한양대학교 2015학년도 신입학전형 수시
상 경 계 모 의 논 술 예 시 답 안 2번
1. 세 학생이 알고 있는 단어의 집합을 각각 라 하자.
∩∪∩ ∩ ∩ ∩∩ 이므로,
∩∩ ∩ ∩ ∩∪
≥ ≥
명백히 ∩∩ ≤ ∩ . 즉, ≤ ∩∩ ≤ .
그런데,
∪∪
∩ ∩ ∩ ∩∩
∩∩ 따라서 ≤≤ .
2. 세 학생이 단어를 공통으로 알고 있고, 이 개의 단어와 공통되는 것이 없고 또한 서로 공통되는 것이 없는 단어들을 각각 3000단어 씩 알고 있다면, 각 학생이 일 만 개의 단어를 알고 있고 임의의 두 학생이 단 어를 공유한다는 조건을 충족한다. 이때 이다.
세 학생이 단어를 공통으로 알고 있다고 하자. 이 단어와는 물론 서로 공통되는 것이 없는 개의 단어 로 이루어진 집합 를 생각하자. 세 학생이 각각 ∪ ∪∪에 속하는 단어들을 모두 알고 있으면, 각 학생이 일 만 개의 단어를 알고 있고 임의의 두 학생이 단어를 공유한다는 조건을 충족한다. 이 때
이다.
3. 가능하다. 개의 모든 학생들이 공통으로 아는 단어들이 있고, 이 개의 단어와는 물론 서로 공통되는 것 이 없는 각각 개의 단어로 이루어진 개의 집합을 생각하자. 명의 학생이 이 중 서로 다른 집합을 각각 선택해 그 집합에 속하는 단어도 알고 있다면, 각 학생이 일 만 개의 단어를 알고 있고 임의의 두 학생이 단어 를 공유한다는 조건을 충족한다. 이때 항상 이다.
4. 이므로
×
이다.
≤≤ 이므로 ≤≤ 이고, ≤≤ 일 확률 는
≥ 일 확률이므로 이다. 그러므로 를 연속확률 변수로 생각하고, 의 확률밀도함수를 라 두면
에서 .따라서 의 평균은
.
