Preventive maintenance model after extended two-phase warranty ^†

2020, 31

6)

1077–1087

연장된 이단계 보증 이후의 예방보전모형

^†

저 ᆼ기문

¹

1경성대학교 수학응용통계학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 8ᄋ ᅯ ᆯ 10ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 9ᄋ ᅯ ᆯ 15ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 9ᄋ ᅯ ᆯ 27ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄎ

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ᅩ

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ᅥ ᆫ (preventive maintenance)ᄋ ᅵᄅ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄌ ᅡᄀ ᅡ ᄋ ᅯ ᆫ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄉ ᅮᄌ ᅮ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄋ ᅲᄌ ᅵᄉ ᅵᄏ ᅵᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄀ ᅩᄌ ᅡ ᆼᄋ ᅵ ᄇ ᅡ ᆯ ᄉ ᅢ

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1. 서론 ᄉ

ᅮ리가 가능한 시스템의 사용자는 시스템을구입할 당시에 일반적으로 판매자로부터 보증기간 (war- ranty period)을제공받는데, 이러한 보증 (warranty)은시스템을구입할 당시에 기본적으로 제공되는 ᄀ

ᅵ본보증 (basic warranty)과 사용자가 판매자에게 일정 비용을 지불하고 제공받는 연장된 보증 (ex- tended warranty)으로 구분할 수 있다. 더불어 보증은보증기간 동안에 발생되는시스템의 고장에 대 ᄒ

ᅡ여 판매자가 사용자에게 어떠한 형태의 보증을제공하는지 따라 무료보증 (free warranty),비례 보증 (pro-rata warranty),교체보증 (replacement warranty),최소수리보증(minimal repair warranty),재 새

ᆼ보증(renewing warranty)그리고 비재생보증 (non-renewing warranty) 등으로 구분된다.

ᄋ

ᅵ러한 보증과 관련된연구는 신뢰성 이론 및 응용연구자들에 의해서 현재까지 매우활발하게 진행 ᄃ

ᅬ고 있다. Sahin과 Polatoglu (1996), Jung과 Park (2003), Chien (2008a), Chien (2008b), Yeh 등 (2007), Jung (2012), Jung 등 (2012) 등은교체보증과 수리보증과관련된 연구를 진행하였으며, 이들 주

ᆼ에서 Jung 등 (2012)은비재생무료교체-수리보증 (NFRMW)을 제시하였는데, 이는교체보증과 수 ᄅ

ᅵ보증을포함하는 일반적인 형태의 보증모형이라고 할 수 있다. Park 등 (2013)은고장시간과 수리시 ᄀ

ᅡᆫ이 동시에 고려된보증정책을제안하고, 이를교체 및 예방보전 정책과 연계한 연구를수행하였다. 그 ᄅ

ᅵ고 기본보증이 아닌 연장된보증과관련된 연구로는 Wu와 Longhurs (2011), Boubuerra 등 (2012), Jung (2018, 2019, 2020a, 2020b), Jung 등 (2015) 등이 있는데, Jung (2020)은 Jung (2019)이 제안한 ᄉ

ᅢ로운형태의 연장된이단계 보증모형 하에서의 교체모형을제안하였다.

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2019 ᄒ ᅡ ᆨᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅮ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

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E-mail : [email protected]

ᄒ

ᅡᆫ편, 수리가 가능한 시스템을효율적으로 운용하기 위해서는보증기간이 종료된이후에 시스템의 고 ᄌ

ᅡᆼ률을감소시키기 위한 예방보전 (preventive maintenance; PM)활동이 필요한데, 이를설명하기 위 ᄒ

ᅢ서는 예방보전의 효과를 이론적으로 표현할 수 있는 예방보전모형 (PM model)이 필요하다. 지금 ᄁ

ᅡ지 수리가 가능한 시스템에 대한 예방보전모형에관한 이론적인 연구는 많은 신뢰성 연구자에 의하 ᄋ

ᅧ 진행되었는데, 대표적인 연구로는 Canfield (1986), Jung (2009), Lin 등 (2000), Wu와 Clements- Croome (2005) 등이 있다.

ᄄ

ᅡ라서 본 논문에서는수리가 가능한 시스템에 대하여 Jung (2020b)가 제안한 연장된이단계 보증이 ᄌ

ᅩ

ᆼ료된이후의 교체모형을예방보전모형으로확장하고자 한다. 더불어 제안된 예방보전모형에 대한 비 ᄋ

ᅭ

ᆼ최적화 문제를다루고자 하는데, 최적화의 기준으로 단위시간당 기대비용 (expected cost rate per unit time)을사용하고자 한다. 본 논문은 다음과 같이 구성된다. 2절에서는 본 논문에서 고려하고자 ᄒ

ᅡ는연장된이단계 보증모형과 보증이후의 예방보전모형을소개하고자 한다. 3절에서는 2절에서 설명 되

ᆫ 연장된보증모형이 종료된이후의 예방보전모형에 대한 기대순환길이 (expected cycle length), 총기 ᄃ

ᅢ비용 (total expected cost), 단위시간당 기대비용을이론적으로 유도하고, 단위시간당 기대비용을최 ᄉ

ᅩ화하는최적의 예방보전정책 즉,최적의 예방보전횟수와 주기를제시하고자 한다. 4절에서는수치적 ᄋ

ᅨ를 통해서 본 논문에서 제안한 최적의 예방보전정책에 대한 일반적인 특성을살펴보고자 한다.

2. 연장된 이단계 보증모형 하에서의 예방보전모형

2.1. 기호 ᄃ

ᅡ음은 논문전체적으로 자주 사용되는기호를정리한 것으로써 본 논문에서 설명되는연장된이단계 ᄇ

ᅩ증모형이 종료된이후의 예방보전모형의 이해를 돕기 위해서 필요한 것이다.

• T : 시스템의 고장시간 (failure time)

• f(t): T 의확률밀도함수 (probability density function)

• F (t): T 의 수명분포함수 (life distribution function)

• h(t): T 의 고장률함수 (failure rate function)

• wo: 기본보증기간 (basic warranty period)

• we: 연장된보증기간 (extended warranty period)

• w: 전체 보증기간, w = wo+ we

• α: 전체 보증기간에서 재생교체보증기간의 비율

• ce: 연장되는보증기간 w^e의 구입비용

• cr: 시스템의 교체비용 (cost of replacement )

• cm: 시스템의 최소수리비용 (cost of minimal repair)

• cpm: 시스템의 예방보전비용 (cost of PM)

• x: 시스템의 예방보전 주기 (PM period)

• N: 시스템의 예방보전횟수 (PM number)

• ECR(x, N): 단위시간당 기대비용 (expected cost rate per unit time)

2.2. 연장된 이단계 보증모형 하에서의 교체모형 ᄋ

ᅵ 절에서는 Jung (2020b)가 제안한 연장된이단계 보증모형이 종료된이후의 교체모형에 대하여 설 며

ᆼ하고자 한다. 이때, 연장된 이단계 보증모형은 교체보증과 최소수리보증(minimal repair warranty, MRW)이 함께 존재하는 보증모형 하에서 최소수리보증과 재생교체보증(renewing replacement war- ranty, RRW) 기간이 함께 연장되는형태의 보증모형이다. 즉 기본 보증기간 w^o가 주어지고 이 보증 ᄀ

ᅵ간 중에서 처음 α(wo+ we) 까지는재생교체보증이 주어지고, 나머지 (αw^o, wo] 동안에는최소수리 ᄇ

ᅩ증이 주어지며, 더불어 기본보증기간 wo 이후에는 사용자에 의해서 구입된 보증인 연장된보증기간 we가 주어진다. 여기서 α는 0 < α < 1를 만족한다. 이러한 연장된 이단계 보증모형 하에서 Jung (2020b)가 제안한 교체모형은다음과 같은가정을 통해서 구체적으로 설명이된다.

ᄀ ᅡ정

ⅰ) 시스템에는기본보증기간 w^o와 추가된보증기간 w^e가 제공된다. 단, 연장된보증기간의 구입비 ᄋ

ᅭ

ᆼ은 ce이다.

ⅱ) 전체 보증기간 w(= w^o+we)은재생교체보증기간 [0, α(w^o+we)]과 최소수리보증기간 (α(w^o+ we), (wo+ we)]으로 구성된다.

ⅲ) 연장된보증기간이 종료된 이후에 발생하게 되는시스템의 고장에 대해서는사용자에 의해서 최 ᄉ

ᅩ수리가 이루어진다.

ⅳ) 시스템은연장된보증기간이 종료된이후에 정해진 시점 τ 에서 교체된다.

ⅴ) 최소수리 시간과 교체 시간은고려하지 않는다.

ⅵ) 무료보증인 경우에는 전체 보증기간에서 발생되는 비용에 대하여 사용자는 전혀 부담하지 않는 ᄃ

ᅡ.

ⅶ) 유료보증의 형태인 비례보증인 경우에는전체 보증기간 중교체보증기간에서 발생되는비용에 대 ᄒ

ᅡ여 사용자가 일부 부담을한다.

ᄋ

ᅱ와 같은 가정 하에서 연장된 이단계 보증이 종료된 이후의 교체모형은 Figure 2.1과 같이 표현되 느

ᆫ보전모형으로써 다음과 같은 특성을갖는다. 1) 시스템에는 연장된이단계 보증모형이 주어져서 전 ᄌ

ᅦ 보증기간 w(= wo+ we) 중에 [0, α(wo+ we)] 동안에는 고장이 발생되었을경우에 새로운시스템 ᄋ

ᅳ로 교체되고 보증기간도 다시 시작되는재생교체보증이 제공된다. 2) (α(w^o+ we), (wo+ we)] 동안 ᄋ

ᅦ는고장이 발생되었을경우에 수리가 진행되고 남아있는보증기간만 유지되는최소수리보증이 제공된 ᄃ

ᅡ. 3) 보증기간 (wo+ we)가 종료된 이후의 보전기간 (w, w + τ ]에서는사용자에 의해서 최소수리가 ᄉ

ᅮ행된다. 4) 주어진 교체주기 (wo+ we) + τ에서는사용자에 의해서 새로운시스템으로 교체된다.

Figure 2.1 Replacement model after the extended warranty