DOI http://dx.doi.org/10.9725/kstle-2013.29.3.149
다양한 그루브 단면형상에 대한 스풀밸브의 윤활특성 연구
홍성호†·손상익·김경웅‡
KAIST 기계항공시스템학부
Study on Lubrication Characteristics of Spool Valve with Various Cross-sectional Groove Shapes
Sung-Ho Hong†, Sang-Ik Sonand Kyung-Woong Kim‡ School of Mechanical, Aerospace & Systems Engineering, KAIST (Received April 26, 2013 ; Revised May 18, 2013 ; Accepted May 19, 2013)
AbstractIn this research, the lubrication characteristics of spool valves with various cross-sectional groove shapes were studied. The validity of using the Reynolds equation for the analysis of spool valves with various groove shapes was also investigated. The cross-sectional shapes for the grooves included a triangle, square, and U shape. The characteristics of the flow in the groove were investigated using streamlines. When the number of grooves was increased, the difference between the results obtained from the Reynolds equation and those obtained from the Navier-Stokes equation increased according to the groove shape. Thus, it was found that the Navier-Stokes equation should be used to investigate the lubrication characteristics of the spool valves in those cases. Moreover, in the case where the cross section of the groove was U-shaped, the groove prevented the small eddy current from occurring in the groove. Therefore, the lateral force and friction force of the spool valve with the U-shaped groove were lower than those of the spool valves with other groove shapes.
Keywordscross sectional shape(단면형상), spool valve(스풀밸브), vortex(와류), validity(타당성)
1. 서 론
유압장치는 다양한 산업에서 폭넓게 사용되고 있다.
유압 액츄에이터(actuator)의 정확하고 정밀한 움직임을 유지하기 위해서는 유압밸브의 원활한 기능이 보장되어 야 한다. 유압 밸브 중 많이 사용되고 있는 스풀밸브에 서 유체고착(hydraulic lock)과 같은 윤활문제들이 발생되 고 있다. 기존의 스풀밸브에 대한 많은 연구에도 불구하 고 그루브 가공에 대한 이론적 연구는 미흡하다. 그리고 스풀밸브의 수치적 해석에서는 주로 Reynolds 방정식을 이용하고 있다. 그러나 스풀밸브처럼 틈새에 비해서 그
루브의 깊이가 깊은 경우에 대한 해석에서 유막두께 방 향으로 압력이 일정하다는 가정을 사용하는 Reynolds 방 정식을 적용하는 것이 타당한지 살펴볼 필요가 있다. 최 근의 윤활해석에서의 Reynolds 방정식의 타당성에 관한 기존연구들[1-9]은 있으나 그루브가 틈새에 비해 아주 깊 은 경우와 3차원 형상에 대한 연구는 부족하다. 본 저자 는 그루브의 단면형상이 직사각형 형태인 스풀밸브의 윤 활해석에서 Reynolds 방정식의 타당성에 대해 평가하였 다[10]. 그러나 스풀밸브에서 그루브 단면형상의 변화에 대한 지배방정식의 타당성 평가는 없다. Reynolds 방정 식을 이용한 해석에서는 유동의 재순환(recirculation)과 와류(vortex)의 현상을 고려할 수 없다. 본 연구에서는 전형적인 사각형의 그루브가 가공된 스풀밸브 뿐만 아니 라 삼각형 및 유선형의 그루브 단면형상을 가지는 스풀 밸브에 대해 Reynolds 방정식의 타당성을 평가하였다.
†Author : [email protected]
‡Corresponding author : [email protected]
◎이 논문은 한국윤활학회 2013년도 춘계학술대회 (2013.4.26 서울테크노파크) 발표논문임.
그리고 동일한 그루브의 폭과 깊이에 대해 그루브 단면 형상의 변화에 의한 측력, 마찰력 및 누설량을 비교하 여 윤활특성을 살펴보았다. 또한Reynolds 수(Re)를 변화 시켜 관성의 영향에 대해서도 살펴보았다.
2. 본 론
2-1. 해석 대상
Fig. 1은 기존의 그루브가 가공된 스풀밸브의 해석모
델을 나타낸다. 길이가 l이 고 반경이 인 스풀이 반 경이 인 슬리브 안에 놓여 져 있다. 이때 스풀은 만큼 틸팅되어 있다. 그리고 슬리브가 z축 방향으로 의 속도로 움직이며 해석 영역 가장자리에서의 경계 압력은 각각 이다. 스풀의 양 끝에서 첫번째 그루 브까지의 길이는 이고 그루브 사이의 간격은 이며 그루브의 폭과 깊이는 와 이다. 실제 대부분의 스 풀밸브는 슬리브가 고정되어 있고 스풀이 움직이는 장 치이다. 그러나 본 연구에서는 해석의 편의성을 위해 상 대운동의 개념으로 스풀이 고정되어 있고 슬리브가 병 진 운동을 하는 시스템에 대해 해석을 수행하였다. 그 리고 스풀이 편심하지 않고 틸팅된 경우에 대한 해석을 수행하였다. Fig. 2은 Fig. 1의 무차원 모델을 나타낸다.
2-2. 지배방정식
정상상태, 비압축성 유체에 대해 3차원 Navier- Stokes 방정식과 2차원 Reynolds 방정식을 사용하여 해석을 수행하였다. Navier-Stokes 방정식을 이용한 해 석에서는 상용 전산유체해석 프로그램(FLUENT)을 이 용하여 해석하였다.
스풀과 슬리브 사이의 틈새에서 발생되는 압력은 아래
와 같은 2차원 Reynolds 방정식에 의해 계산할 수 있다.
(1)
여기서 p는 유막 압력을 나타내고 h는 유막두께를 나타내며 u0는 윤활면의 속도이며 는 윤활유의 점도 를 나타낸다. 유막두께를 나타내는 h는 해석 영역에 따라 다음과 같이 달라진다. 스풀의 좌측으로부터 첫 번째 그루브까지의 범위는 아래와 같다.
(2)
이때, 유막두께식은 다음과 같다.
(3)
그리고 스풀의 좌측으로부터 첫번째 그루브 영역에 서의 유막두께식은 아래와 같다.
(4)
위와 같은 방식으로 각 영역에 대한 유막두께식을 정의하였다.
해석 영역의 양쪽 경계에서의 압력조건은 다음과 같다.
(5)
(6)
2차원 Reynolds 방정식을 무차원화하여 무차원 파라 미터들을 결정하였다. 식 (1)을 무차원화 하면 다음과 같다.
r1
r0
u0
p0pr
l1 l3
l1 h2
Fig. 1. Schematic of spool valve (dimensional form). Fig. 2. Schematic of spool valve (non-dimensional form).
(7)
무차원 변수들은 다음과 같다.
(8)
그리고 무차원 파라미터는 다음과 같다.
(9)
그리고 유막두께식 (3), (4)를 무차원화하면 다음과 같다.
(10)
(11)
여기서 무차원 파라미터들은 다음과 같다.
(12)
그리고 각 해석 영역의 범위를 정의하는데 필요한 무차원 파라미터들은 아래와 같다.
(13)
여기서 n은 그루브 개수이다.
압력의 경계조건을 나타내는 식 (5)와 (6)을 무차원 화하면 다음과 같다.
(14)
(15)
여기서 무차원 파라미터는 아래와 같다.
(16)
따라서 스풀과 슬리브의 틈새 유동에 대해 2차원 Reynolds 방정식을 무차원화하면 아래와 같이 8개의 무차원 파라미터들로 문제가 정의된다.
(17)
다음으로 CFD 해석에서는 원통형 좌표계의 연속 방 정식, 운동량 방정식을 사용하였다.
3차원 Navier-Stokes 방정식을 무차원화하여 무차원 파라미터들을 살펴보았다. 우선 원통형 좌표계의 연속 방정식을 무차원화하면 다음과 같다.
(18)
여기서 무차원 변수는 아래와 같다.
(19)
다음으로 원통형 좌표계의 운동량 방정식을 무차원 화하면 다음과 같다.
(20)
(21)
(22)
여기서 무차원 파라미터는 다음과 같다
(23)
그리고 Fig 2에서 의 범위는 아래와 같다.
(24)
(25) r z
(26)
이렇게 해석 영역을 정의하기 위해서는 8개(B, R, L1, L2, L3, H2, n, S)의 무차원 파라미터들이 필요하다.
해석 영역 양끝에서 압력의 경계조건은 Reynolds 방정 식을 이용한 해석에서와 동일하다.
따라서 스풀과 슬리브의 틈새 유동에 대해 Navier-
Stokes 방정식을 무차원화하면 10개의 무차원 파라미
터들로 문제가 정의된다. 여기서 Re, B는 Reynolds 방정식의 무차원화에서는 없으나 Navier-Stokes 방정 식의 무차원화에서 나타나는 무차원 파라미터들이다.
2-3. 해석 결과
본 연구에서 사용된 그루브의 단면형상은 3가지이다.
Fig. 3(a)와 같이 그루브의 폭과 깊이는 동일한 정사각형
(type-1), U자형(type-2), 이등변 삼각형(type-3)의 단면 형 상을 가지는 스풀밸브에 대해서 해석을 수행하였다. 이때 Fig. 3(b)와 같이 U자형 그루브에서 라운드 되는 부분과 그렇지 않은 부분의 깊이의 비를 나타내는 c와 d의 비는 1:1이다. 그리고 본 연구에서는 측력(lateral force), 누설량 (volume flow rate), 마찰력(friction force)으로 스풀밸브들 의 윤활특성을 살펴보았다. 측력은 Fig. 4에서 보는 바와 같이 스풀 표면에 작용하는 유막압력의 수직성분을 적분 함으로써 얻어지는 값으로 식 (27)과 같다. 이 측력은 스 풀이 슬리브 내벽 쪽으로 치우치게 하거나 때론 스풀이 슬리브의 중심으로 향하게 하는데 전자가 유체고착을 발 생시키고 후자는 유체고착을 방지한다. 측력은 스풀 주위 에 형성된 압력의 불균형 정도를 파악할 수 있다. 측력의 절대값이 크다는 것은 스풀 주위의 압력 불균형이 큼을 의미한다. 누설량은 식 (28)와 같이 스풀의 출구(outlet)에 서 유체의 속도 성분을 적분함으로써 구해진다. 식 (29) 에서 F는 유체의 점성으로 발생하는 마찰력으로 스풀 표 면의 전단응력을 적분함으로써 구해진다.
(27)
(28)
(29)
그리고 무차원 측력, 무차원 누설량 그리고 무차원 마찰력은 다음과 같다.
(30)
(31)
(32)
그리고 무차원 측력의 비, 무차원 누설량의 비, 무차 원 마찰력의 비는 다음과 같다.
(33)
(34) Fig. 3. (a) Cross sectional shapes of groove (b) Depth ratio of type-2.
Fig. 4. Cross section of spool valve.
(35)
Reynolds 방정식의 타당성을 평가하기 위해 위와 같
이 무차원 측력의 비, 무차원 누설량의 비, 무차원 마 찰력의 비를 사용하였는데, 이때 Navier-Stokes 방정식 으로 구한 값을 기준으로 두 지배방정식으로부터 얻어 진 결과값의 차이를 비교하였다. 이는 여러 가지 가정 으로 간단화된 Reynolds 방정식에 의한 값보다 Navier-Stokes 방정식으로 구한 값이 더 정확하기 때문 이다. 이때, 하첨자 N-S는 Navier-Stokes 방정식을 나 타내고 RE는 Reynolds 방정식을 의미한다.
2-3-1. Reynolds 방정식의 타당성 평가
Reynolds 방정식을 이용한 해석에서는 그루브 내의
재순환(recirculation)과 와류(vortex)의 현상을 고려하 지 못한다. 따라서 그루브 단면 형상의 변화가 그루 브 내의 유동에 어떠한 영향을 미치는지 살펴보고 그 루브 단면 형상의 변화에 의한 두 지배방정식의 결과 들(측력, 마찰력, 누설량)을 비교하여 Reynolds 방정 식의 타당성을 평가해 보았다. 본 연구에서는 전형적 인 사각형 모양의 그루브를 가지는 스풀밸브 외에 U 자형, 삼각형 단면을 가지는 스풀밸브에 대해서 평가 하였다.
먼저 그루브 개수가 2개일 때, 그루브 단면 형상의 변화에 의한 윤활특성을 살펴보았다. 이때 계산 조건 은 Table 1과 같다. Type-1은 정사각형이고 type-2는 U자형이고 type-3는 이등변 삼각형이다. Fig. 5는 Re 가 214일 때, 그루브의 단면 형상의 변화에 의한 무차 원 측력을 나타낸다. 모든 타입에서 Reynolds 방정식 으로 구해진 무차원 측력의 값이 Navier-Stokes 방정 식으로 구해진 무차원 측력의 값보다 크다. Figs. 6, 7 은 Re가 214일 때, 그루브의 단면 형상의 변화에 의 한 무차원 누설량과 무차원 마찰력을 나타낸다. Fig. 6 에서Reynolds 방정식으로 구해진 무차원 누설량이 Navier-Stokes 방정식으로 구해진 무차원 누설량보다
Fig. 5. Dimensionless lateral force with variation of groove shape (n=2, Re=214).
Fig. 6. Dimensionless volume flow rate with variation of groove shape (n=2, Re=214).
Fig. 7. Dimensionless friction force with variation of groove shape (n=2, Re=214).
Table 1. Nondimensional parameters for numerical calculation (variation of groove shape, n=2)
R S L1 L2 H2 Pr n
2.66 -0.796 0.075 0.025 50 -0.371 2
B Re
751 0.714,7.14,214
크고 Fig. 7에서는Navier-Stokes 방정식으로 구해진 무 차원 마찰력이 Reynolds 방정식으로 구해진 무차원 마 찰력보다 더 크다. 그루브 개수가 2개인 경우, Re가 0.714, 7.14, 214일 때 그루브 단면 형상에 따른 무차 원 측력, 누설량, 마찰력의 크기를 살펴보았다. 그 결 과로부터 무차원 측력의 비, 누설량의 비, 마찰력의 비 를 살펴보면 Figs. 8~10와 같다. 그루브 개수가 2개 인 경우에는 그루브 단면 형상과 Re의 변화에 의한 무차원 측력의 비는 4% 미만, 무차원 누설량의 비는 5% 미만, 무차원 마찰력의 비는 4% 미만으로 작다.
따라서 그루브 개수가 작은 경우에는 그루브 단면 형 상과 Re의 변화에 의한 두 지배방정식의 결과 값 차 이가 작으므로 이런 경우에는 Reynolds 방정식으로 수 행한 해석이 타당하다.
다음으로 그루브의 개수가 16개인 경우에 그루브 의 단면 형상의 변화에 의한 무차원 측력, 누설량 및 마찰력을 살펴보았다. 이때 계산 조건은 Table 2 와 같다. Figs. 11~13은 Re가 0.714일 때, 그루브 단면형상의 변화에 의한 무차원 측력, 누설량, 마찰 력을 나타낸다. 그루브의 개수가 16개인 경우에는 그 루브의 개수가 2개인 경우와는 달리 Navier-Stokes 방정식으로 구해진 값들(무차원 측력, 누설량, 마찰력) 이 Reynolds 방정식으로부터 구해진 값들보다 더 크 다. Re가 0.714, 7.14, 214일 때 그루브 단면 형상 에 따른 무차원 측력, 누설량, 마찰력의 크기를 살펴 보았다. 이 결과로부터 무차원 측력의 비, 누설량의 비, 마찰력의 비를 구해보면 Figs. 14~16과 같다.
그루브 단면 형상이 일정할 때, 무차원 측력의 비와 Fig. 8. Dimensionless lateral force ratio with variation
of groove shape and Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 9. Dimensionless volume flow rate ratio with variation of groove shape and Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 10. Dimensionless friction force ratio with variation of groove shape and Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 11. Dimensionless lateral force with variation of groove shape (n=16, Re=0.714).
마찰력의 비는 Re의 증가에 따라 증가한다. 그리고 Re의 증가에 따른 무차원 누설량의 비는 6% 미만으 로 작으나 무차원 측력의 비는 Re가 214일 때 그 절대값이 30% 이상으로 크고 무차원 마찰력의 비는 Re가 214일 때 15% 이상으로 크다. 이렇게 그루브 의 개수가 16개인 경우, 같은 그루브 단면 형상에 대해 지배방정식에 따른 측력과 마찰력의 비는 10%
이상으로 크다. 따라서 그루브 개수가 많은 스풀밸브 의 측력 및 마찰력의 계산에서는 Navier-Stokes 방 정식을 이용해야 한다. 그리고 Re가 214인 경우에 그루브의 단면 형상의 변화에 의한 측력의 비가 10% 이상으로 크다. 즉 Re가 증가하면 유체 관성력 의 효과에 의해 그 차이가 커진다. 그러므로 Re가 Fig. 12. Dimensionless volume flow rate with variation of groove shape (n=16, Re=0.714).
Fig. 13. Dimensionless friction force with variation of groove shape (n=16, Re=0.714).
Fig. 14. Dimensionless lateral force ratio with variation of groove shape and Re (n=16, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 15. Dimensionless volume flow rate ratio with variation of groove shape and Re (n=16, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 16. Dimensionless friction force ratio with variation of groove shape and Re (n=16, Re=0.714, 7.14, 214).
큰 경우에 그루브 단면형상의 변화에 의한 측력의 계산에서는 Navier-Stokes 방정식을 이용하는 것이 타당하다.
2-3-2. 그루브 단면 형상의 변화에 의한 윤활특성 Figs. 5~7을 통해, 그루브 개수가 2개이고 Re가 214일 때 Navier-Stokes 방정식으로 구한 결과들을 살펴보면 그루브의 단면이 U자형일 때 무차원 측력, 무차원 누설량, 무차원 마찰력이 가장 작다. 그 원인 은 그루브의 단면 형상에 따라 그루브 내의 유동의 형태가 달라지기 때문이라 생각된다. 따라서 그루브 내의 유선을 살펴보았다. Fig. 17은 그루브 개수가 2 개일 때, 그루브의 단면 형상과 Re의 변화에 대한 그 루브내 유선(streamline)을 나타낸다. 그루브의 단면 형상이U자형 일 때는 하나의 큰 와류(vortex)만 발생 된다. 그러나 그루브의 단면 형상이 정사각형일 때는 큰 와류 외에 그루브의 양쪽 모서리에서 작은 와류 (small eddy current)가 발생하고 그루브 단면이 이등 변 삼각형일 때는 2개의 큰 와류가 발생한다. 이렇게 그루브의 단면 형상이 U자 형태로 유선형일 때는 작 은 와류의 발생을 억제하여 원주 방향으로의 유동을 원활하게 하므로 측력과 마찰력이 작다. Fig. 18은 그 루브의 단면 형상이 U자형일 때 Re의 증가에 의한
유동의 변화를 나타낸다. Re가 7.14인 경우에는 유체 관성력의 증가로 인해 Re가 0.714일 때 보다 와류의 중심이 한쪽으로 치우치는 형상이 나타나고 Re가 214 로 증가하면 와류의 중심이 그루브의 중심으로 이동 한다. 즉, Re가 증가하면 슬리브 내면에서 와류 중심 까지의 거리(hv)가 증가하여 와류의 중심이 그루브의 중심방향으로 이동하게 된다. 또한 Re가 증가하면 와 류의 모양이 원형에 가까운 형태를 나타낸다[11-13].
그리고 Fig. 14와 16에서 Re가 크면 관성력의 효과 에 의해 두 지배방정식에 의한 측력 및 마찰력의 차 이가 큼을 확인하였다. 이것은 지배방정식에 따라 관 성력의 고려 유무와 관성력의 크기 차이가 큰 영향을 미치기 때문이다.
앞서 그루브 단면 형상의 변화에 대한 해석 결과에 서 그루브 형태가 U자형일 때, 측력과 마찰력이 작게 나타남을 확인하였다. 이때, 라운드 되는 부분의 깊이 와 라운드 되지 않는 부분의 깊이가 같은 경우이다.
좀더 자세하게 전체 그루브 깊이(h2)에서 라운드 되는 부분의 깊이(hw)가 차지하는 비율에 따라 윤활특성이 어떻게 변화하는지 살펴보았다. Fig. 19를 보면 U자 형 그루브에서 라운드 되는 부분은 타원형태이다. 이 때 계산 조건은 Table 1이고 hw/h2의 비는 Table 3 과 같다. Figs. 20~22는 hw/h2의 변화에 대한 무차원 측력, 무차원 누설량, 무차원 마찰력을 나타낸다. 점 선은 Reynolds 방정식으로 구해진 결과 값을 나타내 고 실선은 Navier-Stokes 방정식으로 구해진 결과를 Fig. 17. Streamlines with variation of groove shape and
Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 18. Distance from sliding surface to center of vortex (n=2, Re=0.714, 7.14, 214)
Fig. 19. (a) Ratio of depth (hw/h2) (b) Shape of round part.
나타낸다. Re가214일 때, Navier-Stokes방정식으로 구 해진 결과들을 살펴보면 hw/h2가0.5인 경우에 무차원 측력, 마찰력 및 누설량이 가장 적게 나타남을 확인 할 수 있다. 이는 U자형 그루브의 경우, 전체 깊이에 서 라운드 되는 부분의 깊이가 반이 될 때 원주 방 향으로의 유동이 가장 원활하기 때문에 측력 및 마찰 력이 작게 나타난다.
3. 결 론
본 연구에서는 스풀밸브의 단면형상 변화에 대한
Reynolds 방정식의 타당성 및 윤활특성을 평가하기 위
해 2차원 Reynolds 방정식과 3차원 Navier-Stoke방정 식을 이용하여 해석을 수행하였다. 그루브의 단면 형 상에 따라 두 지배방정식으로부터 얻어지는 측력, 마 찰력, 누설량을 비교하였다. 이를 통해서 다음과 같은 결론을 얻었다.
(1) Re가 큰 경우, 그루브 단면 형상의 변화에 의한
측력의 비는 10% 이상으로 큰 차이가 난다. 따라서 Re가 큰 경우에 그루브 단면 형상의 변화에 의한 측 력을 계산할 때는 Navier-Stoke 방정식을 사용하는 것 이 타당하다.
(2) Re가 큰 경우, U자형 그루브의 단면 형상을 가 진 스풀밸브가 기존의 사각형의 그루브를 가진 스풀밸 브보다 측력, 마찰력 및 누설량이 작아 윤활특성이 좋 다. 이는 그루브 단면이 U자형과 같이 유선형일 때 그루브내 작은 와류의 발생을 억제하여 원주방향으로 Table 2. parameters for numerical calculation (variation
of groove shape, n=16)
R S L1 L2 H2 Pr n
2.66 -0.796 0.075 0.025 50 -0.371 16
B Re
751 0.714,7.14,214
Table 3. Ratio of depth (hw/h2, type-2)
l2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
hw 0 0.125 0.25 0.375 0.5
h2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
hw/h2 0 0.25 0.5 0.75 1
Fig. 20. Dimensionless lateral force with variation of hw/h2 and Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 21. Dimensionless volume flow rate with variation of hw/h2 and Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
Fig. 22. Dimensionless friction force with variation of hw/h2 and Re (n=2, Re=0.714, 7.14, 214).
의 유동이 원활해지기 때문이다.
(3) 그루브 개수가 많은 경우, 같은 단면형상에 대해 두 지배방정식으로부터 얻어지는 측력 및 마찰력의 차 이는 크다. 따라서 그루브 수가 많은 스풀밸브의 측력 및 마찰력의 계산에서는 Navier-Stoke 방정식을 사용 하는 것이 타당하다.
기호설명
B = 무차원 파라미터(r0/c)
F = 마찰력
F*= 무차원 마찰력( )
Fl= 측력
Fl*
= 무차원 측력 ( ) H2= 무차원 그루브의 깊이(h2/c)
L1= 스풀의 선단에서부터 첫번째 그루브까지의 무차원 길이 (l1/l)
L2= 무차원 그루브의 폭 (l2/l) L3= 그루브들 사이의 무차원 길이(l3/l) N-S = Navier-Stokes 방정식
P = 무차원 압력 ( )
Pr= 우측 경계에서의 무차원 압력
( )
RE = Reynolds 방정식
Q = 누설량
Q*= 무차원 누설량 ( ) R = 무차원 파라미터(l/r0) Re = 레이놀즈 수( ) S = 무차원 파라미터( ) c = 동심 상태일 때의 틈새(r0r1)
h = 유막두께
hv= 슬리브 내멱에서부터 그루브 내 와류의 중심까지의 수직 거리
hW= U자형 그루브에서 라운드 되는 부분의 깊이 h2= 그루브의 깊이
l = 스풀의 길이
l1= 스풀의 선단에서부터 첫번째 그루브까지의 길이
l2= 그루브의 폭
l3= 그루브들 사이의 길이 n = 그루브의 개수
p = 유막압력
po= 좌측 경계에서의 압력
pr= 우측 경계에서의 압력 u = 윤활면의 평균속도 u0= 슬리브의 속도 r0= 슬리브의 반경 r1= 스풀의 반경
= 방향의 속도
= 방향의 무차원 속도
Greek
= 스풀의 틸팅 각도
= 윤활유의 점도
= 윤활유의 밀도
Subscript
N-S = Navier-Stokes 방정식 RE = Reynolds 방정식
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