Optimal replacement policy following the expiration of <i>k</i>₀-renewing replacement warranty for a repairable system^†

2018, 29

6)

1605–1613

수리가 가능한 시스템에 대한 k

-재생교체보증이 종료된 이후의 최적의 교체정책 ^†

저 ᆼ기문

¹

1경성대학교 수학응용통계학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 10ᄋ ᅯ ᆯ 30ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 11ᄋ ᅯ ᆯ 16ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 11ᄋ ᅯ ᆯ 20ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄇ

ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ Jung (2018)ᄋ ᅵ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅲᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅢ ᆨᄋ ᅵ ᆫ k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (k

-renewing re- placement warranty)ᄋ ᅵ ᄌ ᅩ ᆼ ᄅ ᅭ ᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅵᄒ ᅮᄋ ᅴ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄌ ᅡ ᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ (replacement model)ᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᄀ

ᅩ, ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄌ ᅮᄀ ᅵ (optimal replacement period)ᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ ᆯᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅩᄌ ᅡ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ.

k

- ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄀ ᅵᄀ ᅡ ᆫ ᄃ ᅩ ᆼ ᄋ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅦ ᄇ ᅡ ᆯᄉ ᅢ ᆼᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ k

ᄇ ᅥ ᆫᄁ ᅡᄌ ᅵᄋ ᅴ ᄀ ᅩᄌ ᅡ ᆼᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅢᄉ ᅥ ᄀ ᅡ ᆨᄀ ᅡ ᆨ ᄉ ᅢᄅ ᅩᄋ ᅮ ᆫ ᄉ

ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄅ ᅳ ᆯ ᄒ ᅢ ᄌ ᅮ ᆯ ᄈ ᅮ ᆫ ᄆ ᅡ ᆫ ᄋ ᅡᄂ ᅵᄅ ᅡ ᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄀ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅩ ᄃ ᅡᄉ ᅵ ᄉ ᅵᄌ ᅡ ᆨ ᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄅ ᅥᄒ ᅡ ᆫ k

- ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄋ

ᅴ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄌ ᅡ ᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥᄋ ᅴ ᄎ ᅩ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (expected total cost), ᄉ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅦ ᆷᄋ ᅴ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄉ ᅮ ᆫᄒ ᅪ ᆫᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵ (expected cycle length) ᄀ ᅳᄅ ᅵᄀ ᅩ ᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅱᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (expected cost rate per unit time)ᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅲᄃ ᅩᄒ ᅡ ᄀ

ᅩᄌ ᅡ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄄ ᅢ ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅪᄋ ᅴ ᄀ ᅵᄌ ᅮ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅱᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄀ ᅩᄌ ᅡ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄆ ᅡᄌ ᅵᄆ ᅡ ᆨᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ

ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄀ ᅪ ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄌ ᅮᄀ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄉ ᅮᄎ ᅵᄌ ᅥ ᆨ ᄋ ᅨᄅ ᅳ ᆯ ᄒ ᅪ ᆯᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅥ ᆯᄆ ᅧ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄀ ᅭᄎ ᅦᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅱᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ, ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄀ ᅭᄎ ᅦᄌ ᅮᄀ ᅵ, k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ.

1. 서론 ᄉ

ᅵᆫ뢰성 분야에서 특정 보증기간 (warranty period)이 주어진 시스템에 대한 보전모형과 최적의 보 ᄌ

ᅥᆫ정책에 관한 연구는 많은 이론 및 응용 연구가들이 관심을 갖는 분야 중의 하나이다. 보증 (war- ranty)은시스템을 구입할 당시에 계약된보증기간에서 발생하게 되는시스템의 고장에 대하여 생산자 ᄀ

ᅡ 수리 (repair) 또는교체 (replacement) 등의 조처를취해주는것을의미한다. 이러한 보증은보증기 ᄀ

ᅡᆫ 동안 이루어지는 보증의 형태에 따라 재생보증 (renewing warranty), 비재생보증 (non-renewing warranty), 무료보증 (free warranty), 유료보증 (pro-rata warranty), 교체보증 (replacement war- ranty), 최소수리보증 (minimal repair warranty) 그리고 혼합보증 (combination warranty) 등으로 ᄀ

ᅮ분된다.

ᄀ

ᅭ체보증 (replacement warranty)이 종료된이후의 보전모형과관련된 연구로는 Sahin과 Polatoglu (1996), Jung과 Park (2003), 그리고 Chien (2008a, 2008b) 등이 있다. 그리고 최소수리보증 (minimal repair warranty)이 종료된 이후의 수리가 가능한 시스템에 관한 보전정책과관련된연구로는 Yeh 등 (2007), Jung (2009)그리고 Jung (2016) 등의 연구가 있다.

ᄒ

ᅡᆫ편, 최근에 Jung (2018)은보증기간동안 제공되는재생교체보증의횟수 k⁰가 주어지는유한 재생 ᄀ

ᅭ체보증인 k0-재생교체보증 (k0-renewing replacement warranty; k0-RRW)을제안하였다. k0-RRW

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2017ᄒ ᅡ ᆨᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅮ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

(48434) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄉ ᅮᄋ ᅧ ᆼᄅ ᅩ 309, ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄒ ᅡ ᆨᄋ ᅳ ᆼᄋ ᅭ ᆼᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

ᄒ

ᅡ에서는보증기간 동안 시스템에 발생되는 k0번까지의 고장에 대해서 각각 새로운시스템으로 교체를 ᄒ

ᅢ 줄 뿐만 아니라 보증기간도 다시 시작된다. k0-RRW에서 보증기간동안 제공되는재생보증의 횟수 k0가 inf이면 기존의 보증정책인 재생교체보증이 되고 k⁰가 0이면 기존의 보증정책인 최소수리보증이 ᄃ

ᅬ는 일반적이 형태의 보증정책이다.

보

ᆫ 논문에서는 Jung (2018)이 제안한 k0-RRW가 주어진 시스템에 대하여 보중이 종료된이후의 사 ᄋ

ᅭ

ᆼ자 측면에서 교체모형 (replacement model)을 제안하고, 제안된 교체모형 하에서 최적의 교체주기 (optimal replacement period)를 결정하고자 한다. 이를 위해서 제안된 교체모형에 대하여 시스템의 ᄀ

ᅵ대순환길이와 사용자 측면에서의 총기대비용을 유도하고자 한다. 이때 최적의 교체주기는단위시간 ᄃ

ᅡᆼ기대비용 측면에서 결정하고자 한다.

ᄇ

ᅩᆫ 논문은다음과 같이 구성된다. 2절에서는 k0-RRW가 종료된이후의 교체모형을소개하고자 한다.

3절에서는 k0-RRW가 종료된이후의 교체모형에 대하여 단위시간당 기대비용을최소화하는최적의 교 ᄎ

ᅦ주기를결정하는 문제를다루고자 한다. 끝으로 4절에서는 본 논문에서 제안된k0-RRW이후의 교체 저

ᆼ책의 특성을수치적 예로부터 살펴보고자 한다.

2. k

0

2.1. 기호

T 시스템의 고장시간 (failure time)

f (t) T의확률밀도함수 (probability density function) F (t) T의 수명분포함수 (life distribution function) h(t) T의 고장률함수 (failure rate function) w 보증기간 (warranty period)

k0 재생교체보증횟수(number of RRW) τ 시스템의 교체주기(replacement period) cr 시스템의 교체비용 (replacement cost)

cm 시스템에 대한 최소수리비용 (minimal repair cost) ECLk₀(τ ) 기대순환길이 (expected cycle length)

T ECk₀(τ ) 총기대비용 (expected total cost)

ECRk₀(τ ) 단위시간당 기대비용 (expected cost rate per unit time) 2.2. k0-재생교체보증

ᄋ

ᅵ 절에서는 본 논문에서 고려하고자 하는 k0-RRW에 대하여 설명하고자 한다. k0-RRW는 Jung (2018)에 의해서 제안되었으며, 자세한 내용은 이를 참조할 수 있다. k0-RRW는 다음과 같은 가정 하 ᄋ

ᅦ서 정의되는 유한 재생교체보증이다. 첫째, 판매자는 사용자에게 보증기간 w와 재생교체보증 횟수 k0를제공한다. 둘째, 보증기간 w 동안 시스템에 발생한 k0번까지의 고장에 대해서는각각 새로운시스 테

ᆷ으로 교체를해주고 보증기간 w도 다시 시작된다. 셋째, k0번의 고장 이후에는최소수리가 진행되고 ᄇ

ᅩ증기간은잔여기간만 유효하게된다. 넷째, k⁰번의 고장 이후에 제공되는최소수리 비용은판매자가 ᄆ

ᅩ두 부담한다. 다섯째, 보증기간에서 이루어지는최소수리 시간은고려하지 않는다.

2.3. k0-재생교체보증 하에서의 교체모형 보

ᆫ 논문에서는 2.2절에서 설명한 수리가 가능한 시스템에 대한 k0-RRW가 종료된이후의 교체모형에

ᄃ

ᅢ하여 자세히 설명하고자 하는데, 이를위해서 다음의 사항들을가정한고자 한다.

ᄀ ᅡ정

ⅰ) 2.2절에서 k⁰-RRW를정의하기 위해서 필요한 5개의 가정

ⅱ) 시스템은보증이 종료된이후에 주어진 교체주기 τ 에서 새로운시스템으로 사용자에 의해서 교체 되

ᆫ다.

ⅲ) 보증기간이 종료된이후의 시스템 고장에 대해서는사용자에 의해서 최소수리가 이루어진다.

ⅴ) 보증이후의 교체 및 최소수리를위한 시간은고려하지 않는다.

ⅵ) 시스템의 최소수리비용과 교체비용은각각 cm과 cr이다.

ᄋ

ᅱ와 같은가정을 통해서 본 논문에서 제안되는 k0-RRW가 종료된이후의 교체모형을 설정할 수 있 ᄃ

ᅡ. 즉, 시스템에는 k0-RRW가 주어져서 보증기간 동안 시스템에 발생되는 k0번의 고장까지는새로운 ᄉ

ᅵ스템으로 교체해 주고, 보증기간 또한 재생되며, k0번의 고장이 발생된이후의 보증기간에서는최소수 ᄅ

ᅵ가 이루어진다. 또한 보증기간이 종료된이후의 보전기간에서는최소수리가 수행되고, 주어진 교체주 ᄀ

ᅵ에서는사용자에 의해서 시스템이 새로운것으로 교체되는보전모형이다. 이러한 모형이 본 논문에서 ᄌ

ᅦ안되는 k0-RRW이후의 사용자 측면의 교체모형이다 (Figure 2.1 참조).

Figure 2.1 Replacement model after k

-RRW

3. 최적의 교체정책

3.1. 단위시간당 기대비용 ᄇ

ᅩᆫ 논문에서는 k0-RRW가 종료된 이후의 최적의 교체정책을결정하기 위한 기준으로 단위시간당 기 ᄃ

ᅢ비용을사용하고자 한다. 따라서 2.3절에서 설명한 교체모형에 대하여 사용자 측면에서의 단위시간당 ᄀ

ᅵ대비용을유도하여야 하는데, 이는 총기대비용과 기대순환길이로부터 유도된다. 먼저 사용자 측면의 ᄀ

ᅵ대순환길이 ECLk0(τ )는 Jung (2018)의 결과로부터 다음과 같이 구해진다.

ECLk0(τ ) =

k0

X

j=0

F (w)(F (w))¯ ^j

 jI(w)

F (w)



+ w + τ. (3.1)

ᄋ

ᅱ 식에서 I(s) =Rs

0 tf (t)dt이고 ¯F (t) = 1 − F (t)이다.

ᄋ

ᅵ제, 본 논문에서 제안한 k0-RRW가 있는수리 가능한 시스템에 대한 교체정책에 대하여 사용자 측 ᄆ

ᅧᆫ의 총기대비용 ET Ck₀(τ )을구하고자 한다. 총기대비용 ET Ck₀(τ )는보증기간동안에 발생하는기대 ᄇ

ᅵ용 E[CW]와 보전기간에서 발생하는기대비용 E[CM]의 합이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

ET Ck₀(τ ) = E[CW] + E[CM].

ᄀ

ᅳ런데, 본 논문에서 고려되는 k0-RRW는무료보증인 경우와 비례보증인 경우로 구분할 수 있다. 먼 ᄌ

ᅥ, 무료 k⁰-RRW가 종료된이후의 교체모형에 대한 사용자 측면의 총기대보증비용 ET Ck0(τ )은보증 ᄀ

ᅵ간 w동안 제공되는재생보증의횟수 k⁰가 주어진 경우에 대하여 다음과 같이된다.

ET Ck0(τ ) = cm

Zw+τ w

h(t)dt + cr (3.2) ᄒ

ᅡᆫ편, 비례 k⁰-RRW인 경우에는보증기간 동안에 발생되는시스템의 고장 시간에 비례한 일정비용을 ᄉ

ᅡ용자가 부담하게 되므로 보증기간 w동안 제공되는재생보증의횟수 k⁰가 주어진 경우에 대하여 총기 ᄃ

ᅢ보증비용 ET Ck₀(τ )를구하면 다음과 같이됨을알 수 있다.

ET Ck₀(τ ) =

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))¯ ^jjcr

wE(Tj|Tj< w) + cm

Z w+τ w

h(t)dt + cr

=

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))¯ ^jj cr

w I(w) F (w)

 + cm

Z w+τ w

h(t)dt + cr. (3.3)

ᄄ

ᅡ라서 식 (3.2)와 식 (3.3)으로부터 k⁰-RRW하에서의 교체모형에 대한 사용자 측면의 총기대비용 ET Ck₀(τ )은다음과 같이된다.

ET Ck0(τ ) =











cmRw+τ

w h(t)dt + cr, f ree ko− RRW

Pk₀

j=0F (w)(F (w))¯ ^jj

cr w

I(w) F (w)

 + cm

Rw+τ

w h(t)dt + cr, pro − rata ko− RRW.

(3.4) 겨

ᆯ국, 식 (3.1)의 기대순환길이 ECL^k0(τ )와 식 (3.4)의 총기대비용 ET Ck₀( tau)으로부터 k⁰- RRW가 종료된이후의 교체정책에 대한 사용자 측면에서의 단위시간당 기대비용 ECRk₀(τ )은다음과 ᄀ

ᅡ ᇀ이된다.

ECRk0(τ ) =















c_mRw+τ

w h(t)dt+c_r P_k0

j=0F (w)(F (w))¯ ^j j_{F (w)}^I(w)

+w+τ, f ree ko− RRW

P_k0

j=0F (w)(F (w))¯ ^jj cr w

I(w) F (w)



+cmR_w+τ

w h(t)dt+cr P_k0

j=0F (w)(F (w))¯ ^j j_{F (w)}^I(w)

+w+τ , pro − rata ko− RRW.

(3.5)

3.2. 최적의 교체정책 ᄋ

ᅵ제, 식 (3.5)의 단위시간당 기대비용 ECRk₀(τ )에근거한 k0-RRW가 종료된이후의 최적의 교체 저

ᆼ책에 대하여 살펴보고자 한다. 즉, 식 (3.5)에 주어져 있는단위시간당 기대비용 ECRk0(τ )을최소화

ᄒ

ᅡ는 최적의 교체주기 τ^∗를결정하고자 한다. 최적의 교체주기 τ^∗를결정기 위해서 식 (3.5)를 τ에관 ᄒ

ᅢ서 1차 미분하여 으로 놓고 풀면 다음을얻을수 있다.

(c1+ τ ) h(w + τ ) − Z w+τ

w

h(t)dt = c2

cm

, (3.6)

ᄋ ᅧ기서,

c1 =

k₀

X

j=0

F (w)(F (w))¯ ^j jI(w) F (w)

 + w,

c2 =







cr, f ree ko− RRW Pk₀

j=0F (w)(F (w))¯ ^jj

cr w

I(w) F (w)



+ cr, pro − rata ko− RRW.

ᄀ

ᅳ런데 식 (3.5)의 단위시간당 기대비용 ECRk0(τ )는 h(t)가 증가함수이면 의사볼록함수 (pseudo- convex function)가 되기 때문에 최적의 교체주기 τ^∗는 식 (3.6)을 만족하는 τ의 값이 된다. 따라서 k0-RRW가 종료된이후에 식 (3.6)을만족하는 τ^∗시점에서 시스템을 새로운것으로 교체하는 것이 사 ᄋ

ᅭ

ᆼ자측면에서 최적의 교체정책이된다는사실을알 수 있다.

4. 수치적 예 ᄇ

ᅩᆫ 절에서는 보증기간의 길이, 재생교체보증횟수 그리고 교체비용의 변화에 따라 k0-RRW가 종료 되

ᆫ 이후의 최적의 교체정책이 어떠한 특성을 나타내는지를 다양한 수치적 예를 통해서 구체적으로 살 ᄑ

ᅧ보고자 한다. 이를 위해서 시스템의 수명분포로는 척도모수 (scale parameter)와 형태모수 (shape parameter)가 각각 α와 β인 와이블분포를따른다고 가정한다.

Table 4.1에는 w = 0.5, cm= 3, α = 1, β = 3인 경우에 다양한 재생교체보증의횟수 k⁰와 시스템 ᄋ

ᅴ 교체비용 cr에 대하여 k⁰-RRW가 종료된이후의 최적의 교체정책이 나타나 있는데, 이러한 값은 식 (3.5)를최소화하는 τ값으로 식 (3.6)을사용하여 구할 수 있으며 본 논문에서는 R프로그램을사용하였 ᄃ

ᅡ. 예를 들어 Table 4.1에서 k0= 3이고 cr= 30일 때, 식 (3.5)를최소화하는최적의 교체주기가 무료 ᄇ

ᅩ증인 경우는 1.17858 (단위길이)이고 비례보증인 경우는 1.23333 (단위길이)가됨을알 수 있다. 이 느

ᆫ무료보증이 종료된이후에 각각 1.17858시점에서 사용자에 의해서 새로운시스템으로 교체하면 단위 ᄉ

ᅵ간당 기대비용이 25.35861 (단위비용)이 되고, 이것이 기대비용 측면에서 최적의 교체정책이된다는 거

ᆺ을의미한다 (Figure 4.1 참조).

Figure 4.1 Optimal replacement policy after k

-RRW

Table 4.1에 주어져 있는다른최적의 교체주기와 이때의 단위시간당 기대비용도 같은의미를갖는다.

ᄒ

ᅡᆫ편, Table 4.1로부터 다음의 사실을확인할 수 있다. 1) k0와 cr값이 고정되어 있을때, 단위시간당기 ᄃ

ᅢ비용은무료보증인 경우가 유료보증인 경우에 비하여 항상 작다. 2) k⁰와 c^r값이 고정되어 있을 때, ᄆ

ᅮ료보증인 경우가 유료보증인 경우에 비하여 항상 최적의 교체주기가 짧다. 3) k0값이 고정되어 있을 ᄄ

ᅢ, cr값이 증가하면 교체주기는길어지고 단위시간당 기대비용은 증가한다. 4) cr값이 고정되어 있을 ᄄ

ᅢ, 무료보증인 경우 k⁰값이 증가하면 교체주기는짧아지고 단위시간당 기대비용은감소한다.

Table 4.1 Optimal replacement policy for various values of k

when w = 0.5

k

Optimal policy c

10 20 30

1

Free τ

0.65167 0.96539 1.18377

ECR

(τ

) 11.93702 19.32619 25.51570

Pro-rata τ

0.68211 1.00327 1.22696

ECR

(τ

) 12.57639 20.33838 26.84153

2

Free τ

0.64730 0.96099 1.17935

ECR

(τ

) 11.84671 19.21034 25.38206

Pro-rata τ

0.68467 1.00750 1.23239

ECR

(τ

) 12.63100 20.45304 27.0105

3

Free τ

0.64654 0.96021 1.17858

ECR

(τ

) 11.83090 19.19003 25.35861

Pro-rata τ

0.68512 1.00824 1.23333

ECR

(τ

) 12.64053 20.47308 27.04005

4

Free τ

0.64642 0.96009 1.17846

ECR

(τ

) 11.82843 19.18685 25.35494

Pro-rata τ

0.68519 1.00835 1.23348

ECR

(τ

) 12.64203 20.47621 27.04467

5

Free τ

0.64640 0.96008 1.17844

ECR

(τ

) 11.82806 19.18638 25.35440

Pro-rata τ

0.68520 1.00837 1.23350

ECR

(τ

) 12.64224 20.47667 27.04535

Table 4.2에는보증기간이 k0 = 3, cm= 3, α = 1, β = 3인 경우에 다양한 보증기간 w와 시스템의 ᄀ

ᅭ체비용 cr에 대하여 k⁰-RRW가 종료된이후의 최적의 교체정책과 그 때의 단위시간당 기대비용이 나 ᄐ

ᅡ나 있다. Table 4.2에 주어져 있는최적의 교체주기와 이에 대응하는단위시간당 기대비용은앞에서 서

ᆯ명한 Table 4.1에서의 의미와 동일하다. 한편, Table 4.2로부터 다음과 같은 사실을 알 수 있다. 1) w와 cr값이 고정되어 있을때, 단위시간당기대비용은무료보증인 경우가 유료보증인 경우에 비하여 항 ᄉ

ᅡᆼ 작다. 2) w와 c^r값이 고정되어 있을때, 무료보증인 경우가 유료보증인 경우에 비하여 항상 최적의 ᄀ

ᅭ체주기가 짧다. 3) w값이 고정되어 있을 때, cr값이 증가하면 교체주기는길어지고 단위시간당 기대 ᄇ

ᅵ용은 증가한다. 4) cr값이 고정되어 있을때, 무료보증인 경우 w값이 증가하면 교체주기는짧아지고 ᄃ

ᅡᆫ위시간당 기대비용은감소한다.

5. 결론 보

ᆫ 논문에서는 Jung (2018)이 제안한 k0-RRW가 주어진 수리가 가능한 시스템에 대하여 보중이 종 ᄅ

ᅭ된 이후의 사용자 측면에서 교체모형을 제안하였다. 그리고 무료보증과 비례보증이 주어진 경우에 ᄉ

ᅡ용자 측면에서의 기대순환길이, 총기대비용, 단위시간당기대비용을 이론적으로 유도하였고, 이를 최 ᄉ

ᅩ화하는최적의 교체주기를결정하여 최적의 교체정책을제시하였다. 더불어 본 논문에서 제안된 k0- RRW가 종료된이후의 교체모형에 대하여 최적의 교체주기와 단위시간당 기대비용을결정할 수 있음을

Table 4.2 Optimal replacement policy for various lengths of warranty period when k

= 3

w Optimal policy c

10 20 30

0.1

Free τ

1.08548 1.39369 1.60988

ECR

(τ

) 12.64816 20.07997 26.31325

Pro-rata τ

1.08577 1.39406 1.61031

ECR

(τ

) 12.65449 20.09002 26.32641

0.3

Free τ

0.87936 1.18872 1.40537

ECR

(τ

) 12.51794 19.94647 26.17453

Pro-rata τ

0.88744 1.19887 1.41699

ECR

(τ

) 12.69014 20.21961 26.53238

0.5

Free τ

0.64654 0.96021 1.17858

ECR

(τ

) 11.83090 19.19003 25.35861

Pro-rata τ

0.68512 1.00824 1.23333

ECR

(τ

) 12.64053 20.47308 27.04005

0.7

Free τ

0.35448 0.67710 0.89880

ECR

(τ

) 10.00737 17.06763 23.00534

Pro-rata τ

0.46094 0.80720 1.04629

ECR

(τ

) 12.12993 20.44493 27.44586

0.9

Free τ

0.00614 0.34270 0.56883

ECR

(τ

) 7.38983 13.89865 19.41718

Pro-rata τ

0.19763 0.57022 0.82477

ECR

(τ

) 10.84309 19.45383 26.77363

ᄉ

ᅮ치적 예를 통하여 살펴보았다. 특히, 교체비용(cr), 재생교체보증의횟수(k0) 그리고 보증기간(w)에 ᄄ

ᅡ라서 최적의 교체주기와 최적의 교체주기에서의 단위시간당 기대비용의 변화를살펴보았는데, 다음과 ᄀ

ᅡ

ᇀ은 특징을 볼수 있었다. 1) k⁰, w, cr값이 고정되어 있을 때, 최적의 교체주기에서의 단위시간당기 ᄃ

ᅢ비용은무료보증인 경우가 유료보증인 경우에 비하여 항상 작다. 2) k0, w, cr값이 고정되어 있을때, ᄆ

ᅮ료보증인 경우가 유료보증인 경우에 비하여 항상 최적의 교체주기가 짧다. 3) w와 k0값이 고정되어 이

ᆻ을 때, cr값이 증가하면 교체주기는길어지고 단위시간당 기대비용은 증가한다. 4) cr값이 고정되어 이

ᆻ을때, 무료보증인 경우 w 또는 k0값이 증가하면 교체주기는짧아지고 단위시간당 기대비용은감소한 ᄃ

ᅡ.

ᄒ

ᅡᆫ편, 본 논문에서 제안된 k0-RRW가 종료된이후의 교체정책은 예방보전정책으로 확장할 수 있을 거

ᆺ으로 기대되며, 이러한 연구를현재 수행 중에 있다.

References

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2018, 29

6)

1605–1613

Optimal replacement policy following the expiration of k

-renewing replacement warranty for a repairable

system ^†

Ki Mun Jung

¹

1Division of Mathematics and Applied Statistics, Kyungsung University

Received 30 October 2018, revised 16 November 2018, accepted 20 November 2018

Abstract

Jung (2018) suggest the k0-renewing replacement warranty (k0-RRW) of a repairable system. This paper proposes the replacement model following the expiration of k0- renewing replacement warranty and then the optimal replacement period is determined from the user’s point of view. Under k0-RRW, the failure of the system up to k0times is replaced by a new system by the manufacturer and the warranty period will be renewed again. We derive the expressions for the expected cycle length, the expected total cost and the expected cost rate per unit time for our model. As the criteria to determine the optimality of the replacement policy, we consider the expected cost rate per unit time from the user’s perspective. Finally, the numerical examples are presented for illustrative purpose.

Keywords: Expected cost rate per unit time, k0-renewing replacement warranty, opti- mal replacement periiod, replacement model.

†

This research was supported by Kyungsung University Research Grants in 2017.

1

Professor, Division of Mathematics and Applied Statistics, Kyungsung University, Busan, 48434, Korea.

E-mail : [email protected].