미적분학 강의 자료

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제 장 미분1

1. 음함수의 미분

예제 1.1 ^ ^ 일 때, _



 ^

^ 을 각각 구하시오 단.( , _{ ≠ })

2. 역삼각함수

예제 1.2 곡선   ^{ }위의 좌표가 _



^

인 점에서의 법선의 방정식은?(단,

    

)

①    ^_{  }



 ②    ^_{  }





③    ^_{  }



 ④    ^_{  }





참고 역쌍곡선함수:

예.  ^{ }의 값을 구하시오.

3. 도함수와 변화율

예제 1.3 두 척의 배가 8km 떨어진 서로 평행한 두 직선 위를 각각 서로 반대방향 으로 움직이고 있다 각 배가 시속. 20km로 항해하고 서로 10km 떨어져 있는 시각 에 두 배 사이의 거리의 변화율을 구하시오.

4. 근사값

예제 1.4 일계 도함수를 이용하여 ^의 근사값을 구하시오.

5. 극값

예제 1.5 함수     ^^의 모든 극값의 합은?

① _

^

^

② _

^

^

③ _

^

^_

④ _

^

^_

6. 고계도함수

예제 1.6   ^의 계 도함수를 구하시오.

7. L'Hospital정리

예제 1.7 극한값

lim

→∞







① _



 ② _

^

 ③ _



 ④ _

^



8. Taylor급수

예제 1.8 테일러급수를 이용하여 무한급수_{    }



^

 

^

⋯ 

^

⋯의 합을 구하 면?

① _^ ② _ ③ _^ ④ _

제 장 적분2

1. 정적분의 성질

예제 2.1 이 양의 정수이고.   ^{ }      ⋯   일 때

lim

→∞

 의 값은?

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _





예제 2.2 함수         의 주기를 라 할 때  





   의 값은?

① ^ ② ^ ③  ④ ^

예제 2.3 함수   는    , 





     을 만족하고 그 도함수 ′  는 연속이 다 이때 구간.     에서의 도함수 ′ 의 최대값 의 범위는?

①  ≥  ②  ≤  ③ _{ ≥ }



 ④ _{ ≤ }





예제 2.4 두 함수     ^,             실수 가 다음 조건을 만족한다.

㉠ 





      ㉡ 에서 연속이고 서로 접한다.

이때,   의 값은?

①  ② _



 ③ _



 ④ 

예제 2.5 함수   가 에서 정의되고 도함수 ′  가 연속이고,         이다 그리고. 





^   일 때, 





  ′  의 값은?

①   ②   ③  ④ 

2. 치환적분

예제 2.6 다음 정적분을 구하시오. (1) ^_

   ^ 

 (2) ^

^

(3) ^{    (4)} ^_{  }^{  }

3. 여러가지 적분

예제 2.7 다음 정적분을 각각 구하시오.

(1) ^{ (2)} ^{  }

(3)^{   (4)} ^{ }_{  }^{ }_{ }^{    }

(5) ^_{ }^_{   }^{  (6)} ^{   }

(7) ^{     (8)} ^{ }

(9) ^{   (10)} ^{   }

(11) ^_^_{ }^_^{  (12)} ^

_

 

(13) ^_{   }^{  (14)} ^     

 



(15) ^_{  }^{}_^{ (16)} 

^

4. 적분의 응용

예제 2.8 _{ }^_{ }^_{  ≤ }와    ≥  공통부분의 넓이는?

①  ② _

^

 ③ _

^

 ④ _

^



예제 2.9 밑면은 타원 ^

^

 ^

^

    이고 축에 수직인 단면이 항상 정삼각형인 입 체의 부피를 구하시오.

예제 2.10   ^과   로 둘러싸인 도형을  축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하- 시오.

예제 2.11   

과       ^로 둘러싸인 도형을   를 축으로 회전시킬 때 생기는 입체의 체적은?

① _



 ② _



 ③  ④ _





예제 2.12 곡선  







예제 2.13 곡선   ^ ≤  ≤ 를  축으로 회전하여 생기는 곡면의 넓이를 구하시오- .

제 장 극좌표3

1. 극방정식의 그래프

예제 3.1      의 그래프를 그리고 그 길이를 구하시오.

예제 3.2   의 _{  }



에서의 접선을 구하시오.

2. 극죄표에 의한 면적

예제 3.3      에 의해 둘러싸인 부분의 면적을 구하시오.

예제 3.4    의 내부와   의 내부로 둘러싸인 부분의 면적을 구하시오.

예제 3.5 극좌표로 주어진 식     의 그래프는 오른쪽 그림과 같다 이 곡선으. 로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① _



 ② _





③ _



 ④ _

3. 매개변수방정식

예제 3.6 반지름의 길이가 인 원이 원주 위의 점 _에서 축과 접하고 있다 이 원. 을 미끄러지지 않도록 하면서 축 위에서 한 바퀴 굴렀을 때 점, _의 자취의 길이 는?

①  ② 

③  ④ 

예제 3.7 곡선



① _



 ② _





③ _



 ④ 

제 장 벡터4

1. 직선 평면의 방정식/

예제 4.1 점    에서 두 점        를 지나는 직선까지의 거리 는?

① _



^_

② _



^_

③ _



^_

④ _



^_

예제 4.2 네 평면                으로 이루어진 사면체에 내접하는 구 의 반지름은?

①  ^ ②  ^ ③ ^ ④ ^

예제 4.3 평면       과 _{}축과의 교점을 각각 _{}라 한다. 이때,

 를 인접한 두 변으로 하는 평행사면형의 넓이는?

5 7

① ②

9 10

③ ④

예제 4.4 직선 ^{  }_{ }^{  }_{ }^{  }와 점   을 포함하는 평면을 라 할 때,

예제 4.5 꼬인 위치에 있는 다음 두 직선 사이의 최단 거리는?

      

  

  

  

    

① ^ ② ^

③ ^ ④ ^

2. 벡터

예제 4.6 ∆의 외심이 _일 때, ^     가 성립하는 점 _는 ∆

의 무엇인가?

외심 내심

① ②

수심 무게중심

③ ④

예제 4.7 한 변의 길이가 1인 정삼각형 _에서 _의 삼등분점을 _{ }이라 할 때, ^과 ^의 내적의 값은?

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _





예제 4.8 그림과 같이 평행사면형 에서 선분 를 2:1로 내분하는 점을 , 선분 _의 중점을 _라 하고 선분, _와 선분 _의 교점을 _라 할 때, ^_를

, ^로 나타내면?

① _



  

  ② _



   

 

③ _



  

  ④ _



   

 

예제 4.9        는 ^ ^ 를 만족하며 움직인다 이때 점. , _ 의 자취를 ^  이라고 할 때, ^를 ^와 ^로 표시하면?

① _



  ② _



 

③ _



  ④ _



 

예제 4.10 ∆의 내부에 있는 점 에 대하여       (영벡터 일 때) ,

∆  ∆  ∆를 구하면?

3: 4: 7 3: 7: 4

① ②

4: 7: 3 7: 3: 4

③ ④