Warranty analysis for <i>k</i>₀-renewing replacement warranty^†

2018, 29

6)

1585–1594

k

-재생교체보증에 대한 보증분석 ^†

저 ᆼ기문

¹

1경성대학교 수학응용통계학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 9ᄋ ᅯ ᆯ 13ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 10ᄋ ᅯ ᆯ 19ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 10ᄋ ᅯ ᆯ 22ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄇ

ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄀ ᅡ ᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷ (repairable system)ᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (k

-renewing replacement warranty)ᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅦ, k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄀ ᅵᄀ ᅡ ᆫ ᄃ ᅩ ᆼ ᄋ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅦ ᄇ ᅡ ᆯᄉ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᄂ

ᅳ ᆫ ᄇ ᅥ ᆫᄁ ᅡᄌ ᅵᄋ ᅴ ᄀ ᅩᄌ ᅡ ᆼᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅢᄉ ᅥ ᄀ ᅡ ᆨᄀ ᅡ ᆨ ᄉ ᅢᄅ ᅩᄋ ᅮ ᆫ ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄅ ᅳ ᆯ ᄒ ᅢᄌ ᅮᄀ ᅩ ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄀ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅩ ᄃ ᅡᄉ ᅵ ᄉ ᅵᄌ ᅡ ᆨ ᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫ ᄆ

ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵᄅ ᅥᄒ ᅡ ᆫ k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄋ ᅵ ᄌ ᅮᄋ ᅥᄌ ᅵᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅢ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄌ ᅡ ᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥᄋ ᅴ ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨ (warranty analysis)ᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄅ ᅩ ᆫᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅱᄒ ᅢᄉ ᅥ ᄉ ᅢ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄌ ᅡ ᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥᄋ ᅴ ᄎ ᅩ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵ (expected to- tal warranty length)ᄋ ᅪ ᄎ ᅩ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (expected total expected warranty cost)ᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅲᄃ ᅩᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄁ ᅳ

ᇀ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅮᄎ ᅵᄌ ᅥ ᆨ ᄋ ᅨᄅ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅢ ᆨᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅥ ᆯᄆ ᅧ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵ, ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ, ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ, ᄎ ᅬᄉ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ, k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ.

1. 서론 ᄇ

ᅩ증 (warranty)은계약된보증기간 동안에 발생되는시스템의 고장에 대하여 생산자 또는판매자가 ᄉ

ᅮ리 (repair) 또는교체 (replacement) 등의 적절한 조처를취해주는것을의미한다. 이러한 보증은보 ᄌ

ᅳ

ᆼ기간의 재생여부에 따라 재생보증 (renewing warranty)과 비재생보증 (non-renewing warranty)으 ᄅ

ᅩ 구분되고, 사용자의 비용부담 여부에 따라서 무료보증 (free warranty)와 유료보증 (pro-rata war- ranty)으로 구분된다. 또한, 시스템의 고장에 대하여 어떠한 종류의 서비스가 이루어지는가에 따라서 ᄀ

ᅭ체보증 (replacement warranty)과 최소수리보증 (minimal repair warranty)으로 구분된다. 이처럼 ᄇ

ᅩ증의 형태는다양하게 구분되며, 이러한 다양한 종류의 보증에 대하여 신뢰성 전문가들의관심은계속 ᄒ

ᅢ서 증가되고 있다. 한편, 보증은사용자가 최초에 시스템을구입할 당시에 기본적으로 재생되는기본 ᄇ

ᅩ증 (basic warranty)과 일정비용을지불하고 보증을구입하게 되는추가보증 (extended warranty)으 ᄅ

ᅩ도 구분된다. 최근에는 추가보증에 대한 엔지니어와 신뢰성 전문가들의관심이 매우 높아지고 있으 ᄆ

ᅧ, 이 분야에 대한 연구도활발히 진행되고 있다.

ᄋ

ᅱ에서 언급한 다양한 형태의 보증 중에서 가장 기본적인 형태의 보증은재생교체보증 (renewing re- placement warranty)이라고 할 수 있는데, 재생교체보증은 주어진 보증기간 동안 시스템에 고장이 발 새

ᆼ되면 새로운 시스템으로 교체를 해 주고 보증기간 또한 다시 새롭게 시작되는보증을 의미한다. 이 ᄅ

ᅥ한 재생교체보증을포함한 다양한 형태의 보증정책을활용한 보전정책 (maintenance policy)에관한 ᄋ

ᅧᆫ구는 신뢰성 연구자들에 의해서 활발히 진행되었다(Sahin과 Polatoglu, 1996; Jung과 Park, 2003;

Chien, 2008a; Chein, 2008b; Jung 등, 2010; Jung, 2014; Jung, 2016). 특히, Sahin과 Polatoglu

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2017ᄒ ᅡ ᆨᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅮ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

(48434) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄉ ᅮᄋ ᅧ ᆼᄅ ᅩ 309, ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄒ ᅡ ᆨᄋ ᅳ ᆼᄋ ᅭ ᆼᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

(1996)는 사용자 측면에서 재생교체보증 하에서의 최적의 교체정책을 제시하였다. 그리고 Jung 등 (2010)은 재생교체보증 하에서의 시스템의 순환길이 (life cycle)를 새롭게 정의하고 이에 근거하여 사 ᄋ

ᅭ

ᆼ자 측면의 기대비용 (expected cost)을유도하였다. 그리고 최소수리보증이 주어진 시스템에관한 보 ᄌ

ᅥᆫ정책과관련된 연구로는 Yeh 등 (2007)과 Jung (2009)이 있는데, Yeh 등 (2007)은최소수리보증하 ᄋ

ᅦ서의 교체정책을 제안하였으며, Jung (2009)은 최소수리보증 하에서 사용자 측면에서의 예방보전모 혀

ᆼ (preventive maintenance model)을고려하였다.

ᄌ

ᅢ생교체보증은주어진 보증기간 동안 시스템에 고장이 발생되면 새로운시스템으로 교체가 되고, 보 ᄌ

ᅳ

ᆼ기간도 새롭게 다시 시작되는보증정책이기 때문에 보증기간에서 무한히 고장이 발생되면 계속해서 ᄇ

ᅩ증을 새롭게 제공해주는 정책이다. 하지만 보증기간을제공하는 생산자 또는 판매자 측면에서는 보 ᄌ

ᅳ

ᆼ기간 동안 약속된 횟수만큼재생교체보증이 제공되는보증정책을생각할 수 있을것이다. 즉,보증기 ᄀ

ᅡᆫ 동안에는 재생교체보증의 최대횟수가 주어지고, 주어진 재생보증의횟수가 종료된 이후에는최소수 ᄅ

ᅵ보증이 제공되는새로운형태의 보증인 유한 재생교체보증을고려할 수 있다. 따라서 본 논문에서는 ᄇ

ᅩ증기간동안 제공되는재생교체보증의횟수 k0가 주어지는유한 재생교체보증인 k0-재생교체보증 (k0- renewing replacement warranty)을제안하고, 제안된 k0-재생교체보증에 대하여 생산자 또는 판매자 ᄀ

ᅡ 부담해야 하는 총기대보증길이 (expected total warranty length)와 총기대보증비용(expected total warranty cost)을이론적으로 유도하고자 한다. 또한, 제안되는 k0-재생교체보증과 기존의 보증정책인 ᄌ

ᅢ생교체보증과 최소수리보증사이의관계를각각 규명하여 k⁰-재생교체보증이 재생교체보증과 최소수 ᄅ

ᅵ보증을포함하는 일반적인 형태로 표현되는보증임을보이고자 한다.

보

ᆫ 논문의 구성은다음과 같다. 2절에서는 본 논문에서 새롭게 제안되는 유한 재생교체보증인 k0-재 새

ᆼ교체보증에 대하여 자세히 소개하고자 한다. 특히 판매자가 사용자에게 제공해야 하는 총기대보증기 ᄀ

ᅡᆫ과 판매자에게 발생되는 총기대보증비용을이론적으로 유도하고자 한다. 3절에서는수치적 예를 통해 ᄌ

ᅦ안된k0-재생교체보증에 대한 특성을살펴보고자 한다.

2. k

₀

2.1. 용어와 기호

ᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ ᄌ

ᅢᄉ ᅢ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (RW) Renewing warranty ᄌ

ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (RRW) Renewing replacement warranty ᄎ

ᅬᄉ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (MRW) Minimal repair warranty

k

- ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (k

-RRW) k

-Renewing replacement warranty ᄌ

ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦ-ᄎ ᅬᄉ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (RRMRW) Renewing replacement-minimal repair warranty ᄀ

ᅵᄒ ᅩ

T ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅴ ᄀ ᅩᄌ ᅡ ᆼᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫ (failure time)

f (t) T ᄋ ᅴ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄆ ᅵ ᆯᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ (probability density function) F (t) T ᄋ ᅴ ᄉ ᅮᄆ ᅧ ᆼᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ (life distribution function) h(t) T ᄋ ᅴ ᄀ ᅩᄌ ᅡ ᆼᄅ ᅲ ᆯ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ (failure rate function)

w ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄀ ᅵᄀ ᅡ ᆫ (warranty period)

k

ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄒ ᅬ ᆺ ᄉ ᅮ (number of RRW) c

ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅴ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (replacement cost)

c

ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅬᄉ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (minimal repair cost)

T EW L

(w) ᄎ ᅩ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵ (expected total warranty length)

T EW C

(w) ᄎ ᅩ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (expected total expected warranty cost)

2.2. k0-재생교체보증 ᄋ

ᅵ 절에서는 본 논문에서 제안되는 유한 재생교체보증인 k0-재생교체보증 (k0-RRW)에 대하여 설명 ᄒ

ᅡ고자 한다. 일반적으로 보증은재생교체보증과 비재생교체보증으로 구분될 수 있는데, 재생교체보증 ᄋ

ᅳ

ᆫ주어진 보증기간 동안에 시스템에게 고장이 발생되면 고장이 난 시스템을새로운시스템으로 교체를 ᄒ

ᅢ주고 보증기간 또한 새롭게 시작되는보증모형이다. 따라서 재생교체보증은 보증기간 동안에 시스템 ᄋ

ᅴ 고장이 계속해서 발생되면 시스템을새로운것으로 교체를해주고 보증기간 또한 계속해서 새롭게 제 ᄀ

ᅩ

ᆼ해 주는무한 재생교체보증이라고 할 수 있다. 그러나 보증기간을제공하는생산자 또는판매자 측면 ᄋ

ᅦ서는무한보증이 아닌 유한보증을고려할 수 있을것이다. 따라서 본 논문에서는다음과 같은 특징을 ᄀ

ᅡ

ᆽ는 유한 재생교체보증인 k0-재생교체보증을제안하고, 이러한 보증모형에 대하여 판매자가 제공하게 ᄃ

ᅬ는전체 보증길이와 이로 인해서 발생하게 되는전체 보증비용에 대하여 분석하고자 한다.

1) 판매자는사용자에게 보증기간 w와 재생교체보증횟수 k0를제공한다.

2) 보증기간 w 동안 시스템에 발생한 k0번까지의 고장에 대해서는각각 새로운시스템으로 교체를 ᄒ

ᅢ주고 보증기간 w도 다시 시작된다.

3) k0번의 고장 이후에는최소수리가 진행되고 보증기간은잔여기간만 유효하게된다.

4) k0번의 고장 이후에 제공되는최소수리 비용은판매자가 모두 부담한다.

5) 보증기간에서 이루어지는최소수리 시간은고려하지 않는다.

ᄋ

ᅱ에서 설명한 k0-재생교체보증 (k0-RRW)에서 보증기간동안 제공되는재생보증의횟수 k0가 ∞이 ᄆ

ᅧᆫ 기존의 보증정책인 재생교체보증 (RRW)가 되고 k0가 0이면 기존의 보증정책인 최소수리보증 (MRW)이된다는사실을알 수 있다.

2.3. 총기대보증길이 ᄇ

ᅩ증분석은생산자 측면과 사용자 측면에서 이루어 질 수 있는데, 본연구에서는보증을제공하는생 ᄉ

ᅡᆫ자 측면에서 보증분석을수행하고자 한다. 보증분석은생산자가 사용자에게 제공해야 하는전체 보증 ᄋ

ᅴ 기간과 전체 보증기간 동안에 발생하게 되는비용이 대상이 된다. 우선, 사용자에게 제공되는 전체 ᄇ

ᅩ증기간의 기댓값인 총기대보증길이를이론적으로 구하고자 한다. 2.1절에서 설명한 k0-재생교체보증 ᄋ

ᅳ

ᆫ재생보증의횟수가 주어지는유한재생보증이기 때문에 보증기간에서 발생되는고장의횟수와 소비자 (사용자)에게 계약 상 주어지는 재생보증의 횟수를함께 고려하여야 한다. 이를위해서 K를보증기간 ᄃ

ᅩ

ᆼ안 제공되는 재생보증의 횟수라고 가정하자. 이때, 재생보증기간 w 동안에 번의 재생보증이 이루어 지

ᆯ확률은다음과 같다.

P (K = k) = (1 − F (w))(F (w))^k, k = 0, 1, 2, · · · , k0. (2.1) ᄄ

ᅡ라서 보증기간동안 제공되는재생보증의횟수 k0가 주어진 경우에 대하여 총기대보증길이 T EW Lk₀(w)는 식 (2.1)로부터 다음과 같이됨을알 수 있다.

T EW Lk₀(w) =

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))^j

 jI(w)

F (w)



+ w. (2.2)

ᄋ

ᅱ 식에서 F (t) = 1 − F (t)이고 I(s) =Rs

0tf (t)dt이다. 결국, 식 (2.2)에 주어져 있는 총기대보증길 ᄋ

ᅵ T EW Lk0(w)는사용자에게 제공되는전체 보증기간의 기댓값이라고 할 수 있다. 따라서 총기대보 ᄌ

ᅳᆼ길이 T EW L^k0(w)는시스템의 구입 비용, 보증비용그리고 수익 등과 직접적인관련이 있기 때문에 ᄑ

ᅡᆫ매자에게는매우 민감한 정보이므로 이에 대한 심층적인 분석이 필요하다고 할 수 있다.

ᄆ

ᅡᆫ약, k0-재생교체보증에서 보증기간동안 제공되는재생보증의횟수 k0가 ∞이면 기존의 보증정책인 ᄌ

ᅢ생보증 (RW)이 되고, 이때 식 (2.2)에 주어져 있는 총기대보증길이 T EW Lk0(w)는다음과 같이 된 ᄃ

ᅡ.

T EW Lk₀(w) = I(w)

F (w)+ w. (2.3) ᄀ

ᅳ리고 k0-재생교체보증에서 보증기간동안 제공되는재생보증의횟수 k0가 0이면 기존의 보증정책인 ᄎ

ᅬ소수리보증 (MRW)이 되고, 이때 식 (2.2)에 주어져 있는 총기대보증길이 T EW Lk₀(w)는다음과 같 ᄋ

ᅵ된다.

T EW Lk0(w) = w. (2.4) ᄋ

ᅱ의 식 (2.3)과 식 (2.4)로부터 본 논문에서 제시된 k0-재생교체보증 (k0-RRW)은기존의 보증정책 ᄋ

ᅵᆫ 재생교체보증 (RRW)과 최소수리보증 (MRW)을 포함하는 일반적인 형태를 취하는 보증정책임을 ᄋ

ᅡ

ᆯ 수 있다.

2.4. 총기대보증비용 ᄋ

ᅵ제, 전체 보증기간 동안에 발생하게 되는기대비용인 총기대보증비용을이론적으로 구하고자 한다.

ᄎ ᅩ

ᆼ기대보증비용은 전체 보증기간 동안에 생산자가 부담해야 할 총비용이라고 할 수 있으므로 이에 대 ᄒ

ᅡᆫ 분석은매우 중요하다고 할 수 있다. 일반적으로 사용자의 비용부담 여부에 따라 무료재생보증 (free renewing warranty)과 비례재생보증 (pro-rata renewing warranty)으로 구분할 수 있다. 무료재생보 ᄌ

ᅳ

ᆼ에서는보증기간 동안에 발생되는 교체 또는수리비용을모두 생산자가 부담하게 되고 비례재생보증 ᄋ

ᅦ서는보증기간 동안에 발생되는시스템의 고장 시간에 비례한 일정비용을사용자가 부담하게 되는보 ᄌ

ᅳ

ᆼ이다. 따라서 본 논문에서 제시되는 k0-재생교체보증도 무료보증인 경우와 비례보증인 경우로 구분할 ᄉ

ᅮ 있다. 먼저, 무료 k0-재생교체보증인 경우에 발생하게될 총기대보증비용 T EW Ck0(w)은보증기간 w동안 제공되는재생보증의횟수 k⁰가 주어진 경우에 대하여 다음과 같이된다.

T EW Ck₀(w) =

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))^j(jcr) + cm

Zw 0

h(t)dt. (2.5)

ᄒ

ᅡᆫ편, 비례 k0-재생교체보증인 경우에는보증기간 동안에 발생되는 시스템의 고장 시간에 비례한 일 저

ᆼ비용을사용자가 부담하게 되므로 보증기간 w 동안 제공되는재생보증의횟수 k⁰가 주어진 경우에 대 ᄒ

ᅡ여 총기대보증비용 T EW Ck₀(w)를구하면 다음과 같이됨을알 수 있다.

T EW Ck₀(τ ) =

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))^jj cr−cr

wE(Tj|Tj< w) + cm

Zw 0

h(t)dt

=

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))^jj

 cr−cr

w I(w) F (w)

 + cm

Z w 0

h(t)dt. (2.6)

겨

ᆯ국,위의 식 (2.5)와 식 (2.6)으로부터 k0-재생교체보증에 대한 총기대보증비용 T EW Ck₀(w)은다 ᄋ

ᅳ

ᆷ과 같이된다.

T EW Ck₀(w) =





 Pk₀

j=0F (w)(F (w))^j(jcr) + cm

Rw

0 h(t)dt, f ree ko− RRW Pk₀

j=0F (w)(F (w))^jj

cr−^c_w^r_{F (w)}^I(w) + cm

Rw

0 h(t)dt, pro − rata ko− RRW.

(2.7) 시

ᆨ (2.7)에 주어져 있는 총기대보증비용 T EW Ck₀(w)는 k0-재생교체보증이 주어지는경우에 판매자 ᄀ

ᅡ 부담해야 할 전체 보증비용의 기댓값이라고 할 수 있다. 만약, k0-재생교체보증에서 보증기간동안 제 ᄀ

ᅩ

ᆼ되는재생보증의횟수 k0가 ∞이면 기존의 보증정책인 재생보증 (RW)이 되고, 이때 식 (2.7)에 주어 ᄌ

ᅧ 있는 총기대보증비용 T EW Ck0(w)는다음과 같이된다.

T EW Ck₀(w) =





 crF (w)

F (w), f ree ko− RRW cr

F (w)

F (w)−_w^{1 I(w)}

F (w)



, pro − rata ko− RRW. (2.8) ᄀ

ᅳ리고 k⁰-재생교체보증에서 보증기간동안 제공되는 재생보증의 횟수 k⁰가 0이면 기존의 보증정책 ᄋ

ᅵᆫ 최소수리보증 (MRW)이 되고, 이때 식 (2.7)에 주어져 있는 총기대보증비용 T EW Ck₀(w)는 무료 k0-재생교체보증과 유료 k0-재생교체보증인 경우 모두 동일하게 다음과 같이된다.

T EW Ck₀(w) = cm

Z w 0

h(t)dt. (2.9)

ᄋ

ᅱ의 식 (2.7), 식 (2.8) 그리고 식 (2.9)로부터 본 논문에서 제시된k0-재생교체보증 (k0-RRW)은기 ᄃ

ᅢ보증 측면에서도 기존의 보증정책인 재생교체보증 (RRW)과 최소수리보증 (MRW)을포함하는 일반 ᄌ

ᅥᆨ인 형태를취하는보증정책임을알 수 있다.

3. 수치적 예 보

ᆫ 논문에서 제안된 k0-재생교체보증 (k0-RRW)에 대한 보증기간과 보증비용을 설명하기 위해서 ᄉ

ᅵ스템의 고장시간 T 가 척도모수 (scale parameter)가 1이고 형태모수 (shape parameter)가 β인 3인 와이블분포를 따른다고 가정하자. 즉, 가정된 시스템의 고장시간 T 의 확률밀도함수는 f (t) = βt^β−1exp(−t^β)이고, 고장률함수는 h(t) = βt^β−1이된다. 이때, 교체비용 cr, 수리비용 cm,보증기간 w 그리고 재생교체보증횟수 k0가 주어진 경우에 식 (2.3)의 총기대보증길이와 식 (2.4)의 총기대보증 ᄇ

ᅵ용을구하였다.

Table 3.1에는 시스템의 교체비용이 30 (단위비용)이고 최소수리을 위한 비용이 3 (단위비용) 즉, cr = 30이고 cm = 3인 경우에 생산자 또는 판매자가 사용자에게 시스템의 판매 당시에 k0-재생교

ᄎ

ᅦ보증을 제공하는 경우에 발생되는 전체 기대보증길이와 기대보증비용이 각각 구해져 있다. 더불어 ᄇ

ᅩ증기간동안 제공되는 재생보증의 횟수 k0와 보증길이 w의 변화에 따라서 전체 기대보증길이와 기 ᄃ

ᅢ보증비용을 구하여 어떠한 변화를 보이는지를 살펴볼 수 있도록 하였다. 먼저, k⁰ = 3 (회)이고 w = 0.5 (단위기간)인 경우에 총기대보증길이 T EW Lk₀(w) = 0.5491903 (단위기간)임을 알 수 있 느

ᆫ데, 이는보증기간동안 3번의 고장까지 재생보증이 제공되는경우에 시스템의 생산자/판매자가 부담 ᄒ

ᅡ게 될 기대보증기간이 약 0.55 (단위기간)이라는 것이다. 또한, 총기대보증비용은 무료보증인 경우 T EW Ck₀(w) = 4.34581600 (단위비용),유료보증인 경우 T EW C^k0(w) = 1.39439900 (단위비용)이 되

ᆫ다는사실을알 수 있는데, 이러한 값은보증기간동안 3번의 고장까지 재생보증이 제공되는경우에 시 ᄉ

ᅳ템의 생산자/판매자는부담하게 될기대비용이 무료보증인 경우는약 4.3458 (단위비용)이고 유료보 ᄌ

ᅳᆼ인 경우에는 1.3944 (단위비용)이라는것이다. 더불어 Table 3.1로부터 무료보증인 경우가 유료보증 ᄋ

ᅵᆫ 경우에 비해서 항상큰비용이 발생한다는사실도 알 수 있다. 한편, Table 3.1과 Figure 3.1로 부터 ᄌ

ᅦ공되어 지는보증기간의 길이가 길어질수록판매자가 부담해야 되는기대보증비용이 증가한다는사실 ᄋ

ᅳᆯ알 수 있다. 또한, Table 3.1과 Figure 3.2로 부터 제공되어 지는무료보증횟수 k0가 많아질수록판 ᄆ

ᅢ자가 부담해야 되는 기대보증비용이 증가한다는사실을알 수 있다. 따라서 시스템에 제공되는보증 ᄀ

ᅵ간의 길이와 재생교체횟수를결정하는 문제에 있어서 보증비용에 대한 심층적인 분석이 필요하다고 ᄒ

ᅡᆯ 수 있다.

Figure 3.1 Total expected warranty cost for various lengths of warranty period when k

= 3

Figure 3.2 Total expected warranty cost for various values of k

when w = 0.9

4. 결론 보

ᆫ 논문에서는 기존의 재생교체보증 (RRW)과 최소수리보증 (MRW)을 포함하는 일반적인 형태의 ᄇ

ᅩ증정책인 k0-재생교체보증 (k0-RRW)를 고려하였다. k0-재생교체보증은 보증기간 동안에는 주어지 ᄂ

ᅳᆫ재생교체보증의 최대횟수 k⁰가 주어지고, 주어진 재생보증의 횟수가 종료된이후에는최소수리보증 ᄋ

ᅵ 제공되는 새로운형태의 보증인 유한 재생교체보증이라고 할 수 있다. 본 논문에서는이러한 k0-재 새

ᆼ교체보증에 대하여 판매자가 부담해야 하는전체 보증길이와 전체 보증비용을이론적으로 유도하였으 ᄆ

ᅧ, 이를 통해서 기존의 보증정책인 재생교체보증과 최소수리보증을 포함하는 일반적인 형태의 보증정 채

ᆨ임을보였다. 이론적으로 유도된 총기대보증길이와 총기대보증비용은시스템의 구입 비용, 보증비용 ᄀ

ᅳ리고 수익 등과 직접적인관련이 있기 때문에 이에 대한 심층적인 분석이 필요하다고 할 수 있다. 더 부

ᆯ어 고장시간이 와이블 분포를따르는경우에 수치적 예를 통하여 보증기간동안 제공되는재생보증의 회

ᆺ수 k⁰와 보증길이 w의 변화에 따라서 전체 기대보증길이와 기대보증비용을구하였고, 이로부터 어떠 ᄒ

ᅡᆫ 변화를보이는지를살펴보았다. 이러한 결과들은 산업현장에서 보증기간, 보증유형, 사용자의 보증 ᄇ

ᅵ용부담액 그리고 시스템 구입비용 등을결정하는데활용할 수 있을것이다.

ᄒ

ᅡᆫ편, 본 논문에서 제안된k0-재생교체보증은시스템의 교체정책 및 예방보전정책에 적용되어 판매자 ᄄ

ᅩ는사용자 측면의 최적의 보전정책에관한 연구로확장할 수 있을것으로 기대되며, 이러한 연구를현 ᄌ

ᅢ 수행 중에 있다.

Table 3.1 Total expected warranty length and total expected warranty cost

Free Pro-rata

k

w T EW L

(w) T EW C

(w) T EW C

(w) 0 0.1 0.1000000 0.00300000 0.00300000

0.3 0.3000000 0.08100000 0.08100000 0.5 0.5000000 0.37500000 0.37500000 0.7 0.7000000 1.02900000 1.02900000 0.9 0.9000000 2.18700000 2.18700000 1 0.1 0.1000749 0.03295503 0.01048951 0.3 0.3058228 0.85887410 0.27659480 0.5 0.5385375 3.48588400 1.17363400 0.7 0.8055012 7.21055500 2.68907400 0.9 1.0596250 9.67769800 4.35687500 2 0.1 0.1000750 0.03301492 0.01050448 0.3 0.3061330 0.90031720 0.28701560 0.5 0.5475940 4.21696000 1.36131900 0.7 0.8667682 10.80033000 3.65311900 0.9 1.2248710 17.43220000 6.60316900 3 0.1 0.1000750 0.03301500 0.01050451 0.3 0.3061454 0.90197320 0.28743200 0.5 0.5491903 4.34581600 1.39439900 0.7 0.8934526 12.36383000 4.07300100 0.9 1.3531700 23.45290000 8.34722100 4 0.1 0.1000750 0.03301501 0.01050451 0.3 0.3061459 0.90203210 0.28744670 0.5 0.5494404 4.36600400 1.39958100 0.7 0.9037835 12.96914000 4.23555800 0.9 1.4417160 27.60800000 9.55087000 5 0.1 0.1000750 0.03301501 0.01050451 0.3 0.3061459 0.90203400 0.28744720 0.5 0.5494771 4.36896900 1.40034300 0.7 0.9075331 13.18883000 4.29455900 0.9 1.4990050 30.29649000 10.32964000

∞ 0.1 0.1749975 0.03301501 0.01050451 0.3 0.5245656 0.90203410 0.28744730 0.5 0.8716386 4.36945400 1.40046700 0.7 1.2120130 13.30406000 4.32550400 0.9 1.5392920 34.37720000 11.51173000

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2018, 29

6)

1585–1594

Warranty analysis for k

-renewing replacement warranty ^†

Ki Mun Jung

¹

1Division of Mathematics and Applied Statistics, Kyungsung University

Received 13 September 2018, revised 19 October 2018, accepted 22 October 2018

Abstract

In this paper, we suggest the k0-renewing replacement warranty (k0-RRW) of a repairable system. Under k0-RRW, the failure of the system up to k0 times is replaced by a new system by the manufacturer and the warranty period will be renewed again.

This paper considers the warranty analysis from the manufacturer’s point of view for k0-RRW of a repairable system. To do so, we obtain the expected total warranty cost and the expected total warranty length which are very important information for the manufacturer. The numerical examples are presented for illustrative purpose.

Keywords: k0-renewing replacement warranty, minimal repair warranty, renewing re- placement warranty, warranty cost, warranty length.

†

This research was supported by Kyungsung University Research Grants in 2017.

1

Professor, Division of Mathematics and Applied Statistics, Kyungsung University, Busan 48434, Korea.

E-mail: [email protected]