Simulation of Vehicle-Structure Dynamic Interaction by Displacement Constraint Equations and Stabilized Penalty Method

大 韓 土 木 學 會 論 文 集 第26卷 第4D 號·2006年 7月 pp. 671~678

鐵 道 工 學

변위제한조건식과 안정화된 Penalty방법에 의한 차량 주행에 따른 구조물의 동적상호작용 해석기법

Simulation of Vehicle-Structure Dynamic Interaction by Displacement Constraint Equations and Stabilized Penalty Method

정근영*·이성욱**·민경주***

Chung, Keun Young · Lee, Sung Uk · Min, Kyung Ju

···

Abstract

In this study, to describe vehicle-structure dynamic interaction phenomena with 1/4 vehicle model, nonlinear Hertzian con- tact spring and nonlinear contact damper are adopted. The external loads acting on 1/4 vehicle model are selfweight of vehicle and geometry information of running surface. The constraint equation on contact surface is implemented by the Penalty method with stabilization and the reaction from constraint violation. To describe pitching motion of various vehicles two types of the displacement constraint equations are exerted to connect between car bodies and between bogie frames, i.e., the rigid body con- nection and the rigid body connection with pin, respectively. For the time integration of dynamic equations of vehicles and structure Newmark time integration scheme is adopted. To reduce the error caused by inadequate time step size, adaptive time- stepping technique is also adopted. Thus, it is expected that more versatile dynamic interaction phenomena can be described by this approach and it can be applied to various railway dynamic problems with low computational cost.

Keywords :

Vehicle-structure Dynamic Interaction, Penalty Method with Stabilization, Reaction from Constraint Violation, Pitching Motion, Adaptive Time-stepping

···

요 지

본 연구에서는

2

^{개의 질량을 갖는}

1/4

^{차량모델을 이용하여 차량}

-

^궤도

-

^{교량간의 동적상호작용 현상을 표현하기 위해 비선}

형 헤르츠 접촉스프링

(Nonlinear Hertzian Contact Spring)

과 비선형 접촉감쇠장치

(Nonlinear Contact Damper)

를 도입하였 다

.

또한

,

차량에 작용하는 하중은 차량의 중량외에 임의시간단계의 차륜재하위치인 레일답면

(

즉

,

주행로상의 접촉면

)

에서의 변위가 제한조건식

(Constraint Equation)

으로 가해졌다

.

이 변위제한조건식은

Penalty

방법

(Penalty Method)

에 의해 구현되었 으며

,

^{해의 안정화}

(Stabilization)

^{를 위한 기법과 제한조건오차보정반력}

(Reaction from Constraint Violation)

^{을 도입하였다}

.

^또

한

,

차량의 피칭운동을 표현하고

,

다양한 차량

/

열차를 모형화하기 위해서

1/4

차량모델의 차체 및 대차프레임 간을 강체연결 및 핀이 있는 강체연결조건으로 모형화하였다

.

시간적분방법으로는

Newmark

계열의 시간적분법이 사용되었으며

,

해의 정확 성 확보를 위해 국지적 오차평가에 근거한 적응적시간간격기법

(Adaptive Time-Stepping Scheme)

을 도입하였다

.

이러한 적 응적시간간격기법을 도입하여 동적해석에서 시간간격의 크기를 자동적으로 결정함으로써 동적해석에서의 해의 정확성을 확 보하고 시간적분에 소요되는 계산비용을 감소시킬 수 있을 것으로 기대된다

.

핵심용어: 차량

-

^{구조물 동적상호작용}

,

^안정화된

Penalty

^방법

,

^{제한조건오차보정반력}

,

^피칭운동

,

^{적응적시간간격조절}

···

1. 서 론

차량주행에 따른 궤도 및 교량의 동적해석에 관한 기존 의 연구에서는 대부분 특정한 차량의 동적운동방정식을

Hamilton 원리 (Hamilton's Principle) 를 이용하여 구성하고 동적해석에 적용하였다 . 이러한 접근방법의 단점은 특정한 차량에만 적용되며 다양한 차량 및 열차를 모형화하지 못

하므로 일반성이 결여되어있다 . 따라서 본 연구에서는 범 용성이 있는 차량모델링 방법을 변위제한조건의 적용에 의 해 구현하였다 . ^즉 , ^{차량의 피칭운동을 표현하기 위한 방법}

으로 기존의 1/4 차량모델 (3 질량 차량모델 ) 에 회전자유도를 도입하고 차체와 차체 , 대차프레임과 대차프레임간에 강체 연결조건을 제한조건식으로 가함으로써 차량의 피칭운동을 표현하고 , 차체와 차체간에 핀이 있는 강체연결조건을 정

*정회원ㆍ한국철도시설산업

(

주

)

선로시설연구소부장

(E-mail : [email protected])

**정회원ㆍ한국철도공사철도연구개발센터기술연구팀장

(E-mail : [email protected])

***한국철도시설산업

(

주

)

선로시설연구소장

(E-mail : [email protected])

의함으로써 열차운동조건을 표현하는 모델링방법을 제시하 였다 . 이러한 접근방법으로 KTX, 새마을호 , 무궁화호와 같 은 다양한 열차뿐만 아니라 트럭이나 승용차와 같은 다양 한 차량을 동일한 접근방법으로 모형화하는 것이 가능하게 되었다 .

일반적으로 접촉하는 두 물체간의 국부적인 탄성변형에 관한 거동은 헤르츠 접촉이론에 의해 표현된다 . Hertz 이론

은 물체간의 미끄러짐 (Slide) 혹은 견인력 (Carry Traction)

에 의해 발생하는 접촉면의 접선방향의 힘을 고려하지 않으

며 “ 서로 접촉하는 두 물체는 등방성 (Isotropic) 및 탄성

(Elastic) 재료이고 서로 직교하는 두 곡율로 표현되는 임의

의 두 물체가 서로 접촉하는 경우 접촉면은 편평 (Flat) 하며

타원형의 형상이다 ” 라는 가정에 근거하여 도출된 이론이다 .

Hertz 접촉이론을 철도문제에 적용하는 경우 차량과 레일답

면간의 접촉문제는 서로 직교하는 두 원통의 접촉문제로 근 사될 수 있다 . 헤르츠 접촉이론에 따르면 접촉하는 물체 간 에 작용하는 접촉력과 물체의 탄성변형에 의한 물체중심간 접근거리는 비선형의 관계를 갖는다 (Ugural 등 1987). 따라 서 차량의 차륜과 레일 ( ^{혹은 주행면} ) ^{과의 접촉문제는 비선}

형접촉스프링으로 표현가능하며 , 주행로의 기하학적인 불완 전성에 기인하는 충격요인의 분석에 있어 접촉스프링의 비 선형성을 표현하는 것이 합리적일 것이다 . 따라서 본 연구 에서는 차륜과 주행로간의 접촉력을 인장력에 저항하지 못 하고 압축력에만 저항하는 비선형 헤르츠 접촉스프링으로 표현하였다 . 이러한 비선형 접촉스프링을 충격개소의 동적 해석에 사용하면 선형접촉스프링을 사용하는 경우보다 보다 정확한 접근이 가능할 것으로 기대된다 .

본 연구에서는 구조물과 차량간에 작용하는 동적인 접촉 력을 산정하는 방법으로 차량운동방정식에 차량의 중량

(selfweight) 과 접촉점의 위치에 관한 변위제한조건식을 가

하여 동적인 운동방정식의 해를 구함으로써 반복계산에 의 해 접촉력을 산정하였다 . 접촉점의 변위제한조건식에 영향 을 미치는 요인으로는 주행로를 이루는 구조물의 처짐 , 기 하학적 불완전성 ( 즉 , 요철 및 틀림 ), 차륜의 편마모 등이 고려될 수 있으며 , ^{이러한 사항들을 고려하여 접촉점의 위}

치를 결정하였다 . 본 연구에서는 접촉점의 위치정보를 차량 의 운동방정식에 제한조건으로 가하는 방법으로 Penalty 방 법을 채택하였다 . Penalty 방법에서는 제한조건으로 인하여 발생하는 가상의 강성이 매우 크므로 해의 안정화를 위한 기법을 도입하지 않을 경우 고주파성분의 불합리한 진동이 야기될 수 있다 . 따라서 , 본 연구에서는 Penalty 방법의 안

정화 (Stabiliza-tion) 를 위한 기법을 제안하였으며 차륜의 접

촉점이 주행로상의 면을 통과하지 못하도록 불관통제한조건

(Noninterpenetration constraints) 의 적용에 의한 제한조건 오차보정반력 (Reaction from constraint violation) 을 적용 하였다 .

이상과 같은 접근방법에 의해 구현된 차량주행에 따른 구 조물의 동적해석기법을 Newmark 시간적분방법과 적응적 시

간간격 조절 (Adaptive Time Stepping) 기법에 의해 시간적

분을 수행하였으며 수치해석을 통하여 그 타당성을 검증하 고자 하였다 .

2. Hertz 접촉이론과 비선형 접촉스프링에 의한 접 촉력 결정

2.1

^{접촉력 P와 물체중심접근거리 δ 의 관계}

접촉점 근방에서 서로 직교하는 두 곡율로 표현되는 임의 의 물체가 주곡율축이 다른 물체에 대해 상대적으로 각 θ만 큼 회전한 상태에서 접촉하는 경우 접촉면은 타원이다 . 곡면 의 반경은 볼록한 경우는 + 값이며 , 오목한 경우는 - 값이다 .

여기서는 두 물체간를 누르는 압축력 ( 혹은 접촉력 ) 을 P , 두 물체의 탄성변형에 의한 근접거리를 ( 혹은 접촉스프링의 변 위 ) δ라고 표기하기로 한다 ( 그림 1, Ugural 등 1987).

Hertz 접촉이론의 이론식에서 접촉력 P와 물체중심접근거

리 δ의 관계를 정리하면 다음과 같은 P ∝ δ

^3/2

의 관계를 얻 을 수 있다 .

(1)

여기서 , Hertz 상수 (Hertzian Constant) c

H

를 보다 정확히 결정하는 것이 가능할 것이지만 직교하는 두 원통의 접촉문

제로 단순화된 경우의 이론적 Hertz 상수를 사용하였다 . 이

Hertz 상수는 접촉물체의 곡률과 재료적 특성이 정해지면 항

상 일정한 값을 갖는 상수 값이다 . 접촉하는 두 물체의 공 통적인 탄성계수와 포아송비를 각각 E와 v , 차륜 및 레일의 곡률반경을 각각 R

wheel

과 R

rail

이라고 하면 의 조건이 만족될 때 c

H

, E

c

, R

c

및 F

2

는 다음과 같이 정리된다 .

(2)

P c_H

δ

^{3 2⁄}

( δ 0 > )

0 ( δ 0 ≤ )

⎩ ⎨

= ⎧

R_wheel

≥

R_rail

c_H

⁴

3 ---

E_cR_c^{1 2⁄} F₂^{–3 2⁄}

E_c E

2 1 ( –

v²

)

--- ,

R_c

=

R_wheelR_rail

,

= ,

=

F₂

1

R_wheel R_rail

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

^0.684

– 1

^1.531

–

≅

그림 1. 접촉 물체의 물체중심접근거리

그림 2. 해석에 사용된 1/4 차량모델

또한 , R

wheel

<R

rail

인 경우의 보정계수 F

2

는 다음과 같다 . (3)

2.2

^{동적인 문제에서의 접촉력 산정}

비선형동적해석시 외적힘과 내적힘간의 불균형힘

(Unbalanced Force) 의 산정에서는 정확한 내적힘의 산정이

필요하다 . 비선형 접촉스프링에 작용하는 내력은 접촉물의 물체중심간접근거리 δ ( 서로 접근하는 경우가 + 기호 ) 가 결정

되면 Hertz 접촉이론에 의한 접촉스프링의 탄성변형에 의한

힘과 접촉스프링부의 감쇠력을 고려하여 다음과 같이 정의 되며 , 이 내력이 구조물에 상호작용력 ( 접촉력 ) 으로 작용하게 된다 (Escalona 등 2003).

(4)

여기서 , C는 감쇠계수이다 .

3. 차량과 구조물간의 동적상호작용

3.1

차체 및 대차프레임 간의 연결에 의한 피칭운동표현 동적해석에 사용한 차량모델은 3 질량을 갖는 1/4 차량모델

( 그림 2) 이며 열차의 각 차축 혹은 윤축별로 차량 각부의

특성을 묘사하도록 하였다 . 또한 , 윤축 (wheelset) 하부의 비 선형 Hertz 접촉스프링 (Nonlinear Hertzian Contact Spring)

을 고려함으로써 차륜과 레일의 접촉력 (Contact Force) 산정 을 보다 실제에 가깝게 묘사할 수 있다 . 기존의 3 질량 차량 모델은 4 자유도 차량모델이라고 볼 수 있으나 , 본 연구에서 는 3 ^{질량 차량모델 간에 제한조건식을 가하여 차량의 피칭}

운동을 표현하고자 대차프레임부와 차체부에 회전자유도가 도입된 차량모델을 제안하였다 . 이 3 개의 질량을 갖는 차량 모델의 대차프레임 (Bogie Frame) 혹은 차체 (Car Body) 간에

“강체연결”이나 “핀이 있는 강체연결”에 관련된 제한조건이 가해지는 경우에는 6 자유도 차량모델을 채택할 수 있으며 ,

연결에 관련된 제한조건이 존재하지 않는 경우 회전자유도 에 대한 자유도를 억제하면 통상적인 4 자유도 차량모델이 될 수 있을 것이다 ( ^그림 3).

이러한 질량 사이의 연결에 관련된 제한조건과 6 ^{자유도 차}

량모델을 조합하여 차량의 피칭운동 및 열차운동 특성을 고 려할 수 있는 다양한 차량 및 열차의 모형화가 가능할 것이 다 . 즉 , 기본적인 3 질량을 갖는 차량모델의 질량간의 상호연 결을 정의하기 위해 제한조건을 가함으로써 KTX 뿐만 아니 라 트럭 , 디젤기관차 , 객차 및 화차 등의 다양한 차량을 모

형화하는 것이 가능하다 ( ^그림 4).

3.2

^{차량 운동방정식과 구조물 운동방정식의 상호관계}

차량주행에 의한 차량 - 구조물의 상호작용력산정을 위해서 는 궤도 및 구조물부의 동적인 운동방정식과 차량의 동적인 운동방정식을 별도로 구성하여 각각의 운동방정식의 해를 따 로 구하는 것이 편리하다 . 이 개별적인 운동방정식간의 관계 는 접촉점에 작용하는 접촉력과 변위제한조건식으로 상호 연 결되도록 하였다 . ^즉 , ^{특정시간에서의 차륜재하위치의 구조}

물의 변위 및 답면 높이정보 ( 요철 , 궤도틀림 등 ) 가 차량의 운동방정식에 접촉점 (Contact Point) 의 변위제한조건식

(Displacement Constraint Equation) 으로 가해지고 차량의 중량이 외력으로 가해져 차량의 운동방정식의 해를 구함으 로써 새로운 접촉력이 산정되고 , 이 접촉력이 구조물에 가해 져 새로운 구조물의 변위를 산정한다 . 이러한 계산과정은 접 촉력의 값이 특정한 수렴할 때까지 반복된다 . 즉 , 이러한 차 량과 주행로를 이루는 구조물과의 접촉력산정에 있어서 매 시간단계마다 접촉력이 수렴할때까지 반복해석을 수행하는 것이 요구된다 ( 그림 5).

특정 시간단계에서의 매 반복단계마다 차량모델의 접촉점 에 가해지는 변위제한조건식 (Displacement Constraint Condition)

은 차륜중심궤적 , 답면형상 및 처짐정보에 종속적이며 , 다음 과 같이 표현할 수 있다 ( 그림 6).

(5)

여기서 , y

6

은 6 자유도 차량모델의 접촉점 (contact point) 에 서의 변위 , y

r

는 주행로상의 접촉점위치에서의 구조물 연직 변위 , ^y

g

는 주행로상의 접촉점위치에서의 기하학적인 형상

(geometry surface), 즉 주행로의 요철높이며 , y

w

는 차륜에

편마모가 존재하는 경우의 차륜의 구름 (Rolling) 에 따른 차륜

중심궤적 (Wheel Center Trajectory) 에 관련된 위치정보이다 .

3.3

^안정화된

Penalty

^방법

(Penalty Method with Stabiliza- tion)

^{에 의한 정확성 향상}

본 연구에서는 차륜 접촉점의 위치정보 및 질량 간의 연

결조건에 관한 제한조건 등을 Penalty ^{방법에 근거해 구현하}

였다 . 정적인 문제에서의 Penalty 방법은 다음과 같은 범함수

F₂

1

R_rail R_wheel

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

^0.684

– 1

^1.531

–

≅

F F_H

+

F_d c_H

δ

^{3 2⁄}

+

C

δ· δ (

c_H

δ

^{3 2⁄}

+

C

δ· δ > 0 ) 0 (

c_H

δ

^{3 2⁄}

+

C

δ· δ ≤ 0 )

⎩ ⎪

⎨ ⎪

⎧

= =

y₆

=

y_r

+ +

y_g y_w

그림 3. 변위제한조건에 의한 1/4차량모델의 상호연결(평면조건)

그림 4. 변위제한조건에 의한 다양한 차량 및 열차 모형화

(Functional) ^{의 최소화 문제로 표현할 수 있다} .

(6)

여기서 , ^{U는 변위벡터} , ^{K는 강성행렬} , ^{R은 하중벡터} , ^α는

Penalty 상수이며 , 는 변위제한조건식 (Displace-

ment Constraint Equation) 이다 . 정류조건 (Stationary Condition)

을 적용하여 범함수의 변분 (Variation) 을 취하면 다음과 같은

방정식이 얻어진다 .

(7)

정적인 문제의 동적인 문제로의 확장은 구조물 ( ^{혹은 차량} )

의 질량행렬 M에 종속적인 관성력과 감쇠행렬 C에 종속적 인 감쇠력을 고려하여 다음과 같이 표현된다 .

(8)

만약 , 제한조건이 로서 계수행렬 B ,

변위벡터 U , 그리고 시간종속적인 벡터 V ( t ) 로 표현되는 경

우 다음과 같은 Penalty ^{상수에 종속적인 강성과 하중이 운동}

방정식에 추가됨을 알 수 있다 (Bathe, 1993).

(9)

Penalty 상수 α의 값이 충분히 크다면 정적인 해석에서는

Penalty 방법에 의한 제한조건식의 부여에 의해 접촉점의 위

치를 충분히 표현할 수 있으나 , 동적인 문제에서는 Penalty

방법에 의해 도입된 가상 강성 (Virtual Stiffness) 방향의 진동

성분이 소산되지 않고 무한히 반복될 위험성이 있다 . 즉 , 고 주파 성분의 불합리한 진동성분이 발생할 가능성이 있다 . 이 러한 이유로 가상 강성의 복원력방향으로 작용하는 비례감 Π U ( ) 1 = 2 ---U

^T

KU U –

^T

R α + ---Φ 2

^T

Φ

Φ U ( ,

t

) 0 =

KU R ∂Φ – + ⎝ ⎛ ∂U --- ⎠ ⎞

^T

αΦ = 0

MU·· CU· KU + + = R ∂Φ – ⎝ ⎛ --- ∂U ⎠ ⎞

^T

αΦ

Φ U ( ,

t

) BU V = – = 0

MU·· CU· K αB + + ( +

^T

B )U = R αB +

^T

V 그림 6. 접촉점의 변위제한조건식에 영향을 주는 요인

그림 5. 특정 시각의 접촉점 위치와 반복해석에 의한 상호작용력 산정

그림 7. 상호작용력 계산시의 안정화된 Penalty방법 개념도

쇠 (Proportional Damping) 를 도입하는 것이 해의 안정화를 위해 필요하다 .

따라서 , 본 연구에서는 제한조건식 의 시간에 따 른 변화율의 음수에 비례하고 가상강성의 복원력방향으로 작

용하는 가상의 감쇠력 (Virtual Damping Force) 을 다음과 같

이 정의하였다 .

(10)

여기서 , 는 가상의 감쇠력을 표현하기 위한 임의의 상수이 다 ( 예를 들면 , 가상시스템의 진동특성이 Critical Damping 이 되도록 값을 조절할 수 있다 ). 이 감쇠력을 동적인 운동방정 식에 적용하면 다음과 같다 .

(11)

이러한 가상의 감쇠력의 도입은 Baumgarte Stabilization

방법에서 항이 소거된 형태의 방정식을 도출하였다 . 만약 ,

제한조건이 인 경우 Penalty 방법의 안

정화를 위한 감쇠력의 도입에 의해 Penatly 상수에 종속적인

가상 감쇠행렬과 하중벡터가 추가됨을 알 수 있다 ( 그림 7).

(12)

본 연구에서는 이렇게 얻어진 동적인 운동방정식을

Newmark 적분방법에 의해 직접적분 (Direct Integration) 함으 로써 비선형운동방정식의 해를 구하였다 .

3.4

^{제한조건오차보정반력}

(Reaction from Constraint Violation)

접촉점이 주행로상의 점을 서로 관통하지 않는 불관통제한 조건 (Noninterpenetration Constraints) 은 다음과 같은 부등식 으로 표시할 수 있다 .

(13)

여기서 , y

6

는 1/4 차량모델의 접촉점의 변위이다 . 이 불관통제

한조건을 Penalty 방법에 의해 구현하는 경우 상호관통량

(Intrpenetration) 이 과다하게 증가하는 것을 방지하기 위하여

제한조건오차보정반력 (Reaction from Constraint Violation,

혹은 Penalty Reaction) 을 생성시킬 필요가 있다 . 이

Penalty 반력은 다음과 같이 표현된다 .

(14)

여기서 , b >1 은 적절한 상수이며 , α는 임의의 상수이다 .

Hertz 접촉이론에 따르면 3 차원 탄성 접촉 / 충돌 문제에서 b

의 값은 3/2 이 적절한 것으로 추천되고 있다 (Ugural 등

1987, Gonthier 등 2004).

3.5

적응적 시간간격에 의한

Newmark

시간적분

본 연구에서는 차량 및 구조물의 동적운동방정식을 시간에 대해 적분하기 위하여 묵시적 시간적분방법 (Implicit Time

Integration Method) 인 Newmark 적분방법을 사용하였다

(Bathe 1993). 수정된 Newton-Raphson 방법과 안정화된

Penalty 방법을 시간 에서의 동적평형방정식에 적용하면 , 반복

단계 에 대해 다음과 같은 증분 형태의 방정식을 얻을 수 있다 .

(15)

여기서 , ^{및 은 각각 시간 t+∆t에서}

의 질량행렬 , 감쇠행렬 , 강성행렬 , 변위벡터 및 하중벡터이며 괄호안의 윗첨자는 반복단계를 의미한다 . 또한 , 는 시간 t+∆t 반복단계 k− 1 에서의 내력벡터 (Internal Force Vector) ^이다 .

제한조건식의 비제차항의 시간에 따른 변화율을 표현하는 방법에는 여러 가지가 있을 수 있겠지만 , 본 연구에서는

Newmark 적분법에 근거한 속도의 예측값 (Newmark

Velocity Prediction) ^{으로 정의하였다} .

(16)

대부분의 동적해석에서는 직감이나 경험에 근거한 고정된

등간격의 시간간격 (Fixed Time Step Size) 을 이용하는 것이

보통이지만 , 어떤 시간에서는 동적변화가 매우 크고 어떤 시 간에서는 동적인 변화가 완만할 수 있다 . 따라서 동적인 문

제의 전체 시간영역 (Time Domain) 에 대해 고정된 시간간격

을 사용하는 것은 매우 부적절하거나 비효율적일 수 있다 .

이런 이유로 시간적분오차의 평가에 의해 자동적으로 시간 간격을 조절하는 것이 필요하다 . 이러한 이유로 본 연구에서

는 Zeng ^등 (1992) ^{이 제안한 국지적 오차의 평가} (Local

Error Estimate) 에 의한 적응적 시간간격기법 (Adaptive

Time-Stepping Procedure) 의 도입에 의해 해의 정확성의 유

지와 계산시간의 효율성을 증가시키고자 하였다 .

본 연구에서는 차량 - 구조물 상호작용력이 허용된 반복계산 횟수에 도달할 때까지 수렴하지 않을 경우에는 시간간격을 조절하고 , 운동변수 및 부재내력을 이전시간단계의 값으로 초기화하고 시간적분을 재시도하도록 하였다 . 이때의 새로운 시간간격은 이전시간단계에 1 보다 작은 상수 µ를 곱함으로 써 결정된다 . 본 연구의 각종 수치예제에서는 황금분할비에 가까운 값인 0.6 을 상수 µ의 값으로 사용하였다 .

(17)

이상과 같이 적분오차가 상한계값을 초과한 경우나 해의 수렴성이 나쁜 경우 시간간격이 이전의 시간간격보다 작도 록 조정되며 , 이렇게 새로운 시간간격이 적용된 경우에는 지 정된 횟수만큼의 시간단계수 동안 시간간격을 다시 증가시 키지 않도록 함으로써 너무 빈번한 시간간격의 조절에 따른 계산의 비효율성을 방지하도록 하였다 . 또한 , 시간간격의 허 용최대값 설정기능 , ^{특정시각까지 초기시간간격을 사용하여}

일정한 시간간격을 유지하도록 하는 기능 등을 설정함으로 Φ U ( ,

t

)

R

_v

ξα ∂Φ --- ∂U

⎝ ⎠

⎛ ⎞

^T

Φ ·

–

=

ξ

MU·· CU· K + +

U

₌ R ∂Φ _– ⎝ ⎛ ∂U --- ⎠ ⎞

^T

α Φ ξΦ _{( +} · ₎

Φ ··

Φ U ( ,

t

) BU V = – = 0

MU·· C B + ( +

^T

ξαB )U· K B + ( +

^T

αB )U = R + αB

^T

( V ξV· + )

y₆

–

y_r

–

y_g

–

y_w

≥ 0

R_r

= α ( –

y₆

+ + +

y_r y_g y_w

)

^b

M

^{t ∆t+}

U··

^t()

+ ( C B +

^T

ξαB )

^{t ∆t+}

U·

^{( )k}

+ (

^τ

K + B

^T

αB )∆U

^{( )k}

R αB +

^T

t ∆t+

V ξ +

^{t ∆t+}

V·

t ∆t+

( ) –

^{t ∆t+}

F

^{(k 1– )}

– B

^T

αB

^{t ∆t+}

U

^{(k 1– )}

=

M C , ,

^{t ∆t+}

K ,

^{t ∆t+}

U

^{t ∆t+}

R

t ∆t+

F

(k 1– )

t ∆t+

V·

( )k

γ β∆

t

--- (

^{t ∆t+}

V

^{(k 1– )}

–

^t

V ) γ ⎝ ⎛ β --- 1 – ⎠ ⎞ V·

^t

γ 2β --- 1 –

⎝ ⎠

⎛ ⎞∆

t^t

V··

– –

≡

∆

t

′ µ∆ =

t

써 상대오차 평가를 위한 최대 변위를 결정하기 위해 해석 의 초기단계에서는 등간격 시간간격에 의한 시간적분이 가 능하도록 하였다 .

4. 수치시험

4.1

윤축 낙하 시험의 묘사

침목간격 0.6 m 로 100 개의 침목구간을 모형화한 해석모델

로 윤축낙하시험의 수치적 묘사를 위한 해석을 수행하였다

( 그림 8). 본 연구에서 사용한 1/4 차량모델로 단일 윤축

(Wheelset) 을 모형화하기 위해 대차프레임부 (Bogie Frame) 와

차체 (Car Body) 부의 질량을 0 으로 입력하였으며 , 윤축의 중

량은 20.07 kN 으로 설정하였다 . 1 개의 차륜에 대한 헤르츠

상수 (Hertzian Constant) 는 으로 가

정하였으며 2 개의 차륜이 1 개의 차축을 구성하므로 이 값의 두 배를 윤축의 헤르츠 상수 값으로 설정하였다 .

본 해석에서 궤도의 동적해석에 사용된 궤도특성값은 일본

에서의 신간선의 연구결과 (Ishida 등 1997) 에 해당하는 자료

를 이용한 이유로 도상전단강성 (Ballast Shear Stiffness) ^및

도상전단감쇠 (Ballast Shear Damping) 는 0 으로 가정하였으며

레일은 UIC 60 레일에 해당하는 값을 이용하였다 . 해의 수렴

여부를 판정하는 불균형 힘에 관한 허용상대오차는 10

^-5

, 수 치적 시간적분에 사용된 시간간격은 0.001 초를 최대허용 시 간간격으로 설정하여 구조물만의 운동변수를 이용하여 시간 적분오차를 추정하고 시간적분에 관한 허용상대오차를 0.1%,

오차의 하한계 (Lower Error Limit) 계수를 0.4, 상한계

(Threshold) ^계수를 1.5 ^{로 설정하였다} . ^또한 , Penalty ^상수는 10

¹⁰

, 제한조건식에 사용된 감쇠값은 페널티 상수의 10

^-5

배 ,

접촉스프링의 감쇠계수는 헤르츠 상수의 10

^-7

배로 설정하였

다 . 레일부의 감쇠는 감쇠비 2% 에 상응하는 Rayleigh

Damping ^{행렬을 구성하여 수치실험을 수행하였다} .

낙하고 20 mm 일 때의 정적윤축의 무게와 충격력과의 비

율은 22.9 로 산정되었으며 , 윤축의 낙하 후 윤축과 레일두부

가 충돌하는 순간 큰 접촉력이 발생하고 그 영향으로 윤축 이 튀어오른 후 다시 낙하하는 현상을 표현할 수 있었다 ( ^그

림 9, 그림 10).

적응적시간간격의 변화추이를 살펴볼 때 해의 규정된 정확 성을 유지하기 위한 최소적분시간간격이 동적인 윤중의 변

화가 큰 순간의 경우 3.96 × 10

^-5

초의 작은 시간간격을 요구

하였으며 , 동적인 충격현상을 보다 정확히 표현하고 계산비 용의 절감을 위해서는 적응적시간간격조절기법이 효율적임을

확인할 수 있었다 ( ^그림 11).

변위제한조건식에서 발생한 오차를 시간에 따라 살펴보면

본 연구에서 사용한 안정화된 Penalty 방법 (Stabilized

Penalty Method) 의 경우 최대발생오차가 4.598 ^× 10

^-8

m 의 값 을 보였으며 , 단순히 인공감쇠장치 (Artificial Damper) 만 적 용한 경우에는 최대발생오차가 3.922 × 10

^-4

m 의 값을 보였다 .

단순히 인공감쇠장치만 적용한 경우에는 갑작스럽게 접촉점 의 위치변화가 20 mm 만큼 변화하는 경우에 제한조건식의 오차가 크게 발생하였으며 접촉점의 위치변화가 거의 없는 상태에서는 두 방법이 비슷한 오차를 보여주었다 . 접촉점의 변화가 발생하는 부분에서는 안정화된 Penalty 방법이 전반적 으로 제한조건식의 오차가 작게 나타났으며 , 보다 해의 정확

성을 확보할 수 있음을 확인할 수 있었다 ( 그림 12).

4.2

^{차량 주행에 따른 판형교의 동적거동}

무도상 판형교 상을 주행하는 KTX 에 의한 동적응답을 비

c_H

= 1.09 10 ×

⁸kN

⁄

m^{3 2⁄}

그림 8. 윤축낙하시험 수치묘사

그림 9. 접촉력의 시간에 따른 변화

그림 10. 윤축위치의 시간에 따른 변화

교하고자 실제의 Y 교량을 대상으로 수치해석을 수행하였다

( 그림 13). 해석에 사용된 궤도틀림은 차량주행에 따른 침목

과 침목사이의 레일처짐 및 레일 보통이음매부의 레일처짐 을 궤도틀림으로 취급하고 이를 삼각함수의 중첩에 의해 표

현하였다 (Fryba 1996). 본 연구에서는 KTX 열차를 모형화하

기 위해 강체연결조건과 핀이 있는 강체연결조건을 이용하 여 이동질량간을 연결함으로써 KTX 를 표현하였으며 , 기타 의 해석에 필요한 각종 조건들은 앞의 윤축낙하시험과 동일 하게 설정하였다 .

KTX 차량의 운행에 따른 거더 중앙점의 최대변위는 계측

결과 ( 안길섭 등 2005) 좌·우측 거더에서 각각 -5.420 mm 와

-5.614 mm 이고 동적해석결과는 -5.558 mm 로 나타나 해석결

과와 계측치가 비교적 잘 일치함을 알 수 있었다 ( 그림 14).

적응적시간간격의 변화추이를 살펴볼 때 해의 규정된 정확 성을 유지하기 위한 최소적분시간간격이 3.74 × 10

^-4

초로서 윤 축낙하시험의 경우에 비해 비교적 큰 적분시간간격을 사용 되었으며 , 상대오차를 과대 평가하는 초기시간단계를 제외하 고는 교량에 활하중이 최대로 재하된 시점에 가장 작은 시 간간격이 사용되는 경향이 있었다 . 이 문제에서도 적응적시 간간격조절기법의 유효성을 확인할 수 있었다 ( 그림 15).

변위제한조건식에서 발생한 오차를 시간에 따라 살펴보면

본 연구에서 사용한 안정화된 Penalty 방법의 경우 최대발생

오차가 1.312 × 10

^-7

m 의 값을 보였으며 , 단순히 인공감쇠장치

만 적용한 경우에는 최대발생오차가 7.175 ^× 10

^-6

m 의 값을 보

였다 . 안정화된 Penalty 방법이 전반적으로 제한조건식의 오

차가 작게 나타났으며 , 보다 해의 정확성을 확보할 수 있음 을 확인할 수 있었다 .

5. 결 론

본 연구에서는 1/4 차량모델 간의 변위제한조건식에 의한

“강체연결” 및 “핀이 있는 강체연결”을 통하여 다양한 형식 의 차량 및 열차의 운동을 표현하는 것이 가능하고 , ^차량주

행시의 차량과 주행로를 이루는 구조물간의 동적상호작용문 제를 접촉점의 변위제한조건식으로 Penalty 방법에 근거해 표 현하는 것이 가능함을 확인할 수 있었다 . 본 연구에서는

Penalty 방법에 의해 접촉점의 변위제한조건을 가함에 있어서

동적인 문제에서 발생하는 해의 불안정성을 제거하기 위해 제한조건식에 의한 강성시스템의 복원력방향으로 가상의 감 쇠력을 제한조건식의 변화율에 비례하도록 정의하여 정식화

한 결과 Penalty ^{힘으로 가해지는 힘이 접촉점의 위치뿐만}

아니라 위치변화속도에 종속적인 항이 포함됨을 알 수 있었 으며 , 이러한 추가적인 항이 제한조건식의 오차를 감소시키 는 효과가 있음을 확인할 수 있었다 .

급격한 요철의 접촉면의 기하형상의 변화는 매우 큰 비선 형성을 유발하므로 해의 정확성을 유지하기 위해 고정된 매 우 작은 시간간격으로 수치해석을 수행하는 것은 매우 비효 율적일 것으로 판단된다 . 따라서 해의 정확성의 확보 및 계 산비용의 감소를 위해서는 적응적 시간간격 기법의 채택이 필요하다 . 본 연구에서는 동적운동방정식의 Newmark 적분법 에 의한 시간적분에 있어 적응적 시간간격조절기법을 도입 하여 고정된 시간간격을 사용하는 것보다 개선된 해를 도출 할 수 있었다 .

본 연구에서의 접근방법과 같이 차륜과 레일의 접촉문제를 그림 11. 적분시간간격의 변화

그림 12. 제한조건식의 최대 오차값 비교

그림 13. Y교의 동적해석 모델

그림 14. 거더 중앙부의 연직처짐이력

그림 15. 적분시간간격의 변화

비선형 헤르츠 접촉이론에 의해 구현함으로써 보다 실제에 가까운 접촉현상을 다양하게 표현할 수 있을 것으로 예상되 며 레일두면의 요철의 영향 , 강성천이구간의 영향 등 철도에 서의 각종 진동요인의 분석 및 보강방안의 대책 수립에 활 용될 수 있을 것으로 기대된다 .

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^심사일

: 2006.5.2/

^{심사완료일}

: 2006..6.12)