Three-Dimensional Virtual Crack Closure Technique Based on Anisoparametric Model for Stress Intensity Factors of Patch Repaired Plates with Cracks at Notches

構 造 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第32卷 第1A 號·2012年 1月 pp. 39 ~ 48

접착 보강된 노치 균열판의 응력확대계수 산정을 위한 비등매개변수 모델 기반의 3차원 가상균열닫힘법

Three-Dimensional Virtual Crack Closure Technique Based on Anisoparametric Model for Stress Intensity Factors of Patch Repaired Plates

with Cracks at Notches

안재석*·우광성**

Ahn, Jae-Seok·Woo, Kwang-Sung

···

Abstract

This study deals with numerical determination of stress intensity factors of adhesively patch-repaired plates with cracks at V- shaped or semicircular notches. The p-convergent anisoparametric model are considered and then three-dimensional virtual crack closure technique is presented using formulations of anisoparametric elements. In assumed displacement fields of an ele- ment, strain-displacement relations and three-dimensional constitutive equations are derived with three-dimensional hierarchi- cal shape functions expanded from one-dimensional Lobatto functions. Transfinite mapping technique is used to represent a circular boundary. The present model provides accuracy and simplicity in terms of stress concentration factor, stress distri- bution, the number of degrees of freedom, and non-dimensional stress intensity factor as compared with previous works in lit- eratures. Stress intensity factors obtained by the three-dimensional virtual crack closure technique are estimated with respect to the variation of width of finite plate, radius of notch root, angular inclination of V-shaped notch, and crack length.

Keywords :

p-convergent anisoparametric model, patch-repaired plate, V-shaped notch, semicircular notch, transfinite map- ping technique, virtual crack closure technique

···

요 지

본 논문에서는 V형 노치 및 반원형 노치 균열을 갖는 패치보강 적층판의 응력확대계수 산정을 위하여 수치해석적 방법을 사용한다. p-수렴 비등매개변수 모델이 고려되고, 이와 같은 비등매개변수 모델의 결과를 활용한 3차원 가상균열닫힘법에 대 한 식이 표현된다. 1차원 로바토 함수로부터 확장된 3차원 계층적 형상함수를 가지고서, 임의의 요소에서의 변위장의 변위- 변형률 관계와 3차원 구성방정식이 표현된다. 원형경계의 기하형상을 나태내기 위해 초유한사상기법을 사용한다. 응력집중계 수, 응력분포, 자유도, 그리고 무차원 응력확대계수 등의 항목에 대해서, 제안된 모델의 정확도와 단순성이 기존의 결과들과 의 비교를 통해 설명된다. 균열 적층판의 폭, 높이, 노치근입부의 반경, V형 노치의 경사각, 균열길이 등의 변화에 따른 응 력확대계수가 산정된다.

핵심용어 : p-수렴 비등매개변수 모델, 패치보강 적층판, V형 노치, 반원형 노치, 초유한사상기법, 가상균열닫힘법

···

1. 서 론

노후화된 구조물의 수명연장을 위하여 효율적이고 경제적 인 보수 , 보강방법에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다 . 이 와 관련된 여러 방법 중에서 , 패치보강기법은 비용 및 시공

적 측면에서 효율적인 방법으로 보고되고 있다 (Baker, 1984;

Molent, 1989). 패치보강은 대칭 형태의 양면보강이 권장되

지만 (Kumar, 1997), 현장에서 패치보강이 적용될 때는 구조

물의 한 쪽 면만이 접근 가능할 수도 있기 때문에 , 이와 같

은 경우에서는 일면보강을 사용할 수밖에 없다 . 만약 , 축 부 재에 대칭 양면보강이 적용된다면 , ^{보강 후에도 축 거동만이}

존재한다 . 그러나 비대칭 형태인 일면보강이 적용된다면 , 축 거동만을 가졌던 부재가 보강 후에는 휨 거동이 첨가되기 때문에 , 해석에 있어서 좀 더 복잡해 질 수밖에 없다 . 특히 ,

휨 거동이 추가되는 것뿐만 아니라 , ^{패치보강 된 시스템에서}

의 여러 재료가 포함된 이질적인 재료특성으로 인해서 해석 이 더욱 복잡해질 수밖에 없다 . 이와 같은 패치보강 된 시 스템을 해석하기 위하여 , 수치 해석적 방법 측면에서 여러

*영남대학교건설시스템공학과연구원

(E-mail : [email protected])

**정회원·교신저자·영남대학교건설시스템공학과교수

(E-mail : [email protected])

가지 기법들이 제안되고 있다 . 통상적으로 8 절점 또는 20 절 점을 가지는 3 차원 유한요소를 사용할 수 있으나 , 많은 자 유도 증가로 인해 많은 컴퓨터 자원을 필요로 하는 것이 단 점이 될 수 있다 . 특히 , 매우 얇은 접착부분을 3 차원으로 모델링 하는 경우 , 요소의 형상비를 고려하여 모델링한다면 ,

무수히 많은 3 차원 요소가 필요하게 된다 . 최근 컴퓨터 성 능의 급격한 발전으로 인해 1 차원 및 2 차원 해석 시에는 데이터 용량 및 처리속도에 있어서 크게 제한을 받지 않는 경우가 대부분이다 . 하지만 , 3 차원 유한요소로 모델링이 된 다면 , 여전히 해석 시에 많은 시간이 요구되며 , 해의 정확성 을 높이기 위해서는 모델링 시에 사용자의 주관적인 판단이

많이 요구된다 . Sun(1996) 은 해석에 필요한 자유도를 줄이기

위해 3 차원 유한요소를 사용하지 않고 , 손상부재와 패치부재

는 Mindlin 평판 이론에 기초한 평판요소로 모델링하고 , 손

상부재와 패치부재를 잇는 접착부분은 스프링 요소로 모델 링하여 해석하였다 . 유사하게 , Nabulosi(1996) 와 Schubbe (1999) 는 3 층 기법 (three-layer technique) 을 사용하여 패치보 강 된 시스템을 해석하였다 . 또한 , Tong(2003) 은 적층 쉘요 소 및 평판요소를 혼합한 식을 유도한 유한요소를 이용하여 패치보강 된 손상 부재를 해석하였다 . 그리고 대부분의 많은 연구들이 패치보강 된 시스템의 다양한 현상들을 규명하기 위하여 통상적인 저차함수가 포함된 3 차원 유한요소를 이용 하여 해석을 수행하였다 (Achour, 2003; Megueni, 2004;

Ouinas, 2007; Papanikos, 2007).

일반적으로 패치보강 시스템 해석 시 , 많은 개수의 요소망 을 필요로 한다 . 첫째 요인은 앞서 설명한 바와 같이 사용 요소의 적절한 형상비를 유지하기 위해 충분한 개수의 요소 수를 확보해야 한다 . 둘째 요인은 균열을 갖는 반원형 노치 문제와 마찬가지로 V 형 노치의 경우 , 뾰족한 형태의 V 형 노치보다는 둥근 형태를 보인다 . 그러므로 패치보강 된 적층 균열판은 물론이고 패치보강 되지 않은 노치 균열판 조차도 원형 곡선경계를 표현하기 위해 많은 수의 요소분할을 요구 한다 . 또한 원형 곡선경계를 위한 부적절한 사상 (mapping) 으 로 인한 오차 , 즉 Babuska's paradox(Krauthammer, 1979)

가 발생될 수 있기 때문에 해석오차를 유발할 수 있게 된다 .

따라서 이 연구에서는 Gordon(Yong, 1993) 등에 의해 제안 된 초유한사상기법 (transfinite mapping technique) 을 사용하 여 , 실제형상과 동일한 노치모델을 표현하여 , 기하형상의 모 델링에 대한 오차를 제거하였다 . 또한 앞서 언급된 유한요소 해석시의 몇몇 문제점들을 해결하기 위하여 , 완전층별이론

(full discrete-layer model; Ahn, 2011b) 에 기초한 3 차원 비등매개변수 모델을 이용하였다 . 이를 기반으로 균열 적층 판의 폭 , 높이 , 노치근입부의 반경 , V 형 노치의 경사각 , 균 열길이 등을 변수로 한 응력확대계수가 산정되었다 . 응력확 대계수는 기존의 에너지방출률법 (strain-energy release rate

technique) 의 경우 , 미소 크기의 균열진전에 따른 변형에너지

의 차이를 갖고 에너지 방출률을 계산해야 한다 . 따라서 패 치보강 된 노치 균열판의 경우는 모재 , 접착제 , 패치재료로 이루어진 적층구조로 , 미소균열진전에 따른 전체 적층구조의 변형에너지 변화량으로 계산되는 평균적 개념의 응력확대계 수는 산정할 수 있다 . 그러나 패치보강 면과 보강되지 않은 면 사이에 중립축 위치가 달라짐에 따라 발생될 수 있는 면 외휨 효과로 모재의 두께방향에 따라 응력확대계수가 변화

하게 된다 (Ahn, 2010). 이를 위해 각 층마다 별도의 응력확

대계수를 각각 계산해야 하는데 , 이 연구에서 응력확대계수를 계산하기 위해 채택된 3 차원 가상균열닫힘법 (VCCT; virtual

crack closure technique) 은 기존의 2 차원 가상균열닫힘법에

비해 두께방향으로의 해석정보를 효과적으로 고려할 수 있 다 . ^{적용된 또한 유한요소해석 결과로부터 얻어진 균열선단}

부의 절점변위와 절점력만으로 계산되기 때문에 종래의 J - 적 분법이나 에너지 방출률법 등에 비해 간편하게 사용할 수 있다 . 이 연구에서 사용된 p - 수렴 비등매개변수 모델을 위한

3 차원 가상균열닫힘법에 대한 정식화는 Ahn (2011a) 의 연구 에서 인용하였으며 , 현재 연구에서는 곡선 경계를 가지는 반 원형 노치와 V 형 노치 문제를 좀 더 효율적으로 해석하기 위하여 , 기존의 모델에 적층평판에 적합한 초유한사항기법을 추가하여 해석을 수행하였다 . ^{현재 제안하는 방법은 요소망}

구성 시에 단순히 하중조건과 재료조건만을 가지고서 모델

링한 성긴 요소망 (coarse mesh) 으로도 정밀도가 높은 해를

얻을 수 있다 .

2. 3차원 비등매개변수 모델

2.1 변위장

기존의 등매개변수 모델은 기하형상을 정의하는 사상과 변 위장을 정의할 때 필요한 매개변수들의 개수를 동일하게 사 용한다 . 반면에 이 연구에서 고려되는 비등매개변수 모델은 기하형상을 정의할 때는 꼭지점 모드 (vertex modes) 만을 고 려하는 반면에 , 변위장의 경우 p - 차수 증가에 따라 꼭지점 모드 이외의 다른 여러 모드들의 개수가 증가되는 변위항을

그림 1. 완전층별 요소를 이용한 3개 층을 가지는 적층 시스템 모델링

갖게 된다 . 이와 같은 꼭지점 모드 이외의 모드들은 기하학적 인 위치를 가지지 않으면서 p - 차수에 따라서 자동적으로 부여 되기 때문에 사용자가 모델링 시에 전혀 고려할 필요가 없는 모드들이다 . 2.1 절에서는 변위장에 영향을 미치는 꼭지점 모드

및 기타 여러 모드들의 관계를 설명하고 , 2.3 절에서는 꼭지점

모드에 의한 기하형상의 정의에 대해 설명된다 . 그림 1(a) 는 3

개의 층을 가지는 적층 시스템을 나타내고 있다 . 이와 같은 적 층 시스템을 3 차원으로 모델링하기 위하여 , 그림 2 와 같은 비 등매개변수 모델개념에 기초한 완전층별 요소 (fully discrete- layer element; Ahn, 2011b) 를 사용한다 . 변위장은 총 u , v , w

3 개의 자유도로서 표현된다 . 각 자유도의 변위장은 크게 세 가

지 모드 , 즉 꼭지점 모드 , 선 모드 (side modes) 와 내부 모드

(Internal modes) 로 구성된다 . 여기서 , 꼭지점 모드는 변위장 및 기하형상을 정의하는 모드이고 , 선 모드 및 내부 모드는 기하 형상과는 무관한 오직 변위장에만 연관된 모드이다 . 하나의 요 소에서 정의되는 3 차원 변위장은 다음과 같다 .

(1)

여기서 , N은 2 차원 형상함수에서의 꼭지점 모드를 나타낸다 .

또한 M은 2 ^{차원 형상함수에서의 선 및 내부 모드를 나타낸}

다 . 또한 L은 1 차원 형상함수에서의 꼭지점 모드를 나타내 고 , A는 1 차원 형상함수에서의 내부 모드를 나타낸다 . 언급 된 형상함수는 직교성 및 계층적 성질을 가지는 Lobatto 형상 함수 (Solin, 2004) 에 기초한다 . 이에 대한 식은 Ahn(2011b) 에 수식화되어 있다 .

2.2 직교이방성 요소

재료적 성질에 있어서 직교이방성 성질을 정의하기위해 3

차원 탄성이론에 기초하여 다음과 같이 응력 - 변형률 관계가 표현된다 .

(2)

변형률은 다음과 같이 정의된다 .

(3)

직교이방성을 정의하는 축 (1, 2, 3) 에 대한 3 차원 재료행렬 D는 다음과 같다 .

(4)

(5)

(6)

요소의 변위에 대한 축 x , y , z에 대하여 , 재료 성질을 정의

하는 축 1, 2, 3 ^{과의 관계를 맺는 X행렬의 정의는 다음과}

같다 .

(7)

여기서 , l , r , t는 축에 대한 방향여현을 나타낸다 . 내력과 변 위 관계를 맺는 강성행렬의 정식화는 가상일의 법칙을 이용 하며 , 한 층에 대한 강성 행렬은 다음과 같다 .

(8)

여기서 , [ ^B ] ^{는 식} (3) ^{으로부터 유도되는 변형률 행렬을 나타}

낸다 .

2.3 곡선경계 정의를 위한 초유한사상

이 방법을 설명하기 위해서는 투영자 (projector) ^{c 의 개}

념을 소개하여야 한다 . 연산을 여러 번 적용하더라도 결과가

달라지지 않는 성질을 멱등성 (idempotence) 이라 하는데 투영

자는 실제영역에서 근사화된 영역으로의 사상할 수 있는 멱

등선형 연산자로 정의된다 . ^{예를 들면 그림} 2(a) ^{와 같이 해}

석영역을 둘러싸고 있는 경계영역에 대한 식은 4 개의 곡선 식으로 표현될 수 있다 . 그러한 4 개의 곡선식은 u (0, t ),

u (1, t ), u ( s , 0), u ( s , 1) 으로 정의되며 이를 초유한보간자

(transfinite interpolants) 라 한다 . 여기서 , 그림 2 에서 사용된 는 s , t , , 의 영역을 갖는 선형곡선 표준좌표 계 (curvilinear standard coordinate) 를 정의한다 . 임의의 해 석영역을 예를 들다보니까 그림 2 와 같이 좌우측은 곡선경 계 , 또 다른 상하측은 직선경계를 갖는 해석영역을 예로 든

것이다 . 물론 그림 2(a) 의 4 개 꼭지점은 실제좌표를 갖겠지

만 표준좌표계상의 꼭지점 값으로 일대일 대응 측면에서 표 시된 그림이다 . 임의의 경계 F에 대한 이중선형 투영자

(bilinear projector) 는 그림 2(a) 에 나타난 것과 같이 각각

2 개의 방향 즉 , s방향과 t방향으로 나누어 정의할 수 있다 .

먼저 s방향 ( ) 으로 , 즉 좌측과 우측의 곡선경계에 대 한 곡선식을 적절하게 표현할 수 있으면 아래와 같이 선형 보간을 통해 하나의 투영자를 사용하여 해석영역 내부로 사 상할 수 있다 .

(9)

같은 방법으로 t방향 ( ) 에 대해 , 즉 윗측과 아래측의 경계선을 적절하게 표현할 수 있는 초유한보간자를 정의한 u x y z

(, , )=

N

_i(

x y

, )[

L

₁( )

z u

_i^α+

L

₂( )

z u

_i^β+

A

_k( )

z d

_kⁱ]

+

M

_i^h(

x y

, )[

L

₁( )

z a

_j^α+

L

₂( )

z a

_j^β+

A

_k( )

z e

_k^j]

v x y z

( , , )=

N

_i(

x y

, )[

L

₁( )

z v

_i^α+

L

₂( )

z v

_i^β+

A

_k( )

z f

_kⁱ]

+

M

_i^h(

x y

, )[

L

₁( )

z b

_j^α+

L

₂( )

z b

_j^β+

A

_k( )

z g

_k^j]

w x y z

(, , )=

N

_i(

x y

, )[

L

₁( )

z w

_i^α+

L

₂( )

z w

_i^β+

A

_k( )

z r

_kⁱ]

+

M

_i^h(

x y

, )[

L

₁( )

z c

_j^α+

L

₂( )

z c

_j^β+

A

_k( )

z s

_k^j]

h

=1 2 3 4 5, , , ,

i

=1 2 3 4, , ,

j

=1 2, , ,…

q k

=1 2, , ,…

m

σ

{ }

_{x y z}^l_{, ,} =

[ ] X

_{6 6}^T_×

[ ] D

_{6 6}^l_×

[ ] X

_{6 6×}

{ } ε

_{x y z}^l_{, ,}

ε

{ }

_{x y z, ,}

∂u

∂x

---

^∂v _∂y

---

^∂w

---

_∂z ^∂u _∂y

---+

^∂v _∂x

---

^∂u _∂u

---+

^∂v

---

_∂z ^∂v _∂z

---+

^∂w

---

_∂y

^T

=

D

[ ]

_{6 6×}

[ ] C

_{3 3×} 0 0

[ ] C

_{3 3× 6 6×}

=

C

[ ]_{3 3×} 1

R

---

^E

¹(1–ν₂₃ν₃₂)

E

₁(ν₂₃ν₃₁+ν₂₁)

E

₁(ν₂₁ν₃₂+ν₃₁)

E

₂(ν₁₃ν₃₂+ν₁₂)

E

₂(1–ν₁₃ν₃₁)

E

₂(ν₁₂ν₃₁+ν₃₂)

E

₃(ν₁₂ν₂₃+ν₁₃)

E

₃(ν₁₃ν₂₁+ν₂₃)

E

₃(1–ν₁₂ν₂₁) _{3 3×}

=

R

=1–ν₁₂ν₂₁–ν₁₃ν₃₁–ν₂₃ν₃₂–2ν₁₂ν₂₃ν₃₁

G [ ]

_{3 3×}

G

₁₂ 0 0 0

G

₁₃ 0 0 0

^G

₂₃

=

X [ ]

_{6 6×}

l

_x²

l

_y²

l

_z²

l

_x

l

_y

l

_x

l

_z

l

_y

l

_z

r

_x²

r

_y²

r

_z²

r

_x

r

_y

r

_x

r

_z

r

_y

r

_z

t

_x²

t

_y²

t

_z²

t

_x

t

_y

t

_x

t

_z

t

_y

t

_z

2

^l

_x

^r

_x 2

^l

_y

^r

_y 2

^l

_z

^r

_z

^l

_x

^r

_y+

^l

_y

^r

_x

^l

_x

^r

_z+

^l

_z

^r

_x

^l

_y

^r

_z+

^l

_z

^r

_y 2

l

_x

t

_x 2

l

_y

t

_y 2

l

_z

t

_z

l

_x

t

_y+

l

_y

t

_x

l

_x

t

_z+

l

_z

t

_x

l

_y

t

_z+

l

_z

t

_y

2

^r

_x

^t

_x 2

^r

_y

^t

_y 2

^r

_z

^t

_z

^r

_x

^t

_y+

^r

_y

^t

_z

^r

_x

^t

_z+

^r

_z

^t

_x

^r

_y

^t

_z+

^r

_z

^t

_y

=

K

[ ]^l [ ]

B

^T[ ]

D

_{6 6}^l_× [ ]

B d x d z y d

∫∫V

=∫

[ ]

B

^T[ ]

D

_{6 6}^l_× [ ]

B J d

ξ

d

η

d

ζ 1

–

∫1 1 –

∫1 1 –

∫1

=

0

≤ ≤ s

1 0

≤ ≤ t

1

0

≤ ≤ s

1

c

₁

( ) P s t F ≡ ( ) ,

=

(

1–

t )u s ( ,

0

) tu s

+

( ,

1

) ,

0

≤ ≤ s

1 0

≤ ≤ t

1

후 선형보간을 통해 내부 해석영역까지 사상할 수 있다 . (10)

다음 단계는 이중선형 투영개념으로 식 (9) 와 식 (10) 을 동시에 투영시키는 방식인데 , 이를 혼합함수 (blending

function) 라 한다 . 이 때 4 개의 꼭지점은 중복되므로 제거해

주어야 한다 .

(11)

여기서 , 은 해석영역의 꼭지점

좌표를 표시한다 .

이 연구에서 사용된 사상기법은 원형경계에 대한 사상함수

( 또는 초유한보간자 ), 를 찾는 것 이 필요하다 . 이를 위해 기하학적 관계를 고려하여 꼭지점은 물 론이고 해석영역 내부의 임의의 점도 s, t가

로 변함에 따라 일대일 대응이 될 수 있는 적절한 사상함수 를 결정해야 한다 . 이에 대한 자세한 초유한보간자의 유도과

정과 정의는 우광성 (1992, 2009) 에 자세히 설명되어 있다 .

또한 , 이에 기초한 요소를 비등매개변수 모델이라 하는데 그 이유는 곡선의 기하형상을 정의하는데 4 개의 꼭지점 절점의 좌표만이 필요하고 곡선내부는 적절한 초유한보간자로 명명 되는 함수가 도입되기 때문이다 . 기하형상에 대한 정의와 별 도로 변위장의 정의는 p - 차수의 증가에 따라 발생되는 변위 항 ( 매개변수로 표현됨 ) 의 개수만큼 사용된다 .

3. 3차원 가상균열닫힘법

현재 고려되는 p - 수렴 비등매개변수 모델에 적용되는 3 차 원 가상균열닫힘법의 기본적인 정식화는 Ahn(2011a) 의 연구 로부터 인용되었다 . ^{정식화된 식에 대하여 간단히 언급하면}

다음과 같다 . 임의의 균열길이 ( a ) 를 가진 상태에서 균열이

∆a만큼 진전된 경우 , 방출된 에너지 ( ∆U ) 는 다음과 같다 . (12)

그리고 선형탄성영역에서 균열이 ∆a만큼 열렸을 때 , 그것 을 ∆a만큼 다시 닫히게 하는 일 ( W ) 은 방출된 에너지와 같다 . (13)

균열이 ∆a만큼 x축 방향으로 진전되고 y축 방향으로 균

열이 열리는 경우 , 이때 한 일은 다음과 같다 .

(14)

여기서 , u, v, w는 x, y, z축 방향으로의 변위를 각각 나타낸다 .

또한 ρ는 균열면의 임의의 위치에서부터 균열 선단까지의 거리를 나타낸다 . 균열 성장 시에 방출되는 총 에너지는 다 음과 같다 .

(15)

식 (15) 에 식 (13) 과 (14) 를 적용하면 , 다음과 같다 . (16)

3 차원 거동에서 , 총 에너지 방출률은 인장모드 (Mode I),

면내전단모드 (Mode II), 면외전단모드 (Mode III) 의 합이다 . (17)

한편 , 가상균열닫힘법 (Rybicki, 1977; Krueger, 2002) 은 유한요소해석 결과로부터 얻은 균열선단에 있는 요소의 절 점력과 균열면의 절점변위를 이용하여 에너지 방출률을 계 산하는 방법이다 . 이와 같은 가상균열닫힘법에서는 균열길이 a에서부터 균열이 진전될 때 , 균열길이 a에서부터 a +2 ∆a 까지 에너지 변화 상태는 동일하다고 가정한다 . 그래서 균열 길이 a에서부터 a + ∆a까지 균열이 진전될 때의 방출된 에 너지와 균열이 a + ∆a 부터 a +2 ∆a까지 균열을 닫히게 하는 일은 동일하다고 볼 수 있다 . 이 연구에서 제안되는 p - 수렴 비등매개변수 요소의 경우 요소분할시 요소의 크기가 기존 의 h - 수렴방식에 비해 크기 때문에 가상균열크기 ∆a에 따른 에너지 방출률의 민감도문제가 제기될 수 있다 .

가상균열닫힘법을 적용하기 위하여 식 (16) 으로부터 다음 과 같은 식으로 표현된다 .

(18)

여기서 , F는 임의의 꼭지점 모드에서의 절점력을 나타낸다 .

c

₂

( ) P F ≡

₂

( ) s t ,

=

(

1–

s )u ( ) su

0

, t

+

( )

1

, t ,

0

≤ ≤ t

1

c

₁⊕

c

₂

( )[ ]

F

≡

c

₁[ ]

F

+

c

₂[ ]

F

–

c

₁

c

₂[ ]

F

1=( –

t

)

u s

(,0)+

tu s

(,1)+

tu s

(,1)+(1–

s

)

u

( )0,

t

+

su

( )1,

t

1–( –

s

)(1–

t

)

u

(0 0, )–(1–

s

)

tu

(0 1, )–

s

(1–

t

)

u

(1 0, )

stu

(1 1, )

u ⁽

0 0

^{, ) u , (}

0 1

^{, ) u , (}

1 0

^{, ) u , (}

1 1

^{, )}

u s ( ,

0

) u s , ( ,

1

) u , ( ) u

0

, t , ( )

1

, t

0

≤ ≤ s

1 0

, ≤ ≤ t

1

U

∆

=

U a (

+

∆ a ) U a

–

( )

W

=

∆ U

W

1

2---

^v

^{( )σρ y}(^ρ–^∆

^a

)+

u

( )τρ _xy(ρ–∆

a

)+

w

( )τρ _yz(ρ–∆

a

)

d

ρ 0

a

∫∆

=

G

_total

∆ U

t

∆ a

---

a 0→

∆lim

=

G

_total 1

2

t a

∆

---

v

( )ρ 0

a

∫∆ a 0→

∆lim σ_y(ρ–∆

a

)+

u

( )τρ _xy(ρ–∆

a

)

=

+

w

( )τρ _yz(ρ–∆

a

)

d

ρ

G

_total=

G

_I+ +

G

_II

G

_III

G

_total

F

_D^y(

v

_E–

v

_F)+

F

_A^y(

v

_C–

v

_B)+

F

_D^x(

u

_E–

u

_F)+

F

_A^x(

u

_C–

u

_B)

+

F

_D^z(

w

_E–

w

_F)+

F

_A^z(

w

_C–

w

_B)

2

t a

∆

---

=

그림 2. (a) 좌표계의 정의와 경계곡선 (b) 이중선형 투영자

그림 3. 3차원 가상균열닫힘법의 기본개념

F의 아래첨자는 절점력의 위치를 나타내고 , 윗첨자는 절점력 의 방향을 나타낸다 . 열림모드 , 면내전단모드 및 면외전단모 드에 대한 식은 다음과 같다 .

(19)

위의 완전층별요소에서 식 (18) 과 (19) 에 있는 는 식

(4) ^{와 식} (8) ^{에 있는} [ ^D ] ^와 [ ^B ] ^{를 이용하여 다음과 같이 계}

산된다 .

(20)

여기서 , δ는 꼭지점 , 선 및 내부 모드에 상응하는 변위를 나타내며 , 위첨자 * 는 구하고자 하는 절점력에 상응하는 절 점모드를 의미한다 . 그래서 은 전체 에서 * 에 해당되는 벡터의 전치행렬이다 . 또한 n은 하나의 요소 안에 포함된 모드의 총 개수를 의미한다 .

4. 수치해석 예제

4.1 반원형 노치 균열판

인장력 ( σ = 120 MPa) 을 받는 패치보강 된 알루미늄 판 ( 균

열을 가지고 있는 판 ) 이 그림 4 에 나타나 있다 . 그림 4 에서 W , H , a , R

n

, R

p

, t

s

(=1 mm), t

a

(=0.127 mm), t

p

는 알루미늄 판 의 폭과 높이 , 균열길이 , 노치의 원공 반지름 , 패치영역의 바깥 반지름 , 알루미늄 판의 두께 , 접착제의 두께 , 그리고 패 치의 두께를 각각 나타낸다 . 패치재료는 균열판과 같은 알루미 늄 ( ^{탄성계수 E} = 72 GPa; ^{포아송 비 ν} = 0.33) ^{을 사용한다} . ^접착

제의 전단탄성계수는 G = 0.965 GPa 이고 , 포아송 비는 ν = 0.32

이다 .

먼저 , 해석모델의 적정성을 보이기 위해 패치가 없는 노치 균열판에 대한 수치해석이 수행되었다 ( ^그림 5(a)). ^{평판 거동}

의 대칭성을 고려하여 해석 영역은 전체 영역의 1/2 모델링

이 이루어졌다 . 총 요소 개수는 그림 5(a) 와 같이 12 개 요 소를 사용하였다 . 모델링 시의 특징되는 몇 가지 부분을 언 급한다면 , ^{곡선부분의 형상을 적은 수의 요소로 모델링하기}

위해 , 원공의 기하형상에 대하여 초유한사상 기법이 적용되 었다 . ^또한 , ^{응력확대계수 산정을 위한 가상균열닫힘법을 적}

용하기 위해 , 균열 주위의 ∆a 영역의 요소망이 구성되었다 .

그리고 제안하는 적층모델이 면내 거동에 대한 함수와 두께 방향에 대한 함수의 선형조합으로 변위를 표현하기 때문에 ,

2 차원 형태의 입력자료 구조를 가지므로 범용 3 차원 유한요

소모델에 비해 단순한 입력 자료를 가진다 . 또한 사용자 입 장에서 모델링 시에는 꼭지점 모드만을 고려하고 나머지 모 드는 자동적으로 생성되기 때문에 , 그림 5 와 같은 단순한 모델링이 가능하다 . 특히 , 계층적 p - 수렴 유한요소는 매우 큰 변장비에도 민감도가 높지 않다는 강건성 (robustness) 의 장점

(Woo, 1993) 을 갖고 있다 . 그림 5(b) 는 균열을 가진 알루미

늄 평판 (skin), 접착제 및 패치영역에 대한 세부 모델링을

나타내고 있다 . 패치형태는 고리형 패치형태를 나타내고 있 다 . 패치보강 전과 유사하게 전체 영역의 1/2 에 해당되는 영 역을 해석 영역으로 채택하여 , 균열판 15 개 , 접착제와 알루 미늄 패치는 각각 12 ^{개로 총} 39 ^{개의 요소로 요소망을 구성}

하였다 . 제안하는 모델의 매우 큰 변장비에 대한 강건성으로 인해 , 매우 얇은 접착제와 패치영역에 대해서도 성긴 요소망 이 구성되었다 .

표 1 에는 패치보강전의 반원형 노치 균열판의 높이와 폭 에 대한 기하형상비 ( H/W ) 에 대하여 , 균열 진전에 따른 무차 원 응력확대계수 ( ) 를 나타내고 있다 .

제안하는 모델의 해석값은 Yan (2007) 의 경계요소법의 균열

끝단 요소 (crack-tip elements) ^{를 이용한 수치해석 결과값과}

비교하였다 . 두 값들의 차이는 대부분 5% 이내이다 . 그림 6

에서는 수렴성을 확인하기 위해 , 기하형상비 ,

, 일 때 , 면내 방향의 형상함수 차수를

1 ^차부터 10 ^{차까지 변화시키며 해석을 수행하였다} . ^그림 6 ^의

결과로부터 , 6 차부터 값이 수렴되는 것을 알 수 있으며 , 다 른 기하형상비에 대해서도 유사한 결과가 도출되었기 때문 에 , 현재의 연구에서는 해석을 정확성을 고려하여 면내 방향 에 대한 형상함수의 차수를 7 ^{차로 고정하여 해석을 수행하}

였다 . 가상균열닫힘법에서는 ∆a의 크기를 통상적으로 균열

길이의 5% 이내 (Krueger, 2002) 를 사용하고 있는데 , 이 연구

에서는 균열 길이의 3% 정도를 사용하였다 . 그림 7 은

, 일 때 균열길이의 변화에 따른 무차 원 응력확대계수값을 도시한 그래프이다 . 비교된 Yan(2007)

G

_I

F

_D^y

( v

_E–

v

_F

) F

+ _A^y

( v

_C–

v

_B

)

2

t a ∆

---

=

G

_II

F

_D^x

( u

_E–

u

_F

) F

+ _A^x

( u

_C–

u

_B

)

2

t a ∆

---

=

G

_III

F

_D^z

( w

_E–

w

_F

) F

+ _A²

( w

_C–

w

_B

)

2

t a ∆

---

=

F

^*

F

^*=

[ ] B

_{1 6}^*_×

[ ] D

_{6 6}^l_×

[ ] B

_{6 6×}

〈 〉 δ

_{1 n}^T_×

B

[ ]

_{1 6}^*_×

[ ] B

_{6 6×}

F a W ( ⁄ ) σ πa

=

( ) K ⁄

_I

a R ⁄

_n=2.0

a W ⁄

=0.3

H W ⁄

=2.0

a W ⁄

=0.3

^{H W ⁄}

=2.0

그림 4. 패치보강된 반원형 노치 균열판

그림 5. p-수렴 비등매개변수 모델을 사용한 요소망

의 수치해석값과 비교하여 내외의 정확도를 보여주고 있다 .

한편 , 패치보강 후의 노치 균열판의 성능을 파악하기 위해

서 그림 5(b) 에서의 모델을 가지고서 몇 가지 파라미터에

관해서 해석을 수행하였다 . 일반적으로 , 패치영역을 설계할 때 패치크기와 패치두께를 너무 크게 하면 경제성이 떨어지 게 된다 . 따라서 노치 균열판의 크기와 균열크기를 다음과 같이 , 로 고정한 후 , 패치크기와 두께 를 증가시킴에 따른 최적의 패치보강 단면을 계산하였다 . 그림

8 ^{은 패치크기에 따른 적정성을 조사한 것으로 패치두께}

이고 균열 크기와 노치 반지름의 비 일 때 , 의 변화에 따른 무차원 응력확대계수 값을 산정하 였다 . 패치크기에 따라 무차원 응력확대계수는 저감되는 경 향을 보이며 , 개략적으로 패치의 크기가 를 상회

하더라도 보강효과는 별 차이가 없는 것으로 볼 수 있다 .

그림 9 는 패치두께에 따른 적정성을 조사한 것으로 , 의 변화에 따른 무차원 응력확대계수의 변화를 나타내고 있다 .

가 일정할 때는 패치의 두께가 변화하여도 , 무차원 응 력확대계수가 일정하게 나타나고 있음을 보여주고 있다 .

그림 8 과 그림 9 의 결과로부터 , 패치보강의 효과는 패치의 두께보다는 패치의 크기에 좀 더 영향을 받을 수 있음을 알 수 있다 .

그림 8 과 9 에서 조사한 패치크기와 패치두께가 패치보강 에 미치는 영향을 바탕으로 이고 , 일 때 , 균열진전에 따른 보강효과를 그림 10 에 나타내었다 . 균 a W ⁄

=0.3

H W ⁄

=2.0

t

_p=1 mm

a R ⁄

_n=2.0

R

_p

⁄ a

R

_p

⁄ a

=1.5

t

_p

⁄ t

_s

R

_p

⁄ a

R

_p

⁄ a

=1.5

t

_p=0.1 mm

표 1. 노치 균열판의 기하형상과 균열길이에 따른 무차원 응력확대계수 a/R

n

H/W

1.0 1.5 2.0

Yan(2007) Present Yan(2007) Present Yan(2007) Present

1.04 0.9466 0.9012 0.9304 0.8851 0.9089 0.8652

1.06 1.1062 1.0756 1.0916 1.0568 1.0709 1.0466

1.08 1.2123 1.1715 1.1936 1.1710 1.1680 1.1702

1.10 1.2968 1.2610 1.2805 1.2605 1.2575 1.2595

1.15 1.4303 1.4036 1.4139 1.4029 1.3903 1.4028

1.20 1.5111 1.4858 1.4980 1.4849 1.4783 1.4838

1.50 1.6309 1.6174 1.6127 1.6162 1.5874 1.6158

2.00 1.6538 1.6293 1.6412 1.6280 1.6233 1.6278

그림 6. 노치 균열판의 p-차수 증가에 따른 수렴성

그림 7. 노치 균열판의 균열진전에 따른 무차원 응력확대계수

그림 8. 패치크기 증가에 따른 무차원 응력확대계수의 변화

그림 9. 패치두께 증가에 따른 무차원 응력확대계수의 변화

열의 크기가 작을 때는 상대적으로 패치보강 효과가 크기 않은 반면에 , 균열의 크기가 증가될수록 , 보강 효과가 크게 나타나고 있음을 알 수 있다 . 또한 보강 전과 후에 있어서 균열의 크기가 커짐에 따라 초기에는 응력확대계수 값이 증

가하는 반면에 , 균열의 크기가 노치 반지름의 약 1.2 배 이

상이 되면 , 응력확대계수 값의 상승폭이 크지 않음을 확인할 수 있다 . 한편 , 일면 패치보강의 경우 , 패치보강부분과 패치 보강되지 않은 부분에서 중립축 위치의 차이 때문에 면외휨

이 발생된다 (Ahn, 2010). 결국 , 계산된 무차원 응력확대계수

값은 두께방향으로 달라질 수 있으며 , 그림 10 에 표시된 패 치 보강후의 무차원 응력확대계수는 패치와의 접합면에서의

값이다 . 그림 11 에는 패치보강 전후에 대한 von-Mises 응력

분포를 비교하고 있다 . 패치보강 후 , 균열선단부에서 높은 수 준의 응력분포를 보이던 경향이 감소되었으며 전반적으로 낮 은 응력분포를 보이고 있다 . 즉 , 패치보강 후의 균열 선단부 에서의 응력 집중 현상이 감소되고 , 전체적으로 응력분배가 이루어졌음을 알 수 있다 .

4.2 V형 노치 균열판

그림 12 는 인장력 ( ) 을 받는 패치보강 된 V 형 노치 균열판을 나타내고 있다 . 균열판의 폭과 높이의 비 으로 하고 , 균열판의 두께 이다 . 패치 영역에서의 H

p

와 W

p

는 각각 100 mm 와 100 mm 를 사용하

고 , 패치 시에 노치의 근입 깊이는 50 mm 를 사용한다 . 패치

및 접착제의 두께는 이고 , 이다 . 균열 판은 알루미늄 ( 탄성계수 , 포아송 비 ) 을 사용한다 . ^{접착제의 전단탄성계수 및 포아송 비는 각각} 50

MPa, 0.3 을 사용한다 . 또한 패치재료로서는 직교이방성 성질

을 가지는 graphite/expoy 재료 ( ,

σ

=100 MPa

H W ⁄

=2.0

t

_s=10 mm

t

_p=3 mm

t

_a=0.13 mm

E

=72 GPa

ν

=0.33

E

₁₁=172.4 GPa

E

₂₂=

E

₃₃

그림 10. 노치 균열판의 균열진전에 따른 무차원 응력확대계수

그림 11. 패치보강 전후의 노치 균열판의 응력분포 그림 12. 패치보강 된 V형 노치 균열판

그림 13. p-수렴 비등매개변수 요소를 사용한 V형 노치 균열판의 요소망

, , , = 4.825 GPa, G

23

= 3.1 GPa) 를 채택하였다 . 그림 13 은 비등매개변수 모델을 사용한 유한요소망을 나타내고 있다 . 거동의 대칭성

을 고려하여 1/2 모델링을 사용하였으며 , 패치보강 전에는

13 ^{개의 요소를 가지고서 요소망이 구성되다} . ^또한 , ^{보강 후}

에는 균열판에 20 개 , 접착제 및 패치영역에 각각 8 개의 요 소가 사용되었다 . 또한 형상함수의 차수는 7 차를 사용하였다 .

노치근입부의 둥근 영역에는 초유한사상기법이 적용되었다 .

또한 이전 예제와 마찬가지로 가상균열닫힘법을 적용하기 위 해 균열선단에 ∆a 만큼의 크기를 가지는 요소를 세분화하여 요소망을 구성하였다 .

표 2 에서는 둥그스름한 노치 근입부의 반경과 V- 형 노치

길이의 비인 r/D가 0.2, 0.25, 0.5 일 때 노치의 근입각도 α

가 변화함에 따른 패치보강 전의 응력집중계수를 나타내고 있다 . 제안되는 모델의 해석 결과의 검증을 위해서

Teh(2007) 의 결과와 비교하였다 . Teh(2007) 는 8 절점 등매개

변수 요소에 기초한 특이요소 (singular elements) 를 사용하였

다 . 표 2 에서 보는 바와 같이 두 결과값들의 차이는 2% 이 내이다 .

그림 14 에서는 노치 끝부분으로부터 폭 방향 ( x방향 ) 으로 떨어진 거리에 변화에 대한 응력집중계수를 표시하고 있다 .

노치의 각도 α는 30

^o

( ^그림 14(a)) ^와 45

^o

( ^그림 14(b)) ^{가 고}

려되었으며 , 각 경우에 대해서 와 일 때의 계산 결과값을 나타내고 있다 . 그래프에서 σ * 는 해당 지점에서의 σ

yy

값의 최대값을 의미한다 . 노치의 끝부분에서 멀어질수록 응력집중계수는 감소하며 x/r = 2 ^{위치에서부터}

일정한 응력의 값으로 나타난다는 것을 확인할 수 있다 . 여 기서 , x는 노치의 끝부분을 원점으로 하는 수평축 방향을 나타낸다 . 그림 14 의 결과로부터 , 노치의 근입각도가 커질수 록 또는 근입부의 반경이 커질수록 노치선단에서의 응력집 중계수의 값이 커짐을 알 수 있다 .

한편 , 패치보강 전 후의 거동에 대한 해의 신뢰성을 보이 기 위해, 참조값으로서 상용 유한요소 모델(ANSYS, 2004;

SOLID186 사용)의 결과를 채택하였다. 그림 15는 ANSYS 에서의 패치보강 전과 패치보강 후의 모델링 형상이며, h-수 렴 방법을 채택하였다. 또한 무차원 응력확대계수값의 산정 을 위해서 J-적분법을 사용하였으며, 균열 선단에서의 J-적분 법의 정확성을 높이기 위하여, 방사선 형태의 3차원 모델링 을 적용하였다. 그림 16은 패치보강 전과 후의 V형 노치 (α = 45

^o

)에 균열이 발생되었을 때의 균열진전에 따른 무차원 응력확대계수의 변화를 나타내고 있으며, p-수렴 비등매개변 수 모델을 사용한 결과값과 ANSYS 결과값을 비교하고 있

=10.34 GPa

^ν

₁₂=

^ν

₁₃=0.3

^ν

₂₃=0.18 G₁₂=G₁₃

r D

⁄

=0.25 r D

⁄

=0.5

표 2. 패치보강 전 균열이 없는 V형 노치 균열판의 응력집중계수(σ*/σ)

r/D=0.2 r/D=0.25 r/D=0.5

Teh (2007) Present Teh (2007) Present Teh (2007) Present

30^o 4.952 4.930 4.789 4.710 3.840 3.900

45^o 5.725 5.720 5.227 5.230 3.988 3.990

60^o 5.829 5.780 5.311 5.270 4.011 4.010

75^o 5.878 5.810 5.359 5.280 4.016 4.020

σ

*:

균열선단에서의

(

σ

yy)max

그림 14. 노치 끝 부분으로부터 떨어진 위치에 따른 응력집중계수의 변화

그림 15. h-수렴 방식을 채택한 ANSYS 유한요소 모델

다. 해석에서의 VCCT 값은 균열진전에 따라서 ∆a의 크기 를 a의 3% 정도로 고정하여 해석을 수행하였다. 패치 후의 무차원 응력확대계수값은 균열판의 중립면에서의 값을 가지 고서 비교하였다. 그림 16에서 보이는 결과값으로부터, 현재 해석값의 결과는 ANSYS 유한요소 해석 결과와 유사한 형 태를 나타내고 있음을 확인할 수 있다. 한편, 균열 진전 시 에 a/D가 약 0.2 정도까지는 무차원 응력확대계수 값이 감 소하고 있다. 이것은 응력확대계수값 자체의 감소가 아니라, 계산된 응력확대계수를 무차원화 시킬 때, 값이 다소 작아지 는 경향을 나타낸다. 한편, 그림 17은 패치보강 전과 패치보 강 후의 균열 판의 두께 방향으로의 응력확대계수값의 변화 를 보이고 있다. 패치보강 전에서는 두께 방향으로의 응력확 대계수 값이 일정한 반면에, 패치보강 후에는 두께 방향으로 응력확대계수값이 변화하는 것을 확인할 수 있으며, 보강되 지 않은 아랫면의 경우에는 다른 면보다는 다소 높은 응력 확대계수가 나타나고 있다.

5. 결론 및 고찰

본 연구에서는 패치보강 된 반원형 및 V형 노치균열을 갖 는 알루미늄 평판 해석을 수행하기 위하여 p-수렴 비등매개 변수 모델을 사용하였으며, 연구를 통해 얻어진 결과를 요약 하면 다음과 같다.

1. p-수렴 비등매개변수 모델을 사용하여 기존의 2차원 모델 에서는 보여주기 어려웠던 적층판 사이의 변위, 변형률, 응력 등을 쉽고 정확하게 얻을 수 있었다.

2. 3차원 가상균열닫힘법의 사용으로 패치보강 된 노치 균열 판의 두께방향으로 변화되는 무차원 응력확대계수를 효과 적으로 구할 수 있었다.

3. 원형 곡선 경계를 표현하기 위하여 기존의 등매개변수 요 소에서 주로 사용하는 근사해법을 배제하고, 곡선 경계를 오차 없이 정확하게 표현하는 초유한사상기법을 사용된 p- 등매개변수 모델에 적용하였으며, 이와 같은 p-수렴 비등 매개변수 모델은 변장비(aspect ratio)에 대한 강건성 (robustness)을 가지고 있어서, 모델링의 단순성과 해석의 경제성을 추구할 수 있었다.

4. 반원형 및 V형 노치균열을 갖는 알루미늄 평판의 보강 시, 패치의 두께에 비해 패치의 크기가 큰 영향을 미침을 알 수 있었다.

5. 패치보강 된 반원형 및 V형 노치균열을 갖는 알루미늄 평판의 경우 패치크기, 패치두께, 접착재의 물성치 및 두 께 등에 따라 달라질 수 있지만, 본 연구의 제원을 갖고 검토한 결과 패치보강 전에 비해 최소한 50%이상의 보강 효과를 얻을 수 있었다.

끝으로, 현재 연구에서 제안하는 모델은 향후 원공이 있는 이방성 적층 평판의 해석 뿐 만 아니라 곡면이 있는 쉘구조 의 해석 등의 다양한 구조물의 패치보강 해석에 적용될 수 있을 것으로 기대된다.

감사의 글

이 논문은 2011년도 정부(교육과학기술부)의 재원으로 한 국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구(No. 2011-0003854) 이므로, 귀 재단에 깊은 감사를 드립니다.

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그림 16. 패치보강 전의 V형 노치 균열판의 무차원 응력확대계수

그림 17. 패치보강 전후의 V형 노치 균열판의 무차원 응력확대

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(

접수일

: 2011.11.4/

심사일

: 2011.12.1/

심사완료일

: 2011.12.29)