정규확률분포

(1)

6 장 연속확률분포

(continuous probability distributions)

균일확률분포

정규확률분포

지수확률분포

(2)

연속확률분포

 연속확률변수는 연속된 어떤 구간이나 구간들의 집합에 있는 값을 취할 수 있다.

 특정한 값을 가진 확률변수의 확률값은 나타낼 수 없 다.

 대신에, 확률변수가 주어진 구간내에 있을 확률을 계산한다.

(3)

연속확률분포



주어진 x₁ 에서 x₂까지 구간에서 값을 가길 수 있는 확률변 수의 확률은 확률밀도함수의 x₁ 에서 x₂까지 구간에서 그래 프 아래 부분의 면적이 된다.

f (x) f (x)

xx 균일

x1

x1 xx22

x

f (x) ^정규

x₁ x₁ xx₂₂

x₂ x₂

지수

xx f (x)

f (x)

x₁ x₁

(4)

균일확률분포 (uniform probability distribution)

여기서: a = 변수가 취할 수 있는 가장 작은 값 b = 변수가 취할 수 있는 가장 큰 값

f (x) = 1/(b – a) for a < x < b

= 0 그 외 구간

 확률값이 구간 길이에 비례하면 확률변수는 균일하게 분포된다.

 균일확률 밀도함수 :

(5)

Var(x) = (b - a)²/12 E(x) = (a + b)/2

균일확률분포

x 의 기대값

x 의 분산

(6)

균일확률분포



예: Slater's Buffet

Slater 의 고객들은 그들이 가져가는 샐 러드의 양에 따라 가격을

낸다.

표본을 구해보니 고객들이 가져가는 샐러드의 양은 5 ounces 에서

15 ounces 사이에서 균일하게 분포되어 있다.

(7)

 균일확률밀도함수

간 f(x) = 1/10 for 5 < x < 15

= 0 그 외 다른 구간 여기서:

x = 접시에 담긴 샐러드 무게

균일확률분포

(8)

 X의 기대값

 X의 분산

E(x) = (a + b)/2

= (5 + 15)/2

= 10

Var(x) = (b - a)²/12

= (15 – 5)²/12

= 8.33

균일확률분포

(9)

균일확률분포

■

샐러드 무게에 대한 균일확률분포

f(x) f(x)

55 1010 1515 xx 1/10

1/10

샐러드 (oz.) 샐러드 (oz.)

(10)

f(x) f(x)

55 1010 1515 xx 1/10

1/10

샐러드 무게 (oz.) 샐러드 무게 (oz.)

P(12 < x < 15) = 1/10(3) = .3 P(12 < x < 15) = 1/10(3) = .3

고객이 샐러드를 12 와 15 ounces 사이에서 가져갈 확률은 얼마인가 ?

12 12

균일확률분포

(11)

정규확률분포 (normal probability distribution)

 정규확률분포는 연속확률분포를 기술하는 가 장 중요한 분포이다 .

 통계적 추론에 폭넓게 사용된다.

(12)

정규확률분포



아주 다양한 분야에 이용되어 왔다 .



사람들의 신장 (키)



과학적측정



시험점수



강수량

(13)

정규확률분포

■

정규확률밀도함수 (normal probability density function)

2 2

( ) /2

( ) 1

2 f x e

x ^ ^

 

 1

 ⁽ ^{) /2}² ²

( ) 2

f x e

x ^ ^

 



 



= 평균



= 표준편차



= 3.14159 e = 2.71828 여기서:

(14)

대칭 분포: 분포의 왜도는 0 이다.

정규확률밀도함수

 특성

x

(15)

모든 정규확률분포는 평균



^{와 분산}



^{에 의해} 정의될 수 있다

정규확률분포

 특성

표준편차



평균



x

(16)

평균에서 정규곡선은 가장 높으며, 그리고 이점이 중앙값이고 최빈값이다.

정규확률분포

 특성

x

(17)

정규확률분포

 특성

-10 0 20

평균은 어떤 수치(음수, 0 , 양수 )라도 될 수 있다.

x

(18)

정규확률분포

 특성

 = 15

 = 25

표준 편차는 곡선의 넓이를 결정한다: 표준편차가 클수록 곡선은 넓어지고 평평해진다.

x

(19)

정규확률변수의 확률은 곡선 아래 부분의 면적이다. 곡선아래의 총 면적은 1이다. (평균의 왼쪽은 .5

그리고 평균의 오른쪽은 .5이다).

정규확률분포

 특성

.5 .5

x

(20)

정규확률분포

 특성

정규확률변수 값의 는 그 평균의

내에 있다.

내에 있다. 68.26%

68.26%

+/- 1 standard deviation +/- 1 standard deviation

내에 있다.

내에 있다. 95.44%

95.44%

+/- 2 standard deviations +/- 2 standard deviations

내에 있다.

내에 있다. 99.72%

99.72%

+/- 3 standard deviations +/- 3 standard deviations

(21)

정규확률분포

 특성



_{– 3}

 

_{– 1}



x



_{– 2}

 

_{+ 1}





_{+ 2}

 

+ 3





68.26%

95.44%

99.72%