Analysis of Photoelastic Stress Field Around Inclined Crack Tip by Using Hybrid Technique

<학술논문>

DOI:10.3795/KSME-A.2010.34.9.1287

ISSN 1226-4873

하이브리드 기법에 의한 경사균열 팁 주위의 광탄성 응력장 해석^§

첸레이

^*

· 서 진

^*

· 이병희

^*

· 김명수

^**

· 백태현

^*†

* 군산대학교 기계공학과, ** 군산대학교 전자공학과

Analysis of Photoelastic Stress Field Around Inclined Crack Tip by Using Hybrid Technique

Lei Chen

^*

, Jin Seo

^*

, Byung Hee Lee

^*

, Myung Soo Kim

^**

and Tae Hyun Baek

^*†

* Dept. of Mechanical Engineering, Kunsan Nat’l Univ.,

** Dept. of Electronics, Kunsan Nat’l Univ.

(Received June 3, 2010 ; Revised July 26, 2010 ; Accepted July 26, 2010)

1. 서 론

각종 산업기계, 운송기관과 교량 건축물 등의 부품이 재료 강도보다 현저히 낮은 상태에서 파손 되거나 파괴가 일어날 경우, 재료 내부의 결함이 나 단면의 급격한 변화로 인한 응력집중, 또는 날 카로운 균열 선단이 파괴의 원인이 되는 경우가 많다.

균열선단 주위의 응력해석은 경계조건이 간단한

경우에는 이론 및 수치해법으로 해석할 수 있으나, 실제 공학적인 구조물에서는 경계조건이 복잡하고 균열 선단에 인접한 부분에서는 탄소성 변형으로 인한 재료의 비선형성 등으로 해석이 어려울 경우 가 많다. 이 경우, 단면이 급격히 변화되는 불연속 부위나 균열선단으로부터 멀리 떨어진 위치에서 변위, 변형률 또는 응력 등을 측정한 후, 이들 값 과 응력함수를 이용한 하이브리드 법으로 응력집 중부의의 응력장과 응력성분을 해석할 수 있다.

여러 가지 실험기법중 광탄성법은 전체 응력장을 가시적으로 판별할 수 있는 장점이 있으므로 응력 집중 및 응력 확대계수 연구에 많이 활용되고 있 다.

^(1,2)

본 연구에서는 단축하중을 받는 판의 경사균열 Key Words : Photoelasticity(광탄성), Hybrid Method(하이브리드 기법), Conformal Mapping(등각사상), Isochromatic

Fringe(등색프린지), Least Squares Method(최소자승법)

초록: 본 연구에서는 균열선단 주위의 응력장을 균열선단으로부터 떨어진 일직선상에서 유한요소법에 의해 계산된 광탄성 등색프린지 차수와 급수형 등각사상 맵핑함수를 이용하여 해석하였다. 해석된 광탄성 응력장을 실제의 광탄성프린지와 비교하였다. 정성적인 비교가 용이하도록 디지털 영상처리에 의해 등색프린지 패턴을 2 배로 증식시키고, 증식된 프린지를 다시 세선처리하여 서로 비교하였다. 유한요소법으로 계산된 프린지 차수를 이용한 하이브리드 응력장 해석에 의해 계산된 프린지와 광탄성 실험에 의한 실제의 프린지를 정성적이고 정량적인 비교를 하였다. 입력된 변위와 계산된 변위의 퍼센트 오차는 18 개의 데이터 모두 6.0% 이하로 서로 일치하였다. 또한 하이브리드 기법에 의한 정규화시킨 응력확대계수

K _I

및

K _II

는 유한요소법과 경험식으로 계산된 값에 근접하였다.

Abstract: In this paper, a hybrid technique is presented. First, the isochromatic fringe data of a given set of points are calculated by the finite element method and are used as input data in complex variable formulations. Then the numerical model of the specimen with a central inclined crack is transformed from the physical plane to the complex plane by conformal mapping. The stress field is analyzed and the mixed-mode stress intensity factors are calculated for this complex plane. The stress intensity factors are calculated by the finite element method as well as by a theoretical method and compared with each other. In order to conveniently compare these values with each other, both actual and regenerated photoelastic fringe patterns are multiplied by a factor of two and sharpened by digital image processing.

§ 이 논문은 2010 년도 대한기계학회 신뢰성부문 춘계학술대회 (2010. 5. 27.-28., 전남대 컨벤션홀) 발표논문임.

† Corresponding Author, [email protected]

© 2010 The Korean Society of Mechanical Engineers

선단으로부터 임의 거리에 떨어져 있는 직선상에 서 유한요소법으로 계산된 등색 프린지 차수 (isochromatic fringe order)로부터 복소수형 멱급수 응력함수(complex–type power series stress function)를 이용, 최소자승법으로 멱급수의 계수를 구하여 이 로부터 응력성분과 혼합모드 응력확대계수(mixed–

mode stress intensity factor)를 계산하였다. 한편으로 계산된 응력성분과 응력–광 법칙(stress–optic law) 을 이용하여 광탄성 프린지를 다시 계산하고 이들 을 실제로 측정된 프린지와 정성적이고 또한 정량 적으로 비교, 분석하였다. 광탄성 데이터를 정밀하 게 비교하기 위하여 광탄성 실험으로부터 얻은 등 색프린지를 2 배로 증식(fringe multiplication)시키고 세선처리(fringe sharpening)하였다. 또한 본 연구에 서 구한 응력확대계수를 경험식에 의한 값과 비교 하였다

2. 이 론

2.1 기본방정식

본 연구에 사용되는 기법은 등각사상(conformal mapping)과 해석적 연속성(analytical continuation)을 이용하여 기하학적인 불연속 지점에서 견인력이 없는 조건(traction-free condition)을 만족하는 응력함수에 관한 일반식을 이용하였다.

Fig. 1 과 같이 ζ 평면(

−

ζ

_j

=ζ+µ

_j

η)의 반지름이 1 인 단위원(unit circle)이 물리적인

z −

평면에서 균열길이가

2 a

이고 경사각이 α 인 균열선(crack line)으로 맵핑시킬 수 있다. 등방성 재료일 경우, ζ 평면의 단위원과

− z −

평면에서 길이

L = a / 2

인 균열 사이의 맵핑식은 다음 함수 ω 와 같다.

) )(

sin 2 (cos

− 1

− +

+

=

j

i j i j

j a e e

ζ ζ α µ α

ω

^{α α}

(1a)

또한 역함수 ζ는 다음 식과 같다.

) sin (cos

} ) sin (cos

{ ^{2 2 2}

α µ α

α µ α ω

ζ ω

α

j j j

j i

j a

a e

+ +

−

= ±

(1b)

위의 식 (1a) 및 (1b)에서 i= −1이다. 식 (1b) 에서 근호(square root) 값의 부호는

_|

ζ

_{j |} ≥ _{1 , (} j = _{1 , 2 )}

이 되도록 선택해야 한다.

⁽³⁾

다음으로 ζ

−

평면에 관한 응력함수를 구할 수 있다. 물체력과 강체운동이 없다고 가정할 경우, 등방성 재료의 응력성분은 다음 식으로 나타낼 수

있다.

^(3,4)









′ + ′

′

= ′

) (

) ( )

( ) Re (

2

2 2 2 2 2 1 1 2 1

1

ω ζ

ζ µ ψ ζ ω

ζ µ φ

σ

_x

^(2a)









′ + ′

′

= ′

) (

) ( ) (

) Re ( 2

2 2

2 1

1 1

ζ ω

ζ ψ ζ ω

ζ

σ

_y

φ ^(2b)









′ + ′

′

− ′

= ( )

) ( )

( ) Re (

2

2 2

2 2 1 1

1

1

ω ζ

ζ µ ψ ζ ω

ζ µ φ

τ

_xy

^(2c)

위의 식 (2a)~(2c)에서 Re 는 복소수에서 실수부 (real part)를 나타낸다. 또한 φ

' (

ζ

₁ ) = d

φ

/ d

ζ

₁

,

1

1 ) /

(

'

ζ ψ ζ

ψ

= d d

, ω

₁ ' (

ζ

₁ ) = d

ω

/ d

ζ

₁

, 그리고

2 2

2 ' (

ζ

)

ω

/

ζ

ω

= d d

를 의미한다. 한편으로 복소수 매 개변수

_{( j 1 , 2 )}

j =

µ 는 평면응력 상태의 등방성 재

료에 대한 다음 특성식 (3)의 두 개의 근(roots)이 다.

0 )

2

( _{12 66} ² ₂₂

4

11 + S + S + S =

S µ µ

(3)

식 (3)에서

_{S ( i , j 1 , 2 , 6 )}

ij =

은 탄성 컴플라이언스

(elastic compliance)이다.

두 개의 응력함수 φ

(

ζ

₁ )

와 ψ

(

ζ

₂ )

는 등각사상 (conformal mapping) 및 해석적 연속조건(analytical continuation)에 서로 관계가 된다. Fig. 1 과 같은 부 영역

Ω

내에서 견인력이 없는 물체의 경계조건 (traction-free physical boundary)에 대한 두 개의 함 수는 다음과 같이 각각의 로랭급수(Laurant series) 로 나타낼 수 있다.

⁽⁵⁾

∑ = −

= ^m

m k

k k 1 1 )

(

ζ βζ

φ (4a)

) (

)

( _{2 2 k 2} ^k

m

m k

k

k B

ζ β

C

ζ

β ζ

ψ

∑

−

=

+

=

(4b)

복소수 값인 상수

B

와

C

는 재료의 특성과 관 계되며 다음과 같이 정의한다.

Fig. 1 Conformal mapping of an inclined crack

2 2

1 2 2

2 1

2

,

µ µ

µ µ µ

µ µ µ

−

= −

−

= − C

B (5)

식 (4a)와 (4b)에서 β

_k = b _k + i c _k

이며, 여기서

b _k c k

는 실수(real number)이다. 균열 경계 Γ 에서는 견인력이 없는 조건을 만족해야 하며, φ

(

ζ

₁ )

과

) (

ζ

₂

ψ 와 관계되는 식 (2a)~(2c)의 응력성분은 평형 과 적합조건을 만족해야 한다. 식 (1)에서 (5)로부 터 Fig. 1 의 부영역 Ω 내에서 응력성분을 행렬로 나타내면 다음의 식과 같다.

} ]{

[ }

{ σ = V β

(6)

위의 식에서 {σ}={σ

_x

,σ

_y

,τ }

_xy ^T

이고, 그리고

T m m m m

T

{b ,c , ,b ,c }

}

{β =

− −

L ^{이다. 또한} [V 는 직사] 각형 계수행렬로서 행렬크기는 식 (4)의 멱급수의 항의 수 m 에 따르며, 다음 식과 같다.

 





 





 



 

 + − +

−

=

^{− − − − −− −}

) (

) (

) Re (

) 2 ( ) 1 ( ) , (

2 ' 2

1 2 1 1 2 2 1 ' 1

1 1 1 1 1

ξ ω

ξ µ ξ

ξ ω µ ξ

k k n k n

n

B C

k j

n

V

(7)

위의 식 (7)에서 인덱스 번호는

_{n = 1 ( σ y ), 2 ( τ xy ), 3 ( σ x )}

이고,

k > 0

인 경우는

j = 2 ( k + m ) + 1

,

k ≠ 0

이다.

그리고

k < 0

인 경우는

j = _{2 (} k + m ₎ − ₁

이다. 위의 관련식 (1), (2) 등을 이방성 복합재에 관한 식으로 대체하면, 동일한 방법으로 이방성 복합재에 대해 서도 해석이 가능하다.

2.2 응력확대계수

균열이 Fig. 2 와 같이 물리적인 z-면의

x ' ₋

축에 놓여 있을 경우,

( r ,

θ

)

는 균열 선단의 국부 극좌 표(local polar coordinates)를 의미한다. θ

= 0

이고

a

r <<

(

a

는 균열길이의 절반) 일 경우, 모드 I 과 모드 II 응력확대 계수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

r

K

_I

=σ

_{y '}

2π (8a)

r

K

_II

=τ

_{x ' y '}

2π (8b) 위의 식에서

'

σ 과

y

τ

_{x ' y '}

은 식 (6)으로부터 구한 응력 성분을 좌표 변환하여 얻는다.

2.3 응력−광 법칙 및 광탄성 영상처리

응력-광 법칙에 따르면 면내의 주응력 차이는

Fig. 2 Local coordinates

( r ,

θ

)

of an inclined crack

t

2 Nf /

1

σ

σ

σ

− =

이며, 여기서

N

은 등색선 프린 지 차수(isochromatic fringe order),

f _σ

는 시편재료 의 프린지 상수(material fringe constant), 그리고

t

는 시편의 두께를 의미한다. σ 및

₁

σ 항에 각각의

₂

응력성분을 대입하여 다시 정리하면 아래와 같 다.

⁽⁶⁾

{ } ^{2 2}

2

2

2 



=

 +





 −

t f N

xy y

x

σ τ

σ

σ ₍₉₎

광탄성 실험으로부터 더욱 정확한 결과를 얻기 위하여 프린지 증식 및 세선처리를 적용하였다.

다음 식과 같이 두 개의 영상을 이용하여 증식된 등색선 프린지 영상 I 을 얻을 수 있다.

_R ^(7,8)

| ) 2 cos(

|

|

|I I A N

I

_R

=

_L

−

_D

= π (10)

위의 식에서 I 과

_R

I 은 각각 암시야(dark field)

_L

와 명시야(light field)에서 등색프린지 영상이다.

세선처리는 그레디언트 벡터(gradient vector)특성 을 이용하였다. 광탄성 프린지를 세선처리하기 위 하여 면내의 그레디언트 방향의 변화된 측정값을 이용한다. 세선처리를 위한 연산자 T 는 식 (11)과 같다.

^(7,8)













∇ Σ +

∇ Σ

∇ Σ +

∇

− Σ

= | | | |

|

|

| 1 |

y x

y

A

x

T (11)

위의 식에서 A 는 비례상수이고, ∇ 와

_x

∇ 는

_y

각각 x 및 y 방향의 광탄성 프린지 그레디언트 벡터를 의미한다.

3. 실험 및 해석

3.1 광탄성 시편

유한요소법으로부터 하이브리드법에 사용될 등

색 프린지 데이터를 얻기 위하여 사용될 모델은 Fig. 3 과 같이 중심부에 균열이 있는 유한폭의 단 일축 하중을 받는 시편으로 하였다. 시편의 재질 은 폴리카보네이트 계열인 PSM-1

⁽⁹⁾

이고, 재료의 특성 및 치수는 Table 1 과 같다.

균열 각도는 α =45

^o

이고, 균열의 폭은 0.5 mm 이 며, 팁의 선단은 자연균열과 비슷하도록 날카롭게 가공하였다.

Table 1 Material properties and dimensions of specimen Description Symbol Value

Elastic modulus E 2482 MPa Poisson’s ratio v 0.38 Photoelastic constant f

σ

7005 N/m Tensile stress σ 3.05 MPa Initial crack length 2 a 12.7 mm Width of specimen 2 b 38.1 mm Thickness of specimen t 3.175 mm

Fig. 3 Uni-axially loaded finite width tensile plate containing an inclined crack

(a) Dark field (b) Light field

(c) Doubled pattern (d) Sharpened pattern

Fig. 4 Photoelastic fringe patterns of α=45

^o

inclined

crack obtained by experiment

시편에 인장응력 σ =3.05MPa 를 가하였을 때 암시야와 명시야 배열의 편광기에서 등색프린지는 각각 Fig. 4(a), (b)와 같으며, 이들로부터 두 배로 증식된 프린지와 세선처리된 프린지는 각각 Fig.

4(c), (d)와 같다.

3.2 FEM 에 의한 등색프린지 데이터 계산 상용 유한요소 소프트웨어 ABAQUS

⁽¹⁰⁾

를 이용 하여 Fig. 5 와 같이 유한 폭의 시편에 인장하중을 가하여 데이터를 계산하였다. 시편은 CPS3(3−

node linear plane stress triangle element)와 CPS4R(4−

node bilinear plane stress quadrilateral element)의 두 종류 요소로 분할하였다.

하이브리드 기법에 사용될 입력데이터를 얻기 위하여 Fig. 3 에 표시된 B− C 와 C− D 선에서 응 력성분(σ

_x

,σ

_y

,τ

_xy

)을 구하고 이들 값을 식 (9)에 대입하여 각각의 지점에서 등색프린지 차수를 계 산하였다. Fig. 6 은 ABAQUS 모델에서 계산된 von

− Mises 응력 분포를 나타낸다.

3.3 하이브리드 해석

FEM 에 의해 구한 광탄성 등색 프린지 차수와 식 (4)의 특정한 “m”에 대하여 다음 식 (12)와 같 은 최소자승법으로 계수 {β} 를 계산할 수 있 다.

^(11~14)

(

^{[ ] [ ]}

)

^{[ ] { }}

}

{β = V

^T

V

^{− 1}

V

^T

σ (12) 다음으로 {β}를 식 (6)에 대입하여 응력성분을 얻는다. 물리적인 현상을 관찰하기 위해, 위의 해 석법으로 계산된 {β}를 이용하여 균열선단 주위 의 광탄성 프린지를 Fig. 7 과 같이 나타냈다.

Fig. 5 FEM model of specimen in ABAQUS

Fig. 6 von− Mises stress distribution of the loaded tensile plate obtained by ABAQUS discretization

Table 2 Comparison of input and calculated fringe order No

x (mm) y (mm)

N

^-inp

N

^-cal

Error

(100%) 1 -5.001 1.801 1.8947 1.8969 0.12 2 -5.001 2.700 1.9716 2.1165 7.35 3 -5.001 5.400 2.2794 2.3616 3.61 4 -5.001 6.299 2.3803 2.3337 -1.96 5 -5.001 7.201 2.4719 2.3252 -5.93 6 -5.001 8.100 2.5512 2.4311 -4.71 7 -5.001 8.999 2.6173 2.7754 6.04 8 -4.100 8.999 2.6629 2.7542 3.43 9 -3.200 8.999 2.7196 2.7347 0.56 10 -2.301 8.999 2.7836 2.6803 -3.71 11 -1.400 8.999 2.8574 2.6890 -5.89 12 -0.500 8.999 2.9486 2.8885 -2.04 13 0.399 8.999 3.0463 3.1877 4.64 14 1.300 8.999 3.1524 3.2855 4.22 15 2.200 8.999 3.2683 3.2329 -1.08 16 3.099 8.999 3.3876 3.3620 -0.76 17 4.001 8.999 3.5024 3.6966 5.54 18 4.001 8.100 3.5736 3.3971 -4.94

(a) Dark field (b) Light field

(c) Doubled pattern (d) Sharpened pattern Fig. 7 Reconstructed fringe patterns of

₃₀ ^o

inclined crack

주어진 지점에서 입력된 데이터(N

_inp

)와 계산된 등색프린지 차수(N

_cal

)를 정량적으로 비교하기 위 하여 퍼센트오차, 표준편차와 같은 간단한 통계적 인 매개변수를 사용하였다. 임의의 주어진 점에서 입력된 프린지와 계산된 프린지의 퍼센트 오차는 다음 식으로 계산한다.

Table 2 는 식 (4)의 멱급수에서 m=1 에 대한 데 이터이며, 이 데이터에 대한 입력된 데이터 (N

inp

)

Table 3 Comparison of stress intensity factors Stress Intensity

Factor Hybrid FEM* Equation**

a K _I

π

σ

₀

0.492 0.526 0.532

I

II

K

K / 1.062 1.006 1.000

*See ABAQUS Analysis User’s Manual, ABAQUS Inc., Providence, RI 02909, USA.

**See Reference (Anderson, 1995)

와 계산된 등색프린지 차수 (N

cal

), 그리고 식 (13) 으로 계산한 퍼센트 오차 (E) 를 나타낸다. 또한 식 (13)으로 계산한 오차(E)에 대한 표준편차 (SD) 는 4.4%이다. 표준 편차는 Table 2 의 값을 이용하 여 식 (14)의 식으로 계산하였다.

(%) ) 100

( − ×

=

inp inp cal

N N

E N

(13)

또한 “n”개의 데이터 포인트에 대해서 퍼센트 오차의 표준편차는 아래의 식과 같다.

∑ ∑

= =

 

 



 −

= − ⁿ

i

n

i i

i E

E n SD n

1

2

1

1 1

1

(14)

Fig. 3 의 시편에 대해 하이브리드법으로 계산한 혼합모드 응력확대 계수를 유한요소 및 경험식에 의해 계산한 값과 비교하였다.

4. 결론 및 토의

본 연구에서는 균열선단 주위의 응력장을 균열 선단으로부터 떨어진 일직선상에서 유한요소법에 의해 계산된 광탄성 등색프린지 차수와 급수형 등 각사상 맵핑함수를 이용하여 해석하였다. 해석된 광탄성 응력장을 실제의 광탄성프린지와 비교하였 다.

정성적인 비교가 용이하도록 디지털 영상처리에 의해 등색프린지 패턴을 2 배로 증식시키고, 증식 된 프린지를 다시 세선처리하여 서로 비교하였다.

정량적인 분석을 위하여 각각의 광탄성 측정 데이 터와 계산된 프린지에 대한 퍼센트 오차를 계산하 였으며, 급수형 응력함수의 항의 수에 따른 퍼센 트오차에 대한 표준편차를 계산하였다.

본 연구로부터 얻은 결론을 요약하면 다음과 같 다.

(1) 유한요소법으로 계산된 프린지 차수를 이용

한 하이브리드 응력장 해석에 의해 계산된 프린지 와 광탄성 실험에 의한 실제의 프린지를 정성적이 고 정량적인 비교를 하였다. 입력된 변위와 계산된 변위의 퍼센트오차는 18 개의 데이터 모두 6.0%

이하로 서로 일치하였다.

(2) 응력함수의 항의 수를 m = 1 일 경우에도 하 이브리드 기법에 의한 정규화시킨 혼합모드 응력 확대계수

_{K I} /

σ

₀

π

_a

, K

_II

/K

_I

는 Table 3 과 같이 유한요소법과 경험식으로 계산된 값과 서로 잘 일 치하였다.

본 연구에서는 균열선단으로부터 떨어진 거리의 일직선상의 광탄성 프린지 차수를 입력데이터로 사용하여 균열선단 주위의 응력장을 계산하였다.

모아레 또는 레이저스펙클법과 같은 실험법에서 위상이동법을 이용하면 일직선상의 프린지 분포를 용이하게 측정할 수 있으므로 실제 실험데이터를 이용하여 균열선단 주위의 응력장 해석을 할 수 있을 것이다.

^(13,14)

또한 본 연구에 사용된 멱급수 형 응력함수는 등방성 재료를 포함한 이방성 복합 재에 대해서도 적용될 수 있다.

본 논문의 궁극적인 목적은 광탄성 실험법에 의 해 일직선상에 측정된 프린지 차수로 응력확대계 수를 구하기 것이며, 여기서는 예비연구 단계로 유한요소법에 의한 광탄성데이터를 사용하여 응력 확대계수를 구하였다. 이 값은 Table 3 에서와 같이 경험식이나 유한요소법으로 직접 구한 값에 근접 하였습니다. 추후 실제의 광탄성 데이터를 사용하 여 응력확대계수를 계산하기 위한 연구가 필요할 것으로 사료된다.

참고문헌

(1) Murakami, Y., 1987, Stress Intensity Factors, Vol. I &

II, Pergamon Books Ltd.

(2) Anderson, T. L., 1995, Fracture Mechanics Fundamentals and Applications, 2nd ed., CRC Press Inc.

(3) Gerhardt, G. D., 1984, “A Hybrid/Finite Element Approach for Stress Analysis of Notched Anisotropic Materials,” ASME Journal of Applied Mechanics, Vol.

51, No. 4, pp. 804~810.

(4) Baek, T. H. and Rowlands, R. E., 1999, “Experimental Determination of Stress Concentrations in Orthotropic Composites,” Journal of Strain Analysis, Vol. 34, No.

2, pp. 69~81.

(5) Rhee, J., 1995, “Geometric Discontinuities in Orthotropic Composites,” Ph. D. Dissertation, Mechanical Engineering Department, University of Wisconsin-Madison.

(6) Dally, J. W. and Riley, W. F., 1991, Experimental Stress Analysis, 3

^rd

ed., McGraw-Hill, pp. 424~452.

(7) Photoelastic Division, 1990, “Photoelastic Sheets,”

Measurement Group, Inc., Vishay Group, USA.

(8) ABAQUS Inc., 2003, “ABAQUS Analysis User’s Manual,” ABAQUS Inc.

(9) Baek, T. H., 1993, “Digital Image Processing Technique for Photoelastic Isochromatic Fringe Sharpening,” Journal of the Korean Precision Engineering, Vol. 10, No. 3, pp. 220~230.

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(11) Baek, T. H., 2006, “Photoelastic Stress Analysis by Use of Hybrid Technique and Fringe Phase Shifting Method,” Journal of Exp. Mech., University of Science and Technology of China, Vol. 21. No. 1, pp. 87~95.

(12) Baek, T. H., Panganiban, H. and Chung, T. J., 2007,

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(13) Baek, T. H., 2008, “Stress Distribution in the Vicinity of a Crack Tip in a Plate under Tensile Load Using Displacement Data of Finite Element Method,”

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(14) Baek, T. H., Kim, M. S. and Chen. L, 2009,

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