2 장. 조화 가진에 의한 동적 반응
조화 가진
헬리콥터의 블레이드는 회전할 때, 공력으로 인하여 가진력을 받는다. 또한 자동차는 엔진의 회전 시 역시 폭발력에 의한 가진력을 받게 된다. 이와 같이 많은 기계구조물들은 작동 시 가진력을 받는데 그 힘들은 일반적으로 주기함수 특징을 가지므로 종종 가장 대표적인 주기 함수인 조화함수로 이상화 된다. 기계구조물의 설계 시에는 이러한 가진력을 고려하여야 하므로 (예를 들어, 이러한 가진력이 기계구조물에 전달되는 것을 저감하기 위한 흡진이나 제진 장치를 설계한다든지 하는 일) 조화 함수에 의해 가진되는 시스템 진동에 대한 이해는 필수적이라고 할 수 있다.
가진력을 조화함수로 이상화 하는 주 원인으로는 우선 조화함수에 의한 동적 반응을 구하기 쉽고, 실험적으로 함수를 구현하기 쉽다는 장점들을 가지고 있기 때문이며, 모든 주기함수는 조화함수의 조합으로 표현이 가능하다는 Fourier 이론을 이용한다면 일반적인 주기 함수들도 다룰 수 있기 때문이다.
무 감쇠계의 조화 가진
가진력이 코사인 함수로 주어진다면
F
(t
)F
0cos
~t
로 표시할 수 있으며, 여기서F
0 는 가진 함수의 진폭을 나타내고
~는 가진주파수를 나타낸다. 이 때, 시스템의 운동방정식은 다음과 같이 기술될 수 있다.t F kx x
m
0cos
~위 미분 방정식은 상계수 비제차 미분 방정식이므로 그 해는 다음과 같이 구할 수 있다.
) ( ) ( )
(
t x t x t
x
h p위에서
x
h는 제차 방정식의 해이고x
p는 비제차 방정식의 특해이다. 제차 방정식의 해는 전 절에서 구했으며, 비제차 방정식의 특해는 미정계수법을 이용하여 구하면 된다. 즉,t A
t A
x
h 1sin
2cos f t
x
p
20~2 cos~ 여기서
m
f
0 F
0 그리고
~위에서
A
1과A
2를 구하기 위해서는 초기 조건x
(0)x
0와x
(0)v
0을 이용한다. 초기 조건을 이용해 구한 해의 최종 모습은 다음과 같다.f t f t
x v t
t
x
sin ( ~ )cos ~ cos~)
( 0 0 2 0 2 2 0 2
--- (**)
이 해의 모습이 보여주듯이 동적 반응은 2 개의 주파수를 담고 있다. 그 하나는 시스템의 고유 진동수
이고 다른 하나는 가진 주파수
이다.맥놀이 현상 (Beat Phenomena)
맥놀이 현상은 2 개의 주파수가 서로 가깝게 다가가면 발생하는 특수한 현상이다. (**)식에서 관찰할 수 있듯이
~의 값이
에 접근하게 되면 초기 조건을 가진 항들에 비해서 나머지 항들의 크기가 월등히 증가한다. 따라서 해는 근사적으로 다음과 같은 형태를 갖게 된다.2 )
~ sin(
2 )
~
~ sin(
) 2
~ cos
~ (cos )
( 2 0 2 2
f
0 2t t
t f t
t
x
상기 식의 제일 오른쪽 항이 보여주듯이 결과적으로 맥놀이 현상은 저주파인 2
~
와고주파인
2
~
의 두 주파수가 합성된 형태를 갖는다. 이 때, 맥놀이 신호는 2
rad이 아니라
rad 마다 반복되므로 맥놀이 주파수는 저주파의 2배인
~이 된다.예) 종의 맥놀이 현상
종은 원주방향을 따른 두께의 차이로 인해 2 개의 서로 가까운 고유진동수를 갖게 되는데 이로 인하여 은은히 긴 시간을 두고 울리는 낮은 주파수의 종소리가 발생한다.
종의 단면 모양
높은 고유진동수
낮은 고유진동수
공진 현상 (Resonance Phenomena)
맥놀이 현상으로부터 가진 주파수와 고유진동수가 서로 가까워지면 진폭은 점점 더 커지고 최대 진폭에 이르는 시간은 점점 오래 걸리는 결과를 초래하게 된다. 따라서 두 주파수가 아주 가까워지면 그 동적 반응은 발산하는 것 같이 보일 것이다.
두 주파수가 정확히 일치한다면, 특해를 구하는 과정에서 특해로 추정한 형태가 시스템의 일반해를 구성하는 기본계와 일치하면 특해는 그 추정된 해에 시간
t
를 곱한 형태를 갖게 된다. 즉,t f t
t
x
p
sin ) 2( 0
이 함수형태는 시간이 지남에 따라 발산하는 형태로 맥놀이 현상으로부터도 짐작할 수 있는 형태이다.
감쇠계의 조화 가진
감쇠진동계의 운동방정식은 다음과 같이 주어진다.
t F
kx x c x
m
0cos
~이 시스템의 해도
x
h와x
p로 구성되며 다음과 같다.) sin(
Ae
t
x
h t --- (1)t B
t A
t X
x
p
cos(
~
)
scos
~
ssin
~ --- (2) 여기서X
와
는 (혹은A
s와B
s는)x
p를 운동방정식에 대입하여 구한다. 즉,2 2
2 2
0
~) 2 (
~ ) (
/
F m
X
1 2 ~22 ~ tan
--- (3)
식(1)이 나타내듯이
x
h는 시간이 흐르면 0 으로 수렴한다. 따라서 동적 반응은 얼마간의 시간이 흐르면x
p만 남게 되므로 이를 정상상태 반응 (Steady-state response)이라고 부르고x
h는 과도 반응(Transient response)이라고 부른다. 과도 반응이 짧은 시간 내에 사라지거나 중요하지 않으면 이를 무시하고 해석을 수행해도 좋으나 만일 과도 반응이 오래 지속되거나 중요하면 (예로 Hubble Space 망원경의 지구 그림자 통과 시 열 충격에 의한 진동이 발생) 과도 반응을 무시할 수 없다. (3)의 두 식을 변형하면,2 2
0 (1 2) (2 )
1
r F r
Xk
1 2
1 tan 2
r r
여기서
r
~/
로서 주파수비(Frequency ratio)라 부르며
는 동확장계수(Dynamic magnification factor)라 부른다. 아래 그림은 이들을 보여주는데 감쇠 값이 작은 경우는 1
r
근방에서
값은 큰 값을 갖는다.r
0일 때는 정적 변형을 갖게 되며,r
면 동적 변형은 0 으로 수렴하는데 주파수가 커지면 작은 진폭이라도 그 운동에너지의 값이 주파수의 제곱에 비례해서 커지므로 주파수가 무한대로 가면 그 진폭은 0 으로 수렴한다.진폭이 최대가 되는 주파수비는 0
dr d
의 식으로부터
r
12
2 으로 구해지며2 max 1/ (2 1 )
이다. 그러나
값이 1 / 2 값보다 커지면
는 단순 감소 함수가 되어 Peak를 갖지 않는다.r r
~ ) cos( t kX
X c
~ ~ t
X c
~F
0F
0기타 풀이 방법
감쇠진동계의 운동방정식은 다음과 같이 주어진다.
t F
kx x c x
m
0cos
~ (1)앞에서는 감쇠진동계의 조화 가진에 의한 해를 미정계수법을 이용하여 구하였다. 여기서는 이 문제를 해결하기 위한 다른 3 가지 방법들을 제시하려 한다.
기하학적 접근법
x
p와x
p, 그리고x
p과의 위상 차가 각각 90 도와 180 도를 이룬다는 사실로부터 (1)식의 각 항을 벡터 다이아그램을 이용해 그림으로 나타내면 아래 그림과 같다.이 그림에서 피타고라스의 정리를 이용하여 이들 항간의 관계식을 유도하면 다음과 같다.
2 2 2
2 2 2
0 (
k m
~ )X
(c
~)X
F
따라서
2 2
2 0
~) (
~ )
(
k m c X F
또한, 그림에서
2 1
~
~
tan
m k
c
X m k
~ ) (
2kX
X m ~
2
복소함수 이용법 Euler’s 공식은
cos
j
sine
j 감쇠진동계의 지배방정식인 (1)식을 효율적으로 풀기 위해 다음 형태로 변환한다.
t
e
jF kx x c x
m
0 ~ (2)그런데 Euler 의 공식에 의하면 (2)식 우변 함수의 실수부가 (1)식의 우변 함수와 같아지므로, (2)식의 해의 실수부가 (1)식의 해와 같아야 한다. 그런데 (2)식의 우변 함수가 지수 함수이 므로 미정계수법에 의하면 그 특해도 다음과 같은 지수함수 형태를 갖는다.
t j
p
t Xe
x
() ~X
의 값을 결정하기 위해서 위식을 (2)식에 대입하면,t j t
j
F e
Xe k jc
m
~
2~ )
~ 0 ~(
이 식을 정리하면,
) 0
(
j
~F H
X
여기서
~~ ) ( ) 1
( ~ 2
jc m
j k
H
(3)(3)식을 주파수 응답함수(Frequency response function)라 부른다. (3)식의 분모를 실수로 바꾸고 분자의 실수부와 허수부를 각각 코사인과 싸인 값으로 변환하는 과정을 이용하면,
e
jc m
k
X F
2 1 2 2
0
~) (
~ ) (
~ ) (
~
tan 1 2
m k
c
따라서
~ ) (
2 1 2 2
0
~) (
~ ) (
j t
p
e
c m
k x F
처음부터 언급되었듯이 복소함수인 위 해의 실수부가 (1)식의 해가 된다.
라플라스 변환법
라플라스 변환을 (Laplace Transform) 이용하면,
) ( ) ( x X s
L
) 0
( )
(
x sX s x
L
0 0
2
( )
)
( x s X s sx x L
따라서 (1)식의 좌 우변에 라플라스 변환을 취하여 좌 우변을 정리하면,
k cs ms
x m x c ms k cs ms
s s F
X
2( ) ( 2 ) 0 0 )
(
(4)
여기서
0
2 2
( )
F s F s
s
미분방정식의 해는
X (s )
를 라플라스 역 변환하여 구할 수 있다. 그런데k cs s ms
H
21 )( (5)
(5)식을 전달 함수라 (Transfer function) 부르는데 (3)식과 (5)식의 관계는
s j ~
가 되면 같아지는 것을 알 수 있다.이전에 이미 살펴보았듯이 감쇠진동계에서 초기조건에 의한 영향은 시간이 흘러갈수록 사라지므로 정상상태에 (Steady-state) 다다르면, (4)식의 두 번째 항을 무시하고 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
) ( ) ( )
( s H s F s
X
(6)이 식은 입력함수에 전달함수를 곱하면 출력함수가 얻어진다는 대수적인 관계를 나타내며, 특별히 제어공학에서 이 관계가 널리 사용되고 있다. 결국 라플라스 변환은 미분 방정식을 대수방정식으로 변환시켜 해를 쉽게 구할 수 있게 하는 장점을 갖고 있다. (6)식의 양변을 라플라스 역변환 하면,
t
h f t d t
x
( ) 0 (
) (
)
이 식을 중첩적분(Convolution integral)이라 부른다.
기반가진 (Base Excitation)
<FBD>
자동차는 지면 위를 달리며 노면 가진에 의한 운동을 하는데 이러한 현상을 기반가진 혹은 지지부운동에 의한 진동현상이라 부른다. 자유물체도를 참조하면 운동방정식은 다음과 같이 유도된다.
0 ) ( )
(
c x y k x y x
m
--- (1)이 문제에서 기반가진이 조화함수로 주어진다면,
t
Y t
y
() sin
b --- (2)(2)를 (1)에 대입하면,
t kY t cY
kx x c x
m
bcos
b sin
b --- (3)따라서 이 방정식의 특해는 (3)식의 우변에 나타나는 두 개의 비제차 항에 의한 두 특해를 구해 더하면 구해진다. 그렇게 얻어진 결과를 적으면,
) cos(
) 2 ( ) (
) 2 ) (
( 1 2
2 2 2
2
2
2
Y
t
t
x
bb b
b
p --- (4)
여기서, 2 )
(
tan 2
2 1 1
b b
)
(2 tan 1
2
b
(4)식에서
x
p(t)의 크기를X
라 하면,2 2
2
2
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( 1
r r
r Y
X
d
--- (5)
d 를 변위전달비라 (Displacement transmissibility) 부르는데, (5)식에서 알 수 있듯이 2
r
면 변위전달비가 항상 1 보다 커지고r
2면 1 보다 작아진다.자유물체도에서 볼 수 있듯이 외부로부터 질량에 전달되는 힘은 다음과 같다.
x m y x c y x k t
F ( ) ( ) ( )
따라서, 식(4)로부터,
) cos(
) 2 ( ) (
) 2 ) (
( 1 2
2 2 2
2
2 2
2
m Y
t
t
F
bb b
b
b -- (6)
이 힘의 크기를
kY
로 나눈 값을 힘전달비라 (Force transmissibility) 부르고 다음과 같다.2 2
2
2 2
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( 1
|
|
r r
r r kY
F
f
--- (7)
변위전달비
d와 달리 힘전달비
f 는r
2 의 범위에서도 1 보다 작아지지 않는 것을 알 수 있다. 즉, 이 범위에서 동적 하중은 정적 하중보다 항상 큰 값으로 가해지게 된다는 의미이다. 주파수 및 감쇠 비에 따른 변위 및 힘전달비 그래프는 아래와 같다.변위전달비 그래프 힘전달비 그래프
잠시 고속버스의 현가 장치가 왜 그렇게 Soft 하게 설계 되었는지를 한번 생각해 보라.
그럼 시내 버스는 왜 그렇지 않을까?
앞에서 소개된 동 확장 계수 그래프와 위에 그려진 변위전달비 (혹은 힘전달비) 그래프를 비교해 보면
r
2 일 때 감쇠 크기에 따른 반응의 크기가 서로 반대가 되는 것을 관찰할 수 있다. 이는 설계 시 중요한 의미를 갖는다. 변위전달비의 최대값도 동확장계수와 마찬가지로
r
12
2 에서 발생한다.예제 1: 주행 차량
지면에 의해 주어지는 가진 함수는 진폭 0.01 의 조화함수이며, 노면의 한 파장의 길이는 6m, 차량 1 의 질량의 크기는 1007 kg, 강성의 크기는
4 10
5N/m 그리고 감쇠의 크기는10
42
Ns/m 라 할 때, 차량의 속도를 20kph 라 하면, 최대 동적 반응의 크기는 얼마인가?고유진동수 19.93
m
k
rad/s가진주파수
b 2
201000/3600/6=5.8178 rad/s 따라서 0.292
br
그리고 0.4982
km
c
따라서 강의노트 (5)식에 대입하면 최대 동적반응의 크기를 구할 수 있다.
만일 동일한 조건에서 속도가 80kph, 100kph, 150kph 로 변화하면 어떻게 될까? 또한 차량의 중량이 1585kg 인 차량 2 의 경우는 어떻게 될까? 이는 속도에 따라
b를 구하고, 질량의 변화가 있으면 새로운 고유진동수를 구한 후 새로운r
값을 구하고, 이를 (5)식에 대입하여 최대 동적 반응을 구하면 된다.아래 표를 보면 일반적으로 차량의 속도가 증가함에 따라서 동적 반응의 크기가 작아지며, 또한 차량의 질량의 크기가 증가하고 다른 조건이 동일하다면 자연히
의 값이 작아져서 결과적으로r
값을 증가시키므로 동적 반응의 크기를 감소시키는 것이다. 단, 속도=20kph 와 같이 아주 저속에서는 중량이 큰 차가 도리어 더 큰 동적 반응을 야기하는 것을 알 수 있다.속도(kph)
br
1r
2x
1x
220 80 100 150
5.8178 23.271 29.088 43.633
0.29 1.17 1.46 2.19
0.36 1.46 1.83 2.74
1.08 1.26 0.96 0.55
1.14 0.94 0.64 0.35
예제 2: 공작기계 전달력
질량 3000kg, 강성 40000N/m, 감쇠 900 Ns/m인 공작기계에 지면으로부터 진폭 0.1cm의 가진이 전달될 때, 공명 시 기계에 전달되는 최대 힘의 크기는 얼마인가?
공명 시라 했으므로
r
1, 그리고 0.042
km
c
따라서 2 2 2
2 2
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( 1
r r
r r kY
F
f
에서 501.6
4 4
| 1
| 2
2
kY
F
N 여기서 주어진 길이의 단위를 meter 로 변환하면
Y
0.001 이 되는 것을 유의할 것.m
Sample 1
아래 그림의 시스템에서
k
4000N
/m
,l
10.05m
,l
2 0.07m
,l
0.1m
,m
40kg
일 때 감쇠비가 0.2 가 되도록 감쇠상수를 정하라. 또 조화가진력의 크기F
0 10이고 가진 주파수
10일 때, 정상상태 반응 크기를 구하라. (막대의 질량은 무시하라)운동방정식을 구하면,
kl mgl F l t
cl
ml
2
22
12
0 cos
감쇠비가 0.2 가 되려면
0.22 2 12
2
2
mgl
kl
ml
cl
에서
3 . 4 362
. 0
2 2 2 1 2
l
mgl kl
c ml
(kg/s)고유진동수는
11.102 2
1
ml
mgl
kl
따라서r
0.9013
그러므로6751 . 2 ) 2 ( ) 1 (
1
2
2
r
r
따라서
12
0.05430
kl mgl
l
F
(rad)k
c l
l
2l
1Sample 2
이 강의노트 예제 1 의 주행차량 예제에서 차량 1 이 공진을 일으키는 주행속도는 얼마인가?
또 그 때 이 차량의 최대 동적 반응은 얼마인가?
6 / 3600 / 1000 2
93 .
19
v
m
k
따라서v
68.51 kph또한 강의노트 36 쪽의 (5)식에서
2 2
2
2
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( 1
r r
r Y
X
여기서
Y
0.01,r 1
, 0 . 498
이므로 이를 대입하면X
0.014 (m) 이다.Sample 3
이 강의노트 예제 1 의 주행차량 1 의 경우,
r 2
이라면 0 . 01
, 0 . 1
, 0 . 2
의 세 경우 중 변위전달비를 최소로 하는 경우는 어떤 경우인가?변위전달비 공식에
r
2를 대입하면,2 2
16 9
16 ) 1
(
Y X
d
세 감쇠 비를 대입하면
3336 . 0 ) 01 . 0
(
d ,
d(0.1)0.3559,
d(0.2)0.4125 따라서 0 . 01
인 경우가 변위전달비를 최소로 한다.Homework Problems (Section 2.1 – 2.4)
1, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 21, 24, 27, 31, 35, 37, 39, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 50, 52, 55, 57, 60
