 수평방향, 대각선 방향이 존재하는 하므로 모두 6개의 방향성분을 갖는다.
그림 14. 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분
Fig. 14. Directional Component of Discrete Wa v elet Transform
그림 15. 이중 트리 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분 Fig. 15. Directional Component of Dual-Tree Dis
crete Wavelet Transform
그림 16은 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분 을 실험한 것으로 3개의 채널에서 2차원 처리를 통해서 모두 9개의 부대역 영상에서 6개의 방향성분을 갖는다.
그림 16. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분 Fig. 16. Directional Component of Double - D e
nsity Discrete Wavelet Transform
제안된 방법에 대한 방향 성분은 각 단계마다 영상이 회전하면서 방향 성분이 새롭게 생겨나므로 그 조합이 다양하다. 그림 17은 1단계 수행으로 생성된 27개의 부대 역에서 얻어진 18개의 방향성분을 나타낸 것이다.
그림 17. 제안된 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분 Fig. 17. Directional Component of Proposed Disc
rete Wavelet Transform
6.3 잡음 제거 실험
이중 밀도 이산 웨이브렛 변환이 가장 대표적으로 응 용되는 분야가 잡음 제거 기술이다. 본 논문에서는 잡음 이 포함된 디지털 영상에 웨이브렛 변환들의 수행하고 생성된 부대역에 임계값 처리 기법을 적용하여 잡음을 제거한 다음 복원한 영상의 성능을 평가하는 실험을 수 행하였다[12]. 그림 18은 실험 영상들에 대한 잡음 제거 실 험 결과를 나타낸 것이다. 임계값을 0부터 70까지 변경하 면서 이에 따라 잡음이 제거된 영상의 PSNR를 그래프로 나타내었다. 첨가된 잡음은 20배의 균일 랜덤 잡음을 사 용하였다. (a)는 Lenna 영상에 대한 결과이다. (b), (c), (d)는 Peppers, Stone, Barbara에 대한 각각의 결과를 나 타낸 것이다. 모든 실험 결과에서 제안된 방법이 우수한 것을 확인할 수 있다.
0 10 20 30 40 50 60 70 14
15 16 17 18 19 20
21 Lenna Image
Threshold Point
PSNR
Standard 2-D Dual-Tree 2-D Double-Density 2-D Proposed Method
(a) Lenna 잡음영상에 대한 잡음제거 결과
0 10 20 30 40 50 60 70
16 17 18 19 20 21 22
23 Peppers Image
Threshold Point
PSNR
Standard 2-D Dual-Tree 2-D Double-Density 2-D Proposed Method
(b) Peppers 잡음영상에 대한 잡음제거 결과
0 10 20 30 40 50 60 70
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 Stone Image
Threshold Point
PSNR
Standard 2-D Dual-Tree 2-D Double-Density 2-D Proposed Method
(C) Stone 잡음영상에 대한 잡음제거 결과
0 10 20 30 40 50 60 70
15 16 17 18 19 20 21
22 Barbara Image
Threshold Point
PSNR
Standard 2-D Dual-Tree 2-D Double-Density 2-D Proposed Method
(d) Barbara 잡음영상에 대한 잡음제거 결과
그림 18. 실험 영상에 대한 잡음제거 성능
Fig. 18. Nosing Rejection Performance of Expe r iment Image
그림 19는 10배의 균일 랜덤 잡음이 첨가된 256×256 의 Lenna 영상과 20배의 균일 랜덤 잡음이 첨가된 512× 512의 Barbara 영상을 나타낸 것이다.
그림 19. 잡음이 첨가된 실험 영상 Fig. 19. Noisy Experiment Image
그리고 그림 20과 21은 Lenna 영상과 Barbara 영상을 네 가지 방법으로 그림 19의 잡음 영상에서 잡음을 제거 한 결과영상을 나타낸 것이다. 그림 20에서는 임계값은 6 으로 설정되었고, 잡음이 제거된 영상의 PSNR을 비교하 면 DWT는 23.28 dB이고 DTDWT는 24.03 dB이다. 그리 고 DDDWT는 23.95 dB이고 제안된 방법은 24.28 dB이 다. 따라서 제안된 방법이 수치적으로 가장 우수하다. 그 림 21에서는 임계값은 13으로 설정되었고, 잡음이 제거 된 영상의 PSNR을 비교하면 DWT는 19.66 dB이고 DTDWT는 21.08 dB이다. 그리고 DDDWT는 20.85 dB 이고 제안된 방법은 21.23 dB이다. 마찬가지로 제안된 방 법이 수치적으로 가장 우수하다.
(a) DWT방법 (b) DTWT 방법 (a) DWT Method (b) DTWT Method
(C) DDDWT방법 (d) 제안한 방법 (c) DDDWT Method (d) Proposed Method 그림 20. 잡음이 제거된 Lenna 영상들
Fig. 20. Denoising Lenna images
(a) DWT방법 (a) DWT Method
(b) DTWT 방법 (b) DTWT Method
(c) DDDWT방법 (c) DDDWT Method
(d) 제안한 방법 (d) Proposed Method 그림 21. 잡음이 제거된 Barbara 영상들 Fig. 21. Denoising Barbara images
Ⅶ. 결 론
이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 표본화의 양을 기존 의 정교화 표본 이산 웨이브렛 변환의 2배로 증가시켜서 이동불변의 성질을 만족시킨 변환이다. 이 변환은 비압 축 표본 방식과는 다르게 레벨의 증가에 따라서 표본의 양이 증가하지 않고 독립적인 특징을 갖는다. 그리고 이 변환을 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 비교하면, 거의 유사한 특징을 갖는다. 그러나 2차원 변환에서는 이중 트 리 이산 웨이브렛 보다 방향성이 부족하여서 효과적인 영상처리의 단점이 된다. 한편, 첫 번째와 두 번째의 단계 에서 서론 다른 필터를 사용해야만 하는 이중 트리 이산 웨이브렛 변환은 모두 8개의 필터 설계가 필요하다. 그래 서 처리되는 복잡도가 아주 높다고 할 수 있다. 반면 이 중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 필터 뱅크는 3개의 채널을 위한 3개의 FIR 필터만이 사용된다. 따라서 간단하면서 고속으로 웨이브렛 변환을 수행할 수 있다. 결과적으로 본 논문에서는 quincunx 표본화를 이용하여 이중 밀도 이산 웨이브렛의 방향의 선택성을 증가시키는 방법을 제 안하였다. 기존의 웨이브렛 변환은 90도씩 분리해서 2번 의 필터 처리하지만 제안된 변환에서는 quincunx 표본화 의 동작이 영상을 45도씩 회전하면서 표본을 수행하는 것에 착안하여 45도씩 분리해서 3번의 필터 처리를 수행
하게 하였다. 그 결과 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변 환의 방향 선택성을 증가시킬 수 있었다. 실험을 통해서 제안된 방법이 완전재생을 만족하고 다른 웨이브렛 변환 보다 그 성능도 우수하다는 것을 확인하였다. 또한 1단계 에서 27개의 부대역 영상으로부터 18개의 방향성분이 존 재하는 것을 확인할 수 있다. 그리고 잡음 제거 실험에서 여러 다른 웨이브렛 변환 보다 잡은 제거 성능이 우수하 다는 것을 증명하였다. 결과적으로 제안된 이중 밀도 이 산 웨이브렛 변환은 이동 불변의 특성을 근사적으로 만 족하며, 이중 트리 이산 웨이브렛 보다 많은 방향 선택을 갖는다. 그러나 세 종류만의 FIR 필터를 사용하기 때문 에 간단하면서도 고속의 변환을 수행할 수 있다.
참 고 문 헌
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※ 본 논문은 2010년도 홍익대학교 학술연구진흥비에 의하여 지원되었음.
저자 소개
임 중 희(준회원)
∙2001년 2월 : 홍익대학교 전자 전기 컴퓨터공학부공학사
∙2009년 2월 : 홍익대학교 전자 전산공 학과 공학석사
∙2011년 2월 : 홍익대학교 전자 전산공 학과 박사과정 수료
<주관심분야 : 3D Image Processing, Multimedia Signal Processing>
지 인 호(정회원)
∙1980년 2월 : 서울대학교 전자 공학과 공학사
∙1983년 8월 : 서울대학교 전자 공학과 공학석사
∙1995년 6월 : Polytechnic Insti tute of New York University, USA 전기 및 컴퓨터공학과 공학박사
∙1982년∼1988년 : 국방과학연구소 선임연구원
∙2004년∼2005년 : University of Maryland at College Park, USA, 연구교수
∙1995년∼현재 : 홍익대학교 컴퓨터정보통신 공학과 정교수
<주관심분야 : CDMA/OFDM, 3D Image Pro cessing, Multimedia Security, Multimedia Signal Processing>
신 종 홍(정회원)
∙1997년 2월 : 홍익대학교 전자 전기공 학과 공학사
∙1999년 2월 : 홍익대학교 전자 전기공 학과 공학석사
∙2002년 8월 : 홍익대학교 전자 전기공 학과 공학박사
∙2003년∼현재 : 한국사이버대학교 정 보보안학과 부교수
<주관심분야 : 3D Image Processing, Multimedia Security, Multimedia Signal Processing>
enhancement of digital image performance using dual tree wavelet transformation in non-separable image processing," The Journal of The Institute od Webcasting, Internet and Telecommunication, Vo.
12, No. 1, Feb. 2012.
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