1. 서 론
컴퓨터 분야의 지속적인 발전으로 복잡한 구조 물의 동적해석이 가능하게 되었으나 구조물이 동 적 거동을 하는 동안 에너지가 마찰에 의해 감소 하므로 감쇠의 고려가 필요하다 하지만 많은 연. 구에도 불구하고 구조물의 감쇠를 정확히 표현하 는데 어려움이 많기 때문에 일반적으로 해석을 간단히 하기위해 원자력 배관해석,(1,2) 건물의 지
진해석(3,4) 등 많은 분야에서 비례감쇠를 사용한
다 비례감쇠를 사용하면 감쇠 행렬이 질량 및. 강성행렬과 마찬가지로 대각화가 가능하여 해석 이 편리하기 때문이다.
한편 구조해석을 통하여 얻어진 동적 특성이 요구되는 범위를 벗어나게 된 경우 재설계가 이 루어진다 설계를 변경할 경우 구조의 어느 부분. , 을 얼마나 변경해야 하는가는 매우 어려운 문제 이며 많은 시간과 계산이 소요된다 이를 해결하. 기 위한 방법으로 감도해석이 사용된다.
대부분의 감도 해석 연구가 비감쇠 구조물에 대해 진행되었다. 이에 대한 연구는 Fox와 Kapoor(5)가 고유모드 변화율을 변경 전 구조의 고유모드 선형결합으로서 표시하여 감도해석을 하였으며, Zhang(6) 등은 고유치와 고유벡터의 변 화량을 수치해석 방법인 반복법을 통하여 구하였 다 감쇠 구조물에 대한 연구는. Adhikari(7)가 선형 감쇠 이산계에서의 고유치와 고유벡터의 변화 비 율을 시스템의 변수를 고려하여 구하였고 Lee(8)
학술논문
< > DOI:10.3795/KSME-A.2010.34.7.873
동특성 변화를 이용하여 비례감쇠 구조물의 변경된 설계파라미터 예측
이 정 윤
경기대학교 기계시스템공학과
*
Prediction of Changed Design Parameter of Proportional Damping Structure by Using Modified Dynamic Characteristics
Jung Youn Lee*
* Dept. of Mechanical System Engineering, Kyonggi Univ.
(Received January 25, 2010 ; Revised May 21, 2010 ; Accepted May 23, 2010)
Key Words: Sensitivity Coefficient(감도계수), Dynamic Characteristics(동특성), Proportional Damping 비례감쇠계
System( )
초록 일반적으로 설계파라미터 변경에 의한 구조물의 동특성변화를 예측하는 연구에 비해 동특성 변화: 로부터 변경된 설계파라미터를 예측하는 연구는 잘 알려져 있지 않다 여기에서는 감도계수와 반복법을. 사용하여 비례감쇠계의 변경된 설계파라미터를 예측하였다 감도계수는 변경에 의한 고유벡터의 변화로. 부터 구하였다 이 방법을. 3 층 전단 구조물에 적용하여 변경된 설계 파라미터를 예측하였으며 재 해석 한 결과와 잘 일치함을 알았다.
Abstract: It is common to predict structural dynamic design parameters due to the change of design parameter, but to predict the amount of changed design parameter where the mass and stiffness are being modified are rarely found in previous literature. In this study, the changed design parameter in a proportional damping system is predicted by using sensitivity coefficients and an iterative method. The sensitivity coefficients are determined from the changes in eigenvectors; these changes are due to modification. This method is applied to a three-story shear structure. To validate the prediction of the changed design parameter, the results are compared to the reanalysis results; both results are in good agreement.
Corresponding Author, [email protected]
는 대수학적인 방법을 통하여 고유치와 고유벡터 변화를 구하였다.
구조물의 부가된 질량과 변경된 강성의 위치와 크기를 예측하는 문제는 구조물의 설계파라미터 변경에 의한 동특성 변화의 역처리 문제(inverse problem)이다.
그러나 그동안 다양한 연구 노력에도 불구하고 비례감쇠구조물의 동특성 변화로부터 질량 및 강 성 변경 위치와 크기를 정확히 예측하는데 어려 움이 있었다 왜냐하면 이를 위해서는 고유 벡터. 의 변화량이 없다고 가정하였기 때문에 변경량이 많으면 예측하는데 오차가 증가하기 때문이다.
본 연구에서는 질량 및 강성 변경 위치와 크기 를 잘 예측하기위해 구조 변경 전 후의 고유진, 동수와 고유벡터의 변화량을 고려하여 감도계수 를 해석한 다음 이 감도계수와 모드 질량변화량, 을 반복법을 이용하여 질량 및 강성 변화량을 해 석하는 알고리즘을 개발하였다. 이를 이용하여 비례 감쇠계의 변경된 질량 및 강성의 위치 및 크기를 예측하고 3층 전단 구조물에 적용하여 유 효성을 검증한다.
2. 이 론
비례감쇠계의 동특성 해석 2.1
자유도 비례 감쇠계에서의 자유진동 운동방 N
정식은 다음과 같이 된다.
(1) 여기서와는 구조 변경 전 질량 감, 쇠 및 강성행렬이다.
모드 좌표와의 관계 을 이용하여 식 (1)을 변환하면 다음과 같이 된다.
(2) 여기서는 비감쇠 정규화된 모드행렬이다.
를 대각화하기 위해 다음과 같이 비례감쇠 로 가정한다
(Rayleigh damping) .
(3) 여기서 와 는 비례감쇠상수 이며 식 (3)을 식
에 대입하고 정리하면 다음과 같이 된다
(2) .
(4)
는 단위행렬로 대각행렬이며 는 비감쇠 고유치 행렬로 이 역시 대각행렬이다 따라서 식. 으로 부터 비례감쇠계의 고유진동수를 구하면 (4)
다음과 같이 된다.
(5)
여기서 는 차 감쇠 및 비감쇠 고유 진동수이며 감쇠비
이다 따라서 비. 례감쇠계의 고유모드는 비감쇠계와 일치하고 고 유진동수는 비감쇠계의 고유진동수와 비례감쇠상 수 와 로부터 구할 수 있다.
동특성 변화로부터 감도계수의 해석 2.2
Fox(5)는 비감쇠 구조물의 고유 벡터의 변화량 을 변경 전 고유벡터의 선형결합으로 표시될 수 있다고 다음과 같이 가정하였다.
⊿ (6)
여기서⊿는 차 모드의 고유벡터 변화량이 고 는 차 모드에 대한 차 모드의 감도계수 이며 는 구조 변경 전 차 모드의 고유벡터 이다. 비례감쇠계도 고유벡터는 비감쇠구조물과 동일하므로 (6)식을 이용하면 다음 식으로 된다.
(7)
(8) 여기서 와 는 고유벡터 변화량행 렬과 감도계수행렬 구조 변경 전 고유벡터행렬, 이다 즉 감도계수행렬은 구조 변경 전 고유벡터. 행렬과 고유벡터 변화량행렬을 이용하여 구할 수 있다.
기존의 감도해석 방법 2.3
Fox(5)는 질량 변경 후 감도계수를 다음과 같이 구하였다.
⊿
(9)
⊿
(10)
⊿ (11)
⊿ (12)
여기서 는 각각 차 모드의 모드변 화에 의한 질량 및 강성변화량이며 와 는 차 및 차 비감쇠 고유진동수이다.
식 (11), (12)는 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(13)
(14) 그러나 위 방법은 구조물에 질량 및 강성을 변 경 후에도 고유 벡터의 변화가 없다고 가정하였 기 때문에 변경량이 많으면 감도 계수의 오차가 증가하여 실제 구조물의 적용에는 한계가 있다.
이런 문제점을 개선하기 위해서 구조 변경 후 고 유 벡터의 변화를 고려한 다음과 같은 방법(8)이 제안되었다.
⊿
⊿ (15)
⊿
⊿ ⊿
⊿
≠ (16)
⊿ ⊿
⊿ ⊿ (17)
⊿
⊿ ⊿ ≠ (18)
여기서 식 (15)~(18)는 변경 전 시스템의 동특 성과 설계파라미터 변경량을 가지고 감도계수를
해석하여 변경 후 동특성을 예측하는데 사용되었 다 이에 반해 이번 연구에서는 역으로 변경 전. , 후의 동특성을 가지고 감도계수를 해석하고 이 감도계수를 이용하여 변경된 질량 및 강성의 크 기 및 위치를 예측한다.
변경된 설계파라미터 예측 2.4
비례감쇠계의 변경된 설계파라미터를 구하기 위해 다음과 같은 알고리즘을 개발하였다.
식 을 사용하여 변경 전 고유벡터 행렬과 1) (8)
고유벡터 변화량 행렬로부터 감도계수 행렬을 구 한다.
식 에 앞에서 구한 감도계수
2) (15)~(18) 를
대입하면 미지수인 와 를 구할 수 있 다 그러나 이렇게 하면 행렬의 크기가 자유도수. 의 제곱에 비례하여 커져 비효율적이 되므로 N
다음과 같은 반복법을 사용하여 와 를 해석하였다.
먼저 초기치를 구하기 위해 감도계수 와
와 은 미소량이라고 가정하면 식 (15)~ (18)에 서 차항은 무시할 수 있고 다음과 같이 된다2 .
⊿ (19)
⊿ ≠ (20)
⊿ (21)
≠ (22)
, 이므로 식 (19) ~ 에서 반복법의 첫 번째 값을 구하면 다음과 (22)
같이 된다.
(23)
≠ (24)
⊿ (25)
≠ (26) 한편 식 (15) ~ (18)의 오른쪽 항에 있는 , Δ, 와 를 왼쪽으로 이동하여 정리하 면 다음과 같이 반복식의 알고리즘이 유도된다.
⊿
⊿
⊿
(27)⊿ ⊿ ⊿
⊿ ≠ (28)
⊿ ⊿
⊿ ⊿ (29)
⊿
⊿ ⊿ ≠ (30)
여기서 는 각 각
번 반복했을 때 구한, 값이다.
위에서 구한
3) , 를 모드질량변화량 행렬인로 만든다.
모드질량변화량 행렬
4) , 와 식 를 이용하면 질량변화량 행렬인
(13), (14) ,
을 다음 식과 같이 구할 수 있다.
(31)
(32) 식 (31), (32)로부터 구조물의 변경된 설계파라 미터 예측을 해석할 수 있다.
3. 적용 예
은 위에서 해석한 이론을 적용하기 위해 Fig. 1
사용한 3층 전단 구조물의 모델을 나타낸다 구. 조 변경 전 질량은 각 각 1000kg과 2000kg,
강성은 와 로
2500kg 1000N/m 1500N/m, 2000N/m 하였으며 비례감쇠상수는 와 으로 하였다. 3층 전단 건물의 변경 전 비례감쇠계의 질량 감쇠 및 강성행렬은 다음과 같다, .
동특성 변화를 이용하여 비례감쇠 구조물의 변 경된 설계파라미터 예측하기위해서 먼저 변경된 고유진동수와 고유 벡터를 구하였다.
이를 위해 1번과 3번 질량에 각 각 150kg, 을 추가하였고 및 번과 번째 강성에 각
200kg 1 2
각 300N/m, 400N/m 감소시켰다 그러나 구조물에. 변경된 설계파라미터를 예측할 때에는 변경 전, 후의 고유진동수와 고유벡터만 가지고 해석한다.
결과 및 고찰 4.
고유진동수 및 고유 벡터 변화 검토 4.1
은 층 전단 구조물의 고유진동수 변화 Table 1 3
를 나타낸 표로 질량과 강성의 변화로 고유진동 수는 변경 전에 비해 최대 12.03% 변화하였다. 이는 질량 및 강성의 변경이 많았기 때문으로 판 단된다. Table 2와 Fig. 2에 변경 전 후 고유벡터, 를 모드질량을 1로 하여 나타내었으며 3층 전단 구조물이므로 3개의 모드가 존재하였다. 2차 모 드에서는 노드점이 한개 3차 모드는 노드점이 2 개가 나타났다. Table 3와 Fig. 3에 고유벡터 변화 량을 변경 전 후의 고유 벡터 차로 구하여 나타, 내었다. 1차 모드의 변화량에 비해 2차, 3차 모드 변화량이 상대적으로 많았다 이는 변경량이. 2층 및 층에 많았기 때문으로 생각된다3 .
Fig. 1 Model of 3 story shear structure
Table 1 Comparison of natural frequencies before and after modification in proportional damping system
mode
modification (rad/s)
before after (%)
1 0.3188 0.3607 12.03
2 1.2349 1.1142 -9.78
3 1.8000 1.5954 -11.52
Table 2 Comparison of eigenvectors before and after modification
mode [ ] x 10-1
before modification after modification 1 0.0826 0.1314 0.1531 0.0824 0.1225 0.1517 2 0.1893 0.1171 -0.1212 0.2369 0.0707 -0.0971 3 0.2394 -0.1379 0.0430 0.1550 -0.1731 0.0678
Table 3 Delta eigenvectors before and after modification
mode [ Δφ ] x 10-2
1 -0.0021 -0.0887 -0.0142
2 0.4760 -0.4640 0.2414
3 -0.8442 -0.3524 -0.2473
Table 4 Sensitivity coefficient in proportional damping system
감도계수행렬의 해석 4.2
는 에 있는 변경 전 고유벡터와 Table 4 Table 2
의 고유벡터 변화량을 가지고 식 을 이
Table 3 (8)
용하여 감도계수행렬을 해석하여 나타낸 표이다.
최대 값은 0.2329, 최소 값은 -0.2830이었다. 변경된 설계파라미터의 예측
4.3
는 의 고유진동수 변화와
Table 5 Table 1 Table
의 감도계수를 가지고 식 을 이용하여
4 (23)~(30)
모드질량 및 모드강성 변화량 행렬을 구한 것으 로 반복횟수는 10번하였다.
(a) Before modification
(b) After modification
Fig. 2 Comparison of eigenvectors before and after modification
Fig. 3 Delta eigenvectors before and after modification 는 모드질량변화량 행렬
Fig. 4 Δ과 모드강 성변화량 행렬 을 이용하여 변경된 질량 및 강성의 크기 및 위치를 예측한 것으로 반복횟수 에 따라 나타낸 그림이다 질량의 경우. 1회 반복 시 첫 번째 질량은 198.7kg, 세 번째 질량은 증가된 것으로 예측하였고 강성의 경우 248.8kg
도 1회 반복 시 첫 번째 강성은 344.6N/m, 세 번 째 강성은 31.5N/m 감소하는 것으로 예측하여 오 차가 많이 발생하였다 하지만 반복 횟수가 증가. 함에 따라 두 경우 모두 오차가 줄어들었으며 4 번 반복하였을 때 설계파라미터 변경을 잘 예측 하였다.
은 변경된 질량 및 강성의 위치와 크기 Table 6
의 예측한 결과를 나타낸 표로 질량 및 강성이 많이 변경되었지만 변경된 질량과 강성의 위치 및 크기를 잘 예측하여 제안된 알고리즘이 타당 mode [ ]
1 -0.0273 -0.0189 -0.0340 2 0.0223 -0.0805 -0.2830 3 -0.0020 0.2329 -0.0686
Table 5 Change of modal mass and stiffness matrix after iteration
(a) Change of modal mass
(b) Change of modal stiffness
Table 6 Predictive design parameter in 3 story shear structure
Element No.
mass(kg) ratio
(%) original
additive
predictive
1 1000 150.0 150.0 100.00
2 2000 0.0 0.00 100.00
3 2500 200.0 200.0 100.00
Element No.
stiffness(N/m) ratio
(%) original
additive
predictive
1 1000 300.0 300.0 100.00
2 1500 400.0 400.0 100.00
3 2000 0.0 0.0 100.00
함을 알 수 있었다.
는 첫 번째 질량에 세 번째 질량
Fig. 5 150kg,
에 200kg 증가 첫 번째 강성에, 300N/m, 두 번째 강성에 400N/m을 감소시킨 것을 100%로 기준하 여 3층 전단 구조물의 질량과 강성의 변화량을 부터 까지 변화하면서 변경된 질량과 강 0% 200%
성을 예측한 그림이다. (a)는 질량 (b)는 강성 변 화를 나타내었다.
두 그림 모두 감도계수를 이용하여 질량 및 강 성 변화를 예측한 경우와 구조 변경 후 재해석한 이론값이 잘 일치 하고 있다 하지만 변경이 기.
No. of iteration
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Predictive mass (∆m)
0 50 100 150 200 250 300
∆ m1
∆ m3
(a) Mass
No. of iteration
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Predictive mass (∆k)
-500 -400 -300 -200 -100 0
∆ k1
∆ k2
(b) Stiffness
Fig. 4 Predicted mass according to the No. of iteration
Ratio of modification (%)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Change of mass ∆m kg
0 100 200 300 400 500
proposed ∆m1 proposed ∆m3 exact ∆m1 exact ∆m3
(a) Mass
Ratio of modification (%)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Change of stiffness ∆k N/m
-1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0
proposed ∆k1 proposed ∆k3 exact ∆k1 exact ∆k3
(b) Stiffness
Fig. 5 Predictive mass and stiffness according to the ratio of modification
mode Δ
1 0.0571 -0.0137 0.0429 2 -0.0137 0.0832 0.0576 3 0.0429 0.0576 0.0897
mode
1 -0.0300 -0.0328 0.0144 2 -0.0328 -0.1284 -0.2451 3 0.0144 -0.2451 -0.7416
준의 120%까지 오차 없이 변경된 질량과 강성 을 잘 예측하였으나 120%를 초과할수록 오차가 증가됨을 알 수 있었다 이는 변경이 많을 경우. 식 (27)~(30)에서 모드 질량 및 강성 변화량 행렬 인 Δ과 이 수렴하지 않고 발산하기 때 문으로 추후 연구가 필요한 부분으로 생각된다.
5. 결 론
비례감쇠계 구조물의 변경 전 후의 동특성을, 이용하여 구조물에 변경된 설계파라미터를 예측 하는 알고리즘을 개발하였으며 다음과 같은 결론 을 얻었다.
구조 변경 전 후의 고유벡터 변화량을 이
(1) ,
용하여 감도 계수를 해석하는 방안을 제안하였 다.
감도 계수로부터 반복법을 이용하여 모드질 (2)
량 및 모드강성 변화량행렬을 해석하는 알고리즘 을 개발하였다.
모드질량 및 모드강성 변화량 행렬을 유한 (3)
요소법의 변경 전 질량과 강성 행렬과 비교하여 구조물의 변경된 설계파라미터를 예측하는 방법 을 제안하였다.
본 방법을 구조 변경된 층 전단 구조물에
(4) 3
적용한 결과 변경된 설계파라미터를 잘 예측하 므로 제안된 방법이 타당함을 알 수 있었다.
후 기
이 논문은 2008년도 경기대학교 연구년 수혜로 연구되었음
참고문헌
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(2) Maess, M., Wagner, N. and Gaul, L., 2006,
"Dispersion Curves of Fluid Filled Elastic Pipes by Standard FE Models and Eigenpath Analysis," Journal of Sound and Vibration, Vol. 296, pp. 264 ~276.
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(7) Adhikari S., 2000, "Calculation of Derivative of Complex Modes using Classical Normal Modes", Computer & Structures, Vol. 77 No. 2, pp. 625~633.
(8) Lee, J. Y., 2002, "A Structural Eigenderivative Analysis by Modification of Design Parameter,"
Transactions of KSME(A), Vol. 26, No. 4, pp. 739~744.
