Evaluation of Probabilistic Fatigue Crack Propagation Models in Mg-Al-Zn Alloys Under Maximum Load Conditions Using Residual of Random Variable

<학술논문> DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-A.2015.39.1.063 ISSN 1226-4873(Print) 2288-5226(Online)

최대하중조건에 따른 Mg-Al-Zn 합금의 확률변수 잔차를 이용한 확률론적 피로균열전파모델 평가

최 선 순^*†

* 삼육대학교 카메카트로닉스학과

Evaluation of Probabilistic Fatigue Crack Propagation Models in Mg-Al-Zn Alloys Under Maximum Load Conditions Using Residual of Random Variable

Seon Soon Choi ^*†

* Dept. of Car Mechatronics Engineering, Sahmyook Univ.

(Received August 26, 2014 ; Revised November 6, 2014 ; Accepted November 6, 2014)

- 기호설명 - a : 균열길이(mm)

N : 사이클

da/dN : 균열성장속도(m/cycle)

Δ

K : 응력확대계수범위(MPa√m)

Δ

_Ko : 초기응력확대계수범위(MPa√m) Kc : 파괴인성(MPa√m)

C : 균열성장속도계수 m : 균열성장속도지수 k : Walker 지수

R : 하중비(=P_max/P_min) Pmax : 최대하중(kN)

Pmin : 최소하중(kN) B : 시편두께(mm) Z : 확률변수 log Z : 잔차(residual)

log Z1

µ : 잔차 log Z₁의 평균

Key Words: Maximum Load(최대하중), Mg-Al-Zn Alloys(Mg-Al-Zn 합금), Probabilistic Fatigue Crack Propagation Model(확률론적 피로균열전파 모델), Random Variable(확률변수), Residual(잔차)

초록: 본 논문의 주 목적은 최대하중조건을 변화시키면서 확률변수의 잔차를 이용하여 확률론적 피로균 열전파모델들을 평가하고, Mg-Al-Zn 합금의 피로균열성장거동의 변동성을 묘사하기에 적합한 확률론적 모델을 제시하는 것이다. 평가에 사용된 모델은 피로균열성장의 변동성을 나타내기 위하여 실험적 피로 균열전파모델인 Paris-Erdogan 모델, Walker 모델, Forman 모델과 수정 Forman 모델에 확률변수를 도입한 모델이다. 최대하중조건에 따른 Mg-Al-Zn 합금의 피로균열전파거동의 확률적 변동성을 묘사하기에 적합 한 모델은 ‘확률론적 Paris-Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’임을 밝혔으며, 최대하중조건이 피로 균열성장의 확률적 변동성에 미치는 영향 또한 고찰하였다.

Abstract: The primary aim of this paper is to evaluate the probabilistic fatigue crack propagation models using the residual of a random variable and to present the probabilistic model fit for the probabilistic fatigue crack growth behavior in Mg-Al-Zn alloys under maximum load conditions. The models used in this study were prepared by applying a random variable to empirical fatigue crack propagation models such as the Paris-Erdogan model, Walker model, Forman model, and modified Forman model. It was verified that the good models for describing the stochastic variation of the fatigue crack propagation behavior in Mg-Al-Zn alloys under maximum load conditions were the

‘probabilistic Paris-Erdogan model’ and ‘probabilistic Walker model’. The influence of the maximum load conditions on the stochastic variation of fatigue crack growth is also considered.

† Corresponding Author, choiss@syu.ac.kr

Ⓒ 2015 The Korean Society of Mechanical Engineers

log Z1

σ : 잔차 log Z₁의 표준편차

( )z

f_Z : 확률밀도함수

( _i)

Z z

f_log log ₁

1 : 잔차 logZ1의 확률밀도함수 L( ) : 우도함수(likelihood function)

1. 서 론

마그네슘은 밀도가 1.783g/cm³로서 비중이 알루 미늄의 2/3, 철의 1/4 수준으로 상용금속 중에서 가장 가벼운 소재이다. 진동과 충격에 대한 특성 이 우수하며 전자파 차폐성과 기계가공성이 뛰어 나 차세대 금속으로 기대를 모으고 있다. 특히 비 강도와 비강성이 우수하고 경량성이 탁월하여 구 조용 소재로의 활용가치가 높아지고 있다.⁽¹⁾

마그네슘합금 중 단련용(wrought)합금은 우수한 기계적 성질을 이용하여 하중을 지지하는 곳에 사 용되고 있으며, 구조물의 경우 피로현상이 중대한 고려사항이 되므로 마그네슘합금의 피로특성 규명 이 필수적이다.⁽²⁾

Tokaji 등⁽³⁾은 AZ31 마그네슘합금의 피로균열전 파저항 특성에 관한 보고를 한 바 있으며, Zeng 등⁽⁴⁾은 하중주파수와 시효 열처리가 AZ61 마그네 슘합금의 피로균열전파거동에 미치는 영향을 보고 하였다. Ishihara 등⁽⁵⁾은 AZ31 합금에 대한 다양한 압출조건이 피로수명과 피로균열전파거동에 미치 는 영향을 보고하였으며, Sivapragash 등⁽⁶⁾은 2-파라 미터 Weibull 분포를 이용하여 통계적으로 피로수 명을 예측한 바 있다. 그러나 피로균열전파거동을 확률론적 변동성을 묘사할 수 있는 모델에 대한 연구는 거의 없는 실정이다. 최⁽⁷⁾는 시편두께조건 을 변화시키면서 실험과 통계적 해석을 통하여 마 그네슘합금의 확률론적 피로균열전파모델을 평가 한 바 있으나, 최대하중 효과에 따른 모델검토가 이루어지지 않았다.

따라서 본 연구에서는 최대하중조건에 따른 통 계적 피로실험과 확률변수의 잔차(residual)를 이용 한 통계적 해석을 통하여 마그네슘합금의 피로균 열전파거동의 확률적 변동성을 잘 묘사할 수 있는 모델을 최대하중조건에 따라 평가하여 적합한 확 률론적 피로균열전파모델을 제안하고자 한다.

2. 실험방법

피로균열전파실험에 사용된 재료는 상용 마그네 슘합금이며 화학적 조성과 기계적 성질은 Table 1, 2 와 같다. 실험시편은 폭(W)이 50.8mm 인 CT 형

Table 1 Chemical composition of magnesium alloy (wt, %)

Al Zn Si Mn Cu Fe Mg 3.29 0.95 0.04 0.31 0.003 0.01 Bal.

Table 2 Mechanical properties of magnesium alloy Yield strength

(MPa)

Tensile strength (MPa)

Elongation (%)

198.3 264.4 21.95

상으로 ASTM E647-00⁽⁸⁾에 따라 시편두께(B) 6.60mm, 하중비(R) 0.20 조건에서 최대하중(Pmax) 2.00kN, 2.25kN, 2.50kN 의 3 가지 조건에 대하여 각각 20 개씩 피로균열전파실험을 수행하여 통계적 피로균열성장 데이터를 획득하였다.

피로실험시편의 기계가공 노치부에 예리한 균열 선단을 만들기 위하여 예비균열을 만들었는데 , 예비균열이 노치선단으로부터 3.0mm 가 진전되었 을 때부터 사이클 수와 균열길이를 컴퓨터로 자동 계산하여 저장하였다. 균열길이는 CT 시편의 하중 작용선상의 균열열림 길이를 클립게이지로 측정하 여 컴플라이언스 기법(compliance technique)으로 계산하였다.

3. 확률론적 피로균열전파모델

최대하중조건을 변화시키면서 피로실험을 실시하여 획득한 균열성장곡선 중 대표적으로 최대하중 2.00kN 조건에서 20개의 a −N선도를 Fig. 1 에 나타내었다.

동일한 최대하중조건이지만 20개의 실험시편의 N

a − 선도들이 통계적 산포를 나타내고 있다. 또한 Fig. 2는 Fig. 1의 a −N 데이터를 da/dN−∆K선도로 나타낸 것인데, 균열전파 초기에 큰 변동성을 보였으며 중기와 말기로 갈수록 균열성장의 변동성이 완화되는 양상을 나타내었다.

Fig. 1과 Fig. 2에서처럼 20개의 시편 간에서 균열성장의 상당한 변동성을 보이므로 마그네슘합금 에서의 피로균열전파거동을 예측하기 위해서는 확률론적 피로균열전파모델이 필요하다고 사료된다.

따라서 본 연구에서 마그네슘합금의 피로균열성장의 변동성을 반영하기 위하여 균열전파거동의 실험적 모델인 Paris-Erdogan 모델, Walker 모델, Forman 모델, 그리고 수정 Forman 모델에 확률변수

Z

를 도입한 확률론적 피로균열전파모델⁽⁷⁾에 최대하중조건에서

Fig. 1 Fatigue crack growth curve (Pmax=2.00kN)

Fig. 2 Fatigue crack growth rate curve ( Pmax=2.00kN)

얻은 통계적 피로데이터를 적용하여 최대하중조건의 경우에 적합한 확률론적 모델을 평가하였다.

3.1 확률론적 모델

최대하중조건에서 피로균열성장의 변동성을

묘사할 수 있는 피로균열전파모델의 적합성을 평가하기 위하여 사용된 모델은 다음과 같다.

확률론적 Paris-Erdogan 모델

( )

¹

1 1

K

m

C dN Z

da = ∆

(1) 확률론적 Walker 모델

( ) ( )

^k

m

R K Z C

dN da

−

= ∆

1

2 2

2 (2) 확률론적 Forman 모델

(

R

( ) )

K K K Z C

dN da

c m

∆

−

−

= ∆ 1

3

3

3 (3) 확률론적 수정 Forman 모델

( )

(

R

)

K K K K Z C

dN da

c m o

∆

−

−

∆

−

= ∆ 1

4

4

4 (4)

여기서 Z 는 균열성장의 변동성을 나타내는 확률변수로서 평균이 1 이며 양의 값을 가지면서 로그정규분포를 따른다고 가정한다.⁽⁹⁾ 그리고 C 와

m 은 모델의 파라미터이다.

3.2 모델 파라미터 추정⁽⁷⁾

모델 파라미터 C 와 m 이 통계적 특성을 나타내므로 최우추정법(maximum likelihood method)을 사용하여 추정하였다.

확률론적 Paris-Erdogan 모델의 파라미터 C 과 ₁ m 을 구하기 위하여 식 (1)의 양변에 대수를 1

취한 후 다음과 같이 log Z 에 대하여 정리하면 ₁

K m dN C

Z da  − − ∆



 



= log  log log

log

_{1 1 1} (5) 여기서

log Z

₁은 잔차이며

Z

₁의 평균이 1 이라고 가정하였으므로

log Z

₁은 평균이 0 인 정규분포를

따르는 확률변수이다. 왜냐하면 확률변수가

로그정규분포를 따를 때 확률변수의 로그값은 정규분포를 따르기 때문에⁽⁹⁾ 로그정규분포를 따르는 확률변수

Z

₁ 의 로그 값

log Z

₁ 도 정규분포를 따르는 확률변수가 된다.

각 실험데이터 별로 식 (5)를 표시하면 다음과 같다.

n i

K m dN C

z da

_i

i

i

log log log , 1 , 2 , 3 , ,

log

₁

 −

₁

−

₁

∆ =

⋯



 



= 

또는

i

i

A m x

y

z

1i 1

log = − −

여기서 _{i i}

i

i A C x K

dN

y da = = ∆



 



=log , log ₁ , log 이다.

log Z1 이 정규분포를 따르는 확률변수이므로 잔차 log Z₁ 의 확률밀도함수는 다음 식으로 표현된다.

( ) { ( ) }











− − − −

= _{2 1 log} ²

log log

1

log 1

1 1

1 2

exp 1 2

log 1 _{i i Z}

Z Z

Z z y A mx

f i µ

σ π σ

(6) 여기서

µ

log Z1 과

σ

_{log Z1}은 각각 잔차 log Z 의 ₁ 평균과 표준편차이다.

잔차 log Z 의 평균이 0 이므로 확률밀도함수인 ₁ 식 (6)은 다음과 같이 정리된다.

( )

( )











− − −

= ₁ ²

2 log log

1 log

1 1

1 2

exp 1 2

log 1 _{i i}

Z Z

Z z y A mx

f _i

σ π σ

확률밀도함수의 우도함수(likelihood function)를 구하면

( )

∏

=

=

n

i

z

i

f L

1

log

1

( ) ( )











− − −

=

∑

= n

i

i i

Z n

n Z

x m A y L

1

2 2 1

log 2

/

log 1 2 1

exp 1 2 1

σ π

σ

이 되며,

A , m

₁의 최우추정값을 구하기 위하여 우도함수에 다음과 같이 적용하면

( ) _{= ⇒}

∂

∂ log 0 A

L ( ) ∑ ∑

=

=

 =









 +

n

i i n

i

i m y

x A n

1 1 1

(7)

( )

_{= ⇒}

∂

∂

log 0

m1

L

∑ ∑ ∑

=

=

=

 =









 +











 ⁿ

i i i n

i i n

i

i A x m xy

x

1 1 1

2

1

(8)

이 되며, 식 (7)과 식 (8)을 통하여 파라미터

A

^와 m 을 통계적으로 추정할 수 있는 식을 ₁ 다음과 같이 얻게 되었다.



 



 −

= ∑ ∑

=

=

n

i i

n

i yi m x

A n

1 1 1

1 (9)

2

1 1

2

1 1

1 1











−

−

=

∑

∑

∑ ∑

∑

=

=

= =

=

n

i i n

i i

n

i n

i i i n

i i i

x x

n

y x y x n

m (10)

확률론적 Walker 모델과 확률론적 Forman 모델 그리고 확률론적 수정 Forman 모델의 파라미터도 앞에서 기술한 것과 같은 방법으로 다음 식 (11)~(13)에 최우추정법을 각각 적용하여 추정하였다.

( R )

k K m

dN C

Z da  − − ∆ + −



 



= log  log log log 1

log

_{2 2 2}

(11)

( )

( )

C m K

dN K da K R

Z _c − − ∆







 



 



∆ 

−

−

=log 1 log log

log _{3 3 3}

(12)

( )

(

_c

)

C m

(

K K_o

)

dN K da K R

Z − − ∆ −∆







 



 



∆ 

−

−

=log 1 log log

log _{4 4 4}

(13)

4. 실험결과 및 통계해석

최대하중조건에서 확률론적 피로균열전파모델의 적합성을 평가하기 위하여 최대하중이 2.00kN, 2.25kN, 2.50kN 인 경우에 균열성장에 따른 잔차 logZ 를 Fig. 3~Fig. 5 와 같이 4 가지 확률론적 모델에 대하여 각각 나타내었다.

본 연구에서 최대하중 2.00kN, 2.25kN, 2.50kN 조 건과 하중비 0.20 조건으로 두께가 6.60mm CT 시

편 20 개에 대하여 반복 피로실험을 한 결과 피로 파손수명의 중앙값이 각각 30,755cycle, 22,720cycle, 15,715cycle 로 나타났다. 즉, 동일한 하중비와 시 편두께 조건에서 최대하중이 클수록 피로수명이 더 짧아진다는 것을 밝혀내었다. 이는 최대하중이 클수록 평균응력이 커지기 때문에 피로수명이 더 짧아지는 것으로 사료된다. 피로파손수명의 중앙 값을 사용한 것은 중앙순위법(median rank)에 의한 누적분포함수를 적용하였기 때문이다.

또한 공통적으로 균열전파 초기에 잔차

log

Z 의 변동성이 매우 심하게 나타났으며 균열이 전파될 수록 그 변동성이 작아지는 양상을 보였다. 이는 육방조밀결정구조를 가진 마그네슘합금의 특성 상 미소균열이 발생될 수 있는 슬립면을 입자당 단지 3 개를 가지고 있어서 균열전파 초기에 노치효과 를 일으키는 슬립밴드 형성이 어렵기 때문인 것으 로 사료된다.

Fig. 3은 최대하중이 2.00kN인 경우에 균열성장 에 따른 잔차의 내삽을 각 확률론적 모델 별로 나 타낸 것이다. 그림에서 알 수 있듯이 ‘확률론적 Paris-Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’에서 균열전파 초기에 0축선과

log

Z 의 평균위치가 크 게 편차를 보였으나 중기 이후부터 그 편차가 아 주 작게 나타났다. ‘확률론적 Forman 모델’은 균열 전파 중기에 양호한 편차를 보일 뿐 나머지 균열 전파 과정에서

log

Z의 평균위치가 0축선과 큰 편 차를 나타내었으며, ‘확률론적 수정 Forman 모델’

은 거의 모든 균열전파 과정에서 큰 편차를 보였 다. 그러므로 최대하중 2.00kN 경우에는 확률론적 피로균열전파모델로서 ‘확률론적 Paris-Erdogan 모 델’과 ‘확률론적 Walker 모델’이 적합한 것으로 사 료된다.

Fig. 4는 최대하중이 2.25kN인 경우에 잔차를 균 열성장에 따라 각 확률변수모델 별로 나타낸 것이 다. 그림에서 볼 수 있듯이 ‘확률론적 Forman 모 델’은 균열전파 초기에 잔차의 평균위치가 0축선 에 근접하였으나 말기에 0축선과의 편차가 크게 나타났으며, ‘확률론적 수정 Forman 모델’은 거의 전 과정에서 편차가 크게 나타났다. 반면에 ‘확률 론적 Paris-Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모 델’은

log

Z 산포가 0축선에 가깝게 위치하였다.

따라서 최대하중 2.25kN 조건에서도 ‘확률론적 Paris-Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’이 확률론적 모델로서 우수한 적합성을 보이는 것으 로 판단된다.

최대하중 2.50kN의 경우에 확률론적 피로거동에

(a) Paris-Erdogan model

(b) Walker model

(c) Forman model

(d) Modified Forman model

Fig. 3 Interpolation of residual logZ estimated by condition of maximum load 2.00kN

적합한 모델을 Fig. 5를 통하여 알 수 있는데, ‘확 률론적 Forman 모델’은 균열전파 초기에 잔차의 평균위치가 0축선에 근접하였으나 말기에 0축 선 과의 편차가 크게 나타났으며, ‘확률론적 수정

(a) Paris-Erdogan model

(b) Walker model

(c) Forman model

(d) Modified Forman model

Fig. 4 Residual logZ estimated by condition of maximum load 2.25kN

Forman 모델’은 중기에서 잔차의 평균위치가 0축 선 에서 편차가 많 이 발생 한 반면에 ‘확률론적 Paris-Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’은 균열전파의 전 과정에서 평균위치가 0축선에 매우 근접하였다. 그러므로 최대하중 2.50kN의 경우에

(a) Paris-Erdogan model

(b) Walker model

(c) Forman model

(d) Modified Forman model

Fig. 5 Residual logZ estimated by condition of maximum load 2.50kN

서도 ‘확률론적 Paris-Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’이 확률론적 피로균열전파모델로서 우수한 적합성을 보이는 것으로 사료된다.

따라서 Fig. 3~Fig. 5 의 결과를 종합해 볼 때 최대하중조건에서 피로균열전파거동의 변동성을

Table 3 Evaluation of goodness of probabilistic fatigue crack propagation model by Residual logZ Probabilistic model Pmax

2.00kN

Pmax 2.25kN

Pmax 2.50kN

Paris-Erdogan ○ ◎ ◎

Walker ○ ◎ ◎

Forman △ △ △

Modified-Forman X X △

◎ : Very good ○ : Good

△ : Fair X : Poor

묘사하기에 적합한 모델은 ‘확률론적 Paris- Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’이며, ‘확 률론적 Forman 모델’도 균열전파 초, 중기엔 양호 한 적합성을 보이는 것으로 판단된다. 또한 최대 하중이 작을수록 균열전파초기에 잔차의 변동성이 더 크게 나타났으며, 이는 최대하중이 작을수록 평균응력이 더 작으므로 마그네슘합금의 육방조밀 격자구조 특성 상 노치를 발생시킬 슬립밴드 형성 이 균열전파초기에 어려운데다 평균응력까지 더 작으므로 최대하중이 작을수록 균열전파의 변동성 이 더 크게 나타나는 것으로 사료된다.

Table 3 은 최대하중조건에서 각 확률론적 모델 의 적합도를 요약하여 제시하였는데, 적합도의 등 급을 분류할 때 균열전파의 전 과정에서 모델이 실험결과의 특성에 잘 일치하면서 변동성을 잘 예 측할 경우 Very good(표시기호 : ◎), 균열전파의 전 과정에서 모델이 실험결과의 변동성을 양호하 게 예측할 경우 Good(표시기호 : ○), 균열전파의 일부 과정에서만 모델이 실험결과의 변동성을 예 측할 경우 Fair(표시기호 : △), 모델이 실험결과의 특성과 변동성을 잘 예측하지 못할 경우 Poor(표 시기호 : ×)로 등급을 표시하였다.

5. 결 론

최대하중조건에서 Mg-Al-Zn 합금의 피로균열전 파 거동을 예측할 수 있는 확률론적 모델을 찾기 위하여 실험을 통하여 최대하중 조건에 따른 통계 적 피로데이터를 구한 후 4 가지 확률론적 피로모 델에 적용하였다. 각 모델의 적합성을 평가하기 위하여 확률변수모델의 잔차에 대한 통계적 해석 을 수행한 결과 다음과 같은 결론을 얻었다.

(1) 최대하중이 작을수록 확률변수의 잔차의 변동성이 커지는 경향을 나타내었으며, 이것은 Mg-Al-Zn 합금의 육방조밀결정구조 특성과

평균응력효과 때문인 것으로 사료된다.

(2) Mg-Al-Zn 합금의 확률적 피로균열전파거동을 묘사하기에 적합한 모델은 ‘확률론적 Paris- Erdogan 모델’과 ‘확률론적 Walker 모델’로 판단되며, ‘확률론적 Forman 모델’도 균열전파 중기까지 적용 가능할 것으로 판단된다.

후 기

본 논문은 삼육대학교 학술연구비 지원으로 수행되었으며, 한국마린엔지니어링학회 후기학술대회 발표논문⁽¹⁰⁾에 기초하였음.

참고문헌

(References)

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