3.소수의 분류 :

1.유리수 의뜻 :

2.유리수 의 소수 표현 :

3.소수의 분류 :

분모는 0이 아닌 정수, 분자는 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 유리수 라 한다. 즉,   가 정수이고,  ≠ 일 때, 

 인 분수로 나타낼

수 있는 수가 유리수이다.

조건제시법으로 나타내면 유리수 =



   는정수 ≠



<참고> 임의의 정수 는 

의 분수꼴로 나타낼 수 있으므로 정수는 유리수

의 특별한 경우이다.

유리수 

 는정수  ≠ 를 소수로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수

있다.

(1) 정수

(2) 유한소수 : 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수 (3) 무한소수 : 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수

소수를 분류하면 유한소수와 무한소수로 나누어지고, 무한소수는 다시 소 수점 아래의 어떤 일정한 자리에서부터 같은 숫자가 무한히 반복되는 순 환소수와 소수점 아래에서 같은 숫자가 반복되지 않고 무한히 많은 무한소 수로 분류된다.

<주의>이 때 순환하지 않는 무한소수는 분수로 나타낼 수 없고 유리수가 아니다. 따라서 유리수

 ≠ 를 소수로 나타내면 반드시 유한소수 아니

면 순환하는 무한소수이다.

1. 유리수

§ 1. 유리수의 소수 표현

개념정리

예제1) 다음 분수를 소수로 나타내어 유한소수인지 무한소수인지를 말하여라.

(1) _



 (2) _



 (3) _



 (4) _





모범답안) (분자) ÷ (분모) 에 의해 소수로 나타내어 본다.

(1) 

  ÷    (유한소수) (2) 

  ÷    (유한소수)

(3) 

  ÷   … (무한소수) (4) 

   ÷   … (무한소수) 답 (1) 유한소수 (2) 유한소수 (3) 무한소수 (4) 무한소수

예제2) 다음 소수를 분모가 10의 거듭제곱꼴인 분수로 나타내어라.

(1)1. 7 (2) 0.19 (3) 0.264

모범답안) (1)   

 (2)   

  ^

 (3)   

  ^



답 (1) 

 (2) ^

 (3) ^



<참고> <예제2> 의 소수들은 모두 유한소수이고 유한소수를 분수로 나타내면 분모가 모두 10의 거듭제곱꼴인 분수로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

예제3) 180을 소인수분해하고 180의 소인수의 집합을 구하여라.

모범답안) 소인수분해하면   ^× ^× 

180의 소인수의 집합 {2, 3, 5}

답 {2, 3, 5}

유제1) _{  }^_{× }^_{× } 이다. _ 의 소인수의 집합을 구하여라.

모범답안)

답 {2, 5, 7}

예제4) 다음 소수를 기약분수로 나타낼 때, 분모의 소인수의 집합을 구하여라.

(1) 0.2 (2) 0.04 (3) 0.025 (4) 0.125

모범답안) (1)   

  

 (2)   

  

  ^



(3)   

  

  ^× 

 (4)   

  

 ^



답 (1) {5} (2) {5} (3) {2, 5} (4) {2}

예제5) _



 과 _



 의 분모의 소인수의 집합을 각각 구하고, 소수로 나타낼 때 유한소수인지, 무한소수인지를 말하여라.

모범답안)   ^×  또 

  …   ^ 또 

  …

답 

 의 분모의 소인수의 집합 : {2, 3}, 무한소수



의 분모의 소인수의 집합 : {3}, 무한소수

예제6) 다음 각 분수들을 기약분수로 고칠 때 분모의 소인수의 집합을 구하고, 소수로 고치면 어떤 소수가 되는지 말하여라.

(1) _



 (2) _



 (3) _



 (4) _





모범답안) (1) 

  

  ^× 

   (2) 

 

  

(3) 

 

 ^

   (4) 

  ^× 

  …

답 (1) {2, 5}, 유한소수 (2) {5}, 유한소수 (3) {2}, 유한소수 (4) {2, 3}, 무한소수

핵심정리 (1) 유한소수는 분모가 10의 거듭제곱꼴인 분수로 나타낼 수 있다.

그리고    ×    ^× ^ 이므로 10의 거듭제곱은 모두 소인수 2와 5만의 거듭제곱으로 나타낼 수 있다.

<예>   

  

  × ^



(2) 유한소수가 분수로 표시될 때의 성질

유한소수를 분수로 나타낸 다음 기약분수로 나타내면, 분모에는 2 또는 5 이외의 소인수는 없다.

예제7) 다음 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것은?

㉠ _

^× 

 ㉡ _

^× 

 ㉢

^× ^× 

 ㉣ _





㉤ _{ }



 ㉥ _



 ㉦ _





모범답안) 우선 기약분수인가를 확인하고, 분모의 소인수를 알아본다.

㉠ ^× 

 ⇐ 분모의 소인수가 2와 5뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.

㉡ ^× 

 ⇐ 2와 5이외에 소인수 7이 있으므로 유한소수로 나타낼 수 없다.

㉢

^× ^× 

 

^× ^× 

 × ^

 ^× 

 ⇐ 분모의 소인수가 2와 5뿐이므로 유한소수로

나타낼 수 있다.

㉣ 

  ^× 

 ⇐ 유한소수로 나타낼 수 있다.

㉤  

  

 ^

 ⇐ 분모의 소인수가 2뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.

㉥ 

 

  

^× 

 ⇐ 2와 5이외에 소인수 3이 있으므로 유한소수로 나타낼 수 없

다.

㉦ 

  

  ^

 ⇐ 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.

답 ㉠, ㉢, ㉣, ㉤, ㉦