원함수

 원함수 y=f(x), 평균함수 y/x=f(x)/x,

 도함수 dy/dx=f’(x)

 경제학 예

 원함수 비용함수 C=C(Q). Q=생산량, C=총생산비

 평균함수 평균비용 함수 AC=C(Q)/Q

 (Average Cost=AC)

 도함수 한계비용 함수 MC=dC(Q)/dQ=C’(Q)

 (Marginal Cost=MC)

 (총)수입[(total) Revenue] 함수 R=R(Q)

 평균 수입 함수 AR=R(Q)/Q

 한계 수입 함수 MR=dR(Q)/dQ=R’(Q)

 생산(production) 함수 Q=f(L),

 L=labor input(노동 투입량)

 노동의 평균 생산 함수 AP=f(L)/L

 노동의 한계 생산 함수 MP=df(L)/dL=f’(L)

 (총)OO 함수

 도함수 “한계OO함수”

 경제분석에서 도함수 개념이 널리 사용되므로 별 도의 이름도 부여하여 “한계OO 함수“라 부름.

 지금까지 “도함수＂라 부른 것은 엄밀히 “1계 (first-order) 도함수”

 원함수 y=f(x),

 1계 도함수

 1계 도함수도 x의 함수이므로, 다시 한번 더 미분할 수 있다 .

) ( )

(x f x dx f

y d dx

d dx

dy    

) (x dx f

d dx

dy dx

d   



 





2계 도함수(second-order derivative)

는 “중복된 문자를 제곱으로 표시하면“

가 되지만, 수학에서는 분모의 괄호를 제거 하여 으로 표기한다. 그리고 프라임 기호는

로 표기한다.



 



 dx dy dx

d

2 2

) (dx

y d

) ( )

(x f x dx f

d   

2 2

dx y d

 요약하면 y=f(x)의 2계 도함수는 다음과 같이 표 기한다:

 마찬가지 요령으로, 3계 도함수는

 4계 이상 n계 도함수는

 (prime 기호는 상첨자 “(n)”으로 표시함)

)

2 (

2

x dx f

y

d  

)

3 (

3

x dx f

y

d  

)

)(

( x

dx f y

d _n

n n



1) 1계 도함수: f’(x)

x=x₂에서 1계 도함수가 양이면(f’(x₂)>0), 그 점에 접하는 접선의 기울기가 양이다. 즉, 접선이 우상향 하므로 x₂ 근방에서 y=f(x)함수는 “우상향

(upward-sloping)”한다.

 (자세한 설명) f’(x₂)>0이면, x가 x₂ 의 근방에서 증 가, 즉 x₁ < x₂ < x₃ 로 증가함에 따라 원함수값도 f(x₁) < f(x₂) < f(x₃)로 증가한다.

 y=g(x), y=h(x) 함수도 마찬가지.

x₂에서 1계 도함수가 음이면, 원함수는 x₂ 근방에 서 “우하향)downward-sloping)”한다.

즉 p’(x₂)<0이면, x가 x₂ 의 근방에서 증가, 즉 x₁ < x₂

< x₃ 로 증가함에 따라 원함수값도 p(x₁) >p(x₂) > p(x₃) 로 하락한다. r(x), q(x)도 마찬가지.

2) 2계 도함수의 부호와 원함수의 그래프 관계

f”(x₂)=df’(x)/dx>0이면, x가 x₂ 의 근방에서 증가, 즉 x₁ < x₂ < x₃ 로 증가함에 따라, 1계 도함수값도 f’(x₁) < f’(x₂) < f’(x₃)로 증가함을 의미한다.

아래 그림에서 f(x) 곡선상의 점 a1, a2, a3에서 접선을 짧게 도시하였는데, 접선의 기울기가 점차 증가하므로 “ f”(x₂)>0”이 성립한다.

y=h(x)곡선의 경우 x가 증가함에 따라 그 기울기 가 점차 감소하므로 h”(x)<0이 성립한다.

x₂에서 2계 도함수 값이 정반대인 f(x)와 h(x)는 무 엇이 다른가?(1계 도함수는 모두 양임)

x₂근방에서 y=f(x) 그래프는 “(아래로부터) 볼

록”(convex from below)하고, y=h(x)의 그래프는

“(아래로부터) 오목”(concave from below)하다고 한다.

아래 그래프에서도 1계 도함수는 모두 양이지만, 2 계 도함수가 양[음]이면 볼록[오목]하다.

(요약)

1계 도함수 f’(x)>0 ↔ x근방에서 우상향 f’(x)<0 ↔ x근방에서 우하향 2계 도함수 f”(x)>0 ↔ x근방에서 볼록

f”(x)<0 ↔ x근방에서 오목 곡도(curvature)를 결정.

1. 함수들의 합, 곱 및 몫의 미분법

f(x), g(x)의 도함수 f’(x), g’(x)가 계산되어 있을 때

5 .

5 0

. 0 )

(  ^

 x x

f

2 2

)

(  

 x x

g 일 때

) 2 2

( )

1 2

( 5

.

0 ^{0.5 2}    ^0.5 

 x ^ x x x x

2. 연쇄법칙

의 미분

만약 이라면 어떻게 할 것인가?

216 )

16 ( 2 )

96 ( 3 )

48 ( 4 )

(  ³  ²  

ht t t t

) 100

2 3 ( )

(t t t

h _{ }

주어진 함수

(1)

를 합성함수로 파악:

(2a)

(2b) .

(2a)와 (2b)를 합성하면[(2b)를 (2a)에 대입함으로써]

(1)이 만들어짐.

)4

2 3

( )

(t t

h

y _{  }

)

4 f(x x

y _{ }

t t

g

x  ( )  3  2

) ( )

2 3 ( )) (

(g t t ⁴ h t f

y _{   }

)

4 f (x x

y  

)4

2 3

( )

(t t

h

y _{  }

t t

g

x  ( )  3  2