제 1 2 장 이원분산분석

제 1 2 장 이원분산분석

•일 반 적 으 로 자 료 수 n이 증 가 하 면 t분 포 는 정 규분포 에 접 근
t분 포 와 정 규분포 의 관 계

두두두두 집단집단집단집단 평균비 교 평균비 교 평균비 교 평균비 교 : 가설검 정 가설검 정 가설검 정 가설검 정 절차절차절차절차

[단계단계단계단계1] 두두두두집단집단집단집단간의간의간의간의등분산성에등분산성에등분산성에등분산성에대한대한대한대한검정을검정을검정을검정을먼저먼저먼저먼저수행한다수행한다수행한다수행한다.

[단계단계단계단계2] [단계단계단계단계1]의의의의결과에결과에결과에결과에따라따라따라따라다음의다음의다음의다음의두두두두가지의가지의가지의가지의검정검정검정검정방법이방법이방법이방법이있다있다있다있다.

(1)두두두두집단집단집단집단간의간의간의간의분산이분산이분산이분산이동일한동일한동일한동일한경우경우경우경우: 두두두두집단집단집단집단간의간의간의간의평균차이평균차이평균차이평균차이검정검정검정검정

(2)두두두두집단집단집단집단간의간의간의간의분산이분산이분산이분산이다른다른다른다른경우경우경우경우: 두두두두집단집단집단집단간의간의간의간의평균차이평균차이평균차이평균차이검정검정검정검정

F - 검 정 검정검정검정

T - 검정검정검정검정

T - 검정검정검정검정

세세세세 집 단 집단집단집단 이 상 의 이상의이상의이상의 평 균 비 교 평균비교평균비교평균비교 독 립 변 수 의 독 립 변 수 의 독 립 변 수 의 독 립 변 수 의 그

룹 그 룹 그 룹 그

룹

범 (

주 범 주 범 주 범

주

수수수수 의의의의 ) t - 검 정 검정검정검정

두두두두 집 단 집단집단집단 t - 검정검정검정검정

분 산분 석 분산분석분산분석분산분석 요 인 의 요 인 의 요 인 의 요 인 의 수수수수 일 원 배 치 법 일원배치 법 일원배치 법 일원배치 법

이원배치 법 이원배치 법 이원배치 법 이원배치 법

다원배치 법 다원배치 법 다원배치 법 다원배치 법

1. 일 원 배 치 일원배치일원배치일원배치 분 산분 석 분산분석분산분석분산분석

일원배치 분 산 분 석 일원배치 분 산 분 석 일원배치 분 산 분 석 일원배치 분 산 분 석 (o n e -w a y a n a ly si s o f v a r ia n c e : o n e -w a y

A N O V A ) 이 란 독 립 변수가 하 나일 때 분 산 의 원 인이 집 단 간 차 이에 기인 한 것인 지 를 분 석하는 통 계적 방 법이 다 . 즉 , 인 종간 지 능의 차이 라 든가 사 회계 층에 따 른 사회에 대한 족 도 , 또는 교수법에 따른 학 업 성 취의 차 같 은 연 구를 할 때 , 각 연구에 서 독립변수는 하나 임 을 알 수 있다 . 첫 번 째 연구에서 독립변수는 인종이 며 , 두 번째 연구에서는 사회계층 , 세 번째 연구에서는 교수법이 된다 . 각기 하나의 독립변수에 한 집단간의 차이를 비교하 게 되 므로 이를 일원분산분 석 일원분산분 석 일원분산분 석 일원분산분 석 이라 한다 .

2. 이원배치이원배치이원배치이원배치 분산분석분산분석분산분석분산분석

이원분산 분 석 이원분산 분 석 이원분산 분 석 이원분산 분 석 (t w o -w a y a n a ly si s o f v a r ia n c e ) 은 일원분산분석 에서 설 명한 분산분석의 기 본원 리 와 동일하며 종 속변수에 대한 모집단 분포가 정규분포이 어 야 하 고 집단간의 모집단 의 분산이 같 아야 하는 등분산가정을 충족 시 켜야 시 행 될 수 있다 . 이원분산분석은 독립변수가 2개일 때 , 각 독립변수의 영 향이 있는가와 두 독립변수의 상 호 작 용이 존 재하는지를 밝 히는 목적을 가 진 교 차 설 계 교차설계교차설계교차설계 (c ro ss ed d e si g n ) 와 한 독립변수 의 각 수 준에서 다른 독립변수의 영향이 있는가를 목적으로 하는 내 재설계 내재설계내재설계내재설계 (n e st e d d e si g n ) 로 나 뉜다 .

이 원 분 산 분 석 의 이원 분 산 분 석 의 이원 분 산 분 석 의 이원 분 산 분 석 의 개 념 개념개념개념 및및및및 유 용 성 유용성유용성유용성

개 념 개념개념개념 두 가 지 요 인 이 있 을 때 이 들을 동 시 에 변 화시 켜가 면 서 그 영 향을 분 석 하 는 방 법 ( 각 요인들 의 영향을 동시에 분석 , 적 은 수의 관 측 으 로 더 정 확 한 관측 )

유 용 성 유용성유용성유용성 - 주 효 과 주효과주효과주효과 (각각의 독 립 변인 만의 효 과 )와 상 호 작용 의 상호작용의상호작용의상호작용의 효과효과효과효과 (두 독립변인의 동시적인 작 용에 의한 효과 )를 볼 수 있 음

C ell : A 의 각 수 준 과 B 의 각 수준의 조 합 처 리 .

각각각각 C ell CellCellCell 에 서 에서에서에서 한한한한 개 의 개의개의개의 관 측 관측관측관측 값값값값 만 을 만을만을만을 얻 는 얻는얻는얻는 경 우 경우경우경우 ((((반 복 이 반복이반복이반복이 없는없는없는없는 ), ), ), ), 두개두개두개두개 이 상의 이상의이상의이상의 관측관측관측관측 값을값을값을값을 얻을얻을얻을얻을 경우경우경우경우 ((((반복이반복이반복이반복이 있있있있 는는는는 ) ) ) ) 이 원 배 치 법 이원배치법이원배치법이원배치법

두 개의 인 자 가 관 측 값 에 영 향 을 줄 때

수 확 량 : 곡 물 의 품 종 /비 료의 종 류 ,

교 육 효 과 : 강의 경 력 /교육 방 법

11

표 기 법

XXXX ijkijkijkijk

i= 1, 2… .,n :“ 교 차 하 는 부 분 내 ” 관 찰 치 의 경 우 j=1,2…..j : 요 인의 A의 경우 k=1,2…..,k : 요인 B의 경우

교차 설 계 : 두 독 립 변 수 (요인 )와 그 상 호 작 용 효 과 를 알 아 보 기 위 한 설계

11

12

상호작용의 두 유 형

하 중 상 수 행

능 력 하 중 상 능력 수 행

상호작용이없을때상호작용이있을때 상호작용

12

이 원 분 산분 석 의 모 형

ijk jk k j ijk e Y + + + + = γ β α µ

여 기 서 µ = 전 체 평 균

α j = 요 인 A 의 j번 째 그 룹의 주 구 분 효 과 (처리 A의 효 과 )

ß k = 요인 B의 k번째 그룹의 주구분효과 (처리 B의 효과 )

r

= 두요인 A 와 B의 상 호 작 용 효과

e

= i의 개 별 적 차 이 오차

 유의수준 α 에서 행효과 A

가 모두 0이라는 귀 무가설 검정

H

기각

F F

<<<<

요 인 A 요인 B 오 차 a -1 b -1 (a -1 )( b -1 ) 자유도

M S A = S S A /a -1 평균제곱합

M S B = S S B /b -1 F -r at io

F

= M S A / M F

= M S B / M 변동요인

합 a b -1 M S E = S S E /( a -1 )( b -1 ) 제곱합 S S A

S S B

S S E

S S T

)1b)(1a(,1b,B

F F

<<<<

 유의수준 α 에서 행효과 B

가 모두 0이라는 귀무가설 검정 이면 H

기각

15
마케팅관리자가패키지디자인으로두가지가아닌세가지를비교하고자하는경우, 선정된수퍼마켓을세집단을나누어각집단의수퍼마켓에A, B, C중한가지패키지디자인의비누를진열하여매출을비교한다면수퍼마켓의크기, 내점고객수, 그지역의소득, 경쟁상황등여러가지요인들이매출에영향을줄수있다(외생변수). 그러므로무작위블럭디자인(randomized block design)을통해서실험을해야한다. 이실험에서4개의수퍼마켓을선정하여각수퍼마켓에세가지디자인의비누를모두진열하였다. 그결과각수퍼마켓에서패키지디자인별로다음과같이매출이실현되었다. 이경우각수퍼마켓의조건이세가지디자인의비누판매에공통적으로영향을미치며, 이와같은변수를블럭(block)변수라고한다. 이자료로부터패키지디자인에따라매출이다르다고할수있는가?

수퍼마켓별수퍼마켓별수퍼마켓별수퍼마켓별각각각각패키지패키지패키지패키지디자인의디자인의디자인의디자인의판매실적판매실적판매실적판매실적패키지패키지패키지패키지디자인디자인디자인디자인

ABC

수퍼마켓수퍼마켓수퍼마켓수퍼마켓 1173423

2152621

31238

402216 한처치변수의수준(treatment level)에따라결과변수의값이달라지는가를조사할때외생변수로작용할수있는변수를통제하기위하여블럭변수로처리한것으로엄격히말해한개의처치변수의효과를조사하는것.

16

 가설 검 증 • H

: μ

= μ

= μ

, H

: 모 든 μ 가 동 일 하 지 는 않 다 . • F- te st 를 한다 . • 분 산분 석 표를 작 성하 여 F

를 구한다 .

무작위무작위무작위무작위블럭디자인의블럭디자인의블럭디자인의블럭디자인의분산분석표분산분석표분산분석표분산분석표

원천원천원천원천제곱합제곱합제곱합제곱합(SS)d.f.평균제곱평균제곱평균제곱평균제곱(MS)Fobs

처치처치처치처치(집단간집단간집단간집단간)547.172273.5836.09

블럭블럭블럭블럭348.003116.0015.30

오차오차오차오차(집단내집단내집단내집단내)45.5067.58

합계합계합계합계940.6711

주 관 심대상

•

관심의 대상 : 패키지 디자인에 따라 매출이 다른가에 관한 것이 므로 F

(처치 )= 36 .0 9를 다음의 F

과 비교한다 (α=.0 5) F

= F(α; t- 1, ( b - 1)( t- 1)) = F(.05 ; 2, 6) = 5.14

•

F

＞ F

이므로 H

는 기각되며 , α=.05 에서 패키지 디자인에 따라 매출이 달라 질 수 있다는 결론을 내릴 수 있다 . 또한 F(.005 ; 2, 6) = 14.54 이므로 p- val ue ＜.005 이고 따라서 H

는 α=.005 에서 도 기 각된다 (자유도가 커질수 록 F값은 작아지는 경향이 있다 ).

•

추가 적으로 원래 관심의 대상은 아니지 만 슈퍼마켓간에 매출이 동일 하다 (μ

= μ

= μ

= μ

)는 귀무가 설을 생각 할 수 있는 데 ,

 H

: μ

= μ

= μ

= μ

, H

: 모든 μ 가 동일하지는 않다 .

 F

= 15.30, F

= F(α; b - 1,( b - 1)( t- 1))= F(.05; 3,6)=4. 76

 F

＞ F

이므로 H

는 기각되며 , α=.05 에서 비누매출이 동일하 지는 않다는 결론을 내릴 수 있다 . 또한 F(.005 ; 3, 6) = 112.92 이 므로 p - value ＜ .005 이고 따라서 H

는 α=.005 에서도 기각된다

요 인 A 요인 B

오 차 a b (c -1 ) 자유도

M S A = S S A /a -1 평균제곱합

M S B = S S B /b -1 F -r at io

F

= M S A / M F

= M S B / M F

= M S I/ M S 변동요인

합 a b c -1 교호효과 (a -1 )( b -1 ) M S I= S S I/ (a -1 )( b -1 )

M S E = S S E /a b (c -1 ) 제곱합 S S A

S S B

S S E

S S T S S A× B a -1 b -1

19

H

: µ

= µ

= …= µ

(요 인 요인요인요인 A 의의의의 효 과 가 효과가효과가효과가 없 음 없음없음없음 )
H

: 평 균 이 평균이평균이평균이 모 두 모두모두모두 같 지 같지같지같지 않 다 않다않다않다 . ⇒⇒⇒⇒ F

> F

이 면 이면이면이면 H

기 각 기각기각기각

H

: µ

= µ

= …= µ

(요인요인요인요인 B의의의의 효과가효과가효과가효과가 없음없음없음없음 )
H

: 평균이평균이평균이평균이 모두모두모두모두 같지같지같지같지 않다않다않다않다 .
⇒⇒⇒⇒ F

> F

이면이면이면이면 H

기각기각기각기각

H

: I

= 0 (∀∀∀∀ i , j)
H

: 교 호효과 가 교호효과 가 교호효과 가 교호효과 가 모 두 모 두 모 두 모 두 0인인인인 것 은 것은것은것은 아 니다 아니다아니다아니다 .
⇒⇒⇒⇒ F

> F

이면이면이면이면 H

기각기각기각기각

20

팩 토 리 얼 디 자 인 에 의 한 이 원 분 산분 석의 예 : 저 관 여 신 제 품의 경 우 소 비자의 광 고에 대한 태 도 는 브 랜 드태도에 상 당한 영 향 을 미 칠 수 있 다 . 신제품 광고 로 서 세 가 지 광고대안을 개 발 하 였 으 며 피 실 험자 들에 게 노 출 시 킨 후 광고태도 를 측 정하여 소비자들 이 좋 아하는 광고를 선 택하고자 한다 . 마 케 터는 이 러한 광고대안 들에 대한 태도가 남 녀 간에 다를지도 모 른다고 생 각하고 남 · 녀 중 어 느 집 단이 어 떤 광고를 더 좋아하는지 알 기를 원 했다 남 · 녀 각각 9명의 피실험자들을 다 음 과 같이 6개의 c e lls 에 할당하 고 각 피실험자에게 세 가지 광고 중 하 나를 보여 주 었다 . 피실험 자들 은 광고태도를 0 ~ 5.0 (간 격 0. 1) 의 척도상에 표시하였다 . 그 결과는 다음과 같다 . 이 때 , 세 가지의 연 구 문제를 생각할 수 있다 .
광고대안에 따 라 광고태도가 다른가 (α = .0 5) ?
성 별에 따라 광고태도가 다른가 (α=. 05) ?
성별과 광고대안 간에는 상 호 작 용 효과가 있는가 (α= .0 5) ?

21 < 가설검증>

H0: μ1=μ2=μ3, H1: 모든μ가동일하지는않H0: μ남＝μ여, H1: μ남≠μ여H0: 상호작용효과가없다. H1: 상호작용효과가있다.

2×3 factorial design에의한이원분산분석(세개의F-검증)

cell별로평균을계산하면… 남남남남·여별여별여별여별각각각각광고에광고에광고에광고에대한대한대한대한태도점수태도점수태도점수태도점수

성별성별성별성별 광고광고광고광고

123남남남남4.13.13.5

3.92.83.2

4.33.33.6여여여여2.71.92.7

3.12.22.3

2.62.32.5

자료의자료의자료의자료의평균값평균값평균값평균값

성별성별성별성별 광고광고광고광고계계계계123남남남남4.103.063.433.53여여여여2.802.132.502.48계계계계3.452.602.973.00 자료의자료의자료의자료의이원분산분석표이원분산분석표이원분산분석표이원분산분석표원천원천원천원천제곱합제곱합제곱합제곱합(SS)자유도자유도자유도자유도평균제곱평균제곱평균제곱평균제곱(MS)광고광고광고광고(A)2.181121.09062

성별성별성별성별(B)5.013915.0139 1 상호작용상호작용상호작용상호작용(A××××B).13442.0672오차오차오차오차.600012.0500합계합계합계합계7.929417

22 •연구가설별로F-table에서Fcrit를찾는다.

•이원분산분석의경우보통상호작용과정을먼저조사.상호작용효과가유의적: 전체패턴을주의깊게해석(주효과를추가적으로조사하지만, 의미는크지않다.)상호작용효과가비유의적: 주효과를조사하고유의적이면이에따라해석.상호작용효과에대한검증: Fobs= 1.34 ＜Fcrit= F(.05 : 2, 12) = 3.89 ∴ 상호작용효과는유의적이지않음.광고대안(A)의주효과에대한검증: Fobs= 21.81 ＞Fcrit= F(.05 : 2, 12) =3.89 ∴ 광고대안(A)의주효과는유의적.성별(B)의주효과에대한검증: Fobs= 100.28 ＞Fcrit= F(.05 : 1, 12) = 4.75 ∴ 성별(B)의주효과는유의적.

광고 광고태도

123

1 2 3 4

Comment: 남자가여자보다실험광고를선호하며, 광고1을세개중가장선호하는것으로추정.

23

문제 : 40 명의 피험자를 무선적으로 10 명씩 네가지 실험 조건에 배치해서 실험 한 결과가 다음과 같았다 a ) 교수 방법은 영어성적에 영향을 미치 는가 ? b) 성별에 따라 영어성적에 차가 있는가 ? c) 영어성적에 있어서 교수방법과 성별 변인간에는 어떤 관계가 작용하는가 ?

교수방법 A 교수방법 B

남학생여학생남학생여학생

766642624342607866 364547234354454140 437566465651635250 372222251123242531

601417564247∑X

3770317979327006503∑ 2X23

24

변동요인 집단내 상호작용 : 교수방법 *성별 성별간 교수방법간

전체 자승합 3465.500 442.225 6275.025 1071.225

1 1253.975 d f 36 1 1 1

39 평균자승

92.264 442.225 6275.025 1071.225 F 4.59 65.19 1 1.13 P P＜ .05 P＜ .01 P＜ .01

24

분 산분 석 표

결 론

성 별 남 여

41.7 56.4

24.7

교수방법

AB

58.25

33.2

50.940.55

A B

·A 방 법 이 B방법 에 비 해 효 과 적 ·남 학 생이 영학생 보 다 성적이 더효 율적 ·교 수방법보다 성별여 하 가 영 어성적에 차이 를 많이 냄

[예제 ] 교수법과 송환 여부에 따라 외국어에 대한 학습태도에 차이가 있는 지 알아보기 위하여 강의식 , 멀티미디어식 , 조별토론식에 의한 교수법 으로 구분하 고 각 교수법에 서 송환 을 하는 조건과 하지 않는 조건을 구분하여 중학교 2학년 학생들을 대상으로 각 실험조건하에서 한 학기 동안 수업을 진행하 였다 . 교수법과 송환 여부 각각에 따라 외국어에 대한 학습태도에 차이가 있는가 ? 또한 교수법과 송환 여부의 상호작용 효과가 있는가 ?

1.

분석  일반선형모형  일변량

종속변수 : 외국어학습태도 , 모수 요인 : 교수법 , 송환여부

모형  완전요인모형 , 제 III 유형

도표  수평축 변수 : 교수법 , 선구분 변수 : 외국어학습태도

사후분석  교수법

옵션  출력 : 기술통계량 , 동질성 검정

27

어 떤 변 수 의 각 수 준 에 서 다 른 변수의 효 과 를 분 석 하 기 위 한 설 계

독 리변수들의 상 호 작 용에 관 심 을 두 는 것 이 아 니 라 한 독 립변수 의 각 수준에서 다른 독립변수의 영 향이 있는 가를 검 정

[예 ] 송 환에 따른 교수 법에 의한 외 국어 학 습 태 도 차이 여 부 검정 파 일  새 로 만들기  명 령 문  명령문 편 집기 :

27