3 중

ALL 100

u

^{1학기 기말 고사}

III. ^{이차방정식} 34

IV. ^이차함수 ₃₉

V. ^통계 46

3

중

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34 수학 ➌

02-

㉠ (-2)¤ +2_(-2)=0

㉡(-2)¤ -3_(-2)+2+0

㉢(-2)¤ -(-2)+0

㉣(-2)¤ +(-2)-2=0

따라서x=-2를 해로 갖는 이차방정식은 ㉠, ㉣이다.

02-

x=-1일 때, (-1)¤ -4_(-1)-5=0 x=0일 때, 0¤ -4_0-5+0

x=1일 때, 1¤ -4_1-5+0

따라서 주어진 이차방정식의 해는x=-1이다.

03-

x=-1을 x¤ -(2a+1)x+3a+2=0에 대입하면 1+(2a+1)+3a+2=0, 5a=-4

∴a=-;5$;

03-

x=4를 x¤ +ax+4=0에 대입하면 16+4a+4=0, 4a=-20

∴a=-5

x=4를 x¤ =-x+b에 대입하면 16=-4+b ∴b=20

∴b-a=20-(-5)=25

03-

x=a를 5x¤ +3x-3=0에 대입하면 5a¤ +3a-3=0 ∴5a¤ +3a=3 x=b를 2x¤ +3x+1=0에 대입하면 2b¤ +3b+1=0 ∴2b¤ +3b=-1

∴5a¤ +3a-2b¤ -3b=5a¤ +3a-(2b¤ +3b)

=3-(-1)=4

03-

x=m을 x¤ -4x+1=0에 대입하면 m¤ -4m+1=0

m+0이므로 양변을 m으로 나누면 m-4+ =0 ∴m+ =4

∴m¤ + ={m+ }2 -2

=4¤ -2=14

04-

(x+3)(x-2)=0에서 x+3=0 또는 x-2=0

∴x=-3 또는 x=2

04-

③2x+3=0 또는 ;2!;x-6=0

∴x=-;2#; 또는 x=12

05-

3x¤ +x-4=0에서 (3x+4)(x-1)=0

∴x=-;3$; 또는 x=1

05 -

(x-3)(x-5)=2x-9에서

x¤ -8x+15=2x-9, x¤ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0

∴x=4 또는 x=6

이때a>b이므로 a=6, b=4

∴a+2b=6+2_4=14 m1 m¤1

m1 m1

│2~5^쪽│

01-

③

01-

a+3

01-

①

02-

⑤

02-

③

02-

㉠, ㉣

02-

x=-1

03-

_-;5$;

03-

₂₅

03-

₄

03-

₁₄

04-

②

04-

③

05-

x=-;3$; 또는 x=1

05-

₁₄

05-

_x=2

05-

₃

05-

₁

05-

₃

06-

②, ④

06-

④

06-

₅

06-

-5

06-

1, 13

06-

;1¡8;

07-

x=-3—

07-

13

07-

7

07-

2'1å0

08-

29

08-

⑤

08-

-2 '72

III ^{. 이차방정식}

1. 이차방정식의 풀이

01-

①x¤ -16=x¤ , 즉 -16=0이므로 거짓인 등식이다.

②x¤ -3x=x¤ -x, 즉-2x=0이므로일차방정식이다.

③ -x¤ +1=0이므로 이차방정식이다.

④x¤ +4x+4=x¤ -1, 즉 4x+5=0이므로 일차방정 식이다.

⑤-3x(x¤ -1)=0, 즉 -3x‹ +3x=0이므로 이차방 정식이 아니다.

01-

3(x+1)¤ =ax¤ -3x+5에서

3x¤ +6x+3=ax¤ -3x+5, (3-a)x¤ +9x-2=0 이 식이x에 대한 이차방정식이 되려면 3-a+0이어야 한다.

∴a+3

01-

(ax-1)(x+2)=-5x¤ +2에서 ax¤ +2ax-x-2=-5x¤ +2 (a+5)x¤ +(2a-1)x-4=0

이 식이x에 대한 이차방정식이 되려면 a+5+0이어야 한다.

∴a+-5

02-

① -2_(2+2)+0 ② (-5)¤ -5_(-5)+0

③ (-3)¤ +9+6_(-3) ④ 4¤ +4-12+0

⑤ 5_1¤ -2_1-3=0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은

⑤이다.

02-

①-(-3-3)¤ +0

②(-3)¤ -3_(-3)+0

③(-3)¤ +6_(-3)+9=0

④(-3)¤ +(-3)+3+0

⑤2_(-3-3)_(-3+5)+0 따라서x=-3을 해로 갖는 것은 ③이다.

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정답과 해설 35

05-

x¤ +5x-14=0에서 (x+7)(x-2)=0

∴x=-7 또는 x=2

2x¤ +5x-18=0에서 (2x+9)(x-2)=0

∴x=-;2(; 또는 x=2

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는x=2이다.

05-

x=3을 (a-1)x¤ -7x+3=0에 대입하면 9(a-1)-21+3=0, 9a=27 ∴a=3 즉, 주어진 이차방정식은2x¤ -7x+3=0이므로 (2x-1)(x-3)=0 ∴x=;2!; 또는 x=3 따라서 다른 한 근은;2!;이므로 b=;2!;

∴2ab=2_3_;2!;=3

05-

x¤ -x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0

∴x=-1 또는 x=2

이때 두 근 중 음수인 근은-1이므로 x=-1을 x¤ -2ax-3a=0에 대입하면

1+2a-3a=0, -a=-1 ∴a=1

05-

x=2를 (a-1)x¤ -(a¤ +3)x+4(a+1)=0에 대입 하면

4(a-1)-2(a¤ +3)+4(a+1)=0

4a-4-2a¤ -6+4a+4=0, 2a¤ -8a+6=0 2(a¤ -4a+3)=0, 2(a-1)(a-3)=0

∴a=1 또는 a=3

그런데a-1+0, 즉 a+1이어야 하므로 a=3

06-

①(x-2)¤ =4에서 x¤ -4x+4=4 x¤ -4x=0, x(x-4)=0

∴x=0 또는 x=4

②(x+2)¤ =0에서 x=-2 (중근)

③x¤ -3x-4=0에서 (x+1)(x-4)=0

∴x=-1 또는 x=4

④9x¤ -12x+4=0에서 (3x-2)¤ =0

④∴x=;3@; (중근)

⑤x¤ =81에서 x¤ -81=0

(x+9)(x-9)=0 ∴x=-9 또는 x=9

06-

①x¤ -6x+9=0에서 (x-3)¤ =0

∴x=3 (중근)

②4x¤ +4x+1=0에서 (2x+1)¤ =0

④∴x=-;2!; (중근)

③3x¤ -24x+48=0에서 3(x¤ -8x+16)=0 3(x-4)¤ =0 ∴x=4 (중근)

④2x¤ -4x-6=0에서 2(x¤ -2x-3)=0 2(x+1)(x-3)=0 ∴x=-1 또는 x=3

⑤x=0 (중근)

06-

2k-6={;2$;}2 에서 2k=10 ∴k=5

06-

이차방정식2(x+3)¤ =a+2가 중근을 가지려면 a+2=0 ∴a=-2

즉, 2(x+3)¤ =0의 해는 x=-3(중근)이므로 m=-3

∴a+m=-2+(-3)=-5

06 -

2m-1=[ ]¤ 에서 m¤ -14m+13=0 (m-1)(m-13)=0

∴m=1 또는 m=13

06-

모든 경우의 수는6_6=36

이차방정식x¤ -2ax+b=0이 중근을 가지려면 b={ }2 , 즉 b=a¤ 이어야 한다.

b=a¤ 을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 4)의 2가지이므로 구하는 확률은 ;3™6;=;1¡8;

07-

4(x+3)¤ =7에서 (x+3)¤ =;4&;

x+3=— ∴x=-3—

07-

(x+A)¤ =17에서 x+A=—'∂17

∴x=-A—'∂17

따라서A=4, B=17이므로 B-A=17-4=13

07-

;2!;(x-5)¤ =4에서 (x-5)¤ =8 x-5=—2'2 ∴x=5—2'2 따라서a=5, b=2이므로 a+b=5+2=7

07 -

2(x-2)¤ -20=0에서 (x-2)¤ =10 x-2=—'∂10 ∴x=2—'∂10 따라서 두 근의 차는

2+'∂10-(2-'∂10)=2'∂10

08-

x¤ -12x+1=0에서 x¤ -12x=-1 x¤ -12x+36=-1+36

∴(x-6)¤ =35

따라서a=-6, b=35이므로 a+b=-6+35=29

08-

x¤ -6x-2=0에서 x¤ -6x=2 x¤ -6x+9=2+9, (x-3)¤ =11 x-3=—'1å1 ∴ x=3—'1å1

08-

x¤ -10x-p=0에서 x¤ -10x=p x¤ -10x+25=p+25, (x-5)¤ =p+25 x-5=—'ƒp+25

∴x=5—'ƒp+25

따라서p+25=23이므로 p=-2 '72 '72

-2a2

-(m-3) 2

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36 수학 ➌

01 -

x= =

따라서A=-3, B=5이므로 A-B=-3-5=-8

01-

x¤ +2x-5=0에서

x=-1—"√1¤ -1_(-5)=-1—'6 3x+1<-5에서 3x<-6 ∴x<-2 따라서 구하는x의 값은 -1-'6이다.

01-

x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_2=2—'2 이때a>b이므로 a=2+'2, b=2-'2

따라서2-'2-2<n<2+'2-2에서 -'2<n<'2 이므로 조건을 만족하는 정수n은 -1, 0, 1의 3개이다.

02-

양변에12를 곱하면 4(x¤ +1)-3(x+3)=2x 4x¤ +4-3x-9=2x, 4x¤ -5x-5=0

∴x=

∴x=

02-

0.6x¤ -1.3x+0.5=0의 양변에 10을 곱하면 6x¤ -13x+5=0, (2x-1)(3x-5)=0

∴x=;2!; 또는 x=;3%;

;3@;x¤ -;3&;x+1=0의 양변에 3을 곱하면 2x¤ -7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0

∴x=;2!; 또는 x=3

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는x=;2!;이다.

02-

양변에 10을 곱하면6+4x(x-1)=5x¤

6+4x¤ -4x=5x¤ , x¤ +4x-6=0

∴x=-2—"√2¤ -1_(-6)=-2—'∂10 5—'ƒ105

8

-(-5)—"√(-5)¤ -4√_4_(-5) 2_4

-3—'5 -3—"√3¤ -4_1_1 2

2_1

│6~9^쪽│

01-

_-8

01-

_-1-'6

01-

_3개

02-

x=

02-

x=;2!;

02-

_{x=-2—'∂10}

02-

₀

02-

₂

03-

㉡, ㉣

03-

6

03-

4

03-

6개

04-

_-2

04-

30

04-

_-2

04-

46

04-

;2&;

04-

-12

05-

-10

05-

④

05-

-2'∂10

06-

-12

06-

1

07-

2x¤ +12x+18=0

07-

3x¤ -5x+1=0

07-

x=-1 또는 x=-5

08-

16

08-

십각형

08-

3초

09-

5 cm

09-

3 m

09-

P(3, 10) 또는 P(5, 6) 5—'ƒ105

8

2. 이차방정식의 근의 공식과 활용

02-

5x+1=A라고 하면 A¤ -2A-24=0 (A+4)(A-6)=0 ∴A=-4 또는 A=6 즉, 5x+1=-4 또는 5x+1=6이므로 x=-1 또는 x=1

따라서 두 근의 합은-1+1=0

02-

x-2y=A라고 하면 A(A+4)+4=0 A¤ +4A+4=0, (A+2)¤ =0^∴∴

∴A=-2 (중근) 즉, x-2y=-2이므로

2y-x=-(x-2y)=-(-2)=2

03 -

㉠b¤ -4ac=0¤ -4_1_(-5)=20>0 ∴2개

㉡b¤ -4ac=1¤ -4_1_6=-23<0 ∴ 0개

㉢b¤¤ -4ac=4¤ -4_2_2=0 ∴1개

㉣b¤ -4ac=(-4)¤ -4_3_2=-8<0 ∴ 0개 따라서 근을 갖지 않는 것은 ㉡, ㉣이다.

03-

x¤ +4x=3-k에서 x¤ +4x-3+k=0

b¤ -4ac=4¤ -4_1_(-3+k)>0이어야 하므로 16+12-4k>0, -4k>-28 ∴k<7 따라서 정수k의 최댓값은 6이다.

03-

b¤ -4ac=(m-2)¤ -4_9_1=0이어야 하므로 m¤ -4m-32=0, (m+4)(m-8)=0

∴m=-4 또는 m=8

따라서 모든 상수m의 값의 합은 -4+8=4

03-

이차방정식x¤ -4x+p=0이 근을 갖지 않으므로 b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_p<0, 16-4p<0 -4p<-16 ∴p>4

이차방정식x¤ +6x+p-1=0이 근을 가지므로 b¤ -4ac=6¤ -4_1_(p-1)æ0, 36-4p+4æ0 -4pæ-40 ∴p…10

따라서 4<p…10을 만족하는 정수 p는 5, 6, 7, 8, 9, 10의 6개이다.

04-

a=-;3%;, b=-;3!;이므로 a+b=-;3%;+{-;3!;}=-2

04-

(두 근의 합)=-1+6=-a ∴a=-5 (두 근의 곱)=-1_6=b ∴b=-6

∴ab=-5_(-6)=30

04-

이차방정식x¤ -2x-7=0의 두 근의 합은 2이므로 x=2를 2x¤ -3x+k=0에 대입하면

8-6+k=0 ∴k=-2

04-

이차방정식x¤ +5x-7=0에서 (두 근의 합)=-5, (두 근의 곱)=-7

즉, 이차방정식 2x¤ +ax+b=0의 두 근이 -5, -7이 므로

(두 근의 합)=-5+(-7)=-;2A;

-12=-;2A; ∴a=24

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정답과 해설 37 (두 근의 곱)=-5_(-7)=;2B;

35=;2B; ∴b=70

∴b-a=70-24=46

04-

두 근을a, a+3이라고 하면 (두 근의 합)=a+(a+3)=5 2a=2 ∴a=1

따라서 두 근은 1, 4이므로 (두 근의 곱)=1_4=2k-3 2k=7 ∴k=;2&;

04-

두 근을a, 3a라고 하면 (두 근의 합)=a+3a=m+6 4a=m+6 ∴m=4a-6 (두 근의 곱)=a_3a=12 a¤ =4 ∴a=-2 또는 a=2

⁄ a=-2일 때, m=-8-6=-14

¤ a=2일 때, m=8-6=2

⁄, ¤에 의하여 모든 상수 m의 값의 합은 -14+2=-12

05-

a+b=4, ab=-2이므로

;å©;+;∫ƒ;= =

;å©;+;∫ƒ;= = =-10

05-

a+b=3, ab=1이므로

①a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_1=7

②(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_1=5

③;å!;+;∫!;= =3

④ + = = =7

⑤a¤ b+ab¤ =ab(a+b)=1_3=3

05 -

a+b=-2, ab=-;2#;이므로 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

(a-b)¤=(-2)¤ -4_{-;2#;}=10

∴a-b=—'∂10

그런데a>b이므로 a-b>0

∴a-b='∂10

∴a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=-2_'∂10=-2'∂10

06-

한 근이 2-2'3이므로 다른 한 근은 2+2'3이다.

(두 근의 합)=(2-2'3)+(2+2'3)=-a

∴a=-4

(두 근의 곱)=(2-2'3)(2+2'3)=b

∴b=-8

∴a+b=-4+(-8)=-12 a¤ +b¤

(ab)¤

a¤ +b¤

a¤ b¤

1 b¤

1 a¤

a+bab

-220 4¤ -2_(-2)

-2

(a+b)¤ -2ab a¤ +b¤ ab

ab

06-

1<'2<2에서 -2<-'2<-1

∴1<3-'2<2

이때3-'2의 정수 부분이 1이므로 소수 부분은 (3-'2 )-1=2-'2

따라서 한 근이2-'2이므로 다른 한 근은 2+'2이다.

(두 근의 곱)=(2-'2 )(2+'2 )=-a+3 2=-a+3 ∴a=1

07-

중근이 -3이고x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+3)¤ =0, 2(x¤ +6x+9)=0

∴2x¤ +12x+18=0

07-

a+b=5, ab=3이므로

;å!;+;∫!;= =;3%;

;å!;_;∫!;=;å¡∫;=;3!;

따라서 구하는 이차방정식은3{x¤ -;3%;x+;3!;}=0

∴3x¤ -5x+1=0

07-

두 근이 1, 5이고x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-5)=0, 즉 x¤ -6x+5=0

이때 지민이는 상수항을 바르게 보았으므로 상수항은5 이다.

두 근이 -4, -2이고x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+4)(x+2)=0, 즉 x¤ +6x+8=0

이때 경철이는x의 계수를 바르게 보았으므로 x의 계수 는6이다.

따라서 처음에 주어진 이차방정식은x¤ +6x+5=0이 므로

(x+1)(x+5)=0 ∴x=-1 또는 x=-5

08-

연속하는 두 홀수를x, x+2(xæ1)라고 하면 x¤ +(x+2)¤ =130, x¤ +2x-63=0 (x+9)(x-7)=0 ∴ x=-9 또는 x=7 그런데xæ1이므로 x=7

따라서 연속하는 두 홀수는7, 9이므로 구하는 합은 7+9=16

08-

=35에서 n¤ -3n-70=0

(n+7)(n-10)=0 ∴n=-7 또는 n=10 그런데næ3이므로 n=10

따라서 구하는 다각형은 십각형이다.

08-

35t-5t¤ =50에서 t¤ -7t+10=0 (t-2)(t-5)=0 ∴ t=2 또는 t=5

따라서 이 물체가 50 m 이상의 높이에서 머무는 것은 2 초부터 5초까지이므로 3초 동안이다.

09-

처음 정사각형의 한 변의 길이를x cm라고 하면 (x+3)(x+2)=56, x¤ +5x-50=0

(x+10)(x-5)=0 ∴x=-10 또는 x=5 그런데x>0이므로 x=5

따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다.

n(n-3) 2

a+bab

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38 수학 ➌

⑤ 3x¤ -15x+18=0에서 3(x¤ -5x+6)=0 3(x-2)(x-3)=0 ∴x=2 또는 x=3

05

5(x-2)¤ =10에서 (x-2)¤ =2 x-2=—'2 ∴x=2—'2 따라서A=2, B=2이므로 A+B=2+2=4

06

x¤ -8x+5=0에서 x¤ -8x=-5 x¤ -8x+16=-5+16, (x-4)¤ =11 x-4=—'∂11 ∴x=4—'∂11

07

x=

x=

따라서a=3, b=1+3a에서 b=1+9=10

∴a+b=3+10=13

08

b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_(-2k-6)>0이어야 하므로 16+8k+24>0, 8k>-40 ∴k>-5

따라서k의 값이 될 수 없는 것은 ① -6이다.

09

a+b=2, ab=-;4!;이므로 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab (a-b)¤=2¤ -4_{-;4!;}=5

10

^{한 근이 5-}'2이므로 다른 한 근은 5+'2이다.

(두 근의 합)=(5-'2)+(5+'2)=k+2 10=k+2 ∴k=8

11

연속하는 세 자연수를x-1, x, x+1(xæ2)이라고 하면 (x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -45, x¤ -4x-45=0

(x+5)(x-9)=0 ∴x=-5 또는 x=9 그런데xæ2이므로 x=9

따라서 가장 큰 수는 10이다.

12

도로를 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가(20-x) m, 세 로의 길이가(14-x) m인 직사각형의 넓이와 같으므로 (20-x)(14-x)=160, x¤ -34x+120=0

(x-4)(x-30)=0 ∴x=4 또는 x=30 그런데 0<x<14이므로 x=4

13

x(ax+8)+4=3x¤ -x에서 ax¤ +8x+4=3x¤ -x

(a-3)x¤ +9x+4=0 ^……60%

이식이x에대한이차방정식이되려면a-3+0이어야한다.

∴a+3 ^……40%

14

x=a를 x¤ +5x-1=0에 대입하면

a¤ +5a-1=0 ^……40%

a+0이므로 양변을 a로 나누면

a+5-;a!;=0 ^……40%

∴a-;a!;=-5 ^……20%

1—'∂1+3a a

-(-1)—"√(-1)¤ -a_(-3) a

09-

길의 폭을x m라고 하면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 가로의 길이가(20-x) m, 세로의 길이가 (15-x) m 인 직사각형의 넓이와 같으므로

(20-x)(15-x)=204, x¤ -35x+96=0 (x-3)(x-32)=0 ∴x=3 또는 x=32 그런데 0<x<15이므로 x=3

따라서 길의 폭은 3 m이다.

09-

점 P의x좌표를 a라고 하면 점 P의 좌표는 P(a,-2a+16)이다.

OQPR의 넓이가 30이므로

a_(-2a+16)=30, -2a¤ +16a-30=0 a¤ -8a+15=0, (a-3)(a-5)=0

∴a=3 또는 a=5

따라서 점 P의 좌표는 P(3, 10) 또는 P(5, 6)이다.

│10~12^쪽│

01

②, ③

02

④

03

③

04

④

05

⑤

06

③

07

②

08

①

09

⑤ 10⑤ 11 ④ 12 ③

01

^{① 이차식이다.}

②x¤ -6x+9=5, 즉 x¤ -6x+4=0이므로 이차방정식 이다.

③ -3x¤ +8=0이므로 이차방정식이다.

④x‹ -x=x¤ +1, 즉 x‹ -x¤ -x-1=0이므로 이차방정 식이 아니다.

⑤ -4x-3=0이므로 일차방정식이다.

02

① (-2)¤ -(-2)+0 ②(2+3)_(2-2)+4

③ 1¤ +2_1-1+0 ④(-1)¤ -4_(-1)=5

⑤ 3¤ +3-6+0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④ 이다.

03

x=-1을 3x¤ -(2a+1)x+4=0에 대입하면 3+(2a+1)+4=0

2a=-8 ∴a=-4

04

①x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0

∴x=-1 또는 x=3

②x¤ -3x-10=0에서 (x+2)(x-5)=0

∴x=-2 또는 x=5

③x¤ +7x+12=0에서 (x+4)(x+3)=0

∴x=-4 또는 x=-3

④x¤ +12x+36=0에서 (x+6)¤ =0

∴x=-6 (중근)

13 a+3 14-5 15 -;2#; 165 17 ;;™4ª;;

18x=-5 19 x= 3—"√29 202초 후 2

│서술형 문제│

│서술형 문제│

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정답과 해설 39

15

x¤ -3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0

∴x=1 또는 x=2 ^……40%

이때 두 근 중 작은 근은 1이므로x=1을 x¤ -10x-6a=0 에 대입하면

1-10-6a=0, -6a=9 ∴a=-;2#; ^……60%

16

^{이차방정식}x¤ -6x+2a+5=0이 중근을 가지므로 2a+5={ }¤ , 2a=4 ∴a=2 ^……40%

즉, 주어진 이차방정식은x¤ -6x+9=0이므로 (x-3)¤ =0 ∴x=3 (중근)

∴m=3 ^……40%

∴a+m=2+3=5 ^……20%

17

4x¤ -16x-5=0에서 x¤ -4x-;4%;=0 x¤ -4x=;4%;, x¤ -4x+4=;4%;+4

∴(x-2)¤ =;;™4¡;; ^……60%

따라서p=2, q=;;™4¡;;이므로

p+q=2+;;™4¡;;=;;™4ª;; ^……40%

18

0.1x¤ +;5#;x+;2!;=0의 양변에 10을 곱하면 x¤ +6x+5=0, (x+5)(x+1)=0

∴x=-5 또는 x=-1 ^……40%

+ =0의 양변에 6을 곱하면 2x(x+2)+3(x-5)=0, 2x¤ +4x+3x-15=0 2x¤ +7x-15=0, (x+5)(2x-3)=0

∴x=-5 또는 x=;2#; ^……40%

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는x=-5이다.

……20%

19

^{이차방정식}2x¤ +ax+b=0의 두 근이 -;2!;, 3이므로 (두 근의 합)=-;2!;+3=-;2A;

;2%;=-;2A; ∴a=-5 ^……30%

(두 근의 곱)=-;2!;_3=;2B;

-;2#;=;2B; ∴b=-3 ^……30%

따라서x¤ -3x-5=0에서 x=

x= ……40%

20

10+40x-5x¤ =70에서 x¤ -8x+12=0

(x-2)(x-6)=0 ∴x=2 또는 x=6 ^……60%

따라서 공의 높이가 처음으로 70 m가 되는 것은 던져 올린

지 2초 후이다. …… 40%

3—"√29 2

-(-3)—"√(-3)¤ -√4_1_(-5) 2_1

x-52 x(x+2)

3 -6

2

01 -

㉠ 일차함수이다. ㉡ 이차함수가 아니다.

㉢ 이차함수이다. ㉣ 이차함수가 아니다.

㉤y=x(x-1)-x¤ =-x이므로 일차함수이다.

㉥y=(4-x)x=-x¤ +4x이므로 이차함수이다.

따라서 이차함수인 것은 ㉢, ㉥이다.

01-

①y=4_3x=12x이므로 일차함수이다.

②y=2(2x+3x)=10x이므로 일차함수이다.

③y=;2!;_(x+4x)_16=40x이므로 일차함수이다.

④y=4x_3x=12x¤ 이므로 이차함수이다.

⑤y=;3$;px‹ 이므로 이차함수가 아니다.

02-

f(-1)=1-3-3=-5, f(2)=4+6-3=7

∴f(-1)+f(2)=-5+7=2

02-

f(1)=-3+a+2a-5=-2이므로 3a=6 ∴a=2

03-

y=-2x¤ 에 x=2, y=a를 대입하면 a=-8

03-

⑤y=-;5!;x¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.

03-

원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식을y=ax¤ 이라고 하자.

y=ax¤ 에 x=2, y=-8을 대입하면 -8=4a ∴a=-2

따라서y=-2x¤ 에 x=-1, y=k를 대입하면 k=-2

03-

y=ax¤ 에 x=3, y=-3을 대입하면 -3=9a ∴a=-;3!;

y=-;3!;x¤ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이고, CD”=2 이므로 점 C의x좌표는 1이다.

y=-;3!;x¤ 에 x=1을 대입하면 y=-;3!;

∴ C{1, -;3!;}

│13~16^쪽│

01-

㉢, ㉥

01-

④

02-

₂

02-

₂

03-

⑤

03-

_-8

03-

⑤

03-

_-2

03-

;;£3™;;

04-

①

04-

;5!;<a<2

05-

y=2x¤ -5

05-

④

05-

(0, 5)

05-

2

05-

6

06-

6

06-

③

06-

-2

06-

26

07-

10

07-

_x<-;3@;

07-

②, ⑤

07-

_-2

07-

1

07-

3

08-

7

08-

-8

09-

⑤

09-

11 10- a<0, p>0, q<0

10- 제 1, 2사분면

IV ^{. 이차함수}

1. 이차함수와 그 그래프

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40 수학 ➌

이때 ABCD는 사다리꼴이므로 ABCD=;2!;_(2+6)_{3-;3!;}

ABCD=;2!;_8_;3*;=;;£3™;;

04-

그래프가 위로 볼록한 것은 ①, ②, ④이고, 이 중 그래 프의 폭이 가장 좁은 것은 ①이다.

04-

y=ax¤ (a>0)의 그래프가 y=;5!;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁고, y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로 ;5!;<a<2

05-

④x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

05-

y=-x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동하 면y=-x¤ +q

y=-x¤ +q에 x=3, y=-4를 대입하면 -4=-9+q ∴q=5

따라서 이차함수y=-x¤ +5의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는(0, 5)이다.

05-

y=3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 한 것이므로y=3x¤ -1

y=3x¤ -1에 x=1, y=k를 대입하면 k=3-1=2

05-

y=ax¤ +q에 x=-1, y=2를 대입하면

2=a+q yy ㉠

y=ax¤ +q에 x=2, y=-4를 대입하면 -4=4a+q yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면a=-2, q=4

∴q-a=4-(-2)=6

06 -

꼭짓점의 좌표는(3, 0)이므로 a=3, b=0 축의 방정식은x=3이므로 c=3

∴a+b+c=3+0+3=6

06-

③ 축의 방정식은x=-2이다.

06 -

y=a(x-1)¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행 이동하면y=a(x-1-p)¤

즉, a=-4, -1-p=-3에서 p=2

∴a+p=-4+2=-2

06 -

y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼 평행이동 하면y=2(x+4)¤

y=2(x+4)¤ 에 x=-2, y=m을 대입하면 m=2_4=8

y=2(x+4)¤ 에 x=-1, y=n을 대입하면 n=2_9=18

∴m+n=8+18=26

07-

y=-2(x-2)¤ +5의 그래프는 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 것이므로p=2, q=5

∴pq=2_5=10

07-

그래프가 위로 볼록하고, 축의 방정식이x=-;3@;이므로 x<-;3@;일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

07-

② 아래로 볼록한 포물선이다.

⑤y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방 향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

07-

y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 2만큼 평행이동하면y=-(x-3)¤ +2 y=-(x-3)¤ +2에 x=1, y=k를 대입하면 k=-4+2=-2

07-

꼭짓점의 좌표가(-1, 4)이므로 p=-1, q=4 y=a(x+1)¤ +4에 x=0, y=2를 대입하면 2=a+4 ∴a=-2

∴a+p+q=-2+(-1)+4=1

07-

두 이차함수의 그래프 의 모양과 폭이 같으 므로 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 OABC의 넓이와 같 다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴= OABC=1_3=3

08-

y=-3(x+1)¤ -5의 그래프를 x축의 방향으로 m만 큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면

y=-3(x+1-m)¤ -5+n

1-m=-3에서 m=4, -5+n=-2에서 n=3

∴m+n=4+3=7

08-

y=(x-p)¤ +p-1의 그래프를 x축의 방향으로 2만 큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면

y=(x-p-2)¤ +p-1-3

즉, y=(x-p-2)¤ +p-4의 그래프의 꼭짓점의 좌표 는(p+2, p-4)이고, 이 꼭짓점이 직선 y=2x 위에 있으므로

p-4=2(p+2), p-4=2p+4 ∴p=-8

09-

y=-2(x+3)¤ +4의 그래프를 x축에 대하여 대칭이 동하면-y=-2(x+3)¤ +4

즉, y=2(x+3)¤ -4

09-

y=;3@;(x-1)¤ +5의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동 하면y=;3@;(-x-1)¤ +5

즉, y=;3@;(x+1)¤ +5

y=;3@;(x+1)¤ +5에 x=2, y=a를 대입하면 a=;3@;_9+5=11

10-

그래프가 위로 볼록하므로a<0

꼭짓점(p, -q)가 제 1 사분면 위에 있으므로 p>0, -q>0 ∴p>0, q<0

10-

y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0

즉, y=ax¤ -b의 그래프는 a>0이므로 아래로 볼록하 고, -b>0이므로꼭짓점(0, -b)는x축의위쪽에있다.

따라서 제 1, 2사분면을 지난다.

y=(x-1)¤

y=(x-1)¤ -3 x y

O

-3 1 A

B C

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정답과 해설 41

03-

y=-;3!;x¤ -2x-1=-;3!;(x+3)¤ +2의 그래프를 x 축의 방향으로-1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이 동하면

y=-;3!;(x+3+1)¤ +2+3=-;3!;(x+4)¤ +5 따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는(-4, 5), 축의 방 정식은x=-4이다.

03-

y=3x¤ -12x+8=3(x-2)¤ -4이므로 이 그래프는 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향 으로-4만큼 평행이동한 것이다.

따라서a=3, m=2, n=-4이므로 a+m+n=3+2+(-4)=1

03-

y=-;2!;x¤ +x-;2%;=-;2!;(x-1)¤ -2의 그래프를 x 축의 방향으로m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동 하면y=-;2!;(x-1-m)¤ -2+n이므로 꼭짓점의 좌 표는(1+m, -2+n)

한편, y=x¤ +2x+2=(x+1)¤ +1의 그래프의 꼭짓 점의 좌표는 (-1, 1)이므로

1+m=-1, -2+n=1

따라서m=-2, n=3이므로 m+n=-2+3=1

04-

y=-;3!;x¤ +;3@;x+1에 y=0을 대입하면 -;3!;x¤ +;3@;x+1=0, x¤ -2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴x=-1 또는 x=3 따라서 A(-1, 0), B(3, 0) 또는 A(3, 0), B(-1, 0) 이므로 AB”=4

04-

y=4x¤ +13x+3에 y=0을 대입하면 4x¤ +13x+3=0, (x+3)(4x+1)=0

∴x=-3 또는 x=-;4!;

∴a=-3, b=-;4!;``(∵ a<b)

y=4x¤ +13x+3에 x=0을 대입하면 y=3

∴c=3

∴a-b+c=-3-{-;4!;}+3=;4!;

04-

y=-;2!;x¤ +4x+k=-;2!;(x-4)¤ +8+k의 그래프 의 축의 방정식은x=4이고, x축과 만나는 두 점 사이 의 거리가4이므로 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (2, 0), (6, 0)이다.

y=-;2!;x¤ +4x+k에 x=2, y=0을 대입하면 0=-2+8+k ∴k=-6

04-

y=-x¤ -x+1-k=-{x+;2!;}2 +;4%;-k

그래프가 위로 볼록하므로x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면;4%;-k>0 ∴k<;4%;

│17~19^쪽│

01-

④

01-

_-16

02-

꼭짓점의 좌표：(1, 7), 축의 방정식：x=1

02-

-;5@;

02-

x=3

02-

k<9

02-

3

03-

꼭짓점의 좌표：(-4, 5), 축의 방정식：x=-4

03-

1

03-

1

04-

4

04-

;4!;

04-

_-6

04-

_k<;4%;

05-

③

05-

제1, 3, 4 사분면

06-

⑤

06-

x>-3

06-

(-2, 1)

07-

27

07-

14

07-

60

08-

a<0, b<0, c>0

08-

⑤

2. 이차함수

y=ax¤ +bx+c의 그래프

01-

y=-2x¤ +8x-5=-2(x¤ -4x)-5

=-2(x¤ -4x+4-4)-5

=-2(x-2)¤ +8-5

=-2(x-2)¤ +3

01-

y=-x¤ +12x-15=-(x¤ -12x+36-36)-15

=-(x-6)¤ +21

따라서a=-1, p=6, q=21이므로 a+p-q=-1+6-21=-16

02 -

y=-3x¤ +6x+4=-3(x-1)¤ +7

따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 7), 축의 방정 식은x=1이다.

02-

y=4x¤ +8x-5m+2=4(x+1)¤ -5m-2 이때 꼭짓점(-1, -5m-2)가 x축 위에 있으므로 -5m-2=0, -5m=2

∴m=-;5@;

02-

y=;2!;x¤ -kx+1에 x=-2, y=9를 대입하면 9=2+2k+1, 2k=6 ∴k=3

따라서y=;2!;x¤ -3x+1=;2!;(x-3)¤ -;2&;의 그래프의 축의 방정식은x=3이다.

02-

y=x¤ -10x+3k-2=(x-5)¤ +3k-27

이때 꼭짓점(5, 3k-27)이 제4사분면 위에 있으므로 3k-27<0, 3k<27 ∴k<9

02-

y=-2x¤ -8x-a=-2(x+2)¤ +8-a의 그래프의 꼭짓점의 좌표는(-2, 8-a)

y=-x¤ +2bx+3=-(x-b)¤ +b¤ +3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는(b, b¤ +3)

이때 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점이 일치하므로 -2=b, 8-a=b¤ +3

따라서a=1, b=-2이므로 a-b=1-(-2)=3

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42 수학 ➌

05-

y=;2!;x¤ +2x+5=;2!;(x+2)¤ +3의 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표는(-2, 3), y축과 만나는 점 의 좌표는(0, 5)이므로 ③이다.

05-

y=-2x¤ +8x=-2(x-2)¤ +8 의 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점 의 좌표는 (2, 8), y축과 만나는 점 의 좌표는 (0, 0)이다.

따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제1, 3, 4 사 분면을 지난다.

06 -

y=2x¤ -4x+1=2(x-1)¤ -1

⑤y=-2(x-1)¤ +1의 그래프와 x축에 대하여 대칭 이다.

06-

y=-x¤ -6x-4=-(x+3)¤ +5의 그래프는 위로 볼록하고, 축의 방정식이x=-3이므로 x>-3일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

06 -

y=;4!;x¤ +ax+2=;4!;(x+2a)¤ -a¤ +2의 그래프의 축의 방정식이x=-2이므로

-2a=-2 ∴a=1

따라서y=;4!;(x+2)¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 1)이다.

07 -

y=-x¤ +4x+5에 y=0을 대입하면 -x¤ +4x+5=0, x¤ -4x-5=0

(x+1)(x-5)=0 ∴x=-1 또는 x=5

∴ A(-1, 0), B(5, 0) 또는 A(5, 0), B(-1, 0) y=-x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9

∴ C(2, 9)

∴ △ABC=;2!;_6_9=27

07-

y=x¤ -2x-3에 y=0을 대입하면 x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

∴x=-1 또는 x=3

∴ A(-1, 0), B(3, 0)

y=x¤ -2x-3에 x=0을 대입하면 y=-3

∴ C(0, -3)

y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4

∴ D(1, -4)

∴ △ACB+△ADB=;2!;_4_3+;2!;_4_4

∴ △ACB+△ADB=6+8=14

07-

y=-x¤ +4x+12=-(x-2)¤ +16

∴ A(2, 16)

y=-x¤ +4x+12에 y=0을 대입하면 -x¤ +4x+12=0, x¤ -4x-12=0

(x+2)(x-6)=0 ∴x=-2 또는 x=6

∴ B(6, 0)

y=-x¤ +4x+12에 x=0을 대입하면 y=12

∴ C(0, 12)

∴ ACOB=△ACO+△AOB

∴ ACOB=;2!;_12_2+;2!;_6_16

∴ ACOB=12+48=60

08-

그래프가 위로 볼록하므로a<0

축이y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴b<0 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0

08-

그래프가 아래로 볼록하므로a>0

축이y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴b<0 y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

①ab<0 ②bc>0 ③abc>0

④x=1일 때, a+b+c<0

⑤x=-1일 때, a-b+c<0 x

y

O 8

2

01-

꼭짓점의 좌표가 (3, 5)이고, 점 (0, 2)를 지나므로 y=a(x-3)¤ +5에 x=0, y=2를 대입하면 2=9a+5, 9a=-3 ∴a=-;3!;

∴y=-;3!;(x-3)¤ +5=-;3!;x¤ +2x+2

01-

y=a(x+2)¤ +1에 x=-3, y=-4를 대입하면 -4=a+1 ∴a=-5

∴y=-5(x+2)¤ +1=-5x¤ -20x-19 따라서a=-5, b=-20, c=-19이므로 a-b+c=-5-(-20)+(-19)=-4

01-

y=a(x-1)¤ -5에 x=-2, y=4를 대입하면 4=9a-5, 9a=9 ∴a=1

따라서y=(x-1)¤ -5에x=-1, y=k를대입하면 k=4-5=-1

│20~23^쪽│

3. 이차함수의 활용

01-

y=-;3!;x¤ +2x+2

01-

_-4

01-

_-1

01-

-6

02-

④

02-

(0, 2)

02-

-12

03-

y=2x¤ -5x+1

03-

{-;4#;, -;8!;}

03-

6

04-

:™4¶:

04-

x=;2!;

04-

-39

05-

5

05-

5

05 -

③

05 -

_-5

05 -

_;4!;

05-

최솟값2

06-

1

06-

1

06-

-10

06-

-8

06-

-12

07-

-25

07-

10, 10

07-

180000원, 300원

07-

115 m

08-

3

08-

20 m

08-

(3, 6)

08-

72 cm¤

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정답과 해설 43

01-

y=3x¤ -12x+7=3(x-2)¤ -5의 그래프의 꼭짓점 의 좌표는(2, -5)이다.

y=a(x-2)¤ -5에 x=3, y=-6을 대입하면 -6=a-5 ∴a=-1

∴y=-(x-2)¤ -5=-x¤ +4x-9 따라서a=-1, b=4, c=-9이므로 a+b+c=-1+4+(-9)=-6

02-

y=a(x-3)¤ +q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 4a+q=10, a+q=4

두 식을 연립하여 풀면a=2, q=2

∴y=2(x-3)¤ +2=2x¤ -12x+20

02-

y=a(x+1)¤ +q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 4a+q=-1, 9a+q=-6

두 식을 연립하여 풀면a=-1, q=3

따라서y=-(x+1)¤ +3에 x=0을 대입하면 y=2이 므로y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 2)이다.

02-

축의 방정식이x=2이고, 점 (0, 3)을 지나므로 y=(x-2)¤ +q에 x=0, y=3을 대입하면 3=4+q ∴q=-1

∴y=(x-2)¤ -1=x¤ -4x+3 따라서a=-4, b=3이므로 ab=-4_3=-12

03-

y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a-b+c=8, c=1, a+b+c=-2

세 식을 연립하여 풀면a=2, b=-5, c=1

∴y=2x¤ -5x+1

03-

y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a+b+c=6, a-b+c=0, 4a-2b+c=3 세 식을 연립하여 풀면a=2, b=3, c=1

∴y=2x¤ +3x+1=2 {x+;4#;}2 -;8!;

따라서 꼭짓점의 좌표는{-;4#;, -;8!;}이다.

03-

y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 c=5, a+b+c=8, 4a+2b+c=9

세 식을 연립하여 풀면a=-1, b=4, c=5 y=-x¤ +4x+5에 y=0을 대입하면 -x¤ +4x+5=0, x¤ -4x-5=0

(x+1)(x-5)=0 ∴x=-1 또는 x=5 따라서 A(-1, 0), B(5, 0) 또는 A(5, 0), B(-1, 0) 이므로 AB”=6

04 -

x축과 두 점 (-2, 0), (4, 0)에서 만나고, 점 (0, -6) 을 지나므로y=a(x+2)(x-4)에 x=0, y=-6을 대입하면

-6=-8a ∴a=;4#;

∴y=;4#;(x+2)(x-4)=;4#;x¤ -;2#;x-6

따라서a=;4#;, b=-;2#;, c=-6이므로 abc=;4#;_{-;2#;}_(-6)=:™4¶:

04-

y=a(x+2)(x-3)에 x=0, y=12를 대입하면 12=-6a ∴a=-2

∴y=-2(x+2)(x-3)=-2x¤ +2x+12

∴y=-2{x-;2!;}2 +:™2∞:

따라서 축의 방정식은x=;2!;이다.

04-

y=2(x+3)(x-6)=2x¤ -6x-36 y=2{x-;2#;}2 -:•2¡:

즉, y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 ;2#; 만큼, y축의

방향으로-:•2¡:만큼 평행이동한 것이므로 p=;2#;, q=-:•2¡:

∴p+q=;2#;+{-:•2¡:}=-:¶2•:=-39

05-

y=-;2#;x¤ +6x-5=-;2#;(x-2)¤ +1이므로 x=2일 때, 최댓값은1이다.

따라서a=2, b=1이므로 a¤ +b¤ =2¤ +1¤ =5

05-

y=-;3!;x¤ +2x+5=-;3!;(x-3)¤ +8이므로 M=8 y=3x¤ +6x=3(x+1)¤ -3이므로 m=-3

∴M+m=8+(-3)=5

05-

최댓값을 갖는 것은x¤ 의 계수가 음수인 ①, ③, ⑤이다.

①y=-x¤ -4x=-(x+2)¤ +4 따라서x=-2일 때, 최댓값은 4이다.

③y=-2x¤ -8x-11=-2(x+2)¤ -3 따라서x=-2일 때, 최댓값은 -3이다.

⑤y=-3x¤ -12x-9=-3(x+2)¤ +3 따라서x=-2일 때, 최댓값은 3이다.

05-

㈎, ㈏에서` 이차함수의 식을y=4(x+1)¤ +q로 놓을 수 있다.

㈐에서` y=4(x+1)¤ +q에 x=0, y=-1을 대입하면 -1=4+q ∴q=-5

∴y=4(x+1)¤ -5

따라서x=-1일 때, 최솟값은 -5이다.

05-

y=x¤ +2px+p=(x+p)¤ -p¤ +p

∴m=-p¤ +p=-{p-;2!;}¤ +;4!;

따라서p=;2!;일 때, m의 최댓값은 ;4!;이다.

05-

주어진 그래프의 식은y=3x+6이므로 a=3, b=6

∴y=3x¤ +6x+5=3(x+1)¤ +2 따라서x=-1일 때, 최솟값은 2이다.

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44 수학 ➌

06-

y=-2x¤ +4x-3k=-2(x-1)¤ +2-3k 이때 최댓값이-1이므로 2-3k=-1 -3k=-3 ∴k=1

06 -

y=x¤ +ax+b는 x=2일 때, 최솟값이 1이므로 y=(x-2)¤ +1=x¤ -4x+5

따라서a=-4, b=5이므로 a+b=-4+5=1

06-

y=x¤ +8x-3a+1=(x+4)¤ -3a-15 즉, p=-4

-3a-15=3에서 -3a=18 ∴a=-6

∴a+p=-6+(-4)=-10

06-

y=a(x-1)¤ +3에 x=-1, y=-5를 대입하면 -5=4a+3, 4a=-8 ∴a=-2

∴y=-2(x-1)¤ +3=-2x¤ +4x+1 따라서a=-2, b=4, c=1이므로 abc=-2_4_1=-8

06-

y=a(x+1)(x-7)=a(x¤ -6x-7)

=a(x-3)¤ -16a 이때 최솟값이 -16이므로 -16a=-16 ∴a=1

∴y=x¤ -6x-7

따라서a=1, b=-6, c=-7이므로 a+b+c=1+(-6)+(-7)=-12

07-

차가10인 두 수를 x, x-10이라 하고 두 수의 곱을 y 라고 하면

y=x(x-10)=x¤ -10x=(x-5)¤ -25 따라서 두 수의 곱의 최솟값은-25이다.

07-

합이 20인 두 수를x, 20-x라 하고 두 수의 제곱의 합 을y라고 하면

y=x¤ +(20-x)¤ =2x¤ -40x+400

=2(x-10)¤ +200

따라서x=10일 때, 두 수의 제곱의 합이 최소가 되므 로 구하는 두 수는 10, 10이다.

07 -

y=(500-x)(200+2x)=-2x¤ +800x+100000

=-2(x-200)¤ +180000

따라서 총 판매 금액의 최댓값은 180000원이고, 이때의 한 개당 판매 가격은 500-200=300(원)이다.

07-

y=-5x¤ +30x+70=-5(x-3)¤ +115

따라서 이 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는115 m 이다.

08-

새로 만든 직사각형의 가로의 길이는(10-x) cm, 세 로의 길이는(4+x) cm이다.

새로 만든 직사각형의 넓이를y cm¤ 라고 하면 y=(10-x)(4+x)=-x¤ +6x+40

=-(x-3)¤ +49

따라서x=3일 때, 새로 만든 직사각형의 넓이는 49 cm¤ 로 최대가 된다.

08-

울타리의 세로의 길이를x m라고 하면 가로의 길이는 (80-2x) m이다.

울타리 안의 넓이를y m¤ 라고 하면 y=x(80-2x)=-2x¤ +80x

=-2(x-20)¤ +800

따라서 울타리의 세로의 길이가 20 m일 때, 울타리 안 의 넓이는 800 m¤ 로 최대가 된다.

08-

점 P의x좌표를 a라고 하면 P(a, -2a+12)이므로 OA”=a, PA”=-2a+12

∴ △POA=;2!;a(-2a+12)

∴ △POA=-a¤ +6a

∴ △POA=-(a-3)¤ +9

따라서a=3일 때, △POA의 넓이가 최대이므로 점 P 의 좌표는 (3, 6)이다.

08 -

DE”=x cm라고 하면 BE”=DE”=x cm EF”=(24-2x) cm

DEFG의 넓이를y cm¤ 라고 하면 y=x(24-2x)=-2x¤ +24x

=-2(x-6)¤ +72

따라서 DEFG의 넓이의 최댓값은 72 cm¤ 이다.

│24~26^쪽│

01

②, ③

02

②

03

⑤

04

②

05

④

06

①

07

⑤

08

②

09

① 10 ③ 11 ① 12 ③

13 ¹⁵ 14⁴ 15 1 16 (6, 0) 17 48

18-8 1915 2039

│서술형 문제│

01

^①y=15x이므로 일차함수이다.

② 가로의 길이는 (10-x) cm이므로

②y=(10-x)x=-x¤ +10x

②따라서 이차함수이다.

③y=;2!;px¤ 이므로 이차함수이다.

④y=;3$;px‹ 이므로 이차함수가 아니다.

⑤y=6x이므로 일차함수이다.

02

그래프가 아래로 볼록한 것은 ②, ③, ⑤이고, 이 중 그래프 의 폭이 가장 넓은 것은 ②이다.

03

^⑤y=-4x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이 동한 것이다.

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정답과 해설 45

04

그래프가 아래로 볼록하고 축의 방정식이x=-4이므로 x<-4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

05

y=x¤ -ax+2에 x=2, y=-6을 대입하면 -6=4-2a+2, 2a=12 ∴a=6

따라서y=x¤ -6x+2=(x-3)¤ -7의 그래프의 꼭짓점 의 좌표는 (3, -7)이다.

06

y=x¤ -4x+1=(x-2)¤ -3의 그래프를 x축의 방향으 로m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면

y=(x-2-m)¤ -3+n

한편, y=x¤ +2x+4=(x+1)¤ +3이므로 -2-m=1, -3+n=3

따라서m=-3, n=6이므로 m+n=-3+6=3

07

y=2x¤ -8x+15=2(x-2)¤ +7

① 꼭짓점의 좌표는 (2, 7)이다.

②x축과 만나지 않는다.

③ 제1, 2사분면을 지난다.

④y=3x¤ 의 그래프보다 폭이 넓다.

08

그래프가 위로 볼록하므로 a<0

축이y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴b>0

y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

09

y=a(x+2)¤ +6에 x=-1, y=9를 대입하면 9=a+6 ∴a=3

∴y=3(x+2)¤ +6=3x¤ +12x+18 따라서a=3, b=12, c=18이므로 a+b-c=3+12-18=-3

10

y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 c=5, a+b+c=6, 4a-2b+c=-3

세 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2, c=5

∴y=-x¤ +2x+5=-(x-1)¤ +6 따라서 축의 방정식은x=1이다.

11

y=-x¤ +2kx-10k

=-(x-k)¤ +k¤ -10k

∴M=k¤ -10k=(k-5)¤ -25

따라서k=5일 때, M의 최솟값은 -25이다.

12

^{점 P의}x좌표를 a라고 하면 P(a, -2a+4)이므로 OQ”=a, OR”=-2a+4

ROQP=a(-2a+4)=-2a¤ +4a

=-2(a-1)¤ +2

따라서a=1일 때, ROQP의 넓이가 최대가 되므로 점 P의 좌표는 (1, 2)이다.

│서술형 문제│

13

f(4)=16-16+1=1 ^……40%

f(-2)=4+8+1=13 ^……40%

∴2f(4)+f(-2)=2_1+13=15 ^……20%

14

원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식을y=ax¤ 이라고하자.

y=ax¤ 에 x=2, y=-2를 대입하면

-2=4a, a=-;2!; ∴y=-;2!;x¤ ^……50%

따라서y=-;2!;x¤ 에 x=k, y=-8을 대입하면 -8=-;2!;k¤ , k¤ =16 ∴k=—4

그런데k는 양수이므로 k=4 ^……50%

15

y=3x¤ +q의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동

하면y=3x¤ +q-2 ^……50%

이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, q-2)이므로

q-2=-1 ∴q=1 ^……50%

16

y=ax¤ -4x+6에 x=2, y=0을 대입하면

0=4a-8+6, 4a=2 ∴a=;2!; ^……40%

y=;2!;x¤ -4x+6에 y=0을 대입하면

;2!;x¤ -4x+6=0, x¤ -8x+12=0

(x-2)(x-6)=0 ∴x=2 또는 x=6 ^……40%

따라서 다른 한 점의 좌표는 (6, 0)이다. ^……20%

17

y=-x¤ +4x+12에 y=0을 대입하면 -x¤ +4x+12=0, x¤ -4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 ∴x=-2 또는 x=6

∴ A(-2, 0), B(6, 0) ^……40%

y=-x¤ +4x+12에 x=0을 대입하면 y=12

∴ C(0, 12) ^……30%

∴ △ABC=;2!;_8_12=48 ^……30%

18

^{축의 방정식이}x=2이고 두 점 (5, 0), (0, -5)를 지나므 로y=a(x-2)¤ +q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면

9a+q=0, 4a+q=-5 ^……30%

두 식을 연립하여 풀면a=1, q=-9 ^……30%

∴y=(x-2)¤ -9=x¤ -4x-5 ^……20%

따라서a=1, b=-4, c=-5이므로

a+b+c=1+(-4)+(-5)=-8 ^……20%

19

y=2x¤ -4px+q는 x=2일 때, 최솟값이 5이므로 y=2(x-2)¤ +5=2x¤ -8x+13 ^……50%

즉, -4p=-8에서 p=2, q=13 ^……30%

∴p+q=2+13=15 ^……20%

20

h=-2t¤ +16t+3=-2(t-4)¤ +35 ^……40%

따라서 이 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 4초이고, 그때의 최고 높이는 35 m이므로

a=4, b=35 ^……40%

∴a+b=4+35=39 ^……20%

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46 수학 ➌

01-

D가 읽은 책의 수를 x권이라고 하면

(평균)= =12이므로

=12, x+66=72 ∴x=6 따라서 D가 읽은 책의 수는 6권이다.

01 -

동아리를 옮긴 학생의 키를x cm라고 하면

=164, 1320-x=1148 ∴x=172 따라서 동아리를 옮긴 학생의 키는 172 cm이다.

01-

2학기 기말고사에서 과학 성적을 x점 받는다고 하면

(평균)= æ85

244+xæ340 ∴xæ96

따라서 2학기 기말고사에서 과학 성적을 96점 이상 받 아야 한다.

01-

3+a+12+b=30에서 a+b=15 yy㉠

(평균)= =16이므로

15a+19b+243=480

∴15a+19b=237 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면a=12, b=3

∴ab=12_3=36

01-

남학생 수를x명, 여학생 수를 y명이라고 하면 (전체 평균)= =62이므로 68x+53y=62x+62y, 6x=9y

∴x : y=9 : 6=3 : 2

02-

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 18, 31, 48, 54, 62, 73이므로

(중앙값)=48+54=51 2 68x+53y

x+y

13_3+15_a+17_12+19_b 30

78+81+85+x 4 165_8-x

7 x+666

10+6+8+x+18+24 6

│27~30^쪽│

01-

_6권

01-

_{172 cm}

01-

96점

01-

₃₆

01-

_{3 : 2}

02-

51

02-

④

02-

₇₃

02-

4개

03-

운동

03-

_36회

03-

₆₈

03-

_{a=2, b=4}

04-

중앙값：25초, 최빈값：15초

04-

₆₀

04-

①, ⑤

05-

₁

05-

78점

05-

⑤

05-

₅

06-

8

06-

2시간

06-

_'∂11회

06-

₁₂

06-

₂₀₄

07-

분산：75, 표준편차：5'3점

07-

'∂3.4 kg

07-

;;¡2¡5™;;

08-

D팀

08-

④

08-

C, B, A

V ^{. 통계}

1. 대푯값과 산포도

02-

중앙값을 각각 구하면

① 5 ② 4 ③ 3.5 ④ 6.5 ⑤ 4

02-

중앙값이72점이므로 자료를 작은 값에서부터 크기순으 로 나열하면65, 71, x, 75이어야 한다.

즉, (중앙값)= =72이므로 71+x=144 ∴x=73

02 -

14, 8, a, 10, 12의 중앙값이 12이므로 자료를 작은 값 에서부터 크기순으로 나열하면 8, 10, 12, a, 14 또는 8, 10, 12, 14, a이어야 한다.

∴aæ12 yy㉠

11, 15, a의 중앙값이 a이므로 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 11, a, 15이어야 한다.

∴11…a…15 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여12…a…15

따라서 주어진 조건을 만족하는 자연수a는 12, 13, 14, 15의 4개이다.

03-

(평균)=

(평균)= =25

∴a=25

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 17, 17, 17, 22, 30, 31, 31, 35이므로 (중앙값)= =26 ∴b=26 최빈값은 17이므로c=17

∴a+b+c=25+26+17=68

03 -

(평균)= =2이므로

=2, a+b+8=14

∴a+b=6 yy ㉠

한편, 최빈값이2이므로 a, b의 값 중 하나는 2이다.

그런데a<b이므로 ㉠에서 a=2, b=4

04-

크기순으로 20번째와 21번째 값은 모두 20초 이상 30초 미만인 계급에 속하므로

(중앙값)= =25(초)

도수가 가장 큰 계급은 10초 이상 20초 미만인 계급이 므로 (최빈값)= =15(초)

04-

(평균)=

(평균)=;;¢2º0;);=20(분)

∴a=20

크기순으로10번째와 11번째 값은 모두 18분 이상 22분 미만인 계급에 속하므로

(중앙값)=18+22=20(분) ∴b=20 2

12_3+16_3+20_7+24_5+28_2 20

10+20 2 20+30

2 a+b+8

7

2+7+1+0+(-2)+a+b 7

22+30 2 2008

35+31+17+30+17+22+31+17 8

71+x2

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정답과 해설 47 도수가가장큰계급은18분이상 22분미만인계급이므로

(최빈값)= =20(분) ∴c=20

∴a+b+c=20+20+20=60

04 -

최빈값이 75점이므로 도수가 가장 큰 계급은 70점 이상 80점 미만인 계급이다.

∴a>7 yy㉠

이때a+b=33-(2+7+5)=19이고 a>b이므로 10…a…19 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여10…a…19

05-

편차의 합은0이므로

-3+2+x+(-1)+4+(-3)=0 ∴x=1

05-

편차의 합은 0이므로

9+(-7)+x+6+(-4)=0 ∴x=-4 따라서 예빈이의 체육 성적은 82+(-4)=78(점)

05-

①, ④ 편차의 합은0이므로

-1+x+3+(-2)+5=0 ∴x=-5

② A의 편차가 음수이므로 A의 맥박 수는 평균보다 낮 다.

③ 평균보다 맥박 수가 높은 학생은 C, E의 2명이다.

⑤ D의 맥박 수는 60+(-2)=58(회)이다.

05 -

{(편차)_(도수)}의 총합은 0이므로

(-12)_2+(-7)_4+(-2)_x+3_10+8_4

=0

-2x=-10 ∴x=5

06-

(평균)= =;;¢5º;;=8(점)

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;¢5º;;=8

06-

(평균)= =;;£5∞;;=7(시간)

(분산)=

(분산)=;;™5º;;=4

∴ (표준편차)='4=2(시간)

06-

편차의 합은 0이므로

5+x+(-3)+1=0 ∴x=-3 (분산)=

(분산)=;;¢4¢;;=11

∴ (표준편차)='∂11(회)

06 -

(평균)= =7이므로

x+y+28=35 ∴x+y=7

(분산)= =12이

므로x¤ +y¤ -14(x+y)+133=60

(x-7)¤ +(y-7)¤ +5¤ +(-1)¤ +3¤

5 x+y+12+6+10

5

5¤ +(-3)¤ +(-3)¤ +1¤

4

(-1)¤ +(-3)¤ +1¤ +0¤ +3¤

5 6+4+8+7+10

5

(-4)¤ +2¤ +(-2)¤ +0¤ +4¤

5 4+10+6+8+12

5 18+22

2

∴x¤ +y¤ =14(x+y)-73=14_7-73=25 이때x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로

25=7¤ -2xy, 2xy=24 ∴xy=12

06-

(평균)= =8이므로 x+y+z=24 표준편차가 2, 즉 분산이 4이므로

=4 (x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ =12 x¤ +y¤ +z¤ -16(x+y+z)+192=12

∴x¤ +y¤ +z¤ =16(x+y+z)-180

=16_24-180=204

07-

(평균)=

(평균)=;¡;2*4);º;;=75(점) (분산)=

(평균)=;¡;2*4);º;;=75

∴ (표준편차)='∂75=5'3(점)

07-

4 kg 이상 6 kg 미만인 계급의 도수는 10-(1+5+2)=2(마리)

(평균)= =;1$0);=4(kg)

(분산)=

(평균)=;1#0$;=3.4

∴ (표준편차)='∂3.4(kg)

07-

3시간 이상 5시간 미만인 계급의 도수를 a명, 5시간 이 상 7시간 미만인 계급의 도수를b명이라고 하면 a+b=25-(1+4+3)=17 yy㉠

(평균)= =6이므

로4a+6b+64=150

∴2a+3b=43 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면a=8, b=9

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;¡2¡5™;;

08-

3점슛 성공률이 가장 고른 팀은 표준편차가 가장 작은 D 팀이다.

08-

① 산포도가 가장 작은 시험은 표준편차가 가장 작은 기 말고사이다.

② 편차의 합은 항상 0이다.

③ 기말고사 성적의 평균이 중간고사 성적의 평균보다 더 높으므로 기말고사 성적이 중간고사 성적보다 더 우수하다.

⑤ 성취도 평가 성적의 표준편차가 중간고사 성적의 표 준편차보다 더 작으므로 성취도 평가 성적이 중간고 사 성적보다 더 고르다.

(-4)¤_1+(-2)¤_8+0¤_9+2¤_4+4¤_3 25

2_1+4_a+6_b+8_4+10_3 25

(-3)¤ _1+(-1)¤ _5+1¤ _2+3¤ _2 10

1_1+3_5+5_2+7_2 10

(-15)¤ _3+(-5)¤ _9+5¤ _9+15¤ _3 24

60_3+70_9+80_9+90_3 24

4{(x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ } 12

4(x+y+z) 12

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48 수학 ➌

│31~32^쪽│

01

⑤

02

④

03

②

04

⑤

05

②

06

②

07

④

08

③

01

㉠ (평균)= = =5.6

㉡ 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 2, 4, 5, 8, 9이므로 중앙값은 5이다.

㉢ 최빈값은 없다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다.

02

^(중앙값)= =12이므로 10+x=24 ∴x=14

03

2가 4번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 만족이다.

04

(평균)= =;;ª6º;;=15(점)

따라서 각 변량들의 편차는 차례로 3점, -2점, -3점, 4점, 2점, -4점이다.

05

② 최빈값은 존재하지 않을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있 다.

06

=9이므로 a+b+c=27 표준편차가'5, 즉 분산이 5이므로

=5

∴(a-9)¤ +(b-9)¤ +(c-9)¤ =15 따라서 4, a, b, c, 14에서

(평균)= = = =9

∴ (분산)=

∴ (분산)= = =13

07

^(평균)=

(분산)= =6(회) (분산)=

(분산)= =5.6

∴ (표준편차)='∂5.6(회) 11220

(-4)¤ _2+(-2)¤ _5+0¤ _7+2¤ _3+4¤ _3 20

12020

2_2+4_5+6_7+8_3+10_3 20

655 25+15+25

5

(-5)¤ +(a-9)¤ +(b-9)¤ +(c-9)¤ +5¤

5

455 4+27+14 4+a+b+c+14 5

5

(a-9)¤ +(b-9)¤ +(c-9)¤

3 a+b+c

3

18+13+12+19+17+11 6

10+x2

285 4+8+2+5+9

5

09

12 1024 11 159 cm 12 ² 13 2 kg 144반, 1반

│서술형 문제│

08

①, ② 평균이 같으므로 어느 과목의 성적이 더 우수하다고 할 수 없다.

③, ④, ⑤ 수학 성적의 표준편차가 과학 성적의 표준편차보 다 더 작으므로 수학 성적이 과학 성적보다 더 고르다.

09

^(평균)= = ^……40%

이때 중앙값이x이므로 =x ^……40%

x+48=5x, 4x=48 ∴x=12 ^……20%

10

8회 이상 12회 미만인 계급의 도수는

30-(2+6+10+4)=8(명) ^……20%

크기순으로 15번째와 16번째 값은 모두 8회 이상 12회 미 만인 계급에 속하므로

(중앙값)= =10(회) ∴a=10 ^……30%

도수가 가장 큰 계급은 12회 이상 16회 미만인 계급이므로 (최빈값)= =14(회) ∴b=14 ^……30%

∴a+b=10+14=24 ^……20%

11

^{편차의 합은}0이므로

4+(-2)+x+1+(-6)+(-1)=0

∴x=4 ^……40%

키가 가장 작은 학생은 편차가 가장 작은 학생이므로 E이

다. ……30%

따라서 학생 E의 키는165-6=159(cm) ^……30%

12

^{A：(평균)=} =;;¢5º;;=8(점)

A：(분산)= =;5^; ^……40%

B：(평균)= =;;¢5º;;=8(점) A：(분산)=

A：(분산)=;5$; ^……40%

따라서x=;5^;, y=;5$;이므로

x+y=;5^;+;5$;=;;¡5º;;=2 ^……20%

13

편차의 합은0이므로

2+0+3+(-1)+x+(-1)=0

∴x=-3 ^……40%

(분산)=

(분산)=:™6¢:=4 ^……40%

∴ (표준편차)='4=2(kg) ^……20%

14

성적이 가장 우수한 반은 평균이 가장 높은 4반이다.

……50%

성적이 가장 고른 반은 표준편차가 가장 작은 1반이다.

……50%

2¤ +0¤ +3¤ +(-1)¤ +(-3)¤ +(-1)¤

6

1¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤

5 9+7+9+8+7

5

(-2)¤ +1¤ +1¤ +0¤ +0¤

5 6+9+9+8+8

5 12+16

2 8+122

x+485

x+485 6+10+x+13+19

5

08-

A, B, C가 화살을 쏘아서 얻은 점수는 다음과 같다.

A：6, 7, 8, 9, 10 B：7, 7, 8, 9, 9 C：7, 8, 8, 8, 9 A, B, C의 평균이 모두 8점으로 같으므로 표준편차가 작을수록 자료는 평균 주위에 모여 있다.

따라서 점수의 표준편차가 작은 사람부터 차례로 나열

하면 C, B, A이다.

│서술형 문제│

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