Effects of Flame Transfer Function on Modeling Results of Combustion Instabilities in a 3 Step Duct System

3단 덕트 시스템에서 화염전달함수가 연소불안정 모델링 결과에 미치는 영향

홍수민

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^*,†

Effects of Flame Transfer Function on Modeling Results of Combustion Instabilities in a 3 Step Duct System

Sumin Hong and Daesik Kim

Key Words: Combustion instability(연소불안정), Finite element method(유한요소법), Thermo-acoustic analysis(열음향 해석), Flame transfer function(화염전달함수)

Abstract

In this paper, we used Helmholtz solver based on 3D finite element method to quantitatively analyze the effects of change of gain, time delay and time delay spread, which are the main variables of flame transfer function, on combustion instability in gas turbine combustor. The effects of the variable of flame transfer function on the frequency and growth rate, which are the main results of combustion instability, were analyzed by applying the conventional heat release fluctuation model and modified one considering the time spread. The analysis results showed that the change of gain and time delay in the same resonance mode affected the frequency of the given resonance modes as well as growth rate of the feedback instability, how- ever, the effect of time delay spread was not relatively remarkable, compared with the dominant effect of time delay.

기호설명

ρ : 밀도 : 압력 섭동 c : 음속 γ : 비열비 ω : 각 진동수 u : 속도

: 평균량 : 섭동량

Q : 열 발생량 n : 이득값 τ : 시간 지연 Δτ : 시간 지연 분포

1. 서 론

연소불안정은 당량비 또는 공기 및 연료의 유량이 변 하면서 열 발생 섭동이 생기고 이는 압력 섭동과의 결 합으로 이어져 피드백 관계를 형성하게 되는 현상이다^(1,2). 이러한 현상이 지속되면 연소기 내부에 열 응력이 축적 되고 과도한 압력진동으로 인해 연료노즐이나 연소기와 같은 부품들이 손상될 수 있으며 이는 곧 가스터빈 전 체 시스템에 영향을 줄 수 있다. 이와 같은 연소불안정 문제를 예측하고 예방하기 위해 많은 연구팀에서는 다 pˆ

(Received: 17 Aug 2020, Received in revised form: 9 Sep 2020, Accepted: 10 Sep 2020)

*

강릉원주대학교 기계공학과

†

책임저자, 회원

E-mail : [email protected]

TEL : (033)760-8728 FAX : (033)760-8728

양한 해석 모델링 방법이 개발되어 왔다^(3-7).

이러한 다양한 연소불안정 모델링 방법 중 3차원 기 반의 유한요소해석(FEM, Finite Element Method)은 1차원 네트워크 기반의 접근 방법^(3,4)에 비하여 복잡한 실제 연 소 시스템을 구조에 있어서의 단순화 과정 없이 그대로 해석 형상을 구현할 수 있다는 장점이 있고 또한 LES (Large Eddy Simulations) 해석^(6,7)보다 시간과 비용 측면에 서 효율적이어서 다양한 운전 변수 및 형상 변수에 대한 기초 연구를 자유롭게 실시할 수 있다는 장점이 있다^(8,9). 그러나 3D FEM을 이용한 연소불안정 해석은 음향 해석 에 대한 모델링 결과만을 풀게 되고 이와 피드백이 되는 외부 섭동에 대한 화염의 동적 거동은 별도로 정의되는 정보를 통하여 입력되어야 한다. 이와 같은 연소불안정 환경 하에서 비정상 열 발생 섭동은 일반적으로 화염전달 함수(FTF, Flame Transfer Function)⁽¹⁾의 형태로 정의되고, 이는 실험^(10,11)과 LES^(6,7)등을 통하여 얻어진다.

최근까지의 국내외 수많은 화염전달함수의 연구결과 로부터 다양한 형태의 화염전달함수가 제시된 바가 있 다⁽¹²⁾. 이러한 다양한 형태의 화염 동특성 모델의 대부 분은 1951년 Crocco⁽¹³⁾에 의하여 제시된 모델을 근간으로 하고, 여전히 실제 가스터빈 시스템에서도 전 통적인 의 모델 및 그 변형 식들이 연소불안정 모 델링에 적용되고 있다^(12,14).

그러나 이러한 오랜 기간에 걸친 화염전달함수에 대 한 폭넓은 연구에도 불구하고, 해석 대상에 국한되어 화 염전달함수와 음향장이 결합된 최종적인 피드백 불안정 모델링 결과에만 집중되어 왔고, 실제 화염전달함수의 주요 파라미터인 이득값(gain, n)과 시간지연(time delay, τ)이 개별적으로 연소불안정 발생 특성에 미치는 정량 적인 연구는 매우 부족한 실정이다.

따라서 본 연구에서는 음향학적으로 해석이 용이한 3 단 덕트와 단순한 음향 경계 조건하에서 3D FEM을 이 용하여 n과 τ의 변화가 불안정 발생 주파수와 성장률에 미치는 영향을 정량적으로 분석하였다.

2. 해석 모델 및 방법

2.1 음향 지배방정식

연소불안정을 예측하기 위하여 본 연구에서는 상용코 드인 COMSOL Multiphysics를 사용하였고, 그 중에서 도 3D FEM을 기반으로 하는 Acoustic module을 통해 연소불안정 모델링을 진행하였다. 이 때, 사용된 지배방

정식⁽¹⁵⁾은 식 (1)과 같다.

(1)

여기서 ρ, , w, c 그리고 는 각각 밀도, 시스템의 압력 섭동, 각 진동수, 음속 그리고 열 발생 섭동량을 의 미한다.

2.2 화염전달함수

본 연구에서는 식 (2)와 같이 가장 보편적으로 사용되 는 화염전달함수의 형태인 모델을 적용하였다.

(2)

여기서 , , , , n, w 그리고 τ는 각각 열 발생 섭동량, 평균 열 발생량, 속도 섭동량, 평균 속도량, 이 득값, 각 진동수 그리고 시간지연을 나타낸다.

또한, 일반적인 열 음향 모델에서는 화염장을 매우 얇 은 면에 열 발생이 집중되는 “Thin flame”으로 처리하고, 대부분 이러한 얇은 화염면이 연소실 입구에 존재한다 고 가정한다. 그러나 실제 대부분의 연소 시스템에서는 이러한 가정과는 달리, 연소기의 형상과 운전 조건 또는 연료 조성에 따라 길이 방향의 분포를 보이게 된다. 특 히 열 음향 모델링 측면에서는 얇은 화염면일 때와 실 제 공간상의 열 분포를 갖는 화염장은 시간 지연값(time delay, τ)에서의 차이를 보이게 된다^(16,17). 본 연구에서는 공간적으로 분포하는 화염장의 영향을 함께 검토하기 위하여 τ의 분포를 나타내는 를 고려하였고, Sat- telmyer⁽¹⁸⁾가 제시한 식 (3)을 적용하였다.

(3)

2.3 해석 대상 연소기 및 조건

본 논문에서는 Dowling 등⁽¹⁹⁾이 연소불안정 모델링 개발을 위하여 제안한 3단 덕트 시스템에서 모델링 연 구가 진행되었다. 3단 덕트 시스템은 예혼합실(plenum), 노즐(nozzle)과 연소실(combustor)로 구성된 가장 일반 적인 가스터빈 예혼합 연소 시스템의 형태를 갖추고 있 을 뿐만 아니라, 특히 Campa. 등⁽⁸⁾및 Tamanampudi. 등⁽⁹⁾ 은 동일한 3단 덕트의 구조와 운전 조건에서 FEM 해석 결과를 제공하고 있어서 본 연구의 기초 결과 검증을 가능하게 하였다.

n τ–

n τ–

∇ 1 ρ---∇pˆ

⎝– ⎠

⎛ ⎞ w² ρc² ---pˆ

⋅ – =Qˆ

pˆ

n τ–

FTF1( ) Qw ˆ Q⁄ uˆ u⁄

--- n w( )e^{– wτi}

= =

Qˆ Q uˆ u

τ Δτ±

FTF₂( ) Qw ˆ Q⁄ uˆ u⁄

--- ne^{– w τi (+Δτ)}–e^{–iw τ(–Δτ)} 2iw τΔ ---

= =

참고문헌⁽¹⁹⁾에서 사용된 연소기의 구조는 Fig. 1(a)와 같으며, Fig. 1(b)는 해당 시스템의 FEM 해석을 위한 격 자계를 나타내며 사전 격자 테스트를 통하여 143,420개 의 격자가 적용되었다.

Table 1과 2는 참고문헌⁽¹⁹⁾에서 적용된 연소기의 주요 치수 및 운전 조건과 모델링에 필요한 주요 물성치를 나타낸 것이다. 예혼합실의 입구는 음향학적으로 닫힌 (closed) 조건이며, 연소실 출구는 열린(open) 조건으로 해석이 진행되었다^(8,9,19).

동일한 연소실 형상과 운전 조건에서 화염전달함수가 피드백 불안정 모델링 결과에 미치는 영향을 분석하기 위하여, 일반적인 화염전달함수의 이득값의 범위를 고 려하여 n은 0.5에서 3까지 0.5 간격으로 변경하였고, τ 는 참고문헌에서 예시로 적용된 6 ms와 주어진 노즐의 위치와 평균 속도를 고려하여 연소실 입구에 화염면이 존재할 때의 값인 1.3 ms의 사이에서 변화를 주어 가면 서 모델링을 수행하였다.

추가적으로 시간 지연 분포에 따른 영향을 분석하기 위 하여 Δτ의 값을 0 ~ 3 ms의 범위에서 해석을 진행하였다.

3. 결과 및 고찰

3.1 모델링 검증

본 연구를 진행하기에 앞서, 해석 대상으로 선정한 시

Fig. 1 (a) Schematics of combustor, (b) Mesh of the geometry

Table 1 Geometry of the combustor Area [m²] Length [m]

Plenum 0.01290 1.7

Nozzle 0.00142 0.0345 Combustor 0.00385 1.0

Table 2 Operating conditions Plenum,

Nozzle Combustor Temperature [K] 300 2000 Speed of sound [m/s] 347.13 896.27

Fig. 2 Mode shape of the three lowest resonant frequen- cies

스템의 음향 특성을 파악하고, 현재 연구 결과의 타당성 을 검증하기 위하여, 얇은 화염면에 불안정한 열 방출 섭동이 집중된 형상에서의 열 음향해석을 진행하였고, 이 결과를 동일한 조건에서 FEM 모델링 결과를 제시하 고 있는 참고문헌⁽⁹⁾과 비교하였다.

해석 결과, Fig. 1의 시스템에서는 수많은 음향 모드 들이 존재하고, Fig. 2는 이 중에서 가장 주파수가 낮은 공진 모드 3개에 대한 압력 섭동 모드 분포와 그 때의 주파수를 나타낸 것이다. 제시된 3가지 음향 모드는 예 혼합실부터 연소실까지의 길이에 따라 의존하는 전형적 인 길이 방향 공진(longitudinal resonance) 모드로 확인 이 되고, 부여된 음향 경계 조건에 의하여 예혼합실 입 구에서는 압력 안티노드(anti-node), 연소실 출구에서는 압력 노드(node)가 형성되고 있다. 각각의 주파수는 113, 167, 203 Hz로 본 연구에서는 Mode 1, Mode 2, Mode 3로 구분을 하였으며, 각각의 해당 모드에서, 압 력 섭동 분포의 형상과 주파수에 있어서 기존의 참고문 헌⁽⁹⁾의 결과를 동일하게 재현하는 것으로 나타났다.

참고문헌⁽⁹⁾과의 결과를 정량적으로 비교해보면 Table 3과 같다. 표와 같이 예시된 모드들에서 기존 참고문헌 의 해석 결과와 비교할 때, 1.2% 수준 이내로 현재의 해 석 결과와 일치하는 것으로 나타났다.

3.2 n과 τ의 영향 분석

식 (1)을 지배방정식으로 사용하여, 전술하였던 기본 적인 화염전달함수의 식을 반영하여 피드백 불안정 결 과를 도출하였다. 특히 주어진 조건에서 화염전달함수 의 주요 파라미터인 n과 τ에 따라 불안정 특성의 변화 를 불안정 주파수와 성장률(0보다 클 경우에는 불안정, 그렇지 않을 경우에는 안정)을 통하여 분석하였다.

Figure 3은 임의의 n과 τ의 변화에 따라 Mode 1과 Mode 3의 불안정 주파수를 도시한 것이다. 흥미로운 점 은 동일한 음향 모드에 대해서도 화염전달함수의 변화

가 불안정 주파수에도 영향을 미칠 수 있다는 사실이다.

우선 현재 연구에서의 Mode 1에서는 n과 τ의 범위에 따라 주파수는 110 ~ 117 Hz로, n과 τ 모두 불안정 주파 수에 영향을 미칠 수 있는 것으로 나타났다. 또한, Mode 3의 경우에도 Mode 1처럼 두드러지지는 않았지 만, 낮은 이득값의 범위에서 불안정 주파수가 미소하게 변하는 결과를 나타내고 있다. Yoon⁽²⁰⁾의 해석학적인 연 구에서도 이와 유사한 결과를 도출한 바가 있다. 해당 연구에서는 시스템의 피드백 불안정 특성과 모델 의 관련성을 분석하였고, 그 결과로부터 의 범위에 따라 시스템의 형상(노즐-연소실 면적비 등)과 운전 조 건(음속 등)에 의존하여 불안정 성장률뿐만 아니라, 주 파수에도 영향을 미친다고 보고하였다.

Figure 4는 Fig. 3과 동일한 연구 결과에 대하여 불안 정 성장률을 도시한 것이다. 특히 Fig. 4(a)의 Mode 1의 경우에 n과 τ의 영향을 크게 받는 것으로 나타났는데, 주어진 모드가 안정과 불안정을 결정하는 부분에 있어 서 n 보다는 τ의 영향이 상대적으로 더욱 지배적이었다.

n τ– n τ– Table 3 Predicted resonant frequencies with comparison of

reference data

Resonant frequency [Hz]

Current results Reference⁽⁹⁾

Mode 1 113 113

Mode 2 167 165

Mode 3 203 203

Fig. 3 Change in resonant frequency with variations of n and τ

그러나 해당 모드의 불안정 현상이 나타나게 되는 τ의 범위에서는 n의 값이 증가함에 따라 불안정 성장률이 증가하는 것으로 계산되었다. 반면에 전체적으로 성장 률이 0 근처인 중립(neutral) 조건으로 나타난 Fig. 4(b) 의 Mode 3의 경우에는 Mode 1 대비, 의 영향이 크 지는 않았다.

n과 τ에 따라 성장률에 영향이 컸던 Mode 1의 결과 를 구체적으로 분석해보면 Fig. 5와 같다. 특히 τ의 대 표적인 3가지 조건에 대하여 에 따른 성장률을 분석하 였는데, τ = 1.3 ms는 불안정한 상태, τ = 4.3 ms는 중립 (neutral) 근처의 조건, τ = 6.0 ms는 대표적인 안정한 상 태를 대표한다. 그림과 같이 τ = 1.3 ms의 불안정한 영 역에서는 n이 커질수록 성장률이 더 커지면서 불안정해 지는 것으로 나타났다. 그러나 중립과 안정한 영역에서

는 n이 증가함에 따라 성장률은 거의 변화가 없거나 오 히려 성장률이 음의 범위에서 미소하게 더욱 감소하는 n τ–

Fig. 4 Change in resonant growth rate with variations of n and τ

Fig. 5 Effects of n and τ on growth rate for Mode 1

Fig. 6 Effect of Δτ on growth rate

것을 확인하였다.

3.3 Δτ 에 따른 영향 분석

Figure 6은 Mode 1과 Mode 3에서 Δτ가 변함에 따라 성장률에 미치는 영향을 분석한 결과이다. n = 1, 3으로 2가지 조건에 대하여 분석하였고, Δτ의 영향을 보기 위 해 사용한 FTF2식에 적용 가능한 범위에서 τ의 3가지 조건을 분석하였다. Fig. 6의 결과 상에서 τ = 2.0 ms는 불 안정한 상태, τ = 4.3 ms는 중립 근처의 조건, τ = 6.0 ms는 안정한 상태의 대표적인 경우를 선정하였다. Mode 1과 Mode 3에서 모두 Δτ/τ의 증가함에 따라 불안정 성장률 이 미소하게 증가 또는 감소하는 경향을 보이기는 하나, τ의 지배적인 영향에 비하여 Δτ의 영향은 크지 않은 것 으로 나타났다. 이는 다른 이득값(n)의 경우에도 동일하 였다.

4. 결 론

본 연구에서는 가스터빈 연소기에서의 연소불안정 예 측 시 화염전달함수의 주요 변수인 n과 τ가 연소불안정 에 미치는 영향에 대하여 정량적으로 분석하고자 상용 코드인 COMSOL Multiphysics를 사용하여 연구를 진행 하였다. 해석 대상 시스템으로는 기존 연구에서 해석학 적 연구 및 3D FEM 연구에서 음향장 분석 결과가 발 표된 바가 있는 3단 덕트 시스템의 동일 형상과 운전 조 건을 적용하였다.

일반적으로 사용되는 의 모델과 Δτ를 고려할 수 있는 변형된 열 발생 섭동 모델을 적용하여, 이득값 (gain, n), 시간지연(time delay, τ)과 시간지연 분포, time delay spread, Δτ)의 변화에 따라 연소불안정을 판단하는 주요 결과인 주파수와 성장률에 미치는 영향을 분석하 였다. 동일한 공진 모드에서도 n과 τ의 변화는 피드백 불안정 발생 주파수에 영향을 미치는 것으로 나타났다.

또한, 주어진 모드에서 불안정 발생 여부를 결정하는 성 장률의 경우에 n보다는 τ의 영향이 더욱 큰 것을 확인 하였다. 그러나 불안정이 발생하는 모드에서의 n의 증 가는 성장률의 증가로 이어졌다. 불안정한 영역에서 동 일한 n = 2일 때의 조건에서 τ의 영향에 대해 성장률이 99.3%만큼 변화한 결과와 비교하였을 때, 주어진 τ에 대한 Δτ를 변화시키면서 모델링한 결과에서 성장률의 변화는 5.2%로 상대적으로 크지 않았다.

후 기

이 논문은 2020년도 정부(산업통상자원부)의 재원으 로 한국에너지기술평가원의 지원(20206710100030) 및 교육부 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사 업(NRF-2018R1D1A3B04444013)의 결과입니다.

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