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2015학년도 7월 고3 전국연합학력평가
정답 및 해설
수학 영역
A형 정답
1 ③ 2 ① 3 ② 4 ④ 5 ⑤
6 ② 7 ④ 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11 ③ 12 ② 13 ① 14 ⑤ 15 ① 16 ② 17 ② 18 ⑤ 19 ④ 20 ① 21 ③ 22 3 23 10 24 11 25 14 26 9 27 165 28 88 29 27 30 45
A형 해설
1. [출제의도] 로그 계산하기 log log log
2. [출제의도] 행렬 계산하기
따라서 모든 성분의 합은
3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기
lim
→
4. [출제의도] 조건부확률 이해하기 P
P
P
∩
5. [출제의도] 수열의 극한 이해하기
lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
따라서
lim
→ ∞
6. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 활용하여 추론하기
≥
따라서
7. [출제의도] 함수의 좌극한과 우극한 이해하기
lim
→
lim
→
8. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기
, 에 대한 연립일차방정식이 , 이외 의 해를 가지려면 행렬
의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로
따라서 모든 실수 의 값의 곱은
9. [출제의도] 이항정리 이해하기 다항식 의 전개식의 일반항은
C
따라서 일 때 의 계수는
10. [출제의도] 정적분과 넓이 이해하기
함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분 의 넓이는
11. [출제의도] 지수부등식 이해하기
이라 하면
≤ , ≤ ≤
≤ ≤ , ≤ ≤
따라서 모든 정수 의 값의 합은
12. [출제의도] 미분을 활용하여 추론하기
라 하면
′
⋯ ⋯ ⋯
′
↗
(극댓값) ↘
(극솟값) ↗
삼차방정식 이 서로 다른 세 실근을 가지려면 이어야 하므로
따라서 모든 정수 의 개수는
13. [출제의도] 등차수열 이해하기
두 점 A , B 의 좌표는 각각
,
세 수
이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
,
따라서
14. [출제의도] 접선의 방정식 이해하기
′ 이고 ′ 이므로 점 P 에서의 접선 의 방정식은
접점 Q 의 좌표를 라 하면 직선 에 곡선 가 접하므로
′
′
, 이므로 점 Q
이므로
원점으로부터 가까운 점을 R 라 하면 R , S
따라서 삼각형 Q RS 의 넓이는
15. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수 이해하기 주어진 식의 양변을 에 대하여 미분하면
′
′
′
(
는 적분상수) 일 때,
․
이므로
따라서 16. [출제의도] 로그방정식을 활용하여 문제해결하기 log
A log
log
… ㉠ log
B log
log
… ㉡㉠, ㉡에 의하여 log
B
A log
log
log
따라서
B
A 이므로
17. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기
주어진 식의 양변을 로 나누면
이다.
이라 하면
이고, 이다.
이므로 수열
은첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이다.
이다. 그러므로
( ≥ )
이다.
따라서
18. [출제의도] 역행렬의 성질을 활용하여 추론하기 ㄱ.
이므로
(참) ㄴ.
ㄱ에 의하여
(참)ㄷ. ㄴ에 의하여
그러므로
의 역행렬은 존재한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ19. [출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제해결하기
≤
≤
≤
함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기
고 3 정답 및 해설 2015학년도 7월 전국연합학력평가
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위하여 , 에서도 연속이 되어야 한다.
(ⅰ) 일 때
→
lim
lim
→
이므로 함수 는 의 값에 관계없이
에서 연속이다.
(ⅱ) 일 때
함수 가 에서 연속이 되려면
lim
→
lim
→
, ≠ 이므로
20. [출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기 마름모의 성질에 의하여 마름모 AD EF 의 두 대각선이 만나는 점과 원의 중심이 일치하므로
O E AE
∠EO P
이므로 O P
, P E 사각형 O P EQ 의 넓이
그림
에서 새로 그려진 정삼각형의 한 변의 길이를 이라 하면
그림
에 색칠한 한 개의 사각형의 넓이를이라 하면
그림
에서 새로 그려진 사각형의 개수는 그림
에서 새로 그려진 사각형의 개수의 배이다.그러므로
은 첫째항이
이고 공비가 인
등비수열의 첫째항부터 제항까지의 합이다.
따라서
lim
→ ∞
21. [출제의도] 미분을 활용하여 문제해결하기
′ 이고 에서 극솟값을 가지므로
′ … ㉠
㉠에 의하여 ′
는 , , 에서 극솟값을 가지므로
따라서
22. [출제의도] 수열의 극한 계산하기
lim
→ ∞
․
lim
→ ∞
23. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은
(그래프의 변의 개수)×
따라서 ×
(참고)
24. [출제의도] 미분계수 계산하기
lim
→
′
′ 이므로
lim
→
25. [출제의도] 무한급수 이해하기
∞
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
26. [출제의도] 독립시행을 활용하여 문제해결하기
C
C
따라서
27. [출제의도] 계차수열을 활용하여 추론하기 수열
에 대하여 이므로
≥
따라서
28. [출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기 직선 와 곡선 가 만나는 점의 좌 표가 이므로 log
곡선 위의 점 Q 의 좌표가 이므로
log log 를 정리하면
직선 와 곡선 의 만나는 점의 좌 표가 이므로 log
곡선 위의 점 R 의 좌표가 이므로
log log 를 정리하면
세 점 P , Q log , R log 가 한 직선 위에 있으므로
log
log
를 정리하면
,
따라서
29. [출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 문제해결하기
(단, 는 상수) 라 하면
조건 (가)에 의하여
′ 에서 조건 (나)에 의하여
′
조건 (다)에 의하여 ≥ 이고
≥
(∵ ≥ )
일 때, 최솟값
따라서
30. [출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기
<B 형>과 <C 형>이 각각 번 나타나도록 개 의 바둑돌을 나열한 경우는
●○●○● 또는 ○●○●○
(ⅰ) ●○●○●인 경우
번의 <D 형>을 만들기 위해서는 새로운 개의 ○을 나열되어 있는 ○에 이웃하도록 나 열하고, 번의 <A 형>을 만들기 위해서는 새 로운 개의 ●을 나열되어 있는 ●에 이웃하 도록 나열하면 되므로
C× C C×C
(ⅱ) ○●○●○인 경우 같은 방법으로
C× C C×C
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 경우의 수는
