제1가산공간

가산성

제1가산공간

Definition 0.1. 위상공간 X가 다음 공리를 만족할 때 제1가산공간(first countable space)라고 한다.

제1가산공리 : 각 점 p ∈ X에 대해서 p를 포함하는 열린집합의 가산족 B_p을 적당히 택하면 p를 포함하는 모든 열린집합 G도 B_p의 어떤원소를 포함한다.

Example 0.2. X : 거리공간, p ∈ X;

중심을 p에 둔 열린구의 가산족



S(p, 1), S

 p,1

2

 , S

 p,1

3

 , · · ·



은 p의 국소기저이다

Example 0.3. X : 이산공간, p ∈ X; 한 원소 집합 {p}는 열린집합이고 p를 포 함하는 모든 열린집합 G에 포함된다. 따라서 모든 이산공간은 제1가산 공간이 된다.

Theorem 0.4. X : 제1가산공간, p ∈ X; X에서 정의된 함수가 점 p에서 연속이 기 위한 필요충분조건은 함수가 p에서 점렬연속인 것이다.

Proof. 함수 f : X → Y 를 생각하자. 그리고 f 가 p에서 연속이 아니라고 하자.

B_p = {B₁, B₂, · · · }을 p에서의 축소국소기저라 하자. 그러면 Y 의 열린부분집합 H 가 존재해서 f (p) ∈ H이며 모든 n ∈ N에 대해 Bn ⊂ f⁻¹(H)을 만족한다. 따라서 모든 n ∈ N에 대해서 f(an) /∈ H 을 만족하는 a_n ∈ B_n이 존재한다. 그런데 점렬

< a_n>은 p에 수렴한다. 그러나 f (p)를 포함하는 열린집합 H는 점렬의 어떤 항도 포함하지 않으므로 함수열 < f (a_n) >은 f (p)로 수렴하지 않는다.

정리의 의미 : X가 제1가산공간일 때 함수 f : X → Y 가 p ∈ X에서 연속이란 X에 속하는 p로 수렴하는 모든 점렬 < a_n >에 대해 함수열 < f (a_n) >이 Y 에 속하는 f (p)로 수렴한다는 것이다. 즉,

a_n → p =⇒ f (a_n) → f (p) 이 된다.

제2가산공간

Definition 0.5. 위상공간 (X, T )가 다음 공리를 만족할 때 제2가산공간이라 한다.

제2가산공리 : 위상 T 에 대하여 가산기저 B가 존재한다.

여기서 제2가산성질은 국소적성질이라기 보다는 대역적 성질이다.

Example 0.6. 유리수 a, b을 끝점으로 가지는 열린구간들의 족 B는 가산집합이다.

그리고 R의 보통위상의 기저가 된다. 그러므로 R은 제2가산공간이다.

Example 0.7. 실수집합 R상의 이산위상 D를 생각하자. R의 부분집합족 B가 D 의 기저이기 위한 필요충분조건은 모든 한 원소집합이 B에 포함되는 것이다. 그 러나 R의 한 원소부분집합들 족은 가산이 아니다. 따라서 (R, D)은 제2가산공간이 아니다.

Theorem 0.8. 제2가산공간은 제1가산공간이다.

Proof. X가 위상공간이고 B를 X의 위상의 가산기저라 하자. 점 p ∈ X에 대해 p를 포함하는 B의 원소들의 족 B_p 를 생각해보자. 그러면 B_p는 p에서 가산국소기저가 된다.

<연습1> 보통위상을 가지는 평면 R²은 제2가산공간임을 보여라.

(풀이) R²에서 중심이 유리수이고 반지름도 유리수가 되는 열린원판족 B를 생각 하자. 그러면 유리수 집합이 가산집합이므로 B도 가산집합이다. 그리고 B는 R² 의 보통위상의 기저가 된다. 그러므로 R²은 제2가산공간이다.

<연습2> 제2가산공간의 부분공간은 제2가산공간임을 보여라.

(풀이) 집합

B = {Bn | n ∈ N}

을 제2가산공간 X의 기저라하고 Y 를 X의 부분공간이라 하자. 그러면 집합 B_Y = {B_n∩ Y | n ∈ N}

은 X에서 유도된 Y 의 상대위상의 기저가 된다. 그리고 B_Y은 명백히 가산집합이 다. 그러므로 Y 는 제2가산공간이다.

<연습3> R^m의 보통위상의 가산기저를 한 개 찾아보아라.

<연습4> 닫힌-열린구간 [a, b)] 전체에 의해 생성되는 R의 위상을 T 라 하자 . 그 러면 (R, T )은 제2가산공간이 되지 않음을 보여라.

문제 풀이

1. 제1가산공간 (X, T )의 임의의 부분공간 (Y, TY)은 제1가산공간이다.

(풀이) p ∈ Y 라 하자. 그러면 p ∈ X이고 X는 제1가산공간이므로 p에서 가산국소 기저가 존재한다. 이것을

B_p = {B_n | n ∈ N}

이라 하자. 그러면 B_p의해 유도된 Y 의 집합족 B_p^∗ = {B_n∩ Y | n ∈ N}

은 Y 안에서 p에서의 국소기저가 된다.그리고 B_p^∗는가산이므로 (Y, T_Y)는 제1가산 공간이 된다.

2. X를 위상공간이라 하고 p ∈ X라 하자. 집합족 B_p = {B₁, B₂, B₃, · · · }을 p 에서 축소국소기저라 하고 점렬 < a_n>은

a_k ∈ B_k, k ∈ N

을 만족한다고 하자. 이 때 점렬 < a_n > 은 p로 수렴함을 보여라.

(풀이) G를 p를 포함하는 열린집합이라 하자. 그러면 Bp는 국소기저이므로

∃ n₀ ∈ Nsuch thatBn0 ⊂ G 이 만족된다. 그런데 B_p은 축소이므로

n > n₀ =⇒ a_n∈ B_n0 ⊂ G 이다.

3. (R, T )을 여유한 위상공간이라 하자. 이 때 (R, T )는 제1가산공간이 되지 않음을 보여라.

(풀이) 귀류법을 적용한다. (R, T )이 제1가산공리를 만족한다고 하자. 그러면 1 ∈ R에 대해 가산열린국소기저

B₁ = {B_n | n ∈ N}

이 존재한다. 여기서 각 B_n은 열린집합이므로 그 여집합 B_n^c는 닫힌집합이다. 즉, B_n^c은 유한집합이다. 따라서

A = ∪^∞_n=1B_n^c

은 유한집합의 가산합집합이므로 가산집합이 된다. 그러나 R은 비가산집합이므 로 A에 속하지 않는 R의 원소 p가 존재한다. 그런데

p ∈ A^c= (

∞

[

n=1

B_n^c)^c=

∞

\

n=1

(B_n^c)^c =

∞

\

n=1

B_n

이므로 모든 n 에 대해 p ∈ B_n이다. 이제 {p}^c은 열린집합이고 p 6= 1이므로 1 ∈ {p}^c이다. B₁은 1 에서 국소기저이므로

∃ n₀ ∈ N such that Bn0 ⊂ {p}^c이고B_n0 ∈ B₁

이 된다. 그러면 p /∈ B_n0이 되는데 이것은 모든 n 에 대해 p ∈ B_n이라는 사실에 모순이다. 그러므로 (R, T )이 제1가산공리를 만족한다고 가정한 것은 잘못된 가 정이다.

4. X는 위상공간이고 p ∈ X라 하자. Bp = {B1, B2, B3, · · · }이 p에서 가산국소기저 일 때 점 p에서 축소국소기저가 존재함을 보여라.

(풀이) B₁, B₂ , · · · 에 대해

G₁ := B₁, G₂ := B₁∩ B₂, · · · , G_n := B₁∩ B₂∩ · · · ∩ B_n 이라 두자. 그러면

G₁ ⊃ G₂ ⊃ G₃ ⊃ · · ·

이다. 그리고 각 G_n은 열린집합이고 p ∈ G_n ⊂ B_n 이다. 이제 H가 p를 포함하는 열린집합이면

∃ n₀ ∈ N such that Gn0 ⊂ B_n0 ∈ H

를 만족한다. 그러므로 {G₁, G₂, G₃, · · · }은 p에서 축소국소기저가 된다.

5. (학생 풀이 문제)닫힌 열린구간 [a, b) 전체에 의하여 생성되는 실수집합 R의 위상을 T 라 하자. 그러면 (R, T )은 제1가산공간이 됨을 보여라.

(Hint : 위상 자체가 임의의 점에서 가산국소기저가 된다)

6. (학생 풀이 문제) 반열린직사각형,

[a, b) × [c, d) = {(x, y) ∈ R² | a ≤ x < b, c ≤ y < b}

에 의하여 생성되는 R²상의 위상을 T 라 하자. 그러면 (R², T )은 제1가산공간이 됨을 보여라.

(Hint : 위상 자체가 임의의 점에서 가산국소기저가 된다)

7. (학생 풀이 문제) T 와 T^∗를T ⊂ T^∗인 X위의 위상이라 하자. (X, T )에서는 제1 가산이나 (X, T^∗)에서는 제1가산이 아님을 예를 들어라.