제2교시 수리영역
[인문계 정답]
1. ⑤ 2. ② 3. ② 4. ② 5. ⑤ 6. ① 7. ③ 8. ③ 9. ① 10. ④ 11. ⑤ 12. ③ 13. ③ 14. ② 15. ② 16. ④ 17. ⑤ 18. ① 19. ④ 20. ② 21.① 22. ③ 23. ④ 24. ③ 25. 15 26. -57 27. 34 28. 10 29. 90 30. 36.99
1. 주어진 식을 전개하여 2 에 관하여 정리하면 (a- 6 ) + (a-b) 2 = 0
∴ a- 6 = 0 , a-b= 0 a=b= 6
∴ a+b= 6 + 6 = 12
2. x2-2 2x+ 1 = 0 의 근을 구하면 x= 2 ±1
∴ α = 2 - 1 , β = 2 + 1 β
α = 2 +1
2 -1 =( 2 + 1)2
= 3 + 2 2
3. (A-B)2=A2-AB-BA+B2=
( )
5 33 2∴ AB+BA=
( )
4 01 3 -( )
5 33 2 =(
-1 -3-2 1)
(A+B)2=A2+AB+BA+B2
= (A2+B2)+(AB+BA)
=
( )
4 01 3 +(
-1 - 3- 2 1)
=(
-13 -34)
따라서 (A+B)2의 모든 성분의 합은 3 - 3 - 1 + 4 = 3
4. 이면 , ,
,
,
5. ㄱ. 이므로
주어진 벤 다이어 그램에서 어두운 부분을 나타내는 집합이다.
ㄴ.
={(A∩C)∩ (A∩C)c}∪{(A∩C)∩Bc}
= (A∩C) ∩Bc ㄷ.
(A-B) (C -B)
(A-B)∩ (C-B)
따라서, 주어진 벤다이어그램에서 어두운 부분을 나타내는 집합은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.
6. 주어진 조건에 의해 f(x) = (x+ 1)(x2+2x+3)+4 이므로 xf(x)+ 2 =x(x+ 1)(x2+2x+3)+4x+ 2
=x(x+ 1)(x2+2x+3)+4(x+ 1)- 2
= (x+ 1)(x3+2x2+3x+4)-2
따라서 다항식 xf(x)+ 2 를 x+ 1 로 나누었을 때의 몫은 x3+2x2+3x+4 이다.
7. f(x) =- 2x2+8x+a
=-2(x-2)2+a+8 이므로 최대값은 f(2) =a+8 = 5
∴ a=-3
이 때, 최소값은 f(-1) =-2-8+a = - 13
8. A8=E이므로 A12=A8⋅A4=A4 =E 따라서, AA3=A3A=E이므로
행렬 A의 역행렬은 A3이다.
9. △ABC에서 사인법칙에 따라
sinBCA = ACsinB , sin 30〫 =4 2 8 sinB , sin30〫 = 12 이므로 sinB= 1
2
∴B= 45〫또는 135〫
이므로
(ⅰ) 일 때,
(ⅱ) 일 때,
따라서 예각 의 크기는 이다.
10.
⇔ 또는
⇔ 또는
[그림1] [그림2]
B C
U A U
B C
U A
{
yy≦≧gf((xx)){
yy ≧≦gf((xx))[그림1]과 [그림2]에서 구하는 부등식의 영역은 ④이다.
11. a ＜b＜c 이므로
(x-a) (x-b) ＞ 0 ⇔ x＜a , x＞b (x-b) (x-c) ＞ 0 ⇔ x＜b , x＞c
따라서, 연립부등식
{
((xx--ab) () (xx--bc) ＞ 0) ＞ 0 의 해는 x＜a , x＞c∴ a= - 4 , c= 3
x2+ax+c=x2- 4x+ 3 = (x- 1 ) (x- 3 ) ＜ 0
∴ 1 ＜x＜ 3
12. 정사각형 한 변의 길이를 m+n 라 놓으면
A=D=mn , B=m2, C=n2
어두운 정사각형의 한 변의 길이가 m2+n2 이므로 어두운 정사각형의 넓이는
m2+n 2=B+C
13. (f∘f)( 1) = 4 에서
ⅰ) f(1) = 1 이면 f(f(1)) =f(1) = 4
∴ 모순
ⅱ) f(1) = 2 이면 f(f(1)) =f(2) = 4
∴ f(1) = 2 , f(2) = 4
ⅲ) f(1) = 3 이면 … ㉠ f(f(1)) =f(3) = 4
에서 … ㉡
㉠, ㉡에서 모순
ⅳ) 이면
∴ 모순
ⅱ)에서 이므로
또는 이면
∴ 모순 이면
,
∴ , , ,
∴ 2f( 1)+ 4f(3) = 2․2+4 ․3 = 16
14. p : x2+y2+z2= 0 ⇔ x=y=z= 0 q : x2+y2+z2+xy+yz+zx= 0
⇔ (x+y)2+(y+z)2+(z+x)2= 0
⇔ x+y=y+z=z+x= 0
⇔ x=y=z= 0
r : x2+y2+z2-xy-yz-zx= 0
⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2= 0
⇔ x-y=y-z=z-x= 0
⇔ x=y=z
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이고, 는 이기 위 한 충분조건이고, q는 r이기 위한 충분조건이다.
15. f(0) = 3, f2(0) =f(f(0)) =f(3) = 1 f3(0) =f(f 2(0)) =f(1) = 2,
f4(0) =f(f 3(0)) =f(2) = 4,
f 5(0) =f(f4(0 )) =f(4) = 0 이므로 f 5n(0) =f 5(n- 1)(0) = … =f5(0) = 0
∴ f2002( 0) =f 2(f2000( 0)) =f 2(0 ) = 1
16. △ABD와 △ACD에서
∠ADB= ∠ADC= 90〫, AB= AC, 는 공통이므로
△ABD≡△ACD 이다.
ㄱ. △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC= ∠ACB ㄷ. ㄹ. △ABD≡△ACD 이므로 참이다.
17. A=
( )
a bc d ,B=( )
x yz w 라고 하면AB=
( )
a bc d( )
x yz w =(
cxax++dz cybz ay++dwbw)
AB의 역행렬이 존재하면 |AB|≠0 이다.
|AB| = (ax+bz)(cy+dw)-(ay+bw)(cx+dz)
=adxw+bcyz-bcxw-adyz
= (ad-bc)×(xw-yz) = |A||B|
|AB|≠0 이므로 |A|≠0이고 |B|≠0 이다.
따라서 A,B의 역행렬이 모두 존재한다.
18. m-n= 4p2-4q2= 4(p+q)(p-q)
∴ (p+q)(p-q) = 2a
이 때, p+q, p-q는 모두 홀수이거나 짝수이다.
따라서 (p+q)(p-q) 는 홀수끼리의 곱이거나 짝수끼리의 곱 이므로 홀수이거나 4 의 배수이다.
그런데 는 홀수이므로 는 의 배수가 아닌 짝수이다.
그러므로 모순이다.
19.
이 이외의 해를 가질 조건은
이 때, 에 대한 이차방정식 에서 판별식의
A P
Q R
S
D C
B
m m
n n
P n
Q R
S m
m n
n m n m
b c
a x
승리한 경기수 무승부인 경기수 패배한 경기수
A 2 1
B 1 1 1
C 1 2
D 1 1 1
합계 5 2 5
부호를 조사하면
D4 = 3 > 0
따라서, a2-4a+1= 0은 서로 다른 두 실근을 가진다.
이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 두 근의 합은 - (-4)1 = 4
따라서, 실수 a의 값들의 합은 4이다.
20. 3x+ 8
x+2 = 3+ 2
x+2 이고 0＜ 2x+2 ＜1 이므로 3＜ 3x+ 8
x+ 2 ＜4
∴
[
3xx+ 2+ 8]
= 3∴
< [
3xx+ 2+ 8]
+ 5x>
= 5⇔ <
3 + x5>
= 5즉, 4 < 3 + x
5 ≦ 5
에서
5 <x≦ 10따라서 양의 정수 x의 개수는 5개이다.
21. 직선 y= 117 x가 직선x= 1,2,3,4,…,28 중에서
x= 7,14,21,28 을 제외한 24 개의 직선과 만날 때마다 단위선 분과 만나게 된다.
또, 직선 y= 117 x가 직선 y= 1,2,3,4,…,44 중에서
y= 11,22,33,44 를 제외한 40 개의 직선과 만날 때마다 단위선 분과 만나게 된다.
따라서 구하는 단위선분의 개수는 24 + 40 = 64 이다.
22. A팀은 3경기에서 6점을 받았으므로 경기 전적은 2승 1패 이다.
B팀은 3경기에서 4점을 받았으므로 경기 전적은 1승 1무 1패이다.
C팀은 3경기에서 3점을 받았으므로 경기 전적은 1승 2패 또는 3무이다. 이 때, 3무이면 A팀에게도 1무가 있어야 하므로 모순 이다. 따라서, C팀의 전적은 1승 2패이다.
4팀의 경기 전적에서 승리한 경기수와 패한 경기수의 합이 서로 같아야 하며, 비긴 경기수의 합은 짝수가 되어야한다.
D팀의 상대팀은 A, B, C팀이며 세 팀의 전적이 위와 같으므로 D팀의 3경기 전적은 1승 1무 1패이다.
따라서, D팀이 받은 점수는 4점이다.
23. 세 백화점 A, B, C를 지난 1년 동안 이용한 적이 있는 주부
들의 집합을 각각 라 하면 의 값이 최대일
때는 일 때이므로 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는 주부들은 최대 명이다. [그림1]
이 때, 이므로 세 백화점
A, B, C를 모두 이용한 적이 없는 주부들은 많아야 명이다.
의 최소값은
그러므로 의 최소값은
따라서 적어도 명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를 모두 이
용한 적이 있다. [그림2]
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
B A C U
50 25 13 12
[그림1]
A
B 13
50
12 [그림2]
24. A에서 BC의 연장선에 내린 수선의 발을 D라 하면
△ABD와 △ACD는 직각삼각형이다.
∴ △ACD에서
CD = AC× cos45〫 = 10 2km AD= AC×sin45〫 = 10 2km 또 △ ABD에서
AD
BD = tan 30〫 = 13 ,
∴ BD= 3×AD= 10 6km
∴ BC = BD- CD = (10 6-10 2 )km
25. 이차방정식 x2- 3x- 3 = 0 에서 근과 계수와의 관계를 이용하면
α+ β = 3 , αβ = -3
한편, α, β 가 주어진 이차방정식의 근이므로 α2- 3α - 3 = 0 , β2- 3β - 3 = 0
∴ ( α2- 2α ) ( β2- 2β ) = ( α + 3 ) ( β + 3 )
= αβ + 3 ( α + β ) + 9
= -3 + 9 + 9 = 15
26. f(3) = 5 에서 3a+b= 5 즉, 3a+b= 25 …… ㉠
g(3) = 5 ⇔ f( 5) = 3 에서 5a+b= 3 즉, 5a+b= 9 ……㉡
㉠, ㉡에서a=-8,b= 49 이므로
∴ a-b=-8-49 =-57
27. f(a) = 3a+ 3-a=6
f(-2a) = 3- 2a+ 3- ( - 2a)= 32a+ 3- 2a
= ( 3a)2+ ( 3-a)2
= (3a+ 3-a)2-2․3a․3-a
= 62-2․30
28. 주어진 네 점을 지나는 원의 방정식을
이라 놓으면 이차방정식 의 두 근이
, 이다.
또, 이차방정식 의 두 근이 이므로
C = 6×(-2) = -12
∴ x2+y2- 6x- 4y- 12 = 0 (x- 3 )2+ (y- 2 )2= 52
∴ a = 3 , b= 2 , r = 5
∴ a +b+r = 10
<다른풀이>
x축과 만나는 두 점을 이은 선분의 수직이등분선 위에 원의 중심이 있으므로
a = 3 + 21 + 3 - 212 = 3
또, y축과 만나는 두 점을 이은 선분의 수직이등분선 위에 원의 중심이 있으므로
b= 6 + (- 2 )2 = 2
이 때, 중심 ( 3 , 2 )에서 점 ( 0 , 6 ) 까지의 거리가 반지름의 길이 이므로
r = 32+ ( 2 - 6 )2 = 5
∴ a +b+r = 10
29. 정오각형에 있는 모서리의 개수는 5×12 = 60 (개) 정육각형에 있는 모서리의 개수는 6×20 = 120 (개)
그런데 다면체에서 각 모서리는 정오각형과 정육각형 또는 정육각형과 정육각형의 모서리가 서로 맞닿아 있으므로
(다면체의 모서리의 개수) = (60+ 120)2 = 90 (개)
30. A, B 지역의 소리의 강도를 각각 Pa, Pb, 소리의 크기를 각각 Da, Db라 하면 두 지역의 소리의 크기의 차이는
Da-Db= 10 log10 Pa
I - 10 log10 Pb I
= 10 log10
(
PIa ⋅ PIb)
= 10 log10 Pa
Pb = 10 log105000
= 10 log10 10000
2 = 10 (4 - log102 )
= 10 ×3.699
= 36.99
[자연계 정답]
1. ⑤ 2. ④ 3. ② 4. ② 5. ⑤ 6. ① 7. ④ 8. ③ 9. ① 10. ④ 11. ⑤ 12. ③ 13. ③ 14. ② 15. ② 16. ④ 17. ⑤ 18. ① 19. ④ 20. ② 21.① 22. ③ 23. ④ 24. ③ 25. 15 26. -57 27. 34 28. 26 29. 90 30. 36.99
1번의 풀이는 인문계와 동일.
2. 로 놓으면 주어진 방정식은
에서 또는
(ⅰ) 일 때,
에서 이므로 두 근의 합은
(ⅱ) 일 때,
x+1
x2 = 2 에서 2x2-x-1= 0 이므로 두 근의 합은 따라서 모든 근의 합은 2+ 12 = 5
2 이다.
3번～6번의 풀이는 인문계와 동일.
7. f(x)
g(x) - 1 = 0 ⇔ f(x) =g(x) , g(x) ≠ 0 (ⅰ) 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프에서 교점의
x좌표값이 방정식 f(x) =g(x) 의 실근이므로 f(x) =g(x) ⇔ x= - 1 , x= 5 (ⅱ) g(x) ≠ 0 ⇔ x≠ -1
따라서, 방정식 f(x)
g(x) - 1 = 0 의 실근은 x= 5
8. 일차변환 f를 나타내는 행렬을 X로 놓으면
f(A)+f(B) =XA+XB=X(A+B) =X
( )
22 =( )
04 따라서 2X( )
11 = 2( )
02 에서 X( )
11 =( )
02∴ X- 1
( )
02 =( )
11 ∴ f- 1(B) =( )
119번～15번의 풀이는 인문계와 동일.
16. f 1, f2, f3, f4는 각각 x축, y축, 원점, 직선 에 대 한 대칭 이동을 나타내는 일차변환이다.
∴ f1∘f2∘f3=f3∘f2∘f1=I (항등변환)
∴ f1∘f2∘f3∘f4∘f3∘f2∘f1=f4
따라서, 합성변환f1∘f2∘f3∘f4∘f3∘f2∘f1에 의하여 점 (a ,b)가 옮겨진 점의 좌표는 (b,a )이다.
17번～27번의 풀이는 인문계와 동일.
28. AP = x라 놓으면 CP = x2- 102
BP = 60 -x 이므로 DP = ( 60 -x)2- 302 CP + DP = 40 에서
x2- 102 + ( 60 -x)2- 302 = 40 ( 60 -x)2- 302 = 40 - x2- 102 양변을 제곱하여 정리하면
2 x2- 100 = 3x- 30 다시 양변을 제곱하여 정리하면
x2- 36x+ 260 = 0
(km) ( )
29번～30번의 풀이는 인문계와 동일.
[예․체능계 정답]
1. ⑤ 2. ② 3. ④ 4. ② 5. ⑤ 6. ① 7. ③ 8. ③ 9. ① 10. ④ 11. ⑤ 12. ③ 13. ③ 14. ② 15. ② 16. ④ 17. ⑤ 18. ① 19. ① 20. ② 21.① 22. ③ 23. ④ 24. ③ 25. 15 26. -57 27. 34 28. 10 29. 90 30. 36.99
1번～2번의 풀이는 인문계와 동일.
3. (1- sin 2002°)(1+ sin 2002°) = 1- sin22002°
= cos 22002°
…㉠
cos 2002° = cos (360°×5+ 202°) = cos 202°
= cos (180°+22°) =- cos 22°
…㉡
㉠, ㉡에서
(1- sin 2002°)(1+ sin 2002°) = (- cos 22° )2
= cos 222°
4번～7번의 풀이는 인문계와 동일.
8. y= x
x-2 = x- 2+2
x- 2 = 2x-2 +1이므로 y= x
x- 2 의 그래프는 y= 2x의 그래프를 x축의 방향으로 2 만큼 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프이다.
따라서 <보기>의 분수함수를 y= k
x-p+q의 꼴로 정리하였 을때, k= 2인 분수함수의 그래프는 평행이동을 통하여
y= x
x-2 의 그래프와 겹쳐질 수 있다.
ㄱ. y= 2 x+ 1 ㄴ.y= 2x+1
x+2 = - 3 x+2 + 2 ㄷ. y= 3x+5
x+1 = 2 x+1 +3
따라서 평행이동을 통하여 y= x
x- 2 의 그래프와 겹쳐질 수 있는 분수함수는 ㄱ, ㄷ이다.
9번～16번의 풀이는 인문계와 동일.
17. 직선 PP'은 직선 y=x와 수직이므로 b'-b
a '-a ×1 = -1
즉, b'= -a '+a+b ⋯⋯㉠
또, 선분 PP'의 중점 M의 좌표는 ( a +a '
2 , b+b'
2 )이므로 a+a '
2 = b+b'
2 ⋯⋯㉡
따라서, ㉠ , ㉡ 두 식을 연립하여 풀면
점 의 좌표는 이다.
18번의 풀이는 인문계와 동일.
19. 두 이차 다항식 와 의 최대공약수를 , 최소
공배수를 라 하자.
( 는 서로 소 )
이므로 또는
p(x) =x- 3 , q(x) =x+ 1
∴ f(x) = (x+ 1 )(x- 1 ) , g(x) = (x- 3 )(x- 1 ) 또 는
f(x) = (x- 3 )(x- 1 ) , g(x) = (x+ 1 )(x- 1 )
∴ A= { - 1 , 1 } , B= { 1 , 3 } 또는 A= { 1 , 3 } , B= { - 1 , 1 }
∴ (A-B) ∪ (B-A) = { -1 , 3 }
20번～30번의 풀이는 인문계와 동일.
