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2019학년도 편입학 필답 고사

수 학 시 험 문 제 (자연계 A형)

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* 문제지의 각 페이지가 모두 A형인지 확인 바랍니다.

* 본 대학교 2019학년도 편입학모집 자연계열 필답고사는 총 7쪽 25문항이며, 총점은 200점입니다.

* 문항별 배점은 문항 번호 옆에 표시되어 있습니다.

* 오답감점제가 시행되며 틀린 답은 배점의 1/5만큼 감점됩니 다. 무응답은 감점이 없습니다.

* 답안은 별도의 OMR 카드에 컴퓨터용 사인펜으로 표기하 여야 합니다.

* 연습장, 계산기 및 전자기기는 사용할 수 없습니다.

1.

[5.6점] cosh(ln 2)의 값을 구하면?

⃝1 1

4 ⃝2 1

2 ⃝3 3

4 ⃝ 14 ⃝5 5 4

2.

_[6.2점] 정적분 Z 1

0

x³p

1 + x²dx의 값을 구하면?

⃝1 2 + 2√ 2

15 ⃝2 2 + 3√ 2

15 ⃝3 3 + 2√ 2 15

⃝4 3 + 3√ 2

15 ⃝5 2 + 4√ 2 15

3.

[6.2점] 모든 실수 x에서 정의된 함수 f (x) = arccos(cos x) 에 대하여 f (x + π)를 구하면? (단, arccos 1 = 0)

⃝ π − f (x)1 ⃝ π − x2 ⃝ π + f (x)3

⃝ −x4 ⃝ π + x5

4.

[6.8점]극한 lim

x→0

(1 + x²)^2/x− 1

sin x 을 구하면?

⃝1 1

2 ⃝ 12 ⃝3 3

2 ⃝ 24 ⃝5 5 2

세 종 대 학 교

자연계 A형 (1/7)

(2)

5.

[6.8점]함수 f (x) = x⁷+ x + 2020의 역함수를 g(x)라 하자.

h(x) = f 2g(x)¹¹+ g(x) + 2에 대하여 h^′(2018)을 구하면?

⃝ 221 ⃝ 232 ⃝ 243 ⃝ 254 ⃝ 265

6.

_[6.8점] 극곡선 r = 1 − cos θ의 길이를 구하면?

⃝ 41 ⃝ 52 ⃝ 63 ⃝ 74 ⃝ 85

7.

_[6.8점]특이적분 Z 1

0

√ dx

1 − x²의 값을 구하면?

⃝1 π

4 ⃝2 π

2 ⃝3 3π

4 ⃝ π4 ⃝5 5π 4

8.

_[6.8점]다음 <보기>의 무한급수 중에서 수렴하는 것만을 있는 대로 고르면?

<보기>

(ㄱ)

∞

X

n=2

ln n

n (ㄴ)

∞

X

n=1

n²

2ⁿ (ㄷ)

∞

X

n=1

n!

nⁿ

⃝ ㄴ1 ⃝ ㄱ, ㄴ2 ⃝ ㄱ, ㄷ3

⃝ ㄴ, ㄷ4 ⃝ ㄱ, ㄴ, ㄷ5

세 종 대 학 교

(3)

9.

[6.8점] 좌표평면에서 x = t + ln t, y = t − ln t 로 주어지는 매개곡선에 대하여 t = 1일 때 d²y

dx²의 값을 구하면?

⃝1 1

16 ⃝2 1

8 ⃝3 3

16 ⃝4 1

4 ⃝5 5 16

10.

_[8점] 거듭제곱급수

∞

X

n=0 1 2

√n

xⁿ의 수렴반지름은?

⃝1 1

2 ⃝2

√2

2 ⃝ 13 ⃝4 √

2 ⃝ 25

11.

_[8점] 함수 f (x) =cos x

e^x 의 x = 0에서의 테일러급수를 구할 때, x³의 계수는?

⃝1 1

12 ⃝2 1

9 ⃝3 1

6 ⃝4 1

4 ⃝5 1 3

12.

_[8점]실수 전체의 집합에서 정의되고 양의 실숫값을 갖는 함 수 f 가 두 조건 f^′(x) + πf (x) cos(πx) = 0과 f (0) = 1을 만족시킬 때, f1

2

을 구하면?

⃝1 1

e² ⃝2 1

e ⃝ 13 ⃝ e4 ⃝ e5 ²

세 종 대 학 교

(4)

13.

[8점] 무한급수

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2n + 1

1

3ⁿ의 값을 구하면?

⃝1

√3 2 π ⃝2

√3 3 π ⃝3

√3 4 π ⃝4

√3 5 π ⃝5

√3 6 π

14.

_[8점] 미분가능한 함수 f (x, y)가 다음 조건을 만족시킨다.

f (0, y) = e^{sin y}, f (x, π) = e^xcos(πx)

(0, π)에서 u = 1

√5, 2

√5

방향의 방향미분계수 Duf (0, π) 를 구하면?

⃝ −1 2

√5 ⃝ −2 1

√5 ⃝ 03

⃝4 1

√5 ⃝5 2

√5

15.

_[8점] 정적분 Z 2

0

arctan 2 − x

1 + 2xdx의 값을 구하면?

⃝1 1

2ln 5 ⃝2 1

2ln 6 ⃝ ln 53

⃝ ln 64 ⃝5 3 2ln 5

16.

[8점] 3차 정사각행렬 A가 다음을 만족한다.

행렬 A의 행렬식의 값을 구하면?

A





 1 2 3







=





 1 0 0





 , A





 4 2 1







=





 0 1 0





 , A





 0 1 1







=





 0 0 1







⃝1 1

25 ⃝2 1

5 ⃝ 13 ⃝ 54 ⃝ 255

세 종 대 학 교

(5)

17.

[9.1점]곡선 2(x³+ y)⁴+ (x³+ y)²= 2x³+ y 위의 점 (x, y) 에 대하여 y의 최댓값을 구하면?

⃝1 5

8 ⃝2 3

4 ⃝3 7

8 ⃝ 14 ⃝5 9 8

18.

_[9.2점] R 상에서 정의된 벡터공간 R⁴의 두 부분공간

V =span {(1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, −1, 0, 1)} W =span {(1, −1, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}

과 두 벡터 v₁ = (3, 2, 1, 3) ∈ V , w₁ = (3, 3, 3, 0) ∈ W 이 있다. 조건 v1+ w1 = v2+ w2 를 만족하는 v2∈ V 와 w2∈ W 에 대하여 v2와 w2의 내적의 최댓값을 구하면?

⃝1 69

4 ⃝2 71

4 ⃝3 73

4 ⃝4 75

4 ⃝5 77 4

19.

[9.2점]좌표공간에서 입체 E를

구면좌표 (ρ, θ, ϕ) (0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π)로 나타내면 다음과 같다.

0 ≤ ρ ≤ cos ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π 4

직교좌표계에서 입체 E의 점 (x, y, z)에서의 밀도가 m(x, y, z) = z일 때, 입체 E의 질량을 구하면?

⃝1 π

32 ⃝2 5π

96 ⃝3 7π

96 ⃝4 3π

32 ⃝5 11π 96

20.

[9.2점] C가 곡선 p|x| +√

y = 1에서 (1, 0)부터 (−1, 0)까 지의 호일 때, 선적분

Z

C

x + e^y³

dy의 값을 구하면?

⃝1 1

6 ⃝2 1

5 ⃝3 1

4 ⃝4 1

3 ⃝5 1 2

세 종 대 학 교

(6)

21.

[9.2점] 함수 f (x) = Z x²

0

(1 − t)p

1 − 4t²dt의 최댓값을 구하면?

⃝1 1 8

π −1 3

⃝2 1 8

π − 2 3

⃝3 1 8(π − 1)

⃝4 1 8

π −4 3

⃝5 1 8

π − 5 3

22.

_[9.3점] 좌표공간에서 타원면 8x²+ 2y²+ z² = 8에 내접하 는 직육면체의 최대 부피를 구하면? (단, 직육면체의 모서리 각각은 좌표축 중 어느 하나와 평행하다.)

⃝1 32√ 2

9 ⃝2 32√ 3

9 ⃝3 32√ 5 9

⃝4 32√ 6

9 ⃝5 32√ 7 9

23.

[10점] 행렬식이 det(A) > 0인 4 × 4 대칭행렬 A에 대하여 함수 f : R⁴→ R는 f(x) = xAx^t (x ∈ R⁴)로 정의된다.

f 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고르면?

(단, 0 = (0, 0, 0, 0) ∈ R⁴)

<보기>

(ㄱ) ∇f (x) = 0 이면 x = 0이다.

(ㄴ) 함수 f 는 x = 0 에서 극솟값을 갖는다.

(ㄷ) f (0)이 함수 f 의 최솟값이면, 행렬 A의 대각합 은 양의 실수이다.

⃝ ㄱ1 ⃝ ㄱ, ㄴ2 ⃝ ㄱ, ㄷ3

⃝ ㄴ, ㄷ4 ⃝ ㄱ, ㄴ, ㄷ5

세 종 대 학 교

(7)

24.

[10점] P는 직선 x − 1 =y

2 = z − 1

3 위의 점이고, Q는 곡면 x²

4 + y² = 1과 평면 z = 0의 교선 위의 점이다. 점 O가 원점일 때, 내적 −→

OP ·−→

OQ의 최솟값을 구하면?

(단, P의 x 좌표는 0 ≤ x ≤ 2 이다.)

⃝ −51 √

2 ⃝ −22 √

2 ⃝ −3 √ 2

⃝ −4 √

5 ⃝ −25 √ 5

25.

[10점] D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ 1}일 때, 이중적분

Z Z

D

e^(x+y)²dA의 값을 구하면?

⃝1 e − 1

2 ⃝2 e²− 1

2 ⃝3 e − 1 4

⃝4 e²− 1

4 ⃝5 e⁴− 1 2