x dx dV V

(1)

보의 굽힘진동 (Bending Vibration of a Beam)

위 그림은 외팔 보의 변형을 보여준다. 보 연속체 상의 미소요소에 대해 자유물체도를 그리면 다음과 같다.

x dx dV V

x dx dM M



 



 

이 자유물체도에 근거하여 상하 및 회전 방향 운동방정식을 구하면 다음과 같다.

1)

y

방향

 

₂

2

x dx dV V

V dV t V

Adx y



 







 





2)



방향

 

2 2

Vdx dM

V dx dV dx

V M dM M I















y

방향 방정식을 정리하면,

2 2

x V t

A y



 



 

--- (*)

그런데 세장보에 대해서는 단면의 회전에 의한 관성효과를 (Rotary inertia effect) 무시하는 Euler-Bernoulli 보 이론을 이용한다. 즉,

I

0 이면,



방향 방정식으로부터

(2)

0

x

V M Vdx

dM



 









이 식을 앞에서 유도한 (*) 식에 대입하면,

2 2 2

2

x M t

A y



 

 

 

--- (**)

그런데 세장보에서는 (Euler-Bernoulli 보 이론 이용) 전단변형을 무시할 수 있으므로,

y EI M

 

이 식을 (**)식에 대입하면,

2

2 2

2



 







 

 



x EI y x t

A y



--- (1)

 Euler-Bernoulli 보 이론

1. 단면 회전관성 무시

2. 전단 변형 무시: 중심 축에 수직인 단면은 변형 후에도 수직이라는 가정

 Timoshenko 보 이론

(3)

(1)식을 변수 분리에 의해 풀이하려면,

y ( x , t )  Y ( x ) T ( t )

라 하고 방정식에 대입

dx T Y EI d dt

T

AY d

₄

4 2

2 



시간에 대한 함수와 공간에 대한 함수를 각각 분리하면,

2 0

4 4 2

2













 Y

dx Y d A EI T

dt T d

위 식에서 좌변은 시간의 함수이고 우변은 공간의 함수이므로 이들이 서로 같아지려면 상수이어야 한다. 그런데 상수 중에서도 0 이나 양의 값을 가진다면 나중에 초기조건을 대입하면 Trivial solution 을 갖게 되는 것이 쉽게 증명될 수 있다. 따라서 이 값은 음의 값을 가져야 하므로

 

²으로 표시한 것이다. 따라서,

0 0

2 4

4 2 2 2









EI Y A dx

Y d

dt T T d







그런데 ⁴

2

EI

 A







이면, 두 번째 식은 다음과 같이 적을 수 있다.

4 0

4

4 

Y



dx Y

d 

이 형태를 Bi-harmonic Equation 이라 부르며 그 일반 해는 다음과 같이 알려져 있다.

sinh cosh

sin cos

)

( x A x B x C x D x

Y        

이 일반 해에 주어진 경계조건을 적용하면, 대상 시스템의 고유진동수를 구할 수 있는 특성방정식을 구할 수 있다.

예를 들어서 외팔 보 경계조건의 ( Clamped-Free) 경우,

(4)

1) 고정단 경계:

x

0 에서 보의 변위와 경사각이 0 의 값을 가져야 한다. 이러한 경계조건을 기하학적 경계조건이라 (Geometric boundary condition) 한다.

0 0

) , 0 (

0 ) 0 ( 0

) , 0 (

0





 









dx

x

t dY x y

Y t

y

2) 자유단 경계:

x  L

에서 모멘트와 전단력의 값이 0 의 값을 가져야 한다. 이러한 경계조건을 자연적 경계조건이라 (Natural boundary condition) 한다.

0 0

) (

0 0

3 3 2

2

2 2 2

2





 



 

 







 

 



L x L

x

L x l

x

dx Y d x

EI y x x

V M

dx Y d x

EI y M

일반 해에 위의 경계조건들을 적용하면 다음과 같은 대수방정식을 얻을 수 있다.

0 ) cosh sinh

cos sin

(

0 ) sinh cosh

sin cos

(

0 ) (

0

3 2

























L D

L C

L B L A

L D

L C

L B L A

D B

C A



이 식들을 행렬식의 형태로 정리하면,

0 cosh

sinh cos

sin

sinh cosh

sin cos

0 0

0 1

3 3

2 2

2

2 



































D C B A

L L



--- (2)

위 식이 성립하려면

A



B



C



D

0 이면 되는데 이는 Trivial Solution 이다. 위 식이 Trivial solution 을 갖지 않으면서 성립하려면 위 식 좌변 정방행렬의 Determinant 값이 0 이 되면 된다.

Determinant 값이 0 이 되는 식을 정리하면,

(5)

0 1 cosh

cos  L  L  

--- (3)

(3)식에서 L의 값을 구한 후, ⁴

2

 



_

EI

A

식에서



를 구한다. 다시 이렇게 구해진



의 값을 (2)식에 대입하여

A , B , C , D

의 비를 구하면

Y (x )

의 일반해로부터 모드함 수가 구해진다.

이렇게 구해진 외팔 보의 모드함수의 모양은 다음과 같다.

0.999 7.855 3

1.018 4.694 2

0.734 1.875 1

i

) sin (sinh

cos cosh

) (



i







i

i i

i i i

i

L

x x

x

Y

   

하단의 그림은 위에 함수로 주어진 가장 낮은 세 개의 모드함수들의 모습을 보여준다.

이 함수들의 모습에서 변위가 0 이 되는 점들을 절점이라 (Node) 부르고 변위의 크기가 최대가 되는 점들을 반 절점이라 (Anti-node) 부른다.

절점의 수는 보의 고정단을 포함하면 1^st 모드는 1 개, 2^nd 모드는 2 개, 3^rd 모드는 3 개인 것을 알 수 있다.

)

1(

x Y

)

2(

x Y

)

3(

x Y

Node

Anti-node

(6)

막과 평판의 진동 (Vibration of Membranes and Plates)

막은 (Membrane) 현의 2 차원 요소이고 평판은 (Plate) 보의 2 차원 요소이다. 현과 보를 기술하기 위하여 공간 좌표는 단 1 개만 필요하였지만, 막이나 평판의 운동을 기술하기 위해서는 공간좌표를 2 개 사용하여야 하며 이들의 방정식은 시간과 2 개의 공간 좌표에 대한 편미분방정식 형태를 갖는다.

막의 진동

막의 진동 방정식은 다음과 같이 구해진다.

2 2 2 2

2 2

2 ( , , ) ( , , ) 1 ( , , )

t t y x w c y

t y x w x

t y x w



 







여기서







c

이며



는 막의 단위길이 당 장력을 나타낸다.

이 방정식은 줄의 운동방정식과 유사하며 다만 2 차원 형태로 확장된 것을 알 수 있다.

막의 경계조건은 줄의 경우와 달리 자유단이 있을 수 있다. 즉 아래 그림과 같이 가로 양단에서는 고정되어 있고 세로 양단에서는 자유로운 형태이다. 이 경우 경계조건을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

0 ) , , ( 0

) , , 0

( y t  w a y t 

w

가로 고정단

0 0

0

 

 





 y b

y

w y

w

세로 자유단

(7)

막의 진동 예제

가로와 세로의 길이가 1 인 네 변이 모두 고정된 막의 고유진동수와 모드함수를 구하라.

막의 진동방정식의 해를 다음 식

w x y t ( , , )  X x Y y T t ( ) ( ) ( )

으로 가정하면 운동방정식은 다음과 같이 변수분리 될 수 있다.

2 2

1

T X Y

0

c T X Y c



   

      



따라서

2 2

2 0

d T T

dt





 즉

^{T t}  

^

^E

^sin

^ ^t

^

^F

^cos

^ ^t

또한

X Y

2

X Y c



       

양변의 함수가 같아지려면

X X

와

Y Y

가 모두 음의 상수가 되어야 한다. 따라서,

2

2 2

c







  ^{ } 



그리고

X

2

X    



X   

²

X  0



^{X x}   ^ ^A

^sin

^ ^x ^ ^B

^cos

^ ^x

그리고

Y

2

Y  

 



Y   

²

Y 

0 

^{Y y}  

^

^C

^sin

^ ^y

^

^D

^cos

^ ^y

따라서

1 2

3 4

( ) ( ) sin sin sin cos

cos sin cos cos

X x Y y A x y A x y

A x y A x y

   

 

 

이제 가로방향 첫 번째 경계조건

w (0, , ) y t  0

을 적용하면,

3 4

(0) ( ) sin cos 0

X Y y  A  y  A  y 

변수

y

와 상관 없이 이 조건을 만족시키기 위한 조건은

A

₃

 A

₄



0이다. 따라서,

1 2

( ) ( ) sin sin sin cos

X x Y y  A  x  y  A  x  y

(8)

이제 가로방향 두 번째 경계조건

w (1, , ) y t  0

을 적용하면

1 2

(1) ( ) sin ( sin cos ) 0

X Y y   A  y  A  y 

위 조건이 항상 성립하려면 sin



0^이거나

A

₁sin

 y



A

₂cos

 y

0이 되어야 한다.

그러나 두 번째 조건이 성립하려면

A

₁

A

₂0 이 되므로 무의미한 해를 갖게 된다.

따라서 sin



0이 되어야 한다. 즉

( 1, 2, ...., )

n n

    

이제 세로방향 첫 번째 경계조건

w x ( , 0, ) t  0

을 적용하면

2 4

( ) (0) sin cos 0

X x Y



A  x



A  x



변수

y

와 상관 없이 이 조건을 만족시키기 위한 조건은

A

₂ 

A

₄0이다. 따라서, ( ) ( ) 1sin sin

X x Y y



A  x  y

--- (*)

이제 세로방향 두 번째 경계조건

w x

( ,1, )

t

0을 적용하면 (이미 앞에서

A

₃0이므로)

( ) (1) 1sin sin 0

X x Y



A  x 



무의미한 해를 갖지 않으려면

sin   0

이 되어야 한다. 따라서

( 1, 2, ...., )

m m

    

따라서 고유진동수는 다음과 같이 나타난다.

2 2

( , 1, 2, ...., )

mn

c m n m n

     

이제 (*)식에



와



를 대입하면, 고유모드함수를 구할 수 있다.

( , ) ( ) ( ) sin sin

nm n m

W x y



X x Y y



n x  m y 

☞ 위에서 구한 모드 함수의 중첩으로 다음과 같이 막의 제차 운동방정식 일반해를 구할 수 있다.



² ² ² ²



( , , ) sin sin sin cos

w x y t





^ ^

n x  m y A  n



m c t 



B n



m c t 

(9)

평판의 진동

평판의 진동 방정식은 다음과 같이 구해진다.

2 2 2

2 4 4

4 4

4 ( , , )

) 2 , , ( )

, , (

t t y x w y

x w y

t y x w x

t y x D

_E

w



 



 







 









이 방정식은 보의 방정식을 2 차원으로 확대한 형태를 가지고 있는 것을 알 수 있다.

여기서



는 평판의 단위면적당 질량을 나타내고,

) 1 (

12 ²

3





Eh



D

_E 으로 보 굽힘강성과 비교해보면 포아송 효과에 의해 강성이 증가하는 것을 알 수 있다.

평판의 경계조건은 4 가지 종류가 있을 수 있다. 즉,

1) 변위 경계조건

0 ) , , ( x y t  w

2) 경사각 경계조건



0



n

w

여기서

n

은 경계선에 수직방향인 좌표를 의미한다.

3) 모멘트 경계조건

2

0

2 



n

w

4) 전단력 경계조건

3

0

3 



n

w

예를 들어 가로길이

a

세로길이

b

인 사각 평판이 외팔 평판의 경계조건을 가진 경우 그 경계조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

0 ) , , ( 0

) , , ( 0

) , , 0 ( 0

) , , 0

(

₃

3 2

2 



 



 



 

a y t

x t w

y x a t w

x y t w

y w

0 ) , , ( 0

) , , ( 0

) , 0 , ( 0

) , 0 ,

(

₃

3 2

2 3

3 2

2 



 



 



 



x b t

y t w

b y x t w

y x t w

y x

w

(10)

이상에서 주어진 운동방정식과 경계조건들은 보의 운동방정식과 경계조건을 풀이하는 방법과 동일한 방법으로 풀이할 수 있다. 다만, 그 과정이 훨씬 더 복잡할 따름이다.

가로대 세로 비가 5: 1인 외팔 평판의 운동방정식과 경계조건을 이용하여 구한 5개의 무차원 고유진동수와 고유모드들을 아래 그림에 보여주고 있다. 이 평판은 좌측 단이 고정되어 있으며 평판상에 나타난 적색 선들은 변위가 0이 되는 절선을 (Nodal line) 의미한다. 여기서 평판의 무차원 고유진동수는 다음과 같이 정의된다.

E i

i

D

ha

⁴

 



 여기서

a

는 평판의 가로 길이,

h

는 두께

1) 1 차 굽힘 모드: 무차원 고유진동수 3.43

3) 1 차 비틀림 모드: 무차원 고유진동수 34.13

5) 굽힘/비틀림 연성 모드: 무차원 고유진동수 104.42 고정단

(11)

연속계를 위한 감쇠 모델 (Damping Models for Continuous Systems)

이산계에서 감쇠 모델을 정할 때도 그러했듯이 많은 경우에 감쇠는 점성 감쇠 중에서도 모드 감쇠 개념이 널리 쓰인다. 이는 물리적으로 정확한 모델이라서가 아니고 수학적 으로 다루기가 편하기 때문이다. 어차피 많은 경우 감쇠 현상을 정확히 파악하는 것이 어려운 실정에서 구태여 수학적으로 복잡한 모델을 사용하는 것보다도 단순한 모델을 사용하는 것이 더 나을 것이기 때문이다. 연속계에서도 이와 동일한 모드 감쇠 개념을 사용하는 경우가 많다. 예를 들어 연속계 진동 방정식 변수가

u ( x , t )  U ( x ) T ( t )

라면, 변수분리를 통해 시간의 함수

T (t )

는 다음 방정식을 만족한다.

2

0

2

2 

T



dt T

d 

위 방정식에 모드 감쇠 항을 삽입하여 다음의 방정식을 사용한다.

0

2

²

2

2  

T



dt dT dt

T

d  

이 방정식의 해는 다음과 같다.

( ) ^tsin( _d )

T t



Ae

^^

 t





여기서



_d  1

 

²

따라서 연속계 방정식의 최종 해는 다음과 같은 형태를 지니게 된다.

1

( , ) _n ⁿ ⁿ^tsin( _dn _n) _n( )

n

u x t

^

A e

^^{ }

 t  U x





 ^여기서

^

^dn ^ ¹^

^{ }

ⁿ² ⁿ

여기서

A

_n 과



_n 은 초기조건으로 결정해야 하는 상수들이고



_n과

U

_n(x)는

n

^번째 고유진동수와 모드 함수들을 나타낸다.

모드 감쇠의 정도는 보통 경험적으로 주어지는 경우가 많으며,



의 값은 0.01 부터 0.05 사이에서 주어지는 경우가 대부분이다. 정확한 값을 사용하기 위해서는 실험을 통해 고유진동수 부근에서의 전달함수 Sharpness 데이터를 가지고 모드 감쇠 양을 결정한다.

많은 경우에 실험 계측기기가 이 값을 쉽게 구해준다.

공기 마찰이나 구조 내부적인 감쇠를 대표할 수 있는 좀 더 물리적으로 정확한 모델을 유도하기 위해 다양한 수학적 모델들이 연구되고 있다. 그러나 이들의 정확성 검증은 최종적으로 실험적으로 이루어져야 하므로 상당히 어려운 문제이다.

(12)

연속계의 강제 가진 (Forced Response of Continuous Systems)

일정 장력을 갖는 줄에 외력이 주어지는 예제를 가지고 이 주제를 설명하도록 한다.

점성 감쇠력의 발생을 가정한 길이

L

인 줄의 운동 방정식은 다음과 같다.

) ,

2 (

2 2

2

t x x f

T y t y t

y





 



 







여기서 외력은

t

0일 때

x

0.25

L

의 위치에 단위 충격력으로 주어진다고 하자. 즉,

f ( x , t )   ( t )  ( x  0 . 25 L )

) ( ) ( ) ,

( x t Y x G t

y 

로 놓고 줄의 양단 고정의 경계조건을 적용하였을 때, 무감쇠 제차방 정식으로부터 구한 모드함수는 다음과 같다.

L x x n

Y

_n



sin ) ( 

이 모드함수를 이용하여 비제차 방정식의 해를 다음과 같이 나타낼 수 있다.



^



1

sin ) ( )

, (

n

L

x t n

C t

x

y 

--- (*)

이를 원래 비제차 방정식에 대입하면,

) ( ) 25 . 0 ( sin

) (

1

2

x L t

L x C n

L T n C C

n

n n

n

    



  

  



^







이 식의 양변에

L

x k 

sin 를 곱한 후 구간 (0,

L

)에서 적분하면, 싸인 함수의 직교성으로 인하여 다음 관계식을 얻을 수 있다.

) 4 ( 2 sin )

( ²

k t

C L L C ck

C

_k _k _k

 









_ _

 



모드 감쇠를 가정하면, 이 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

) 4 ( 2 sin

2 ²

k t

C L C

C

_k _k _k _k _k

 

 



 

 



충격 가진이 주어지는 이 방정식의 해를 구하는 법은 이미 이산계에서 다루었으므로 )

(t

C

_k 를 구할 수 있다. 해가 구해지면 그것을 (*) 식에 대입하여 원 방정식의 해를

(13)

Homework Problems 45, 51, 58, 70