sŒ Ÿ ¤M ] K ¡ù p § “ Ó Þ” X ¢ — ¤• ¤V ê s6 V R ËT  ] ØÊ Ý de SitterŒ Ÿ «‡ ˜ m

a ê

sŒ Ÿ ¤M  ] K ¡ù p §  “ Ó Þ” X ¢ — ¤• ¤V ê s6 V R ËT  ] ØÊ Ý de SitterŒ Ÿ «‡ ˜ m

T

4 w H ™ ¸

^∗

Ø



æ· ¡ ¤@ /† < Ɠ § Ó ü to † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763 (2008¸   4 Z 4 1{ 9  ~ à Î6 £ §)

Š

©

œ/ B G l  † < Æ`  ¦  6   x # Œ b ç  ïÚ ÔÛ ¼v  / B Nç ß –_  l  & h  : £ ¤$ í `  ¦ ƒ  ½ ¨ % i  . Š © œ/ B Gl  † < ÆÜ ¼– Ð & ñ _ ô  Ç

Š

©

œ/ B Gì ø Í â õ  Š © œ/ B Gy Œ •• ¸  H r / B Nç ß –_  ² D G™ è& h  l  ½ ¨› ¸\  ¦ ¸ ú ˜ [ O " î K ï  r . s \  ¦  6   x # Œ Lorentz   ¨ 8 Šõ  Bondi כ ¹™ è, Õ ªo “ ¦ { 9 & ñ >  5 Å q~ à ΍  H l ï  r> \  ¦ — ¸¿ º Š © œ/ B G/ B Nç ß –_  ý a³ ð  ¨ 8 ŠÜ ¼– Ð s K ô  Ç . de Sitter /

B

Nç ß –• ¸ s    › ' a& h \ " f s K ô  Ç .

PACS numbers: 03.03.+p

Keywords: Š©œ/BGl †<Æ, :£¤Ãº©œ@/$ís:r

I. " e  ] Ø

¾

»— : r_  ë ß –Ä »“  § 4 s  : r`  ¦  © œ@ / : r o ô  Ç { 9 ì ø Í © œ@ /$ í s  : r

“ É

r \  -t -Ó ü t| 9 \  _ K  r / B Nç ß –s  # Qb  G>  6 f# Qt   H 





H  כ Ü ¼– Ð [ O " î ô  Ç . 7 £ ¤ Ó ü t| 9 _  ” > rF  r / B Nç ß –_  l  † < Æ

&

h

 ½ ¨› ¸\  ¦   & ñ ô  Ç   H  כ Ü ¼– Ð ×  æ§ 4 s  : r`  ¦ s K ½ + É Ã º e ” 



. ô  Ǽ #  6 f# Q”   r / B Nç ß –• ¸ ² D G™ è& h Ü ¼– Ѝ  H ¨ î ¨ î ô  Ç r / B Nç ß – õ

 ° ú  “ ¦, ¢ ¸ ¨ î ¨ î ô  Ç r / B Nç ß –\   H : £ ¤Ã º © œ@ /$ í " é ¶o  & h 6   x

÷

&Ù ¼– Ð : £ ¤Ã º © œ@ /$ í s  : r_  l  & h  ½ ¨› ¸\  ¦ s K    H  כ “ É r Ó

ü

t| 9 \  _ K  6 f# Q”   r / B Nç ß –_  ² D G™ è& h “   $ í   `  ¦ s K  





HX < e ” # Q" f € 9 à º& h s  . ´ ú §“ É r  â Ä º,  © œ@ / : r_  l  & h  s  K

  H – ÐE $ ™Þ ÔÔ  ¦  $ í õ  s \   É r p ì  rl  † < Æ& h  # Œ Q $ í    [

þ

t`  ¦ › ¸  Ù ¼– Ð s À Ò# Qt   HX <, s   H  ™ è Æ Ò © œ& h “   €   s

 e ”  .

{ 9

 © œ_   â + « >\ " f  Ò'  e ” ¸ n qô  Ç Ä »9 þ to × ¼ / B Nç ß –\ " f Ô  ¦





_  U  ´s כ ¹™ è  H ds

²

= dx

²

“  X <, s  כ “ É r  r„  \  @ /ô  Ç

@

/g A$ í s  e ” “ ¦ Õ ª QÙ ¼– Ð ý a³ ð " é ¶& h \  ×  æd ” s  e ”   H ½ ¨  H

"

é

¶& h \  @ /ô  Ç  r„  \  @ /K  Ô  ¦  & h “   $ í   `  ¦ t “ ¦ e ”  .

ô



Ǽ #  : £ ¤Ã º © œ@ / : rs  & h 6   x÷ &  H / B Nç ß –“   b ç  ïÚ ÔÛ ¼v / B Nç ß –\ 

"

f Ô  ¦  “   U  ´s כ ¹™ è  H  ™ è { 9  © œ_   â + « >õ   H 1 l xb  # Q”   ds

²

= dt

²

−dx

²

“  X <, s  / B Nç ß –\ " f 1 l x1 p xô  Ç ý a³ ð> [ þ t\  @ / ô



Ç Ô  ¦  _   € ª œ^ ‰\  › ' aô  Ç ƒ  ½ ¨  H b ç  ïÚ ÔÛ ¼v / B Nç ß –_  l 

& h  ½ ¨› ¸\  ¦ ¸ ú ˜ s K  >  K  ×  ¦  כ s  .

‘ :

r  7 Hë  H\ " f  H, s  Qô  Ç › ' a& h \ " f, Š © œ/ B Gl  † < Æ`  ¦  6   x

# Œ Š © œ/ B G‚  _  ý a³ ð  ¨ 8 Š\  @ /ô  Ç Ô  ¦  $ í \  › ' aô  Ç ƒ  ½ ¨\  ¦ ]

j2] X \ " f  À Ò% 3  . Õ ªo “ ¦ b ç  ïÚ ÔÛ ¼v  / B Nç ß –\ " f_  Ô  ¦





 U  ´s ü < Ô  ¦  _  Š © œ/ B Gy Œ •• ¸\  › ' aô  Ç ƒ  ½ ¨  H ] j3] X \ " f  

∗E-mail: [email protected]

À

Ò% 3 Ü ¼ 9, Š © œ/ B Gy Œ •• ¸ü < Bondi-כ ¹™ è x 9  de Sitter / B Nç ß –\  › ' a ô



Ç ƒ  ½ ¨  H ] j4] X \ " f  À Ò% 3  . Õ ªo “ ¦    : r“ É r ] j5] X \ 

? /§ 4  .

II. a ê sŒ Ÿ ¤M  ] K ¡Ê Ý a ê sŒ Ÿ ¤ Ò Å8 ý ÷ s Ú
ì ÅV R Ë

Š

©

œ/ B Gl  † < Æ`  ¦ [1] ¶ ú ˜( R˜ Ðl  „  \  Ä »9 þ to × ¼/ B Nç ß –\ " f_ 

"

é

¶õ  " é ¶_   r„  \  @ /ô  Ç Ô  ¦  $ í `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð . s  " é ¶ Ä »9 þ t o

× ¼ / B Nç ß –\ " f ý a³ ð_  " é ¶& h \  ×  æd ” & h s  e ”   H ½ ¨, 7 £ ¤ " é ¶

“ É

r ý a³ ð_  " é ¶& h `  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð # Œ e ” _ _  y Œ •• ¸ θ– Ð  r„   K

• ¸ Õ ª — ¸€ ª œs     t  · ú §  H . 7 £ ¤

x = A cos φ (1)

y = A sin φ



 Ñ ü t M : x

²

+ y

²

  H φ \  Á º› ' aô  Ç A

²

s “ ¦, Õ ª QÙ ¼– Ð x

⁰

= A cos(φ − θ) (2) y

⁰

= A sin(φ − θ)



 ¿ º# Q• ¸ x

⁰²

+ y

⁰²

= A

²

s   ) a .

s

  â Ä º (2)\  ¦ „  > h €  

x

⁰

= cos θ x + sin θ y (3) y

⁰

= − sin θ x + cos θ y

s

 ÷ &  HX <, s  כ “ É r ô  Ç & h `  ¦ ¿ º > h_  1 l x1 p xô  Ç ý a³ ð> \ " f 8

£

¤& ñ ½ + É  â Ä º ý a³ ð° ú כs  # Qb  G>    ¨ 8 Š   H\  ¦ ˜ Ð# Œï  r .

s

] j s  Qô  Ç l ‘ : r& h “   l  † < Æ& h   z  ´`  ¦ l ‘ : r~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð

# Œ b ç  ïÚ ÔÛ ¼v  / B Nç ß –\ " f_  – ÐE $ ™Þ Ô Ô  ¦   € ª œ^ ‰ü < ý a³ ð

-36-

Θ Θ

x y

x’

y’

A Φ-Θ

Fig. 1. A circle of radius A in relatively rotated coor- dinate axes. It is invariant with respect to rotations of coordinates axes.

x X A

Θ Θ

Ψ Φ t

T

x-axis t-axis

X-axis T-axis

P

Q

O

Fig. 2. It represents projections of a point on a hyper- bolic curve into (x, t) and (x

⁰

, t

⁰

) axes. The Euclidean distance from the point to the origin is A.





¨ 8 Š`  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð . s \  ¦ 0 AK  Ä ºo  e ” ¸ n qô  Ç Ä »9 þ to × ¼/ B N ç

ß

–\ " f s  Qô  Ç $ í | 9 [ þ t`  ¦ › ¸ K  ˜ Г ¦, ¢ ¸ Ä »9 þ to × ¼ / B Nç ß –

`



¦ “ ¦| 9 ½ + É  â Ä º Ô  ¦¼ # ô  Ç & h “ É r Á º% Á “  t  · ú ˜ ˜ Ð .

Ä

º‚   f ” y Œ •ý a³ ð> \ " f à ºf ” » ¡ ¤`  ¦ t– Ð, à º¨ î » ¡ ¤`  ¦ x  ¿ º

“

¦ s  ý a³ ð> \ " f

x

²

− t

²

= ρ

²

(4)

–

Ð ³ ð‰ & ³÷ &# Qt   H Š © œ/ B G‚  s    É r ý a³ ð>  (x

⁰

, t

⁰

)\ " f• ¸ x

⁰²

− t

⁰²

= ρ

²

– Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H, Õ ª   (x

⁰

, t

⁰

) ý a³ ð> \  ¦ ½ ¨

$ í

K  ˜ Ð . s  כ “ É r  6 £ §õ  ° ú  s  # Œ ½ ¨$ í ½ + É Ã º e ”   HX <, Ä

º‚   X » ¡ ¤“ É r x » ¡ ¤`  ¦ y Œ •• ¸ θ ë ß –
p u t » ¡ ¤Ü ¼– Ð  r„  ô  Ç  כ s 



 “ ¦, T » ¡ ¤“ É r t » ¡ ¤`  ¦ θ ë ß –
p u x » ¡ ¤Ü ¼– Ð  r„  ô  Ç  כ s  

 . Õ ªo “ ¦ Š © œ/ B G‚   x

²

− t

²

= ρ

²

 © œ_  e ” _ _  & h  P_  0

Au  7 ˜' _  ß ¼l \  ¦ A, Õ ªo “ ¦ s  0 Au  7 ˜'  X » ¡ ¤õ  s  ê



r y Œ •• ¸\  ¦ φ    . Õ ªo “ ¦ s  0 Au  7 ˜'  T » ¡ ¤õ  s  ê



r y Œ •• ¸\  ¦ ψ   €  

x = A cos(θ + φ) (5)

t = A sin(θ + φ) (6)

“



X <, # Œl " f y Œ •• ¸[ þ t“ É r  6 £ §õ  ° ú  “ É r › ' a> \  ¦ ë ß –7 á ¤r †   .

2θ + φ + ψ = π

2 (7)

ô



Ǽ #  P& h `  ¦ X » ¡ ¤Ü ¼– Ð È Ò% ò ô  Ç X » ¡ ¤  © œ_  0 Au \  ¦ Q  Ñ

ü

tM :, ý a³ ð_  " é ¶& h  Oü < P& h , Õ ªo “ ¦ Q& h s  ë ß –Ž  H  Œ ™y Œ •+ þ A OPQ\  @ /K " f & ñ ‰ & ³Z O g Ë :`  ¦  6   x €  

X

sin ψ = T

sin φ = A

sin(φ + ψ) (8)

`



¦ % 3   H . s  d ” `  ¦  6   x # Œ X

²

− T

²

`  ¦ A– Ð ³ ðr ô  Ç Ê ê, (5)õ  (6)`  ¦ (4)\  @ /{ 9 ô  Ç d ” `  ¦  6   x # Œ A\  ¦ ρ– Ð ³ ð‰ & ³ 

€



 Š © œ/ B G‚  _  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

X

²

− T

²

= ρ

²

cos 2θ (9) s

 H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s ] j ý a³ ð (X, T )_  ' ‘ • ¸\  ¦ › ¸& ñ 

#

Œ

x

⁰

= √

cos 2θ X (10) t

⁰

= √

cos 2θ T (11) s

  & ñ _  €  

x

⁰²

− t

⁰²

= ρ

²

(12) s

 $ í w n ô  Ç . 7 £ ¤, Ä »9 þ to × ¼ / B Nç ß –\ " f Š © œ/ B G‚  “ É r x » ¡ ¤õ  t

»

¡

¤`  ¦ x = t ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ° ú  “ É r y Œ •• ¸ θ ë ß –
p u — ¸“ É r Ê ê, √ cos 2θ כ

¹™ è– Ð ' ‘ • ¸ › ¸& ñ `  ¦ ô  Ç ý a³ ð>  (x

⁰

, t

⁰

)\ " f Õ ª g 1 Js  Õ ª@ /

–

Ð Ä »t H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s X O >  U  ´s _  ' ‘ • ¸\  ¦ › ¸& ñ 





H  כ “ É r l ‘ : r& h Ü ¼– Ð  © œ@ / : r_  U  ´s  à º» ¡ ¤õ  › ' a>  e ”   H X

<,  Á º— É r Š © œ/ B G‚  _  Ô  ¦  `  ¦ ƒ  ½ ¨ l  0 Aô  Ç ý a³ ð>   H Ä » 9

þ

to × ¼& h  ý a³ ð>  > h¥ Æ `  ¦ 8 A# Q Å   H  כ Ü ¼– Ð s \  ¦ 0 AK " f





H 7 á §  8  Ä »Û ¼ Qî  r µ 1 Ï © œ_  „  ¨ 8 Šs  € 9 כ ¹  “ ¦  ’ x .

III. à S ˁ ¬ Ž­ ŽW  Œ Ÿ «‡ ˜ m; c" e8 ý ÷ s Ú
ì Å P c ly ¢

s

] j (x, t) ý a³ ð> \ " f x

²

− t

²

= ρ

²

\  ¦ ë ß –7 á ¤   H # Q‹ " 

Š

©

œ/ B G‚  `  ¦ ½ ¨$ í ô  Ç Ê ê, s  Š © œ/ B G‚  _  e ” _ _  & h  P\ " f Š © œ/ B G

‚



`  ¦    Ô  ¦  _  U  ´s  s ë ß –
p u t 
€   x-» ¡ ¤ © œ\  e ”   H

&

h

 Q\  • ¸² ú ˜ô  Ç “ ¦  . # Œl " f s  H Ó ü t : r

s = Z

_P

Q

ds (13)

Ρ J s t

x P

O Q

Fig. 3. It represents the hyperbolic angle ϑ, Lorentz invariant length ρ and arc length s.

ü

< ° ú  s  & ñ _  ÷ &  HX <, # Œl " f ds

²

= dt

²

− dx

²

s  . Õ ªo 

“

¦ x » ¡ ¤õ  P& h _  0 Au  7 ˜'   s _  Š © œ/ B Gy Œ •• ¸ ϑ\  ¦ – ÐE $ ™Þ Ô Ô



¦  | ¾ ӓ   ρü < s\  ¦  6   x # Œ ϑ = s

ρ (14)

ü

< ° ú  s  & ñ _  “ ¦, ρü < ϑ\  ¦  6   x # Œ xü < t\  ¦  6 £ §õ  ° ú   s

 & ñ _   .

x = ρ cosh ϑ (15)

t = ρ sinh ϑ (16)

s

 d ” _  _ p \  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ðl  0 A # Œ ¢ ¸   É r ý a³ ð» ¡ ¤`  ¦ Ò q t y

Œ

•K  ˜ Ð . Ä º‚   x » ¡ ¤`  ¦ Š © œ/ B Gy Œ • ϕ ë ß –
p u ì ø Ír >  ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð



r„  ô  Ç » ¡ ¤`  ¦ x

⁰

» ¡ ¤Ü ¼– Ð, Õ ªo “ ¦ t » ¡ ¤`  ¦ ϕ ë ß –
p u r >  ~ ½ ӆ ¾ Ó Ü

¼– Ð  r„  ô  Ç » ¡ ¤`  ¦ t

⁰

» ¡ ¤s    . Õ ªo “ ¦ ý a³ ð ¨ î €  \  e ” 





H ô  Ç & h  P x

⁰

-» ¡ ¤\  @ /K " f ϑ

⁰

ë ß –ô  Ç y Œ •• ¸– Ð " é ¶& h \ " f Ô



¦  U  ´s  ρ ë ß –
p u b  # Q4 R e ”  “ ¦  .

s

] j ϑ = ϑ

⁰

+ ϕ \  ¦ (15)õ  (16)\  @ /{ 9 ô  Ç Ê ê „  > h €   x = x

⁰

cosh ϕ + t

⁰

sinh ϕ (17) t = x

⁰

sinh ϕ + t

⁰

cosh ϕ (18)

\



¦ % 3   HX <, # Œl " f Ô  ¦  _  U  ´s  ρ  H ý a³ ð> \  Á º› ' a† < Ê

`



¦  6   x % i  . : £ ¤y  (17)\ " f t

⁰

= 0   ¿ º€   x = x

⁰

cosh ϕs  ÷ &  HX <, s  כ “ É r x

⁰

» ¡ ¤`  ¦ x » ¡ ¤Ü ¼– Ð È Ò% ò €   Õ

ª È Ò% ò  ) a $ í ì  rs  x

⁰

_  cosh ϕ C e ” `  ¦ ´ ú ˜K ï  r . 7 £ ¤ Ä »9 þ t o

× ¼ / B Nç ß –\ " f y Œ •• ¸ θ– Ð Z O # Q”  ¿  º » ¡ ¤\ " f È Ò% ò ½ + É M :  H Õ

ª È Ò% ò כ ¹™ è cos θs t ë ß –, Š © œ/ B Gl  \ " f  H È Ò% ò כ ¹™ è

cosh ϕe ” `  ¦ ´ ú ˜K ï  r . Õ ªo “ ¦ (15)õ  (16)  H y Œ •y Œ • P& h `  ¦

j

J' x-axis

x’-axis t-axis t’-axis

Ρ P

O

Fig. 4. The angle between the position vector of P and the x

⁰

-axis is ϑ

⁰

, and the angle between this vector and the x-axis is ϑ = ϑ

⁰

+ ϕ.

j

x=x'coshj x-axis x’-axis

t-axis t’-axis

Fig. 5. The hyperbolic angle ϕ is the angle for coordinate projection.

x » ¡ ¤õ  t » ¡ ¤Ü ¼– Ð È Ò% ò ô  Ç $ í ì  r`  ¦
 ? /  H d ” e ” `  ¦ ˜ Ð# Œï  r



. : £ ¤y  Ô  ¦  _  U  ´s כ ¹™ è ds

²

= dt

²

− dx

²

  H Š © œ/ B Gy Œ •• ¸ ü

< ì ø Í â `  ¦ æ ¼€  

ds

²

= ρ

²

dϑ

²

− dρ

²

(19) s

  ) a .

s

] j ¿ º ý a³ ð>  _ _  y Œ •• ¸ ϕ @ /’  \ 

β = tanh ϕ (20)

γ = cosh ϕ (21)

\



¦ & ñ _  # Œ (17)\  ¦ & ñ o K ˜ Ѐ  

x = γ(x

⁰

+ βt

⁰

) (22) t = γ(t

⁰

+ βx

⁰

) (23) s

 ÷ &  HX <, s   H Ó ü t : r ¸ ú ˜ · ú ˜ 9”   : £ ¤Ã º © œ@ / : r_    ¨ 8 Šd ” Ü ¼

–

Ð" f ⍠ H ¿ º › ' a$ í > _   © œ@ /& h  5 Å q§ 4 `  ¦
 Í Ç r`  ¦ · ú ˜ à º e ” 

Ρ J

s t

x ΓΡ

P

Q Ρ

Fig. 6. When a point on a hyperbolic curve with invari- ant length ρ is projected into the x-axis, its component becomes γρ.



.   ² D G Š © œ/ B Gl  † < Æ`  ¦  6   x €   – ÐE $ ™Þ ԁ  ¨ 8 Š“ É r Š © œ/ B G/ B N ç

ß

–\ " f Š © œ/ B G‚  `  ¦ Ô  ¦  Ü ¼– Ð   H ý a³ ð  ¨ 8 ŠÜ ¼– Ð ~ 1 >  [ O " î

½ +

É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð# Œï  r .

IV. a ê sŒ Ÿ ¤P c ly ¢Ñ ÷ Bondi ~ ¿} º

s

] j Š © œ/ B Gy Œ •• ¸_  Ó ü to & h “   _ p \  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð . s \  ¦ 0 A K

 x » ¡ ¤\ " f Š © œ/ B Gy Œ •• ¸ ϑ ë ß –
p u Z O  94 R e ” “ ¦, " é ¶& h \ " f ρ ë ß –

p

u b  # Q”   e ” _ _  & h  P\  ¦ Ò q ty Œ •K ˜ Ð . s  P\  ¦ t 
  H Š © œ /

B

G‚  s  x » ¡ ¤õ  ë ß –
  H & h `  ¦ Q  ½ + É M :, Q_  x ý a³ ð  H ρs 



. Õ ªo “ ¦ P& h `  ¦ x » ¡ ¤Ü ¼– Ð È Ò% ò ô  Ç $ í ì  r“ É r ρ cosh ϑ, 7 £ ¤ ργs   ) a . ô  Ǽ #  Q\ " f P\  ¦ t 
  H Š © œ/ B G‚  `  ¦    Qü <

P  s _    ñ_  U  ´s \  ¦ s  €   s  כ “ É r ds

²

= dt

²

− dx

²

\

" f Ò' 

s = Z

_γρ

ρ

dx sµ dt

dx

¶

₂

− 1

= Z

_γρ

ρ

dx r³ x

t

´

2

− 1

= ρ Z

_γρ

ρ

dx t s

  ) a . ô  Ǽ #  t = p

x

²

− ρ

²

\  ¦  À »d ” \  @ /{ 9  €  

s = ρ Z

_γρ

ρ

p dx x

²

− ρ

²

= ρ 2 log

µ 1 + β 1 − β

¶

= ρ log K (24)

\



¦ % 3   HX <, # Œl " f β = p

γ

²

− 1/γ s “ ¦ K  H

K = s

1 + β

1 − β (25)

–

Ð Å Ò# Qt   H ¿ º › ' a$ í >   s _  Bondi כ ¹™ ès   [2]. Õ ª Q Ù

¼– Ð Ô  ¦  _  Š © œ/ B Gy Œ • ϑ = s/ρ   H (24)\ " f Ò' 

ϑ = log K (26)

s

“ ¦,   ² D G Bondi כ ¹™ è  H

K = e

^ϑ

(27)

ü

< ° ú  s  Š © œ/ B Gy Œ •_  t à º† < Êà º– Ð Å Ò# Q”   .

s

] j de Sitter/ B Nç ß – [3]- [8]õ _  › ' a> \  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 AK  {

9

& ñ >  5 Å q~ à ΍  H ý a³ ð> \  @ /K  ¶ ú ˜( R˜ Ð . # Q‹ "  ý a³ ð

>

 › ' a$ í ý a³ ð> \  @ /K  5 Å q• ¸ a– Ð 5 Å q ) a €  , › ' a$ í ý

a³ ð> \ " f ‘ : r Õ ª ý a³ ð> _  5 Å q• ¸  H v + dv = v + adτ

1 + vadτ (28)

“



X <, # Œl " f dτ   H 5 Å q~ à ΍  H ý a³ ð> \ " f ‘ : r  ú ª“ É r r ç ß – _

 â ì2 £ §s “ ¦, v  H › ' a$ í > \ " f › ' a8 £ ¤ô  Ç 5 Å q> _  5 Å q• ¸s 



. s  d ” `  ¦ & h ì  r €   x = 1

a cosh ϑ (29) t = 1

a sinh ϑ (30)

`



¦ % 3   HX <, # Œl " f

ϑ = aτ (31)

s

 . ô  Ǽ #  (29)õ  (30)`  ¦ (16)õ  (15)õ  q “ § €   5 Å q• ¸





H Š © œ/ B G/ B G‚  _  ì ø Í â õ 

a = 1

ρ (32)

_

 › ' a> \  ¦ f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”   HX <, d ”  (29) - (32)  H Ä »9 þ to 

×

¼ / B Nç ß –\ " f_  1 p x5 Å q" é ¶î  r1 l x\  K { © œ   H d ” õ  Ä »     H



z  ´`  ¦ ˜ Ð# Œï  r .

V. + s Ç Â ] Ø

r

/ B Nç ß –_  ² D G™ è& h “   ½ ¨› ¸\  ¦   & ñ   H b ç  ïÚ ÔÛ ¼v / B Nç ß –

“ É

r Š © œ/ B Gl  † < ÆÜ ¼– Ð [ O " î ÷ &# Q”   . s \  ¦ 0 AK  – ÐE $ ™Þ ÔÔ  ¦





s  Š © œ/ B Gy Œ •õ  ì ø Í â `  ¦ & ñ _  “ ¦, s \  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð Š © œ/ B G† < Ê Ã

º\  ¦  6   xô  Ç ý a³ ð>  È Ò% ò s ê ø Í > h¥ Æ `  ¦  6   x €   : £ ¤Ã º © œ

@

/$ í _  l ‘ : r > h¥ Æ [ þ ts  l  † < Æ& h Ü ¼– Ð ¸ ú ˜ [ O " î  ) a . : £ ¤y 

Š

©

œ/ B Gy Œ • ϑ  H › ' a$ í > _  Bondiכ ¹™ è Kü < K = e

^ϑ

   H › ' a> 

\



¦ t   HX <, Bondiכ ¹™ è_  Y  L l  $ í | 9 “ É r Š © œ/ B Gy Œ •_   8

l  $ í | 9 \ " f
6 Ÿ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . : £ ¤y  { 9 & ñ >  5 Å q

~ Ã

΍  H > \  ¦
 ? /  H de Sitter / B Nç ß –“ É r 1 p x5 Å q" é ¶î  r1 l x   H ý a

³

ð> ü < à º† < Æ& h Ü ¼– Ð Ä » ô  Ç $ í | 9 `  ¦ ° ú “ ¦ e ” 6 £ §• ¸ · ú ˜ à º e ” 



.

P c

p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2007¸  • ¸ Ø  æ· ¡ ¤@ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨t " é ¶ \ O _ 

ƒ



½ ¨q  t " é ¶\  _  # Œ ƒ  ½ ¨÷ &% 3 6 £ §.

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon and W. R. Parry, Flavors of Geometry, 91, 59 (1997).

[2] M. Ludvigsen, General Relativit, A Geometric Ap- proach (Cambridge University Press, 1999), Chap. 3.

[3] S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-time (Cambridge University Press, 1973), Chap. 5.

[4] R. Aldrovandi, J. P. Beltran Almeida and J. G. Pereira, Class. Quant. Grav. 24, 1385 (2007).

[5] F. Mansouri, Phys. Lett. B 538, 239 (2002).

[6] R. Aldrovandi, J. P. Beltran Almeida, C. S. O. Mayor and J. G. Pereira, Lorentz transformations in de Sit- ter relativity arXiv.org/abs/0709.3947

[7] U. Moschella, Prog. Math. Phys. 47, 120 (2006).

[8] Jean-Pierre Gazeau and Marc Lachieze-Rey, Quan- tum Field Theory in de Sitter space : A survey of recent approaches, arXiv.org/abs/hep-th/0610296

Special Relativity and de Sitter Spaces by Using a Hyperbolic Geometry

Won Sik L’Yi

^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 361-763 (Received 1 April 2008)

A hyperbolic geometry is used to investigate the geometric properties of the Minkowski space.

Lorentz transformations, Bond factors, and constantly accelerated reference frames are all inter- preted in terms of the coordinate transformations of hyperbolic spaces that visualize the local geometric structure of the space-time. The de Sitter space is also investigated in this way.

PACS numbers: 03.03.+p

Keywords: Hyperbolic geometry, Special relativity

∗E-mail: [email protected]