자기장과 컬에 관한 물리교육과 대학생의 이해 특성 및 설명 모형 제안

Vol. 66, No. 5, May 2016, pp. 560∼570 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.66.560

University Students’ Understanding of the Curl of the Magnetic Field in Upper-level Electromagnetism and Development of an Explanation Model

Kwanghee Jo

Department of Physics Education, Chosun University, Gwangju 61452, Korea (Received 2 March 2016 : revised 18 March 2016 : accepted 23 March 2016)

We analyzed students’ understanding of the curl of the magnetic field and their difficulties in upper-level electromagnetism courses, and we suggest a model to explain these difficulties. The participants were 36 university students who were physics education majors. Two surveys were conducted based on the level of the contents, and reflective journals were gathered. The correctness rates were relatively high in problem solving and field line drawing at the general physics level. The students were also able to write correctly the formula of the curl and to understand the meaning of the curl on a calculus level. However, they rarely applied the concept of differentials to determining the curl of the field in magnetism. Of respondents, 56% felt the curl in magnetism, especially as related to mathematics, was difficult. The negative coefficient in the relation between the test scores and the degree of difficulties was –0.53, which showed that students with greater difficulties tended to be lower achievers. Finally, a ‘4 blade pinwheel’ model was proposed to explain the curl of the magnetic field with a link between physics and mathematics.

PACS numbers: 01.40.Fk

Keywords: Curl, Vector derivatives, Electromagnetism, Upper-level physics education, Student difficulty

자기장과 컬에 관한 물리교육과 대학생의 이해 특성 및 설명 모형 제안

조광희

조선대학교 물리교육과, 광주 61452, 대한민국

(2016년 3월 2일 받음, 2016년 3월 18일 수정본 받음, 2016년 3월 23일 게재 확정)

이 연구에서는 전공 전자기학을 학습하는 과정에서 자기장과 컬에 관한 이해 특성과 어려움을 대학생을 대상으로 조사하고 이를 토대로 설명 모형을 제안하였다. 연구 참여자는 남부지역 사범대학의 물리교육과 학생 36명이었다. 설문 내용의 수준에 따라 1, 2차로 나누어 지필 검사를 실시하고, 성찰 저널을 작성하도록 안내하였다. 연구 결과에 따르면 일반 물리학 수준에서 문제 풀이나 자기장 그리기, 미적분학 수준에서 컬의 공식이나 뜻 쓰기는 비교적 정답률이 높았다. 그러나 자기장의 컬 값을 구하는 전공 물리학 수준의 문항에서는 미분 개념을 적절히 활용한 응답자가 거의 없었다. 56%의 응답자는 어렵다는 반응을 보였는데, 특히 수학과 밀접한 관련이 있었다. 이해 조사 결과와 어려움 정도 사이에는 –0.53의 부적 상관이 나타나, 어렵다고 인식하는 응답자일수록 이해 조사 점수가 낮은 경향을 보였다. 이러한 결과들을 고려하여 물리학과 수학을 연계하는 방식으로 자기장과 컬의 관계를 설명하는 ‘4엽 바람개비’ 모형을 제안하였다.

PACS numbers: 01.40.Fk

Keywords: 컬, 벡터 미분, 전자기학, 전공 물리 교육, 학습자의 어려움

∗E-mail: khjo@chosun.ac.kr

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I. 서 론

컬 (curl) 은 4 개의 미분꼴 맥스웰 방정식 (Maxwell’ s equation) 중 2 군데에서 쓰일 만큼 전공 전자기학 교육 에서 반드시 필요한 벡터 연산이다. 예를 들어 흔히 미분꼴 앙페르 법칙 (Ampere’ s law) 으로 알려진 ⃗∇ × ⃗B = µ0J⃗ 는 맥스웰 방정식에서 대체 전류 (displacement current) 에 관한 항을 제외한 형태로, 정자기학의 출발점이라고 할 수 있다. 초중등 과학과 교육과정 [1]에서는 전류의 자기 작 용을 중요하게 다루고 있는데, 앙페르 법칙이 그 핵심이다.

또 ⃗∇ × ⃗E = −^{∂ ⃗}_∂t^B는 패러데이 법칙 (Faraday’ s law) 을 미분꼴로 나타낸 방정식이다. 이 방정식은 전기와 자기의 상호 작용을 나타내는 근간에 해당한다.

그러나 선행 연구들에 따르면, 전자기학은 물리학 중에 서도 학습자들이 특히 어려워하는 분야다 [2–5]. 그리고 이는 수학과 물리학을 잘 연결 짓지 못 하는 현상과도 밀 접한 관련이 있다 [6–10]. 이러한 경향성은 그레이디언트 (gradient) 와 다이버전스 (divergence) 를 활용한 우리나라 대학생들의 전공 전자기학 학습에서도 유사하게 나타났다 [11,12].

전통적으로 전자기 교육 연구는 중등 및 대학 일반물리학 수준에서 활발하게 진행되었으나, 최근에는 대학의 전공과 목 교육에 관한 연구들도 시도되고 있다. 예를 들어 미국 콜로라도 대학 (University of Colorado) [13], 벨기에의 루 벤대학 (KU Leuven) [14]의 학생들을 대상으로 전공 전자 기학을 학습하는 과정에서 겪는 어려움을 미적분학 적용, 수식 계산, 그래프 해석 등의 관점에서 조사하였다. 이를 통해 현재와 같은 전공 물리학 교육의 문제점을 파악하고 교육적 대안을 모색하고자 하였다.

하지만 물리학이나 물리교육을 전공하는 대학생의 전공 전자기학 교육 측면에서 자기장과 컬의 관계를 조사한 연구 는 국내에서 거의 보고되지 않았다. 예를 들어 한국교육학 술정보원의 학술연구정보서비스 (RISS) 로 ‘컬’ 을 검색하 면 [15] 73편의 학술지 게재 논문을 찾을 수 있으나, 대부분 물리학적인 컬과는 무관하였다. 영어 (curl) 로 검색을 하면 물리학과 관련된 논문이 일부 발견되지만 [16,17] 물리학적 내용을 기술하고 있어 교육과 직접 관련을 짓기에는 거리가 있었다.

이런 조사 결과를 고려하면, 정계삼과 이경호 [18,19]가 대학생을 대상으로 실시한 컬 연구를 특히 주목할 필요가 있다. 이 연구에서는 컬과 관련하여 대학생의 생각을 조사 하고 어려움을 분석하며, 이를 극복하기 위한 튜토리얼을 개발하였다. 우리나라 대학생을 대상으로 컬 교육에 관하여 체계적인 분석을 시도하였다는 점, 지식신념틀을 이용하여 어려움의 원인과 구조를 탐색하였다는 점, 컬 학습 과정에서

정성적 이해와 수학적 추론 사이의 갈등을 주목하였다는 점, 4가지 형태로 학습 자료를 개발하고 적용하였다는 점 등에서 중요한 의미를 지닌다. 다만 이 연구들은 전공 역학 강의에서 자료를 수집하였고 연구 질문들이 대체로 컬 자 체에 관한 내용을 다루고 있어, 전자기학의 맥락에서 후속 연구가 필요함을 시사한다.

아울러 수학 교육 분야에서 컬과 관련한 연구들이 진행 되었다. 예를 들어 대학 미적분학 수준에서 가우스의 발산 정리 (Gauss’ divergence theorem) 를 이용하여 스토크스 정리 (Stoke’ s theorem) 를 유도하고, 다이버전스와 컬을 연 결한 연구 [20]가 있다. 또 Burch와 Choi [21]는 컬이 유체 역학에서 시작되었음을 제시하면서 와도 (vorticity) 개념을 이용하여 컬의 공식을 유도하고, 외륜 (paddle wheel) 과 그래프 등을 통해 컬을 설명하고자 하였다. 그런데 이러한 접근들은 수학적 방법을 토대로 한다는 점에서 자칫하면 물리학 전공자에게 또 다른 부담으로 작용할 수 있다.

이런 사항들을 고려하여 이 연구에서는 우리나라에서 전 공 전자기학을 수강하고 있는 물리교육과 재학생을 대상으 로 자기장과 컬의 관계에 관한 이해 및 어려움을 알아보고자 하였다. 구체적으로 물리교육 전공 대학생은 일반 물리학, 대학 미적분학, 전공 물리학 수준에서 자기장과 컬에 관하여 어떻게 이해하는지, 물리학과 수학의 측면에서 자기장과 컬에 관한 학습의 어려움을 어떻게 인식하는지, 또 이해 및 어려움 사이에 어떤 관계가 있는지 등을 조사하였다. 그리고 이를 토대로 교육적 설명을 위한 모형을 제안하려고 한다.

참고로 이 연구는 전자기학에서 쓰이는 3가지 벡터 미분 교육에 관한 일련의 연구 프로젝트 중 세 번째에 해당한다.

II. 연구 대상 및 방법

1. 연구 대상

자기장과 컬에 관한 본 연구에는 남부지역에 위치한 한 대학의 물리교육과 학생 36명이 참여하였다. 원래 총 45 명이었으나 3차례에 걸친 조사 중 한번이라도 빠진 학생, 불성실 응답자 등을 제외하여 실제 분석은 총 36명을 대상 으로 하였다. 이중 남학생은 21명, 여학생은 15명이었다.

초기 분석 과정에서 한 해 분량의 조사로는 학생 수가 다소 부족하다는 연구 협력진의 의견이 있어, 연구 대상의 수를 늘리기 위하여 동일한 유형으로 2년에 걸쳐 설문을 진행 하였다. 1차 년도에 19명, 2차 년도에 17명이 참여하였다.

연구 계획 단계에서부터 유형 파악 및 특징 분석을 목적으 로 하였고 실제로 성별, 조사 연도 등에 따른 차이가 크지 않았기에 이 사항들을 독립변수로 놓고 따로 분석 결과를 제시하지는 않았다.

Table 1. Contents of the questionnaire for the curl of B field.

Category Contents Type of answers

1^stsurvey

General physics Magnitude and direction of B field Calculating

Configuration of B field Drawing

Vector calculus Formula of the curl Writing

Meaning of the curl Writing

2^ndsurvey Upper-level physics

Curl of B field in general space Calculating Curl of B field at the specific point Calculating or writing

Curl of B field without calculation Writing

연구 참여자들은 물리교육을 전공하면서 전자기학을 수 강하고 있었다. 해당 대학의 전공 전자기학 강좌는 1, 2로 나누어 각 3학점씩 2개 학기 과정으로 개설되었다. 이러한 방식은 대다수의 물리학과, 물리교육과에서 선호하는 강의 운영 체제이다. 전공 전자기학은 해당 학과의 전공 필수 과목이었다. 또 이 강좌를 2학년 때부터 이수하기 때문에, 연구 참여자들은 모두 일반 물리학을 수강하였으며 대부분 대학 미적분학에 해당하는 강좌를 이미 수강한 상태였다.

필수 이수 과목이 정해져 있는 사범대학의 특수성, 위계에 따라 강좌를 수강하는 물리학의 관례 등으로 인해 연구 참여 자들은 대부분 비슷한 순서로 물리학, 수학 과목을 이수하고 있었다.

교수-수업 모형에 의한 차이를 최소화하기 위하여 1, 2 차 년도에 모두 전통적인 강의 방식으로 1인의 교수자가 동일하게 강좌를 진행하였다. 연구에 참여한 학생들에게는 각 단원이 끝날 때마다 예제와 연습문제를 풀어 제출하도록 과제를 부여하였다. 주교재는 그리피스 (D. J. Griffiths) [22]의 한국어판을 사용하였는데 이 책에서는 컬을 ‘회전’

으로 번역하였다. 그래서 강의 중에는 컬과 회전을 혼용하 였다.

조사 대상을 확대하기 위하여 몇 차례 타 학과 및 타 대학 과 접촉하였으나 주교재의 차이, 강좌 시간의 차이 등으로 인해 타 대학의 학생들을 대상으로 조사를 확대하지 못 하였 다. 이는 연구 결과를 일반화하는 데 있어 한계로 작용한다.

그러나 본 연구 주제가 국내에서 거의 조사된 적이 없고, 대다수의 물리학과와 물리교육과에서 유사한 교육과정으로 전공 전자기학 교육이 이루어지며, 현재 수집한 자료로도 여러 가지 교육적 시사점을 제공할 수 있으므로 여전히 학 술적 의미를 지닌다고 볼 수 있다.

2. 연구 과정

연구는 전체적으로 다음과 같은 과정을 거쳐 진행되었 다. 먼저 설문 문항을 작성하기 위하여 2010년 이후 해당 학과의 정기 고사 문항, 임용 시험의 전자기 분야 기출 문항,

관련 선행 연구 [7,13,18,19,21], 주요 일반 물리학 교재 및 전공 전자기학 교재 [22–26] 등을 분석하였다. 이를 토대로 예비 설문 문항을 연구자가 개발하고, 물리 교육을 전공한 박사 1인과 문항에 대한 타당성 검토를 실시하였다. 완성된 예비 설문 문항을 이용하여 전공 전자기학 수강생 20명을 대상으로 조사를 실시하였다. 이 결과를 정리하고 면담을 진행하였으며, 추가로 수차례 검토 과정을 거쳐 설문 문항의 최종본을 완성하였다. 예비 설문 문항에 응답한 학생들은 본 설문 과정에서 제외하였다.

이어서 2013 학년도부터 2 년에 걸쳐 동일한 방식으로 강의를 진행하고 설문을 실시하였다. 먼저 자기장과 컬의 관계에 관한 이해 정도를 알아보기 위해 1, 2차 조사를 진 행하였다. 전공 전자기학에서 자기장과 컬의 관계를 수식 으로 표현하면 ⃗∇ × ⃗B이므로, 컬 연산자 (⃗∇×) 와 자기장 ( ⃗B)으로 나눌 수 있다. 선행 연구 [11–13]의 시사점, 예비 설문의 결과 등을 고려하여 1차 조사에서는 일반 물리학 수준 ( ⃗B),대학 미적분학 수준 (⃗∇×)의 문제를 제시하였다.

2차 조사는 전공 물리학 수준 (⃗∇× ⃗B)에서 해당 내용에 관한 강의를 마치고 2-3주 후에 설문하였다. 1차 조사의 일부 문항이 2차 조사에 영향을 줄 수 있으므로 두 조사 사이에 시차를 두었다. 연구 결과를 제시하는 과정에서 구체적인 설문 문항을 상세히 다루기에 Table 1에는 내용을 요약하여 간략히 제시하였다.

어려움에 관한 조사는 성찰 저널을 활용하였다. 예비 설문 결과 및 면담, 관련 선행 연구 [27,28] 등을 바탕으로 성찰 저널의 양식을 작성하여 연구 참여자들에게 제공하였 다. 사전에 진행한 성찰 저널 시행 결과 및 검토 과정에서 몇몇의 응답자가 작성에 대한 부담을 토로하는 경우가 있 었기에 일부 질문은 선택형으로 바꾸었다. 미분꼴 앙페르 법칙 (⃗∇ × ⃗B = µ0J )⃗ 에 관한 학습을 중심으로 어려움 정도, 유형 등에 대하여 작성하도록 안내하였다. 연구 참여자들은 해당 내용에 대한 학습이 끝난 후 일주일 이내에서 성찰 저널을 쓰고 사이버 강의실에 제출하였다. 성찰 저널의 내용이 불분명한 경우에 부분적으로 면담을 시도하였으나,

Table 2. Answers for the calculation of B field.

Category Evaluation No. of respondents

Mathematical expressions with proper expansions Correct 18 (50%)

Correct formula with trivial errors Partially correct 7 (19%)

Else Wrong 6 (17%)

No answer Wrong 5 (14%)

Total 36 (100%)

Table 3. Answers for drawing B field lines.

Category Evaluation No. of respondents

Circular curves regarding the distance to the axis properly Correct 19 (53%)

Circles curves regardless of the distance to the axis Partially correct 12 (33%)

Else Wrong 2 (6%)

No answer Wrong 3 (8%)

Total 36 (100%)

이 자료는 성찰 저널을 보강하는 수준에서 활용하였기에 연구 결과의 서술 과정에서 따로 구분하지는 않았다.

연구 결과는 기술통계 방식을 이용하였다. 특정 학교 학생 을 대상으로 한 일종의 편의 표집에 해당하고, 독립 변수에 따른 종속 변수의 차이를 통계적으로 검증하기보다는 현상 의 발견을 주요 목적으로 한 연구이기 때문이다. 다만 연구 주제가 전공 전자기학이라는 점, 여러 차례에 걸쳐 설문이 필요하다는 점, 선행 연구가 많지 않은 탐색적 연구라는 점 등으로 인해 연구 대상 및 분석 방법이 한정적이므로 연구 결과의 해석에 있어 제한이 따른다.

III. 연구 결과

1. 자기장과 컬에 관한 이해

1차 조사는 일반 물리학 수준, 대학 미적분학 수준의 문 제로 구성하였다. 구체적인 조사 결과는 다음과 같다.

1) 일반 물리학 수준

1차 조사의 첫 두 문항은 각각 직전 도선 주위의 자기장을 계산하고, 자기장선을 이용해 주변의 자기장을 그리는 문제

이다. 이는 고등학교 물리 및 대학 일반 물리학의 수준에서 다루는 내용이며 ⃗∇ × ⃗B 중 ⃗B에 관한 부분에 해당한다. 길 고 곧은 도선에 일정한 크기와 방향으로 정상 전류 (steady current) 가 흐르는 상황은 자기장 문제의 기본이라고 할 수 있다. 도선으로부터 s 만큼 떨어진 곳의 자기장을 구하는 첫 문제에서 응답자의 절반에 해당하는 18명은 앙페르 법칙 (Ampere’ s law) 등을 이용하여 과학적으로 적절한 답안을 작성하였다 (Table 2). 7명 (19%) 은 기본 식을 바르게 제 시하였으나 계산 과정에서 사소한 실수를 하였다. 이들을 합치면 전체 응답자의 약 70%가 도선의 자기장을 적절히 계산하거나 계산을 시도하였다. 이외에 기타가 6명 (17%), 무응답이 5명 (14%) 이었다.

이어지는 문항에서는 앞과 유사하게 종이면을 뚫고 들어 가는 방향으로 전류가 흐를 때, 장선 (field line) 을 이용하여 자기장의 모양을 그리도록 응답자에게 요청하였다. Table 3에 제시한 바와 같이 19명 (53%) 은 자기장의 방향과 크기 변화 등을 모두 고려하여 장선을 그렸다. 12 명 (33%) 은 도선 주위에 원형으로 자기장이 생기는 모양을 나타냈으나 자기장의 크기가 거리에 반비례함을 고려하지 않았다. 이 밖에 기타 2명 (6%), 무응답 3명 (8%) 이었다. 이처럼 전 체의 86%가 적어도 전류가 흐르는 도선 주위에 원형으로 자기장이 생김을 인지하고 있었다. 이는 중등학교 시절부터

Table 4. Answers for the formula of the curl.

Category Evaluation No. of respondents

Full expressions with partial derivatives Correct 7 (19%)

Determinant form Correct 9 (25%)

Gradient or divergence Wrong 5 (14%)

Else Wrong 3 (9%)

No answer Wrong 12 (33%)

Total 36 (100%)

Table 5. Answers for the meaning of the curl.

Category Evaluation No. of respondents

The degree of the circulation of the vector function Correct 7 (19%)

Circulation (with formula) Partially correct 4 (11%)

Circulation (without more explanation) Partially correct 13 (36%)

Else Wrong 6 (17%)

No answer Wrong 6 (17%)

Total 36 (100%)

도선 주위의 자기장에 관한 학습이 반복되기 때문으로 볼 수 있다.

2) 대학 미적분학 수준

1차 조사의 나머지 두 문항은 각각 컬의 공식을 적고 뜻을 설명하는 문제로, 수학적 접근으로 볼 수 있다. ⃗∇ × ⃗B 중

‘⃗∇×’ , 즉 컬 연산자 자체에 관한 내용에 해당한다. 주로 1 학년 대학 미적분학이나 전공 교육과정의 수리물리학 등에 서 학습하게 된다.

데카르트의 직각 좌표계로 컬 공식을 적는 문항의 응답 결과를 제시하면 Table 4와 같다. 수식의 형태로 풀어 쓴 응답자가 7명 (19%), 행렬식으로 쓴 응답자가 9명 (25%) 이 었다. 반면에 5명 (14%) 은 그레이디언트나 다이버전스에 해당하는 다른 벡터 미분식을 적었다. 기타가 3명이었고 (9%), 무응답이 12명 (33%) 이었다. 전체적으로 보면 44%

가 컬 공식을 적절하게 제시하였고, 14%는 다른 벡터 미분 과 혼동하고 있었다.

Table 5는 컬의 뜻을 구체적으로 설명하라는 문항에 관한 응답 결과이다. 전체 36명 중 7명 (19%) 은 “어떤 함수의 회전 정도를 나타낸다”, “⃗∇ × ⃗V 는 벡터 ⃗V 가 회전할 수 있는 정도를 나타낸다” 와 같이 비교적 적절하게 기술하 였다. 다만 문항에 ‘미분’ 이라는 용어가 제시되었음에도 설명하는 과정에서 미분 개념을 고려하여 설명한 사례는 없었다. 그리고 회전에 관한 간략한 언급과 함께 식을 쓴 응답자가 4 명 (11%), 단순히 ‘회전’ 만을 적은 응답자가

13명 (36%) 이었다. 한국어판 교재에서 컬을 ‘회전’ 으로 번역하였으므로 회전도 정답으로 볼 수 있지만, 문제에서 요구한 구체적인 설명을 하지 않았기에 이를 따로 구분하 였다. 이렇게 전체의 67% 는 적어도 회전을 설명하거나 언급하였다. 이외에 회전 개념이 포함되지 않은 부적절한 응답이 6명 (17%), 무응답이 6명 (17%) 이었다.

3) 전공 물리학 수준

2차 조사는 전공 물리학 수준에서 3개의 문항을 제시하는 방식으로 진행되었다. 응답자들에게 자기장에 대한 컬을 계산하도록 하고, 자기장선으로 표현된 공간의 컬 값을 판 별하게 하였다. 앞서 개별적으로 조사한 컬 연산자 (⃗∇×)와 자기장 ( ⃗B)을 합쳐, 전공 전자기학에서 제시하는 수준으로 질문을 구성하였다. 달리 말해 전공 수준의 물리학과 수학이 연계된 문제 상황에 관한 조사라고 할 수 있다. 수식으로 보면 ⃗∇ × ⃗B 전체를 다루고 있는데, 이는 물리학과 및 관련 분야의 대학생들이 전공 수준의 전자기학을 학습하는 과정 에서 반드시 직면하는 내용이다.

2 차 조사의 첫 문항은 직선 도선의 자기장에 관한 식 ( ⃗B = ^C_sϕ, Cˆ 는 상수이고 s 는 도선 축에서 떨어진 거리) 과 원통좌표계의 컬 연산자 공식을 주고, ⃗∇ × ⃗B를 직접 계산하도록 하는 문제였다. 이에 대한 결과를 Table 6에 제시하였다. 15 명 (42%) 은 직접 계산을 하여 이 값이 0 임을 보였다. 실제로 단순히 계산을 하면 ⃗∇ × ⃗B = 0이 된다. 그런데 이는 ⃗∇ × ⃗B = µ0J⃗의 우변에 해당하는 µ0J⃗

Table 6. Answers for the calculation of ⃗∇ × ⃗B when ⃗B = ^C_sϕ.ˆ

Category Evaluation No. of respondents

∇ × ⃗⃗ B = 0 at s̸= 0, ⃗∇ × ⃗B̸= 0 at s = 0 Correct 0 (0%)

∇ × ⃗⃗ B = 0 without mentioning s Partially correct 15 (42%)

∇ × ⃗⃗ B̸= 0 with calculation errors Wrong 8 (21%)

Else Wrong 4 (11%)

No answer Wrong 9 (25%)

Total 36 (100%)

Table 7. Answers for the calculation of ⃗∇ × ⃗B of the z-axis line current at (1, 1, 0) point.

Category Evaluation No. of respondents

Zero (by the reasoning about the formula) Correct 0 (0%)

Zero (by calculations) Correct 1 (3%)

Zero (with some errors) Partially correct 2 (6%)

Proper formula with wrong answers Wrong 6 (17%)

Else Wrong 17 (47%)

No answer Wrong 10 (28%)

Total 36 (100%)

Fig. 1. Question for figuring out ⃗∇ × ⃗B with the field line diagram.

가 모든 공간에서 0이라는 의미가 되므로, 결과적으로 직선 도선에 흐르는 원천 전류를 배제하는 식이 된다. 이는 z 축에 해당하는 s = 0 인 곳에 대한 계산, 다시 말해 0으로 나누기를 고려하지 않았기 때문이다. 정리하면 s 가 0이 아닌 조건에서는 ⃗∇ × ⃗B = 0이 타당하다. 그러나 s = 0 이면 ⃗∇ × ⃗B ̸== 0(또는 ⃗∇ × ⃗B = µ0J )⃗ 으로 서술하여야 과학적으로 타당하다. 0으로 나누기에 대한 구분이 필요 한 상황, 미분과 적분의 차이, 델타함수 (delta function) 의 사례 등을 학습하였음에도, 이와 같이 구분하여 답한 응답 자는 한 명도 없었다. 8명 (22%) 의 응답자가 0이 아니라고 하였지만, 이는 대부분 계산 실수 탓이었다. 4명 (11%) 은 부적절하게 풀이하였고 9명 (25%) 은 응답하지 않았다.

2차의 두 번째 문항 역시 직선 도선 상황에서 자기장의 컬을 계산하는 문제였다. z 축 방향으로 전류 I(부피 전류 밀도 ⃗J )가 일정하게 흐를 때, 직각 좌표계로 (1, 1, 0) 인 곳의 ⃗∇ × ⃗B을 구하는 문제 상황을 설정하였다. 직접 계산 하여 구할 수도 있지만, ⃗∇ × ⃗B = µ0J⃗의 의미를 명확하게

알고 있으면 주어진 지점에 부피 전류 밀도가 없으므로 계산 과정 없이 바로 0임을 알 수 있다. 그러나 이렇게 정답을 구한 사례는 없었다. Table 7에서 볼 수 있듯이, 1명 (3%) 만 정확하게 풀이하였으나 이 경우도 계산을 통해 구하였다.

0을 구했으나 풀이 과정에서 사소한 실수를 한 사례 (2명, 6%), 관련 공식만 서술한 사례 (6명, 17%) 까지 포함해도 전체 중 4분의 1만이 비교적 적절한 접근을 시도하였다. 거 의 반수에 해당하는 17명 (47%) 은 계산 과정에서 명확하게 실수를 범하거나 적절하지 않은 공식을 사용하였다. 나머지 10명 (29%) 은 답안을 작성하지 않았다.

마지막 문항 (Fig. 1) 도 중심축을 통과하는 직선 도선 주변의 자기장에 관한 내용이다. 자기장선을 이용하여 자기장 분포를 제시하였고, 자기장이 거리에 반비례하고 특정 지점에서 이 자기장의 컬이 0이 될 수 있음을 문두에 명시하였다. 이를 고려하여 제시된 상황에서 컬의 값이 0 이나 0이 아님을 구별하되, 계산을 하지 말고 이유를 설명 하라고 하였다. 이때 과학적으로 타당한 결과는 앞 문항과 유사하다. 중심축을 제외한 나머지 영역에서 ⃗∇ × ⃗B = 0 이고, 중심축에서만 컬 값이 0이 아니다.

이 문항에 대한 응답 결과는 Table 8과 같다. 2명 (6%) 은 비교적 적절하게 자기장의 컬을 판별하였다. 예를 들어 한 응답자는 Fig. 2에 제시한 바와 같이 중심축과 기타 공간을 나누고 설명을 시도하였다. 3명 (8%) 의 답안은 과학적으 로 타당한 설명을 포함하나, 정답으로 인정하기에는 다소 부족하였다. 예컨대 중심축에서는 회전하므로 컬을 구하면

Table 8. Answers for figuring out ⃗∇ × ⃗B through field lines.

Category Evaluation No. of respondents

Explanations with proper distinction between zero and non-zero Correct 2 (6%) Insufficient distinction between zero and non-zero Partially correct 3 (8%)

Trial of distinction with incorrect methods Wrong 8 (22%)

Else Wrong 8 (22%)

No answer Wrong 15 (42%)

Total 36 (100%)

Fig. 2. An example of answers for figuring out ⃗∇ × ⃗B with the field line diagram.

0 이 아니나, 멀어질수록 자기장이 줄어들기 때문에 0 에 가까워진다는 답변이 이에 해당한다.

이외에 8명 (22%) 은 적절하지 않은 설명을 바탕으로 설 문 답안을 작성하였다. 좌표축과 자기장의 회전 방향이 수직이면 컬이 0이고, 수직이 아니면 컬이 0이 아니라는 설명을 하면서 0과 0이 아닌 곳을 분리하려는 시도 등이 있었다. 또 다른 8 명 (22%) 은 “임의의 공간의 컬은 0”,

“⃗∇ × ⃗B = µ0J⃗이므로 거리와 ⃗B는 상관이 없으며 오직 전류와 관계가 있다. 그러므로 문제에서 그림을 해석하면 장의 크기는 거리와 상관없다. (어디에서나 균일하다)” 와 같이 컬의 값이 모든 공간에서 동일하다고 하였다. 15명 (42%) 은 이 문항에 대한 답안을 작성하지 않았다.

2. 자기장과 컬에 관한 학습의 어려움

성찰 저널의 형식을 이용하여 자기장과 컬에 관한 학습 과정의 어려움을 조사하였다. 응답자의 부담을 줄이고자 선택형과 서술형을 혼합하여 성찰 저널 양식을 구성하였는 데, 주요 결과를 요약하면 다음과 같다.

첫째, 응답자들은 자기장과 컬에 관한 학습에서 전반적 으로 어렵다는 반응을 보였다. 5단계 리커트 (Likert) 척 도로 어려움 정도를 표시하라고 하였을 때, 4단계 수준인

‘어렵다’ 라고 응답한 비율이 50%(18명) 로 가장 많았다.

5단계 (매우 어렵다) 의 2명을 포함하면 56%가 어렵다는 반응을 보였다. 3단계 ‘보통이다’ 가 31%(11명) 이었으며,

1단계 (전혀 어렵지 않다) 를 선택한 응답자까지 포함하여 전체적으로 평균 3.4, 표준편차 0.99이었다.

둘째, 어려움의 구체적인 대상에 대하여 서술형으로 조 사하였는데, 응답하지 않은 4명을 제외한 32명은 대체로 공식이나 개념을 언급하였다. 특히 물리학과 수학 사이의 관계를 어려워하는 경향이 나타났다. 이에 관한 응답 사례는 다음과 같다.

“저는 가만 보니까 수학적으로는 이해를 할 수 있는데 물리적으로 이해하는데 어려움을 느끼 고 있는 것 같습니다”

“정상전류의 개념을 알겠으나 그것으로 인해 만들어진 식들을 보면서 이해가 되지 않았다”

“물리적 개념을 수식으로 나타내는 게 실험식을 새로 외워야해서 힘들었던 것 같습니다”

“개념은 조금 이해되는 데 예제나 문제풀이에 어려움이 있다”

또 일부는 이미 학습한 내용과 연관 지어 현재의 어려 움을 설명하였다. “자기장은 전기장과 비슷한 점이 많아 서 정성적인 이해가 쉬웠다. 그래서 공식을 비교해보며 공부했다. 하지만 차이점도 있기 때문에 공식을 더 많이 써보고, 문제를 많이 풀어야만 손에 완전히 익을 것이라고 생각한다”, “정전기학과 비슷한 부분이 많이 있어서 연관 시키면서 공부해야하는 것이 조금 어려웠다”, “(생략) 전에 배운 내용들을 지금 배운 내용과 연결 짓기 어려웠습니다”

와 같은 표현들이 있었다.

셋째, 이 두 가지 특징에 관한 선택형 문항에서도 유사 한 경향이 나타났다. 앞서 제시한 특징들은 예비 조사나 선행 연구에서도 유사하게 나타났기에 성찰 저널에서 더 구체적으로 질문하였다. 먼저 물리학과 수학의 관계에 관한 질문에서는 물리학적으로 이해할 수 없고 수학적으로도 풀 수 없다는 학생이 36%(13명) 이었다. 물리학적으로 이해할 수 있지만 수학적으로 풀 수 없다는 학생이 33%(12명), 물 리학적으로 이해할 수 없지만 수학적으로 풀 수 있다는 학 생이 19%(7명), 기타가 11%(4명) 이었다. 그리고 선지식과

Table 9. Relation between test scores and the degree of difficulties.

Difficulties No. of

Avg. of test score (full mark)

(degree) students

General Calculus Upper-level Total

physics (10) (10) physics (15) (35)

Very hard (5) 2 2.5 3.5 1.5 7.5

Hard (4) 18 6.9 3.2 2.5 12.6

Normal (3) 11 6.8 4.5 4.0 15.4

Not hard (2) 2 8.0 6.5 4.0 18.5

Not hard at all (1) 3 9.0 9.3 7.0 25.3

Avg. of Subtotal Totally 36 6.9 4.3 3.4 14.5

Correlation coefficient -0.35 -0.56 -0.42 -0.53

Table 10. Relation between test scores and perception of understanding physics or mathematics.

Category* No. of Avg. of the degree

Avg. of test score (full mark)

students of difficulties

General physics Calculus Upper-level Total

(10) (10) physics (15) (35)

NPNM 13 3.7 6.4 3.2 2.0 11.6

CPNM 12 3.4 6.3 3.9 4.2 14.4

NPCM 7 3.6 7.4 5.4 2.6 15.4

Else 4 2.0 9.0 7.0 6.8 22.8

Avg. of Subtotal Totally 36 3.4 6.9 4.3 3.4 14.5

* Some abbreviations was used such as CPNM, which means “I Can understand the Physics of the contents but I can Not solve the problems of them with Mathematical methods” and so on.

관련해서는 자기장과 컬을 학습하는 과정이 처음 접하는 내용이라 생소하다고 19명 (53%) 이 응답하였다. 이어서 11 명 (31%) 은 이미 알고 있는 내용과 현재 학습하는 내용을 연결 짓지 못 하겠다고 하였다.

3. 자기장과 컬에 관한 이해와 어려움의 관계

자기장과 컬의 관계에 대한 이해 정도와 학습 과정에서 인식하는 어려움 사이의 관계를 살펴보기 위하여 정량적인 분석을 시도하였다. 먼저 일반 물리학, 대학 미적분학, 전공 물리학 수준에서 이해 정도를 알아본 1, 2차 조사 결과를 점수화하였다. 과학적으로 타당한 정답을 문항 당 최대 5 점으로 정하고, 이와 다른 답안에는 부분 점수를 부여하는 방식으로 채점하였다. 그리고 이 결과를 성찰 저널에 표시한 어려움 정도와 비교하여 Table 9에 제시하였다.

이에 따르면 이해 조사 점수의 총점과 어려움 정도 사이 의 전체적인 상관 계수는 –0.53이었다. 분야별 이해 조사 점수와 어려움 정도 사이에는 –0.3∼0.6에 해당하는 상관 계수가 산출되었다. 이는 일반적으로 ‘상관이 있다’ 고 볼 수 있는 수치 범위로, 어렵다고 응답한 대학생일수록 이해 조사 점수가 낮았다. 특히 대학 미적분학에 관한 이해 수준

과 어려움 정도의 상관 계수는 –0.56이었는데, 비교 대상 중에서 가장 높았다. 이는 특히 대학 수학의 이해 정도와 응답자가 어렵다고 느끼는 정도가 서로 밀접하게 관련되어 있음을 시사한다.

Table 10은 자기장과 컬의 관계에 대한 이해 및 어려움 정도를 물리학과 수학의 이해 가능 여부와 관련지어 비교한 결과이다. 전반적으로 보면 물리학적으로 이해할 수 없고 수학적으로도 풀 수 없다는 집단 (NPNM, 13명, 36%) 에서 이해 조사 점수의 전체 평균이 가장 낮았고 (11.6), 어려움 정도도 평균 3.7로 가장 높았다. 이어서 물리학적으로 이 해할 수 있지만 수학적으로 풀 수 없다는 집단 (CPNM, 12 명, 33%) 이 이해 조사 평균 14.4, 물리학적으로 이해할 수 없지만 수학적으로 풀 수 있다는 집단 (NPCM, 7명, 19%) 이 평균 15.4로 나타났다. 이 둘을 합치면 물리학의 이해 수준과 수학의 풀이 수준이 불일치한다고 인식하는 집단은 53%이었고 이들의 어려움 정도는 평균 3.5이었다. 기타에 해당하는 4명은 평균 22.8로 점수가 가장 높았는데, 이들이 표시한 어려움 정도는 평균 2.0으로 2단계 (어렵지 않다) 에 해당하였다. 이와 같은 결과를 통하여 대학생들이 어렵다고 인식하는 정도는 실제 이해 수준과 밀접한 관련이 있으며, 물리학과 수학적 이해 수준이 모두 부족하거나 불일치한

다고 자각하는 집단에서 자기장과 컬의 관계를 어렵다고 인식하였고 실제 이해 수준도 낮음을 발견하였다.

4. 컬에 대한 설명 모형의 개발 1) 기존 설명 방식의 특징

상기에 제시한 본 연구의 결과들은 전공 물리학 수준에서 자기장과 컬을 학습하는 기존의 설명 방식이 물리학과 수학 사이를 관련지어 이해하도록 하는 부분에서 다소 미흡함을 시사한다. 예를 들어 주요 전공 전자기학 교재들 [22,24–

26]을 살펴보면, 벡터 미분을 앞부분에 따로 떼어 제시하는 경향이 있다. 그리고 관련 교재들에서는 컬에 관한 수식과 함께, 물레방아와 같은 회전체를 도입하여 설명하기도 한 다. 이는 컬이 가지는 정성적 의미를 전달하는 데에 도움을 주려는 목적을 지닌다.

그러나 이것이 어떻게 수식으로 제시된 3차원 벡터 미분 공식과 관련되는지를 명료하게 다루지는 않고 있다. 즉, 학습자 입장에서 보면 수식과 비유물이 각각 별도로 제공 된다. 직선 도선에서 동심원 형태로 자기장이 분포함을 알고 있는 대학생들에게 컬의 값을 질문하였을 때, 교재의 기존 설명 방식은 대학생들에게 단순히 회전의 의미만을 떠올리게 하여 ‘모든 공간에서 회전하기 때문에 컬이 0이 아니다’ 라고 단정 짓는 계기가 될 수 있다.

2) 설명 모형 제안

이러한 점들을 고려하여 본 연구자는 ‘4엽 바람개비’

모형을 제안하고자 한다. 이는 4개의 날개가 축을 중심으로 서로 직각을 이룬 바람개비 형태이다. 이 모형은 컬의 값을 정성적으로 파악하는 도구이다 (Fig. 3). Fig. 3의 (a) 에서 지면을 뚫고 나오는 방향을 +z, 수평 방향을 x 축, 수직 방향을 y 축으로 두자. 그리고 x 축 양 편에 2개의 벡터가 작용한다고 하자. 이를 바람이라고 한다면 바람이 부딪히는 위치의 차이 (∆x) 와 바람의 세기 차이 (∆By) 가 있을 때, 제시된 그림과 같이 반시계방향 (외곽선만 있는 반원형 실선 화살표) 으로 바람개비가 회전한다. 이 방향은 +z 이고, ∆x 가 일정하다면 회전량은 ∆By에 비례한다.

이와 유사하게 Fig. 3의 (b) 에서도 ∆y 가 일정할 때 ∆Bx

에 비례하는 회전량을 고려할 수 있다. 그러나 이때는 방 향이 반대가 된다. 회전축에서 떨어진 거리인 ∆x, ∆y 가 일정하다는 조건은 당 (per), 다시 말해 나누기를 의미한다.

작은 공간에서 다루기 위해 이를 미소변위로 대체하고 극한 을 도입하면 미분꼴로 표현할 수 있다. 따라서 Fig. 3의 (a) 와 (b) 는 각각 ^∂B_∂x^y,−^∂B_∂y^x에 대응된다. 이제 이 내용들을

Fig. 3. (Color online) ‘Four blade pinwheel’ model for the curl detector: (a) if the magnitude of the vector like wind velocity is bigger as much as ∆By with the dis- placement ∆x, there is a counterclockwise rotation(+z);

(b) similarly, there can be a clockwise rotation in this sit- uation and the quantity of the rotation is proportional to the ∆Bx when the ∆y is fixed(−^∆B_∆y^x). These two events can combine to the 1 dimensional formula of the curl, (^∂B_∂x^y −^∂B_∂y^x)ˆz, after some mathematical handling.

모두 합쳐 수식으로 나타내면 (^∂B_∂x^y −^∂B_∂y^x)ˆz가 된다. 바로 데카르트 좌표계로 표현한 1차원 컬의 공식이다. 이 모형에 서 4개의 날개는 각각 2개씩 짝을 지어 변화량에 따른 회전 정도를 뜻하는 수식에 대응된다.

이를 3차원으로 확대할 수도 있다. 여기서 바람개비가 고정된 축은 회전축에 해당한다. 바람개비 3개가 서로 직 각으로 만나 x, y, z 축을 이루면 3중 바람개비가 되고 결국 3차원의 컬 공식에 부합된다. 다시 말해 4엽 바람개비는 일종의 컬 감지기 (curl detector) 라고 할 수 있으며, 단순히 회전 여부만을 확인하는 것에서 그치지 않고 물리적인 의미 와 수학적인 공식을 밀접하게 연결해 준다. 이 모형은 특히 자기장과 컬의 관계에 관한 학습자의 어려움을 해결하는 데에 기여할 수 있을 것으로 기대된다.

3) 제안된 설명 모형의 적용 사례

이 설명 모형을 실제 물리적 상황에 적용한 사례는 다음과 같다. 예컨대 본 연구에서 컬을 단순히 ‘회전’ 으로 알고 있는 다수의 응답자는 전류가 흐르는 직선 도선이 아닌, 주 변 공간에 대한 컬의 값을 구하는 문항에서 대체로 적절한 접근을 하지 못 하였다. 이와 관련해 Fig. 1과 같이 직선 도선 주위에 자기장이 생겼다고 가정하자. 중심축과 교차 하지 않으면서 +x 축 위에 있는 한 점에 ‘4엽 바람개비’ 를 놓으면 Fig. 4와 같이 된다. 다만 여기에서 얇은 실선 (컬러 판의 초록색) 은 자기장선을 뜻하며, 일부 화살표는 설명을 위하여 위치나 크기 및 방향 등이 실제보다 과장되었다.

이제 바람개비에 작용하는 4개의 벡터를 따져보자. 위로 향하는 두 벡터 (굵은 실선 화살표 : 컬러판의 붉은색) 는

Fig. 4. (Color online) Four blade pinwheel in the zero curl position of the magnetic field lines(thin green ar- rows) beside the straight-line current(not shown); red solid arrows and blue dotted arrows are magnetic field at points of contact, and arrows only with outline mean the directions of the rotation (some position, directions, and magnitudes of vectors are exaggerated for expressing the rotation).

접점의 자기장을 뜻하나, 바람개비 모형에서는 이 벡터를 풍속으로 놓을 수 있다. 이 두 벡터는 앞서 제시한 Fig. 3(a) 와 배치만 약간 다를 뿐 전체적으로 유사하다. 자기장 벡터 의 크기는 전류가 흐르는 도선에서 떨어진 거리에 반비례하 므로, 회전축을 중심으로 그림의 왼편에서 풍속이 더 크고 바람개비는 −z 인 시계방향 (외곽선만 있는 반원형 붉은 실선 화살표) 으로 돈다.

그런데 자기장은 동심원 모양으로 분포하기 때문에, 마치 구심가속도를 계산하는 과정처럼 x축과 만나는 접점 근처의 사선 방향 벡터 2개 (Fig. 4의 점선 화살표 : 컬러판의 파란 색) 를 추가로 고려해야 한다. 참고로 이 벡터들을 무시하면, 전체 자기장은 원형이 아닌 직선형이 되므로 물리적으로 전혀 다른 상황이 된다. 이 두 사선 방향 벡터는 바람개비가 +z인 반시계방향 (외곽선만 있는 반원형 파란 점선 화살표) 으로 회전하도록 작용한다.

따라서 회전 성분이 2개가 되고, 이 두 회전이 합쳐져 결과적으로 4엽 바람개비는 돌지 않는다. 다시 말해 Fig. 1 과 같은 상황에서는 오직 중심축에서만 4 엽 바람개비가 회전한다. 이는 직선 도선에 전류가 흐를 때, 중심축에서만 컬의 값이 0이 아니라는 미분꼴 앙페르 법칙 (⃗∇× ⃗B = µ0J )⃗ 과 일치한다. 그리고 이러한 접근법은 모든 공간에서 컬의 값이 0이라고 인식하고 있는 학습자에게 인지 갈등을 유 발할 수 있을 것으로 보인다. 이때 바람개비의 회전축을 고정한 상태에서 날개의 회전 여부를 고려해야 한다는 점을 주의해야 한다. 바람개비 자체가 원형을 그리면서 움직이기 때문에 컬이 0이 아니라고 판정해서는 안 된다.

IV. 결론 및 시사점

이 연구에서는 물리교육과 대학생 36명을 대상으로 전공 전자기학을 학습하는 과정에서 자기장과 컬 (⃗∇× ⃗B)에 관한 이해 특성과 어려움을 조사하였다. 연구를 통해 얻은 주요 결과는 다음과 같다.

첫째, 일반 물리학, 대학 미적분학, 전공 물리학 수준에서 조사를 실시하였는데 상대적으로 전공 물리학 수준에 대한 이해 정도가 낮았다. 구체적으로 살펴보면, 자기장 ( ⃗B)에 관한 일반 물리학 수준의 조사에서 응답자의 50%는 앙페르 법칙 등을 이용하여 직선 도선 주변의 자기장을 계산하였고 사소한 실수를 한 사례까지 포함하면 약 70%가 적절한 식을 제시하였다. 자기장의 방향과 모양에 대해 전체의 86%가 자기장선을 이용하여 원형과 화살표로 나타내었고, 특히 53%는 거리에 따라 자기장이 약해짐까지 적절하게 표시하 였다.

컬 연산자 (⃗∇×) 자체에 대한 미적분학 수준의 문제에서 전체의 44%는 컬 연산자의 공식을 적절하게 기술하였다.

일부는 다른 벡터 미분의 식과 혼동하였다. 그리고 전체 중 67%는 컬의 뜻을 회전과 관련지어 설명하였다.

컬 연산자 (⃗∇×) 와 자기장 ( ⃗B)를 합쳐 전공 물리학에서 다루는 ⃗∇× ⃗B에 관해 질문하였을 때, 미분 개념을 고려하여 원천 전류가 흐르는 중심축과 그 외 공간을 구별하여 답한 경우는 드물었다. 15명 (42%) 이 일반적인 방식으로 계산을 하였으나, 중심축과 그 외 공간을 구분한 응답자는 없었다.

또 다른 문항은 중심축이 아닌 점에서 컬을 구하는 문제 였는데, 1명 (3%) 만 계산 과정을 거쳐 0임을 보였고 컬의 공식을 이용해 간단히 추론한 사례는 없었다. 자기장선을 보고 컬의 0 여부를 판별하는 마지막 문항에서는 2명 (6%) 만 컬이 뜻하는 회전의 의미를 적절히 적용하였다.

둘째, 어려움에 대한 정도와 유형을 성찰 저널을 이용해 조사한 결과, 자기장과 컬에 관한 학습에서 대학생 응답자의 어려움 정도는 5단계 중 평균 3.4에 해당하였고 4단계 이상 으로 어렵다고 응답한 비율은 56%이었다. 서술형으로 기 술하도록 한 질문에서는 특히 물리학과 수학 사이의 관계에 대한 어려움을 토로하였다. 구체적으로 보면 물리학적으로 이해할 수 없고 수학적으로도 풀 수 없다는 응답자가 36%로 가장 많았고, 물리학적으로 이해할 수 있지만 수학적으로 풀 수 없다는 응답자가 33%로 뒤를 이었다. 이처럼 약 70%

에 해당하는 학생들이 수학과 관련된 부분에서 어려움을 호소하였다.

셋째, 이해 조사 결과와 어려움 정도 사이에는 전체적으로 –0.53의 상관 계수가 산출되었다. 이는 어렵다고 인식하 는 응답자일수록 대체로 이해 조사 점수가 낮음을 뜻하며, 자기장과 컬을 이해하는 수준과 어려움에 대한 인식 사이에

밀접한 관련이 있음을 시사한다. 특히 미적분학 분야의 이해 조사 점수와 어려움 정도 사이에서 상관 계수의 절대값이 가장 크게 나타났다 (-0.56). 아울러 물리학적으로 내용을 이해할 수 없고 수학적으로도 풀 수 없다는 집단 (36%) 에서 이해 조사 점수의 평균이 가장 낮았으며, 어려움 정도의 평균도 3.7로 가장 어려워하였다. 또 물리학의 이해 수준과 수학의 풀이 수준이 서로 다르다고 인식하는 집단은 53%

였는데, 이들의 어려움 정도는 5단계 리커트 척도에서 평균 3.5 단계로 나타났다.

마지막으로 이와 같은 결과들을 토대로 컬에 대한 교육 에서 사용할 수 있는 설명 모형을 제안하였다. 물리학적 측면에서 회전 여부를 시각화하고, 수학적 측면에서 변화량 에 따른 차이를 편미분의 개념과 연결 짓는 방식으로 ‘4엽 바람개비 모형’ 을 개발하였다. 다만 이 모형의 교육 효과에 대한 실증적인 검토는 후속 연구를 통해 진행할 예정이다.

이러한 결과들을 종합하면, 일반 물리학 및 대학 미적분학 수준에서 자기장과 컬을 각각 이해하고 있는 대학생일지라 도 전공 전자기학 수준에서 ⃗∇× ⃗B을 다룰 때에 이해 수준이 낮아짐을 알 수 있었다. 그리고 학습자 자신도 자기장과 컬을 학습하는 과정에서 물리학과 수학 사이의 관계를 연결 짓기 어렵다고 인식하고 있었다. 이러한 경향성은 관련 선행 연구의 결과와도 일관된다 [13,14,19]. 다만 이 연구에 참여 한 대상이 사범대학 재학생이라는 점에서 이 연구 결과를 물리학과 전공 교육 전반으로 일반화하기에는 한계가 있다.

아울러 컬에 대한 전공 전자기 교육과 중등 전자기 교육 사이의 관계에 대해서도 심층적인 연구가 가능할 것이다.

감사의 글

이 논문은 2013년 정부 (교육부) 의 재원으로 한국연구 재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (NRF-2013S1A5 A8022649). 이 논문은 2015학년도 조선대학교 학술연구 비의 지원을 받아 연구되었습니다.

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