2.3. 완비성공리
2주 3주
2.3. 완비성공리
: 와는 달리 순서 구조상 ‘틈(gap)’이 없이 연속이 되도록 해주는 성질
[2.3.1 정의] 위로(아래로) 유계
≠ ∅ ⊂에 대하여
∀∈, ∃∈ s.t. ≤ [ ≤ ]
일 때, 는 위로 유계(bounded above)[아래로 유계(bounded below)]라 하고, ∈를 의 상계(upper bound)[하계(lower bound)]라고 한다. 또, 가 위로 유계인 동시에 아래로 유계일 때는 간단히 는 유계(bounded)라고 한다.
[예제 1, 2]
(1) ∈
(2)
∈
[2.3.2 정의] 상한, 하한
≠ ∅ ⊂가 유계라고 하자.
(1) 다음 두 조건
(a) 는 의 상계이다. 즉, ∀∈, ≤
(b) 보다 더 작은 상계는 없다. 즉, ⇒ ∃∈ s.t. ≤ 1)
을 만족시키는 ∈가 존재할 때, 를 의 상한(supremum) 또는 최소상계(least upper bound)라고 하고,
sup (또는 lub ) 로 나타낸다.
(2) 다음 두 조건
(a) 는 의 하계이다. 즉, ∀∈, ≤
(b) 보다 더 큰 하계는 없다. 즉, ⇒ ∃∈ s.t. ≤ 2)
을 만족시키는 ∈가 존재할 때, 를 의 하한(infimum) 또는 최대하계(greatest lower bound)라고 하고,
inf (또는 glb ) 로 나타낸다.
* 의 상한(하한)이 존재한다면, 그것은 유일하다.(why?)
* 의 상한(하한)은 의 원소일 수도 있고, 아닐 수도 있다.
1) 즉,
∀ ,
∃∈, s.t.
≤ 2) 즉,
∀ ,
∃∈, s.t.
≤ [예제 3-5]
(1)
(2) ∈ ≤
(3)
∈
[2.3.3 완비성공리]
≠ ∅ ⊂가 위로 유계이면, 의 상한이 (에) 반드시 존재한다.
[2.3.4 정리]
완비성공리 ⇔ ≠ ∅ ⊂가 아래로 유계이면, (에서) 의 하한이 반드시 존재한다.
(⇒ )[분석] (머릿속으로) 그림을 그려보자.
∀∈ ≤ ∀∈ ≤
(⇐ ) 각자
[2.3.5 정리] 아르키메데스(Archimedes) 정리(지렛대의 원리)
∀ , ∈, ∃∈ s.t.
∃ ∈ ∀∈ ≤
⇒ ∈
⇒
⇒ ∀∈, ≤ 즉, ≤
[2.3.6 따름 정리]
∀∈ ,
(a) ∃∈ s.t. : 아무리 큰 양수라도 더 큰 양수(자연수) 존재 (b) ∃∈ s.t.
: 아무리 작은 양수라도 더 작은 양수
존재
2.3. 완비성공리
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[2.3.7 정리] 유리수의 조밀성
∀∈, ⇒ ∃∈ s.t.
(i) 인 경우
∃∈
≤
(ii) 인 경우
∃∈
∃∈ ∃′∈ ′
(iii) 인 경우: [2.3.6 정리 (b)]의 의해 성립.
[2.3.8 정리] Dedekind 정리
⊂가 다음 세 조건 (a) ∪ (b) ≠ ∅ , ≠ ∅ (c) ∈, ∈ ⇒
을 만족시키면, ∀∈∀∈, ∃ ∈ s.t. ≤ ≤ 이다.
≤ ≤
≤ ≤ ≤
[2.3.9 정리]
Dedekind 정리 ⇒ 완비성공리(위로 유계인 ≠ ∅ ⊂가 상한을 가진다.
≤ ≤
∈ ∈ ∈
[2.3.10 유리수계의 결함]
에서는 Dedekind 정리가 일반적으로 성립하지 않는다. 이를테면
∈ ≤ 또는 , ∈ 이고
는 Dedekind 정리의 가정을 모두 만족시킨다(∵∀∈, ≠ )4). 그러나 ∃∈ s.t. ∀∈∀∈,
≤ ≤ 이다.
∃ ∈ ∀∈∀∈ ≤ ≤ ∪
∈ ∈ ∈ ∈ ≠
∈ ≠
≠ ⇐ ⇐ ∃∈
⇐ ∃∈
⇐ ∃∈
∈ ≠
≠ ⇐ ⇐ ∃∈
⇐∃∈
⇐ ∃∈
3)
∈⇒ ∃∈s.t.
⇒ ∈
. 모순.
4) 즉,
는 유리수가 아니다. 이것은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.
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* 는 에서는 존재하지 않지만 에서는 존재한다. 이런 수를 무리수라고 한다. 위에서 를
또는
으로 나타내고 의 양의 제곱근이라 한다. 일반적으로 ∀≥ ∈, ( ≥ )인 를
의 양의 제곱근이라 하고, 또는
으로 나타낸다.
[2.3.11 정리]
∀ , ∃ ∈( 의 양의 제곱근)
* ∀ , ∃ (또는
)∈ s.t.
의 정의
*
(또는
으로 정의한다.
(유리수 지수)의 정의
[2.3.12 무리수의 조밀성]
∀∈, ⇒ ∀∈ , ∃∈ s.t. 5) (이때, 는 무리수임.)
∀∈ ∃∈
[2.3.13 실수의 소수 표현]
∀ ∈, ∃∈ s.t. (아르키메데스 정리)이므로,
∃ 6), ,
, ⋯ ( ⋯ )
⋯
⋯
라 하면, 이다. 이때 를
⋯ ⋯ (또는
⋯
⋯ ) 으로 나타낸다.
[2.3.14 정리] 두 실수의 상등
∀∈, ⇔ ∀ , (⇒ ) !!
(⇐ )
5) 즉,
∀∈,
⇒ ∃∈s.t.
6)
보다 작거나 같은 최대 정수
≤
∈
