5.5 순서통계량의 분포
정의 2 순서통계량
⋯
을 로부터의 확률표본이라 하자. 일종의 확률표본의 함수로
⋯
들 중 크기가 번째인 확률변수 ≡
이라 할 때,
⋯
을 순서통계량(order statistic)이라 한다.참고 일반적으로 순서통계량의 관측값들은 ≤ ≤⋯≤ 을 만족하며, 만약
가 연속형인 경우에는 ⋯ 을 만족한다.정리 3
⋯
을 연속형 확률밀도함수 로부터의 확률표 본일 때 순서통계량
⋯
의 결합확률밀도함수는 다음과 같이 주어진다. ⋯
⋯ ⋯
증명 편의상 인 경우에 한해 증명하기로 한다.
변환 min , , max 는 공간
에 서 공간
로의 일대일 변환이 아니므로 공간
를 다음과 같이 개의 공간 즉,
으로 나누어 주면, 위 변환은 각 공간
에서 공간
로의 일대일(1-1) 변환이 만족 된다.공간
상에서 이고, 공간
상에서는 ⋯ 등으로 주어지며
이고
⋯
이 됨을 알 수 있다. 따라서
의 결합확률밀도함수는
…
이다.
정리 4 [정리 3]과 동일한 가정 하에서,
의 는
으로 주어진다.
증명 누적분포함수법을 이용하여 증명하기로 한다(편의상 를 로 표기함).
≤
이하인
의 수
≥
이고,
≤
⋯ 이므로 이는 성공할 확률이
인 이 항분포가 이상인 확률에 해당하므로
≥
이다. 따라서
의 는
′
이다(마지막 등호에서 를 로 바꿈).
주의
가 이산형일 때는 위 공식을 적용할 수 없음에 유의할 것[5.2절의 (예제 2) 참고].Remark
[정리 4]의 결과는 다음과 같이 직관적인 방법으로 이해하면 기억하기 편 리하다.∆ ≈
≤
∆
∆ ≈
개의
′
∩
′ ∈
∆
∩
개의
′ ∆
⋯
≤
∆
∆ ⋯
∆
≈
∆정리 5 [정리 3]과 동일한 가정 하에서,
와
의 결합확 률밀도함수는 다음과 같이 주어진다.
×
위 결과에 대한 증명은 생략한다. 다만 [정리 4]에서와 마찬가지로 직관적인 방법 으로 이해하면 결과를 쉽게 표현할 수 있다.
참고 순서통계량으로 표현되는 통계량으로는 확률표본의 표본범위
, 범위의 중앙
, 표본중위수[
(:홀수 인 경 우) 또는
(: 짝수인 경우)] 등이 있다. 이들 통계량의 분포도 위의 결과를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.예제 1
⋯
이
로부터의 확률표본일 때,
의 분포가 이 됨을 보여라.
[정리 4]로부터
의 는,
이므로,
이다. 이 분포는 의 와 동일하다. ■
위의 예제와 관련하여
⋯
이
인 연속인 분포로부터의 확률 표본이면, 확률적분변환(5.1절 [정리 1])에 의해
을 따른다. 또한
․는 비감소함수(non-decreasing function)이므로
⋯ 가 되고, 따라서
～ 이 성립된다.
예제 2
⋯
이
으로부터의 확률표본일 때, 표본범위(sample range)
의 확률밀도함수를 구하여라.[정리 5]로부터
과
의 결합확률밀도함수는,
이 므로,
이다. 변수변환법(5.3.1절 참고)을 이용하여
의 분포를 구하면
임을 쉽게 확인할 수 있다. 이 분포는 분포의 이다. 따라 서
～ 임을 알 수 있다. ■
5.5
연습문제1
를 ℰ 분포로부터의 순서통계량이라 할 때,
일 확률을 구하여라.2
가
분포로부터의 순서통계량이라 할 때, 이 통계량을 범위 의 중앙(midrange)
의 확률밀도함수를 구하여라.
3
가
로부터의 순서통계량이라 할 때,
가 서로 독립임을 보여라.
Hint
의 결합확률밀도함수를 구하고 이를 이용하여라.4
도전문제
⋯
을 ℰ 분포로부터의 순서통계량이라 할 때,
⋯
이 서로 독립이며 동일한 분포 ℰ 를 따름을 보여라.
Hint
⋯
의 결합확률밀도함수가 다음과 같이 주어지는 것을 보이는 것으로 충분하다. ⋯ ⋯
