유한요소 해석을 이용한 초음파원자현미경 캔틸레버의 접촉 공진주파수 특성 분석
이주민a, 한유하b, 곽동열c, 박익근c*Analysis of Contact Resonance Frequency Characteristics for Cantilever of Ultrasonic-AFM Using Finite Element Method
Joo Min Leea, You Ha Hanb, Dong Ryul Kwakc, Ik Keun Parkc*
a Graduate School of Energy & Environment, Seoul Nat'l Univ. of Science & Technology, 232, Gongneung-ro, Nowon-gu, Seoul 139-743, Korea
b Korea Gas Technology Corporation, 1227, Daedeok-daero, Yuseong-Gu, Daejeon 305-506, Korea
c Dept. of Mechanical & Automotive Engineering, Seoul Nat’l Univ. of Science & Technology, 232, Gongneung-ro, Nowon-gu, Seoul 139-743, Korea
ARTICLE INFO ABSTRACT
Article history: Ultrasonic atomic force microscopy(Ultrasonic-AFM) can be used to obtain images of the elastic properties of a subsurface and to evaluate the elastic properties by measuring the contact resonance frequency. When a tip is in contact with the sample, it is necessary to understand the cantilever behavior and the tip-sample interaction for the quantitative and reliable analysis. Therefore, precise analysis models that can accurately simulate the tip-sample contact arerequired; these can serve as good references for predicting the contact resonance frequency. In this study, modal analyses of the first four modes were performed to calculate the contact resonance frequency by using a spring model, and the deformed shapes of the cantilever were visualized at each mode. We presented the contact characteristics of the cantilever with a variety of contact conditions by applying the contact area, contact material thickness, and material properties as the parameters for the FEM analysis.
Received 5 August 2014 Revised 15 September 2014 Accepted 7 October 2014
Keywords:
Ultrasonic Atomic Force Microscopy Finite element method
Contact resonance frequency Cantilever
Contact stiffness
* Corresponding author. Tel.: +82-2-970-6332 Fax: +82-2-977-6332
E-mail address: ikpark@seoultech.ac.kr (Ik Keun Park).
1. 서 론
최근 부품 소재의 소형화로 인해 반도체, MEMS 공정, 디스플 레이등의 다양한 산업분야에서 나노 수준의 재료 물성 측정에 관 한 연구가 광범위하게 이루어지고 있다[1-3]. 특히, 기존의 광학현 미경의 측정 범위의 한계를 벗어나고자 나노미터 레벨의 분해능 을 갖는 정밀 측정이 가능한 원자현미경의 필요성이 증가되고 있 다[4]. 초음파원자현미경(Ultrasonic Atomic Force Microscopy;
Ultrasonic-AFM)은 원자현미경을 기반으로 하여 초음파 영역의 고주파수로 가진되는 캔틸 레버 끝단의 팁을 시험편에 접촉시켜 팁과 시험편 사이에서 발생되는 상호작용을 통해 시험편의 탄성 특성을 정밀도 높게 측정하고 이를 이미지화 할 수 있는 장비이다.
초음파원자현미경의 캔틸레버 팁과 시험편 사이가 아주 미세한 거리로 가까워지면 원자간에 상호 작용력이 발생하게 된다. 공진 하는 캔틸레버 팁을 시험편에 접촉시키면 캔틸레버의 접촉 공진 주파수가 발생되며, 접촉된 재료의 특성에 따라 접촉 공진주파수
Fig. 1 Schematic diagram of a rectangular cantilever in contact with a sample surface
의 진폭과 위상의 변화를 측정한다. 따라서 캔틸레버 팁과 시험편 의 접촉-진동 해석을 통해 접촉 공진주파수의 특성을 분석함으로 써 나노 스케일 박막 시스템에서 박막의 탄성 특성을 보다 정밀도 높게 측정하고 평가할 수 있다[5]. 또한 현재 박막의 특성 평가를 위해 사용되고 있는 파괴적인 기법과는 달리 초음파원자현미경을 이용한 연구는 비파괴적인 기법으로 재료의 손상 없이 나노 스케 일 박막의 두께 및 탄성 특성 평가를 가능하게 할 수 있다. 하지만 초음파원자현미경의 측정 기술을 한 차원 향상시키고 높은 정밀도 를 갖는 고분해능 분석이 가능하도록 하려면 초음파원자현미경 장 비 및 결과 데이터의 신뢰성 확보가 반드시 필요하다. 유한요소법 (finite element method; FEM)을 이용한 마이크로 캔틸레버의 역학적 거동에 관한 연구로 Louarn[6,7]등은 마이크로 캔틸레버의 형상에 따른 공진주파수의 차이를 이론적으로 모델링하였으며, Yamanaka[8,9]등은 고차모드에서 캔틸레버의 거동 및 주파수특 성과 접촉 공진특성을 분석하였다. 이러한 연구는 다양한 관점에 서의 캔틸레버의 공진특성을 이해하는데 도움이 되지만 실제 초 음파원자현미경 장비에 사용되는 캔틸레버와 접촉 시험편에 대한 조건이 다르기 때문에 각각의 경우에 따라 적용이 가능하며 접촉 공진주파수를 예측할 수 있는 유한요소해석 데이터가 반드시 필 요하다. 본 연구에서는 초음파원자현미경 장비 및 결과의 신뢰성 확보를 위해 접촉 공진주파수에 영향을 미치는 요소로 캔틸레버 의 팁과 시험편의 접촉 면적, 접촉 시험편의 두께 및 탄성 특성을 변수로 설정하였고 유한요소 해석을 통해 접촉 공진주파수의 특 성을 분석하였다.
2. 이론적 접촉 모델
초음파원자현미경의 캔틸레버의 팁이 시험편 표면에 접촉하면 팁과 시험편의 표면 사이에서 작용하는 상호 작용력에 따라 민감한 공진 반응이 나타난다. 이때, 팁의 거동은 Fig. 1과 같이 스프링 상수 로 표현되는 스프링 접촉 모델로 나타낼 수 있다. 균일한 단면적을 갖는 빔의 경우, 초기변형에 의한 응답변위는 로 주어지고 횡방향의 진동방정식은 Eq. (1)과 같다[10,11].
(1)
여기서 E는 캔틸레버의 탄성계수, 는 밀도, A는 단면적, I는 캔 틸레버 관성모멘트, y(x)는 길이 x에서 평균 위치로부터의 변위, k*는 접촉강성, k는 캔틸레버의 강성계수이다. 스프링 결합 시스템 에서 캔틸레버의 지지부와 팁이 접촉 위치에서의 경계조건은 Eq.
(2)와 같이 나타낼 수 있고, 이러한 경계조건을 적용하면 Eq. (3)과 같이 캔틸레버의 특성방정식을 얻을 수 있다.
, (2)
(3)
특성방정식 Eq. (3)에서 은 캔틸레버 특성방정식의 n차 모드 에 대한 해를 나타내고 있고, 접촉 강성 는 Eqs. (4)와 (5)의 Herzian 접촉이론을 이용하여 계산될 수 있다[12]. 또한, 여기서 R 은 캔틸레버 팁의 접촉 반경, 는 접착력, , 는 각각 시험편 과 팁의 탄성계수 , 는 시험편과 팁의 푸아송 비를 나타낸다.
(4)
(5)
Eq. (4)에 의해 얻어진 접촉 강성 를 이용하여 값을 특성 방정식 Eq. (3)에 대입하면, 시험편과 캔틸레버가 접촉하였을 때의 특성방정식의 해 을 구할 수 있다. 이 때, Eq. (6)을 통해 캔틸레 버 정보를 포함되어 있는 캔틸레버 형상 계수 를 계산하고 특성 방정식의 해 을 Eq. (6)에 대입하면 접촉 공진주파수를 이론적 으로 계산할 수 있다[13].
(6)
(7)3. 캔틸레버의 접촉 공진주파수 시뮬레이션
초음파원자현미경의 캔틸레버 팁과 시험편 표면 사이의 접촉 역 학 관계를 고려하여 캔틸레버와 시험편 사이에서 발생되는 접촉
Table 1. Specifications of the cantilever Cantilever Material Single crystal silicon
Length [L] 226
Width [w] 26
Thickness [t] 3
Spring constant [k] 2.8 N/m2
Resonance frequency [fn] 79 kHz
Tip radius [R] 10
Elastic modulus [E] 131 GPa
Poisson’s ratio [] 0.27 -
Density [] 2,330
(a)
(b)
Fig. 2 Modeling and mesh of the cantilever; (a) design parameter, (b) mesh design
Table 2. Mechanical properties of contact material Contact Material Silica glass
Elastic modulus [E] 73.1 GPa
Poisson’s ratio [] 0.17 -
Density [] 2,203
Contact area [A] 1
(a)
(b)
(c)
Fig. 3 Boundary conditions for the simulation of the cantilever tip and sample contact
Table 3. Simulation result of contact resonance frequency when the cantilever is contact with Silica glass
Mode No. Contact resonance Frequency [kHz]
1st mode 387.29
2nd mode 1130.62
3rd mode 2285.77
4th mode 3847.62
공진주파수를 COMSOL Multiphysics 4.3[14]을 이용하여 시뮬레 이션을 하였고, 고유치해석(modal analysis)과 주파수응답을 통하 여 데이터를 분석하였다. 시뮬레이션에 사용된 캔틸레버의 재료는 단결정 실리콘 <100>이고 시뮬레이션에 사용된 캔틸레버의 구체 적인 설계치수와 형상정보는 Table 1과 같다. Mash는 Fig. 2와 같이 삼각형 형상의 타입으로 764개의 포인트와 2,234개의 질점 으로 이루어져 있다. 캔틸레버의 접촉 공진주파수를 시뮬레이션하 기 위하여 캔틸레버 팁과 시험편의 접촉은 0.5 (L) × 0.5 (W) × 1 (H) 크기의 직사각형 모양의 스프링으로 가정하였고 접촉 공진주파수 해석을 위한 구속조건으로는 Fig. 3과 같이 보의 끝단 부와 시험편 밑단을 고정하였다. 또한 캔틸레버의 구속 조건으로 양쪽 면은 상하진동만 가능하도록 구속하였고 캔틸레버의 휨 변형 방지를 위한 경계조건을 설정함으로써 캔틸레버의 비틀림 변형을 제한하였다. 캔틸레버의 팁과 접촉한 시험편은 Silica glass로 설정 하였고 Table 2에 캔틸레버 팁과 접촉된 시험편의 재료 물성치를
나타내었다.
초음파원자현미경 캔틸레버의 팁이 Silica glass 표면에 접촉하 였을 때의 접촉 공진주파수를 1차에서 4차 모드까지 시뮬레이션 하였고 결과 값을 Table 3에 나타내었다. 또한 캔틸레버가 Silica
(a) (b)
(c) (d)
Fig. 4 Simulation result of deformation images when the cantilever is in contact with Silica glass; (a) mode 1, (b) mode 2, (c) mode 3, (d) mode 4
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 5 Relationship between cantilever resonance frequency and contact area of Al thin film; (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4
glass 표면에 접촉하였을 때 각각의 모드에 따른 캔틸레버 형상 변 화를 Fig. 4와 같이 응력-변형률 이미지로 나타내어 각각의 모드에 서 캔틸레버의 형상 변화를 확인하였다.
4. 접촉 특성에 따른 캔틸레버 시뮬레이션
4.1 캔틸레버 팁의 접촉 면적에 따른 접촉 공진주파수특성 캔틸레버의 팁과 시험편 사이의 접촉 면적의 크기에 따른 공진 특성의 영향을 알아보기 위해 접촉 면적을 0.03 ~ 100 으로 설정하여 접촉 공진주파수의 변화를 시뮬레이션 하였다. 초음파 원자현미경 캔틸레버 팁과 시험편의 접촉 면적은 0.03 내외 이고[11]접촉 모델은 직사각형 형태의 스프링으로 가정하였다. 접 촉 재료는 알루미늄 박막으로 접촉 시험편의 두께는 1 로 일정 하게 하였으며 구속조건은 Fig. 3에서와 같이 바닥면을 고정하였 다. Fig. 5는 캔틸레버 팁이 알루미늄 박막 표면에 접촉하였을 때 1차 모드에서 4차 모드까지의 접촉면적에 따른 공진 주파수 변화 를 나타낸 그래프이다. x축의 접촉면적을 0.03~100 의 범위 에서 증가시켰을 때 y축의 접촉 공진주파수의 변화는 각각의 모드 별로 모두 같은 형태로 증가하는 경향을 나타내었고 이때, 접촉 공 진주파수의 1차 모드 변화폭은 357 kHz이고 4차 모드의 변화폭은 1,940 kHz로 나타났다. 접촉 공진주파수는 캔틸레버와 시험편 사 이의 접촉 면적이 작고 1차 모드보다 높은 고차모드를 이용할수록 더욱 민감한 변화를 관찰할 수 있다는 것을 확인하였다.
4.2 접촉 시험편의 두께에 따른 접촉 공진주파수 특성 나노 스케일의 박막으로 증착된 나노 구조의 박막 시스템에서는 증착된 박막 두께에 따라 기판이 미치는 영향으로 인하여 접촉 공 진주파수가 변화하게 된다. 캔틸레버 팁에 접촉한 시험편의 두께에
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 6 Relationship between cantilever contact resonance frequency and thickness of Al thin film; (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4
No. Materials Elastic modulus [GPa]
Poisson’s ratio
Density []
1 Nylon 2 0.4 1,150
2 PMMA 3 0.4 1,190
3 Aluminium 70 0.33 2,700
4 Silica glass 73.1 0.17 2,203
5 Copper 110 0.35 8,700
6 Silicon 131 0.27 2,330
7 Cast iron 140 0.25 7,000
8 Tungsten 360 0.22 3,965
9 Al2O3 400 0.27 17,800
10 Carbon nanotube 1,200 0.3 2,600
Table 4. Mechanical properties of contact materials for the tip- sample contact simulation
따라 접촉 공진주파수에 미치는 영향과 박막 두께에 따른 접촉 공 진주파수의 변화를 예측하기 위해 시험편의 두께에 따른 접촉 공진 주파수의 변화를 시뮬레이션 하였다. 접촉 시험편의 두께에 대한 영향만을 알아보기 위해 캔틸레버 팁에 접촉된 시험편의 재료는 알루미늄 박막으로 설정하고 캔틸레버와 시험편의 접촉면적은 4
로 고정 시킨 후 접촉된 시험편의 두께를 0.03~25 까지 변화시키며 시뮬레이션 하였다. Fig. 6은 알루미늄 박막의 두께에 따른 캔틸레버의 접촉 공진주파수를 해석한 결과를 1차 모드에서 4차 모드까지 그래프로 나타낸 것이다. 1차 모드에서 4차 모드까지 1 이하의 두께에서 접촉 공진주파수가 급격하게 감소하는 경 향[16]을 보이고 반면에 두께가 두꺼워질수록 공진주파수가 일정해 지는 것을 확인하였다.
3.4 접촉 시험편의 물리적 특성에 따른 접촉 공진주파수 특성 초음파원자현미경에서 캔틸레버와 접촉하는 재료의 물리적 특 성은 캔틸레버의 접촉 공진주파수에 영향을 미치는 요인이고 탄성 계수(Elastic modulus)는 앞 절의 Eq. (5)에서와 같이 캔틸레버의 접촉 공진주파수를 결정하는 가장 중요한 요소 중의 하나이다. 캔 틸레버 팁에 접촉한 시험편의 탄성계수의 차이에 따른 접촉 공진주 파수의 변화를 확인하기 위해서 표 4와 같이 10가지 종류의 재료의 물성 값들을 사용하여 캔틸레버의 접촉 공진주파수를 시뮬레이션 하였다. 이 때, 캔틸레버 팁과 재료의 접촉 면적은 4 , 캔틸레 버 팁과 접촉한 재료의 두께는 5 로 일정하게 유지하였다. 캔틸 레버 팁과 시험편의 접촉은 직사각형 형태의 스프링으로 가정하였 고 캔틸레버 팁과 접촉 재료의 구속조건은 앞서 적용한 Fig. 3과 동일하게 적용하였다. Fig. 7은 접촉된 재료의 물리적 특성에 따라 변화하는 접촉 공진주파수를 1차 모드에서 4차 모드까지 그래프로 나타낸 것이다. 접촉된 재료의 물리적 특성 중에 접촉 공진주파수
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 7 Relationship between cantilever contact resonance frequency and elastic modulus of contact materials; (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4
가 변화에 큰 영향을 미치는 변수는 탄성계수로 재료의 탄성 계수 가 증가할수록 접촉 공진주파수의 값이 증가하는 경향을 나타내었 다. 또한 재료의 탄성 특성이 접촉 공진주파수에 미치는 영향을 통 해 접촉 공진주파수에 따른 재료의 탄성 특성을 비교할 수 있음을 확인하였다.
4. 결 론
본 논문에서는 초음파원자현미경의 다양한 접촉 조건에 따라 변 화하는 접촉 공진주파수를 예측하고 결과 데이터의 신뢰성 확보를 위해 유한요소법을 이용하여 캔틸레버와 팁 사이에서 발생되는 접 촉 공진주파수의 특성을 분석하였다. 이를 위해, 1차 모드에서 4차 모드까지의 접촉 공진주파수를 시뮬레이션하여 각각의 모드에 대 한 캔틸레버의 모드 형상 변화를 확인하였고 캔틸레버의 팁과 시험 편의 접촉 면적, 접촉 시험편의 두께 및 물리적 특성에 따라 변화하 는 접촉 공진주파수의 특성을 분석하였다.
캔틸레버와 접촉시험편의 접촉 면적이 커질수록 접촉 공진주 파수와 민감도는 낮아지는 경향을 나타내었고 캔틸레버의 팁과 시험편의 접촉 면적을 작게 하고, 높은 차수의 캔틸레버 진동 모 드를 이용하는 것이 더욱 민감한 변화를 관찰할 수 있음을 확인하 였다.
또한 캔틸레버 팁과 접촉된 시험편의 두께가 1 이내의 구간 에서는 접촉 공진주파수가 급격하게 감소하는 경향을 나타내었다.
그러므로 접촉 면적과 재료의 탄성 특성이 동일한 경우 일정한 두 께 내에서는 접촉 공진주파수 변화를 이용하여 두께 측정이 가능함 을 확인하였다.
캔틸레버 팁에 접촉한 재료의 탄성 계수가 커질수록 접촉 공진주 파수도 같이 증가하였고 이는 재료의 물리적 특성이 접촉 공진주파 수에 미치는 영향과 접촉 공진주파수를 통하여 재료의 탄성 특성을 비교할 수 있음을 나타낸다.
이러한 결과는 초음파원자현미경의 접촉 공진주파수 특성을 이 용하여 나노 스케일 박막의 물리적 특성을 평가하는데 활용될 수 있다. 초음파원자현미경 장비에서는 접촉 면적에 대한 정량적인 측 정이 어렵지만 동일한 시험편에 대해서 캔틸레버에 가하는 힘을 일정하게 함으로써 두께에 따른 탄성 특성의 차이를 비교할 수 있 으며 재료의 탄성 특성이 다른 경우 동일한 두께의 박막에 대해서 는 접촉 공진주파수의 변화를 통해 상대적인 비교가 가능하다. 하 지만 접촉 면적과 두께 변화에 따른 탄성 특성의 변화를 동시에 고려하기 위해서는 추가적인 연구가 필요하며 본 논문에서 고려하 지 않은 비선형적인 요소를 포함한 캔틸레버의 비틀림과 휨 변형 및 3차원의 해석도 필요할 것이다.
후 기
이 논문은 서울과학기술대학교 교내 학술연구비 지원으로 수행 되었습니다.
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