Analysis of Stress Distribution around a Central Crack Tip in a Tensile Plate Using Phase-Shifting Photoelasticity and a Power Series Stress Function

위상이동 광탄성법과 멱급수형 응력함수를 이용한 인장시편 중앙 균열선단 주위 응력장 해석

Analysis of Stress Distribution around a Central Crack Tip in a Tensile Plate Using Phase-Shifting Photoelasticity and a Power Series Stress Function

백태현 Tae Hyun Baek

초 록 본 연구에서는 균열선단 주위의 응력장을 균열선단으로부터 멀리 떨어진 직선상에서 위상이동 광탄 성법과 멱급수형 등각사상 맵핑함수를 이용하여 해석하였다. 해석된 광탄성 응력장을 실제의 광탄성프린지와 비교하였다. 정성적인 비교가 용이하도록 디지털 영상처리에 의해 등색프린지 패턴을 2배로 증식시키고, 증식 된 프린지를 다시 세선 처리하여 서로 비교하였다. 정량적인 분석을 위하여 각각의 광탄성 측정 데이터와 계 산된 프린지에 대한 퍼센트 오차와 멱급수형 응력함수의 항의 수에 따른 퍼센트 오차에 대한 표준편차를 비 교하였다.  응력함수의 항의 수를 변화시켰을 때 표준편차를 계산하였다. 해석 결과 모드I 응력확대계수는 유 한요소법과 경험식으로 계산한 값과 2% 이내로 근접하였다.

주요용어: 광탄성법, 응력확대계수, 위상이동법, 균열해석

Abstract This paper presents stress distribution around a central crack tip in a tensile plate using phase-shifting

photoelasticity and a power series stress function. Isochromatic data along the straight lines far from the crack tip were obtained by phase shifting photoelasticity and were used as input data of the hybrid experimental analysis. By using the complex-type power series stress equations, the photoelastic stress distribution fields in the vicinity of the crack and the mode I stress intensity factor were obtained. With the help of image processing software, accuracy and reliability was enhanced by twice multiplying and sharpening the measured isochromatics. Actual and reconstructed fringes were compared qualitatively. For quantitative comparison, percentage errors and standard deviations of the percentage errors were calculated for all measured input data by varying the number of terms in the stress function. The experimental results agreed with those predicted by finite element analysis and empirical equation within 2 percent error.

Keywords: Photoelasticity, Stress Intensity Factor, Phase Shifting Method, Crack Analysis [논 문] - 비파괴 검사학 회지

Journal of the Korean Society for Nondestructive Testing Vol. 29, No. 1 (2009. 2)

[접수일: 2008. 4. 1, 수정일(1차 : 2008. 7. 16, 2차 : 2008. 12. 5), 게재확정일: 2008. 12. 12] 군산대학교 기계자동차 공학부, School of Mechanical and Automotive Engineering, Kunsan National University, Jeonbuk, 573-701, Korea (E-mail: [email protected])

1. 서 론

선박, 항공기, 차량 등의 각종 운송기관과 산업기 계 및 교량 건축물 등의 부품이 과도한 운전이나

비정상적인 환경조건에서 재료강도보다 현저히 낮

은 상태에서 파괴되는 경우, 재료 내부의 결함이나

균열이 원인이 되는 경우가 많다. 특히, 파괴역학에

대한 개념의 정립으로 고강도 재료로 된 부재에서

는 응력강도계수(stress intensity factor)가 재료의 파괴인성치(fracture toughness:  _ )보다 높을 경우 취성파괴로 인하여 갑작스런 파손이 일어날 수 있 다는 사실이 널리 알려졌으며, 이론, 수치해법과 광 탄성을 포함한 여러 실험기법 등의 개발을 통하여 응력강도계수에 대해 많은 자료가 확보되어 있다 [1,2].

균열부 주위의 응력해석은 경계조건이 간단한 경 우에는 이론 및 수치해법으로 해석할 수 있으나, 실제 공학적인 구조물에서는 경계조건이 복잡하고 균열선단에 인접한 부근에서는 탄소성 변형으로 인 한 재료의 비선형성 등으로 해석이 곤란할 경우가 많다. 이 경우, 단면이 급격히 변화되는 불연속부위 나 균열선단으로부터 멀리 떨어진 위치에서 변위, 또는 응력이나 변형률 등을 측정한 후 이들 값과 응력함수를 이용한 하이브리드법으로 응력집중부위 의 응력을 해석할 수 있다[3-5]. 실험기법중 광탄성 법은 전체 응력장을 가시적으로 명확히 판별할 수 있는 장점이 있어 응력 집중 및 강도계수 연구에 많이 활용되어 왔다[6].

본 연구에서는 균열 선단으로부터 임의의 거리에 있는 일직선상에서 위상이동 광탄성법으로 측정한 등색 프린지 차수(isochromatic fringe order)로부터 복소수형 멱급수 응력함수(complex-type power series stress function)를 이용, 최소자승법(least squares method)으로 멱급수의 계수를 구하여 이 로부터 응력성분과 응력강도계수를 계산하였다.

한편으로 계산된 응력성분과 응력․광법칙

(stress-optic law)을 이용하여 광탄성 프린지를 다 시 계산하고 이들을 실제로 측정된 프린지와 정성 적이고 또한 정량적으로 비교·분석하였다. 광탄성 데이터를 정밀하게 비교하기 위하여 광탄성 실험으 로부터 얻은 등색선 영상을 2배로 증식(fringe multiplication)시키고 세선처리(fringe sharpening) 하였다. 또한, 본 연구의 하이브리드법에 의한 응력 확대계수를 유한요소 해석 및 경험식에 의한 값과 비교하였다.

2. 이 론

2.1. 기본방정식

평면응력 상태의 직교 이방성 판재에서 주탄성축

(principal directions of elasticity)에 대한 특성방정 식(characteristic equation)과 평형방정식(equilib- rium equations)으로부터 기하학적인 적합성(geo- metric compatibility)관계를 이용하여 다음과 같이 응력성분(  _ ,  _ 및  _ )에 관한 식으로 나타낼 수 있다[3-5].

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ ′

= ′

) (

) ( ' ) (

) ( Re ' 2

2 2 2 2 2 1 1 2 1

1 ω ζ

ζ μ ψ ζ ω

ζ μ φ

σ _{x (1a)}

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + ′

= ′

) (

) ( ' ) (

) ( Re ' 2

2 2

2 1

1

1 ω ζ

ζ ψ ζ ω

ζ

σ _y φ _(1b)

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ ′

− ′

= ( )

) ( ' ) (

) ( Re ' 2

2 2 2 2 1 1

1 1 ω ζ

ζ μ ψ ζ ω

ζ μ φ

τ _{xy (1c)}

위의 식 (1)에서 Re는 복소수의 실수부(real part) 를 나타내고,     는 복소수 매개변수로서 부록의 식 (A1)과 같은 직교 이방성재료의 특성방 정식에 관한 식의 두 개의 근이다[3-5]. 또한,

′  _   _ , ′      _ 이고, ′    

 _ 와 ′      _ 을 의미한다.

한편으로 Fig. 1과 같은 임의의 부영역 (subregion)  에서 응력함수  _ 를 절단된 로랭 급수(truncated Laurent expansion)[3,4]로 나타내면 다음과 같다.

) 0 ( )

( ₁ = ∑ ₁ ≠

−

=

k

m m k

k k ζ β ζ

φ (2a)

또한, 균열의 경계 에서 표면견인력이 없을 경우 (traction free), 하이브리드 부영역(hybrid sub- region) 에서   는 아래 식과 같다.

Fig. 1 Conformal mapping of a crack in the physical    z-plane into a unit circle in the

 -plane

) (

)

( ₂ ^m _{2 k 2} ^k

m k

k

k B ζ β C ζ

β ζ

ψ = ∑ +

−

= (2b)

식 (2a) 및 (2b)에서 상수     _   _ 이고,   와

 _ 는 실수(real number)이며,  은 양의 정수 (positive integer)이다.

  또한,  와  는 특성방정식의 근에 관계되는 상 수이며, 부록의 식 (A2)와 같다[3,4]. 또한 Fig. 1과 같이  평면의 단위원(unit circle)이  평면에서 균열길이가 이고, 경사각이  (Fig. 1의 경우

   )인 균열선으로 맵핑되는 변환식[5]은 아래 식의 함수  와 같다.

) )(

sin 2 (cos

− 1

− +

+

= _j ⁱ _j ⁱ

_j

j a α μ α e ζ e ζ

ω ^{α α} (3a)

식 (3a)에서    ^   이다. 또한, 역함수  는 다음 식과 같다.

( )

{ }

( ^{α μ α α μ} ) ^α

ω ζ ω

α

sin cos

sin

cos ²

2 2

j j j

j i

j a

a e

+ +

−

= ± (3b)

식 (3b)에서 근호값(square root)의 부호는  ^   ≥  (  )이 되도록 선택한다.

식 (2a), (2b) 그리고 식 (3a), (3b)를 식 (1)에 대 입하면 Fig. 1의 부영역 에서 응력    에 관한 식은 다음과 같이 정리될 수 있다[3-5].

{ } σ =

[ ]

V { } β ₍₄₎

식 (4)에서   ^   _  _  ^ 이고,

  ^ _{ } ^ _{ } ^⋯   _  ^ 는 멱급수 실수상수를 나타낸다. 또한,    는 등각사상함수와 특정 방정 식의 근에 관계되는 장방형 계수행렬(rectangular coefficient matrix)로서 행렬크기(size)는 멱급수 (power series)의 항의 수에 따라 결정되며, 부록의 식 (A3)와 같다[3-5].

식 (4)에서 일단, 상수 가 계산되면 하이브리 드 부영역  (구멍의 경계  포함)에서의 응력은 식 (4)를 이용하여 계산할 수 있다. 단, 등방성 재 료를 포함한 직교이방성 재료는 주탄성축에 대하여 물성이 서로 대칭이므로 상수 에서 홀수 항 (m=3,5,7,…)만을 고려해야 한다[3-5].

2.2. 응력 ․ 광법칙

주응력 성분중에서 한 개의 성분이 0일 경우, 즉

 _   일 때는 2차원 또는 평면응력상태가 되며, 이 경우 평면 주응력(in-plane principal stress) 성 분은  _ 및  _ 가 된다. 광탄성의 복굴절 현상에 의한 응력∙광법칙(stress-optic law)에 따르면 두 개의 주응력 차이 값은 광탄성의 등색선 프린지 차 수(isochromatic fringe order)와 아래와 같은 관계 를 갖는다[6].

t f N _σ σ

σ ₁ − ₂ = ₍₅₎

위의 식 (5)에서  은 등색프린지 차수(isochromatic fringe order),   는 시편재료의 프린지 상수 (material fringe constant), 그리고  는 시편의 두께 를 의미한다. 식 (5)에 각각의 응력성분을 대입하여 다시 정리하면 아래와 같다.

{ } ^{2 2}

2

2

2 ⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨

= ⎧

⎭ +

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧ −

t f N

xy y

x σ τ σ

σ (6)

식 (6)의 관계로부터 각각의 위치에서 응력성분은 식(1a, b, c)를 이용하여 등색프린지 차수   를 계산할 수 있으며, 반대로 광탄성 데이터로부터 등 색프린지의 차수가 결정되면 식 (6)과 식 (1a, b, c) 를 이용하여 응력성분을 해석할 수 있다. 또한, 이 들 관계를 이용하여 광탄성 프린지 패턴으로 나타 낼 수 있다.

2.3. 비선형 최소자승법

응력성분과 등색프린지 차수에 관한 식 (6)의 우 변항을 좌변으로 이항하여 정리한 후, 개의 데이 터로부터 다음과 같은 식을 구성할 수 있다.

{ } ₂ ² { } ² ₂ ^{2 = 0}

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

− ⎧

⎭ +

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧ −

=

n n xy n y x

n t

G σ σ τ Nf ^σ

β (7)

식 (7)에서  _ 은 미지의 상수 에 관하여 비선형

이므로 테일러 급수를 이용하여 선형화시킨 후 아

래의 식과 같이 반복식(iterative systems)으로 나타

낼 수 있다[7].

Table 1 Polariscope configuration and output intensities of 8-step phase-shifting method

No. Configuration Output Intensity

1 P

₉₀

Q

₄₅

R

_αΔ

Q

₄₅

A

₋₄₅

I

₁=^K₂

(

1+cos2

α

sinΔ

)

2 P

90

Q

45

R

_αΔ

Q

₋45

A

45

I

₂=^K₂

K (

1−cos2

α

sinΔ

)

3 P

90

Q

45

R

_αΔ

Q

₋45

A

0

I

₃=^K₂

(

1−cosΔ

)

4 P

90

Q

45

R

_αΔ

Q

45

A

0

I

₄=^K₂

(

1+cosΔ

)

5 P

90

Q

45

R

_αΔ

Q

0

A

0

I

₅=^K₂

(

1+sin2

α

sinΔ

)

6 P

₉₀

Q

₄₅

R

_αΔ

Q

₉₀

A

₉₀

I

₆=^K₂

(

1−sin2

α

sinΔ

)

7 P

90

Q

45

R

_αΔ

Q

0

A

45

I

₇=^K₂

(

1−cosΔ

)

8 P

90

Q

45

R

_αΔ

Q

90

A

45

I

₈=^K₂

(

1+cosΔ

) ( ) ( )

∑

∑ = − = − +

⎟⎟ Δ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ Δ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ +

≅

m m k

k k i

n m

m k

k k i

n n i n i

c c b G

b G G G ₁

(8)

위의 식 (8)에서 첨자  는 반복단계를 나타내며

∆ _ 와 ∆ _ 는 보정값(correction)을 의미한다. 식 (8)에서   _  _{ } ≅ 이 될 때까지 반복계산을 하면

 개의 방정식으로부터 수렴된 상수     _   _ 를 얻을 수 있다.

2.4. 위상이동 광탄성법

원형편광기는 Fig. 2와 같이 2개의 선형편광판 (linear polaizer)과 2개의 4분파판(quarter wave plate)으로 구성되어 있다. 선형편광판을  _와  _{, 4} 분파판을  , 그리고 시편을  이라 하면, 광원으로 부터 원형편광판의 배열은  _{로 나타낼 수} 있다. 광탄성 프린지 8단계 위상이동법(8-step phase shifting method)은 Table 1과 같이 편광판 과 첫 번째 4분파판을 고정시킨 상태에서 두 번째 4분파판과 검광판만을 회전시켜 얻은 8개의 프린지 패턴을 이용한다[8, 9].

각각의 편광판 배열에 따른 광강도는 Table 1에 나타낸 식과 같으며, ∆    의 관계를 갖는다.

Table 1의 편광판 배열은 1개의 4분파판과 검광판 만 회전하여 프린지패턴을 얻을 수 있는 장점이 있 다. Table 1에 나타낸 광강도에 관한 식으로부터 등경각, 즉 주응력 방향에 대한 각도는 아래 식과 같다.

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= ⁻ −

2 1

6 1 5

2 tan 1

I I

I

α I ₍₉₎

Fig. 2 Circular polariscope (dark-field setup)

또한, 등색프린지 차수는 다음 식과 같다.

[ ] _⎭ ^{⎬ ⎫}

⎩ ⎨

⎧

− +

−

− +

= ⁻ −

2 / ) ( ) (

2 sin ) ( 2 cos ) tan (

2 1

7 8 3 4

6 5 2

1 1

I I I I

I I I

N I α α

π

(10) Table 1에서  _ 와  _ 은 원형편광기에서 암시야 배열의 광강도이고,  _ 와  _ 은 명시야 배열의 광강 도와 동일하다.

3. 실험 및 해석

3.1. 시험편 및 광탄성프린지

광탄성 실험법에 의한 응력장 해석을 위하여 Fig. 3과 같이 중심부에 균열이 있는 유한폭의 단 일축 하중을 받는 시편을 제작하였다. 시편의 재 질은 폴리카보네이트 계열인 PSM-1이고, 재료의 프린지 상수(  )는 7005 N/m, 두께  는 3.18 mm 이며 영탄성계수  는 2482 MPa, 푸와송비   는 0.38이다[10]. 

중앙부의 수평균열은 머시닝센터를 이용하여 지

름 0.5 mm의 엔드밀로 잔류응력이 발생하지 않도

록 충분한 양의 냉각유를 공급하면서 가공하였으

며, 균열 선단은 방전가공으로 날 끝이 60°로 제작

된 공구로 자연균열 선단과 같이 예리하게 만들었

다. 본 논문에서는 잔류응력이 미소하여 고려하지

않았다.

Fig. 5 Isochromatic fringe phase map obtained from 8 fringe pattrns

Plate width: 2b = 38.1 mm Crack length: 2a =12.7 mm

Fig. 3 Finite-width uniaxially loaded tensile plate containing a central crack

I 1 I 2

I 3 I 4

I 5 I 6

I 7 I 8

Fig. 4 Eight images obtained from the optical arrangements of Table 1

원형 편광기에서 Table 1과 같이 편광판의축을 90°, 첫 번째 4분파판의 고속축을 45°로 고정시킨 후, 두 번째 4분파판과 검광판만을 정확한 각도로 조절해가며 얻은 프린지 패턴은 Fig. 4와 같다.

Table 1과 Fig. 4로부터  _{ 와}  _{ 은 암시야배열} (dark field), 그리고  _{ 와}  _ 은 명시야배열(light field)에서 등색프린지를 나타내며, 시편 외곽배경 과 균열사이의 광강도로부터 쉽게 판별할 수 있다.

이들 프린지패턴으로부터 식 (10)을 이용하여 계 산된 등색프린지 위상맵은 Fig. 5와 같다.

3.2. 균열주위 광탄성 프린지 해석

Fig. 5에 표시된 BC와 CD로 나타낸 일직선상에 서 광탄성 데이터(등색프린지 차수(  _ ) 및 

좌표)를 측정하여 입력데이터로 사용하였다. 응력 성분은 이들 데이터를 비선형 최소자승법에 관한 식 (8)을 이용, 멱급수형 응력함수에 관한 식 (2a,b) 의 항의 수( )에 따른 계수()를 계산한 후, 이들 을 다시 식 (1)에 대입하여 구하였다. 구해진 응력 성분으로부터 식 (6)을 이용, 멱급수 응력함수로 계 산한 프린지 차수(  _ )를 결정할 수 있다. 각각의 데이터지점에서 입력된 프린지(  _ )와 계산된 프 린지(  _ )의 퍼센트 오차(  )를 계산한 후, 표준편 차(  : standard deviation)는 다음 식으로 구한다.

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= − ∑ ∑

= =

n i

n i

i

i E

E n SD n

1

2

1

2 1

1

1 (11)

Fig. 6 Actual fringe patterns (left half) and reconstructed fringes (right half) around crack tip in dark field circular polariscope

Fig. 7 Two times multiplied actual fringe patterns (left half) and reconstructed fringes (right half) around crack tip

Fig. 8 Fringe sharpened lines extracted from two times multiplied actual fringe patterns (left half) and reconstructed fringes (right half) around the crack tip

Table 2 Coordinates (, ), input and calculated fringes (  _{ and}  _ ) and percentage error(  ₎

No.

x

(mm)

y

(mm)

N

_inp

N

_cal %

E

1 0.000 11.397 0.778 0.786 0.990 2 0.681 11.397 0.802 0.800 -0.246 3 1.361 11.397 0.835 0.836 0.143 4 2.042 11.397 0.881 0.881 -0.028 5 2.723 11.397 0.918 0.922 0.459 6 3.404 11.397 0.950 0.955 0.477 7 4.084 11.397 0.976 0.975 -0.135 8 4.765 11.397 0.987 0.984 -0.348 9 5.446 11.397 0.989 0.983 -0.545 10 6.126 11.397 0.980 0.976 -0.451 11 6.807 11.397 0.965 0.963 -0.209 12 7.488 11.397 0.948 0.947 -0.077 13 8.169 11.397 0.929 0.929 0.045 14 8.852 11.397 0.909 0.910 0.111 15 9.078 0.284 0.346 0.339 -2.061 16 9.078 1.140 0.368 0.366 -0.555 17 9.078 1.994 0.422 0.419 -0.680 18 9.078 2.850 0.490 0.487 -0.794 19 9.078 3.703 0.564 0.561 -0.538 20 9.078 4.559 0.636 0.634 -0.212 21 9.078 5.413 0.703 0.703 -0.004 22 9.078 6.269 0.764 0.764 0.010 23 9.078 7.125 0.812 0.814 0.181 24 9.078 7.978 0.849 0.852 0.303 25 9.078 8.834 0.875 0.878 0.302 26 9.078 9.688 0.892 0.894 0.225 27 9.078 10.544 0.901 0.902 0.138

Table 2는 멱급수 응력함수의 항의 수를    으로 하였을 때, 데이터의 순서(No.), 입력된 프린 지(  _ ), 계산한 프린지(  _ ) 및 퍼센트 오차(  ₎ 를 나타냈다. 입력프린지와 계산한 프린지의 퍼센 트 오차의 최대값은 No. 15의 -2.061%이며, 다른 데이터는 모두 1%미만으로 서로 잘 일치하였다.

해석결과의 타당성을 보일 수 있도록 식 (1)의 응력성분을 다시 식 (6)에 대입하여 계산한 프린지 로 재생성한 광탄성 프린지 패턴을 실제의 프린지 와 비교하였다. Fig. 6은 식 (2a, b)에 나타낸 멱급 수 항의 수가    일 경우, 암시야 배열의 원 형편광기에 나타난 균열 주위의 실제 광탄성프린지 패턴(왼쪽 절반)과 재생성한 광탄성프린지(오른쪽

절반)이다. Fig. 7은 Fig. 6의 프린지를 2배로 증식 [11,12]시켜 나타난 프린지이며, Fig. 8은 Fig. 7을 세선처리[11]하여 나타낸 프린지이다. Fig. 6으로부 터 Fig. 8에 보인 바와 같이 실제의 프린지와 재생 성한 프린지는 서로 잘 일치하였다.

3.3. 유한요소 해석

실험법에 의한 균열선단 주위 응력장의 타당성을

검토하기 위하여 유한요소법으로 해석하였다. 유한

요소 해석은 중심부에 균열이 있는 유한폭의 단일

Table 3 Comparison of stress intensity factor obtained from hybrid photoelasticity, finite element analysis and empirical equation

m SD

Stress Intensity Factor (

 _  _  ^ 

) Hybrid

Photoelasticity FEM Equation 3 0.555 1.075

1.062 1.065 5 0.308 1.081

7 0.301 1.077

Fig. 9 ABAQUS discretization of one-quarter plate (2227 elements and 4704 nodes) of Fig. 3

0 2 4 6 8 10 12

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

y/a σ

xx

/ σ

0

FEM HYBRID

Fig. 10 Normalized axial stress distribution from the point ‘A’ to ‘B’ of Fig. 2 (=distance from the center of the crack tip,  =a half of the crack length)

축하중을 받는 Fig. 3과 동일한 형상의 모델을 취 하였다. 영탄성계수와 푸아송비는 광탄성 실험에

사용된 폴리카보네이트(PSM-1)의 물성치(E=2482 MPa,   0.38)를 그대로 사용하였다. Fig. 3의 시 편은 수평 및 수직축에 대하여 대칭이므로, Fig. 4 와 같이 시편의 1/4에 대한 부분을 유한요소 상용 프로그램인 ABAQUS[13]로 해석하였다. 해석에 사 용된 요소는 균열선단 주위에서 3절점 선형 평면응 력 삼각형(3-node linear plane stress triangle)요소, 그리고 다른 부분은 쌍일차 평면응력 사변형(4-node bilinear plane stress quadrilateral)요소이다. 정밀한 결과를 얻을 수 있도록 응력이 집중되는 균열선단 주위의 근방에서는 조밀한 요소로 분할하였다. 

ABAQUS에 의해 Fig. 9의 응력확대계수와 A-B 선에서 수직응력을 계산하여 실험법에 의한 값과 비교하였다.

3.4. 균열선단 주위 응력해석 결과

급수형 응력함수에서 항의 수를  =3, 5, 7로 변 화시켰을 때, 표준편차(  ), 하이브리드 광탄성법 (hybrid photoelasticity), FEM, 그리고 경험식[2]에 의해 계산된 응력확대계수  _ 을 Table 3에 나타냈 다. 경험식은 아래와 같은 식을 이용하였다.

a F

K _I = σ π (12)

위의 식 (12)에서  는 무차원 수정계수로서 시편의 폭  와 균열길이  의 비율(  )로 나타낸다.

) / ( 1

) / ( 326 . 0 ) / ( 5 . 0

1 ²

b a

b a b

F a

− +

= −

Table 3에서 보인 바와 같이 응력함수의 항의 수를  =3에서 7까지 변화시켰을 때 표준편차(  ) 는 m=3, 5에서는 감소하였으나 그 이후는 일정 값 으로 수렴하였다. 그러나  _ 은 거의 변화되지 않았 으며 유한요소법과 경험식으로 계산한 값과 2% 이 내로 근접하였다.

한편으로 균열선단 방향으로 연장된 선(Fig. 3의 A-B)에서 하이브리드 광탄성법과 유한요소법으로 축(하중)방향의 응력성분을 계산하여, 이들을 Fig.

10에 나타냈다. 하이브리드 광탄성법과 유한요소법 에 의해 계산된 수직응력은 Fig. 10에서 보인 바와 같이 서로 잘 일치하였다.

4. 결 론

본 연구에서는 균열선단 주위의 응력장을 균열선

단으로부터 떨어진 거리에서 위상이동 광탄성법과

멱급수형 등각사상 맵핑함수를 이용하여 해석하였

다. 해석된 광탄성 응력장을 실제의 광탄성프린지와

비교하였다. 정성적인 비교가 용이하도록 디지털 영

상처리에 의해 등색프린지 패턴을 2배로 증식시키

고, 증식된 프린지를 다시 세선처리하여 서로 비교

하였다. 정량적인 분석을 위하여 각각의 광탄성 측

정 데이터와 계산된 프린지에 대한 퍼센트 오차를

계산하였으며, 멱급수형 응력함수의 항의 수에 따른

퍼센트 오차에 대한 표준편차를 비교하였다. 본 연 구로부터 얻은 결론을 요약하면 다음과 같다.

(1) 위상이동 광탄성법과 멱급수형 등각사상 맵핑 함수를 이용한 하이브리드법에 의해 계산된 프 린지와 실제 광탄성 실험에 의한 프린지를 정 성적이고 정량적인 비교를 하였다. 입력된 변위 와 계산된 변위의 퍼센트 오차는 27개의 데이 터 모두 2.1% 미만으로 서로 일치하였다.

(2) 응력함수의 항의 수를  =3에서 7까지 변화시 켰을 때 표준편차(  )는 m=3, 5에서는 감소하 였으나 그 이후는 일정 값으로 수렴하였다. 그러 나  _ 은 거의 변화되지 않았으며 유한요소법과 경험식으로 계산한 값과 2% 이내로 근접하였다.

본 연구에서는 균열선단으로부터 떨어진 거리의 일직선상에서 위상이동 광탄성법으로 측정한 등색 프린지 차수를 입력데이터로 사용하여 균열선단 주 위의 응력장을 계산하였다. 모아레 또는 레이저 스 펙클법과 같은 실험법에서 위상이동법을 이용하면 일직선상의 프린지분포를 용이하게 측정할 수 있으 므로 실제 실험데이터를 이용하여 균열선단 주위의 응력장 해석이 가능할 것으로 사료된다[14,15].

후 기

이 논문은 2008년도 군산대학교 교수장기해외연 수경비의 지원에 의하여 연구되었음.

참고문헌

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[13] ABAQUS Analysis User’s Manual, ABAQUS Inc., Providence, RI 02909, USA, (2003) [14] T. H. Baek, “Photoelastic stress analysis by

use of hybrid technique and fringe phase shifting method,” J. of Exp. Mech., Vol. 21, No. 1, pp. 87-95, (2006)

[15] T. H. Baek, H. Panganiban and T. J. Chung,

“A hybrid photoelastic stress analysis

around holes in tensile-loaded plates using

isochromatic data and finite element meth-

od,” Lecture Series on Computer and

Computational Sciences, Vol. 8, pp. 21-25,

Brill Academic Publishers, (2007)

부록 (Appendix)

( ² ) 22 ⁰ 4

66 12 4

11 + S + S + S =

S μ μ (A1)

) (

) (

2 2

1 2

μ μ

μ μ

−

= −

B , ( )

) (

2 2

1 2

μ μ

μ μ

−

= −

C (A2)

위의 식 (A1)에서  _    는 일반적인 훅크 의 법칙(generalized Hook's law)에 관한 식으로부 터 탄성 컴플라이언스(elastic compliance)를 의미한 다. 또한, 식 (A1)과 (A2)에서  _     는 재료 특성에 관계되는 복소수 매개변수(complex material parameter)로서 식 (A1)의 근을 의미하며, 다른 2개의 근과      _ 및      _ 의 관계를 갖 고, 여기서 ‘―’표시는 공액복소수를 의미한다.

⎢ ⎣

⎡

⎩ ⎨

− ⎧

= ^{− − −}

) ) ( ( Re ) 2 ( ) 1 ( ) , (

1 ' 1

1 1 1 1 1

ζ ω μ ⁿ ζ ^k

n k

j n V

⎥ ⎦

⎤

⎭ ⎬ + ⎫

+ ⁻ − ^{− − −}

) ) (

(

2 ' 2

1 2 1 1 2

2 ω ζ

ζ μ ^{n B} ζ ^{k C k}

(A3)

식 (A3)에서 Re는 괄호속의 값의 실수부(real part) 를 나타낸다. 인덱스 번호는     ,   ,

 _ 이고,   인 경우       ,  ≠ 

이며,   일 경우는        이다.