HIGH-ORDER ADAPTIVE-GRID METHOD FOR THE ANALYSIS OF UNSTEADY COMPRESSIBLE FLOW

접수일: 2008년 8월 5일, 심사완료일: 2008년 9월 12일.

1 정회원, 군산대학교 공과대학 기계자동차공학부

2 Department of Aerospace Engineering, Penn State University, PA, USA

* Corresponding author, E-mail: [email protected]

비정상 압축성 유동 해석을 위한 고차 정확도 적응 격자 기법의 연구

장 세 명,^*1 Philip J. Morris²

H

A

M

A

U

C

F

S.M. Chang^*1 and P.J. Morris²

The high-order numerical method based on the adaptive mesh refinement(AMR) on the quadrilateral unstructured grids has been developed in this paper. This adaptive-grid method, originally developed with MUSCL-TVD scheme, is now extended to the WENO (weighted essentially no-oscillatory) scheme with the Runge-Kutta time integration of fifth order in spatial and temporal accuracy. The multidimensional interpolation was studied in the preliminary research, which allows us to maintain the same order of accuracy for the computation of numerical flux between two adjacent cells of different levels. Some standard benchmark tests are done to validate this method for checking the overall capacity and efficiency of the present adaptive-grid technique.

Key Words : WENO ^방법(WENO scheme), ^{적응 격자}(Adaptive grids), ^{비정렬 격자}(Unstructured grids)

1. 서 론

지난 10^{여 년 동안}, ^{전산유체역학}(CFD)^{과 전산공력음향학} (CAA)에서 유동장과 소음 해석을 위한 고해상도의 수치기법 들이 개발되어 왔다[1]. ^{이 중에서} WENO ^기법[2,3]^{은 기존의} ENO 기법을 바탕으로 유량 계산이나 물리량의 재건 (reconstruction)에서 가중 평균의 개념을 도입하고, ^{유량 혹은} 물리량의 구배에 따라 그 가중치를 적절하게 조절함으로써 수치적 진동을 최소로 하는 방법이다. 이 방법은 고 마하수의 압축성 유동장 해석에 매우 유익하며, 비선형 파동의 해석에 도 유효하다.

적응 격자 기법은 계산 도중 물리량의 구배가 큰 곳에 더 많은 격자들을 배치시켜 계산의 효율성을 얻는 방법이다[4,5].

그러나 이와 같은 방법들을 실제 계산에 적용하기 위해서는 많은 노력이 필요하다. 특히 격자의 분할 수준이 달라 크기가 급격하게 다른 두 격자 사이의 수치 유량을 계산할 때, ^혹은 구배가 어느 수준 이하로 크거나 작아져서 격자들을 서로 분

할하거나 병합할 때, 불필요한 고차의 수치 오차가 발생하게 된다. 이러한 오차를 방지하기 위하여 본 논문의 저자들은 참 고문헌[6]^{에서 이미} ‘^{다차원 내삽법} (multidimensional interpolation)’을 개발한 바 있다.

본 논문의 책임 저자는 지난 10^{여 년 동안} MUSCL-TVD 방법을 사변형 적응 격자(QUAG: quadrilateral unstructured adaptive grids)위에서 사용하는 공간과 시간에 대한 2^{차 정확} 도의 수치 기법을 연구 개발하여 이를 여러 비정상 압축성 유동 문제들에 적용해왔다[7,8]. 그러나 음향파와 같이 충격파 에 비해 미세한 강도의 파동을 적절하게 잡아내기 위해서는 고차 해상도 기법이 필요하였고, 기존의 적응 격자 기법에 WENO 방법을 적용하던 도중 다차원 내삽법을 개발하였다. 이 방법은 이미 수렴 검사(convergence test)^{를 통과하여}, ^사인 파 형태의 선형 파동 전파에 대해 원래의 파동 형태를 유지 하면서 수치 해법이 지닌 고차 정확도를 훼손시키지 않음이 검증되었다[6].

본 논문에서는 이러한 내삽법을 바탕으로 학계에 통용되는 몇 가지 검증 문제들을 선택하여 현재 개발된 적응 격자 기 법을 시험하여 보기로 한다. 특히 각 문제에 대해 격자의 분 할과 병합에 관련하는 변수들의 값과 계산의 효율성 등에 대 해 논한다.

Lower level Higher level

Eldest

Quadtree Linked list

Off On

Refinement

Off

On

Merging

Lower level Higher level

Eldest

Quadtree Linked list

Off On

Refinement

Off

On

Merging

Fig. 1 Data structure of adaptive mesh refinement

2. 적응 격자 기법

가장 일반적으로 널리 알려진 참고문헌[4,5]^{의 적응 격자} 분할법(adaptive mesh refinement)에서는 기존 바탕 격자에 직 사각형의 격자 패치를 붙여 나가면서 다중 수준의 적응 격자 계를 구현한다. 이 방법은 한 수준의 격자계가 단체로 추가되 어야 하므로 격자 효율이 그리 높지는 않다. ^참고문헌[9]^의 적응 격자 분할법은 개개의 격자들이 각각 분할-^{병합을 반복} 하므로 이보다 훨씬 더 효율이 높은 방법이다. ^{따라서 본 연} 구에서는 참고문헌[9]의 다중 격자법을 준용하기로 한다. 2.1 격자 수준과 분할/병합

Fig. 1에서는 일반적인 적응 격자 분할법에서의 데이터 구 조를 보여주고 있다[9,10].

계산의 시초에서는 가장 낮은 수준(Level 1)의 배경 격자를 사용한다. 배경 격자는 계산의 편의상 비정렬 격자계 (unstructured grids)^{로 구성된다}. ^즉, 격자들 사이에 순서가 있 는 것이 아니라, 오직 격자 색인 번호(index number)^{와 이웃한} 격자와의 기하학적인 연결 상태만이 컴퓨터의 기억공간에 저 장되어 있다.

계산 도중 특정 물리량의 구배가 커진다면 해당 아버지 격 자를 분할(refinement)^{해야 한다}. 그러면 계산 코드는 해당 격 자 색인 번호를 찾아 그 격자를 비활성화(switch off)^시키고, 새로 생성(switch on)되는 아들 격자 번호중 하나인 장자 (eldest)를 가리키도록 한다. 이러한 배열 구조는 C ^{언어의 포} 인터 기능을 활용하면 쉽게 구현할 수 있다. ^{새로 생성되는} 분할 격자들은 아버지 격자가 가리키는 장자를 중심으로 서 로 사슬 구조를 갖는다. ^즉, 같은 아버지를 갖는 같은 수준의 격자들은 서로를 연쇄적으로 가리킨다(linked list). ^{따라서 원} 래 격자에서는 분할이 일어났을 경우 장자의 색인 번호만 기

록하면 되고, 분할된 격자들은 형제 격자들과의 연결 상태만 저장하면 되므로 기억 공간이 현저하게 절약된다.

만일 물리량의 구배가 충분히 낮아 합병(merging)^{이 일어난} 다면, 형제 격자들을 찾아 스위치를 모두 끄고(switch off), ^아 버지 격자를 찾아 이를 활성화(switch on)시키기만 하면 된다.

이러한 격자 단계를 다단계로 적용할 수 있으며, ^수준 1^부 터 특정 수준까지 계층 구조를 만들 수 있다. 2^{차원 격자의} 경우에는 한 격자가 4 ^{개로 분할되므로}, 이러한 데이터 구조 를 4^{중 트리}(quadtree) ^{구조라고 부른다}.

2.2 격자의 분할/병합을 결정하는 파라메터

적응 격자에서는 격자의 수준에 따라 분할/^{병합을 실시해} 야 하는데, 이 때 판단의 기준이 되는 파라메터를 정의해야 한다. 여러 문헌에서 이에 대해 다양하게 설명하고 있지만, 본 연구에서는 다음과 같이 정의하기로 한다.

먼저 번 째 격자에 대한 오차 지시자(error indicator)^{는 다} 음과 같다[6].

_  ≈_ ∆_

_ _{ ± }

 (1)

여기에서  ± 은 비정렬 격자계에서는 이웃한 격자들을 의미한다. 본 연구에서는 무차원화한 밀도 값을 식 (1)^{의 오} 차 지시자 계산 변수( 값)로 사용하였다.

각 수준 간의 오차 지시자 경계 값은 다음과 같은 파라메 터로 정의한다. ^수준  과 수준  사이의 경계 오차  값은 등비수열로 다음과 같이 정의한다.

  ^{ } (2) 즉, ^{현재 수준} 인 번 째 격자에 대해 _≥ 

이면 수준 로의 격자 분할을 실시하고, ^{그 반대의 경우} 는 그대로 두거나 다시 오차 수준의 최소값을 따져서 격자 병합을 실시하기로 한다(^단,   일 때는 그대로 두기만 하 면 된다.).

각 문제에 따라 식 (2)^{의 파라메터} 와 의 선택에는 임 의성이 존재한다. 이 값들이 작을수록 오차의 허용 한계가 작 아지므로 더 많은 격자를 분할해야 하며, 정확성은 높아지는 대신 계산의 효율성은 떨어진다.

2.3 격자의 효율성을 판단하는 파라메터

만일 일반 균등 격자계에서 최대 개의 격자를 사용 해야 현재 사용한 적응 격자와 같은 수준의 계산이 가능하다

고 하면, 현재 사용한 비정렬 격자의 개수를 이라고 할 때, 다음과 같은 식으로 격자의 계산 효율(computational efficiency) 을 정의한다.

    

 (3)

적응 격자에서 _ 값은 계산 영역을 가장 높은 수준, ^즉, 가장 작은 크기의 격자로 가득 채운다고 가정했을 경우에 소 요되는 격자의 개수를 의미한다. 식 (3)의 효율이 클수록 계 산 격자 개수가 덜 들므로 계산 시간이 절약된다.

3. 수치 해석 기법 3.1 지배 방정식의 표현

유체역학에서 사용하는 쌍곡형 보존 방정식의 계는 다음 꼴로 표현된다.

   

    (4)

압축성 유동장에서 식 (4)는 오일러 방정식으로서, ^{유한 체} 적법(finite volume method)을 적용하기 위한 약한 꼴(weak form)로 변형시키면 다음과 같다.



_

 ∆ 

  

  







≈ ∆_^





(5)



  

 

  ∆

  



3.2 시간 및 공간 적분 방법

수치 유량(numerical flux)을 계산하는 방법에는 여러 가지 선택이 존재한다. 본 연구에서는 일단 격자 경계면 양쪽의 불 연속 물리량(^식 (5)^{에서 위첨자} +, -^값)^{을 재건}(reconstruction)^하 는데, WENO 필터링을 사용하였다[2,3]. 이 값을 가지고 격자 경계면에서 Riemann 문제를 정의할 수 있으며, ^기존 TVD-MUSCL ^{코드에서처럼} Roe의 근사 해법을 사용하였다. 이 방법은 참고문헌[3]^의 Lax-Friedrichs 유량 분리법과는 다르 고, 참고문헌[2]에서의 방법과 유사하다. Roe의 방법은 다른 Godunov 계열 해법들과 마찬가지로 풀이 도중 발생하는 국지 적인 엔트로피 조건(entropy condition)의 위배를 해결해야 한 다는 단점이 있다[11]. 본 연구에서는 참고문헌[12]에 제시된

엔트로피 수정식을 사용하기로 한다.

시간에 대한 5차 정확도를 보장하기 위하여, ^식 (5)^{의 좌변} 을 적분하는데 다음과 같은 Runge-Kutta ^{방법을 사용한다}[13].

  

^ ^

^ ^    ∆ ^{}   

^{ } ^ (6)

여기에서 시간에 대한 5차 정확도를 구현하기 위해서는

   값을 사용한다(CFL ^수는 0.7^{로 유지}).

4. 1차원 검증 문제 4.1 MUSCL-TVD 기법과 WENO 기법의 비교

본 연구에서는 기존의 2 차 정확도 MUSCL-TVD 기법으로 부터 새로이 WENO 기법을 적응 격자 기법과 함께 사용하였 다. 두 수치 기법의 성능 차이를 비교하기 위하여, ^{다음과 같} 은 초기 조건에서 충격파관(shock tube) 문제를 풀이하기로 한 다.

_



 _

 ,

 _  (7)

Fig. 2는 균일 격자계에서   일 때 2^{차 정확도의} TVD 기법, 3^{차 정확도의} WENO ^기법, ^그리고 5^{차 정확도의} WENO 기법 사이의 계산 성능을 비교한 것이다. ^충격파 (shock wave), ^{접촉 불연속면}(contact discontinuity), ^{그리고 팽창} 파(expansion wave)의 경계면에서는 구배가 강한 파면이 형성 되고, 수치 진동 없이 이들을 적절하게 잡아내기 위해서 TVD 기법에서는 제한자(limiter)와 같은 수치 기법들을 사용한다. 그런데 수치 제한자는 불연속 파면 근방에서 해의 정확도를 떨어뜨리기 때문에 전반적으로 해의 질을 저하시킨다.

반면 WENO 기법은 기존의 중앙 차분법에 Upwind ^필터링 방법을 사용하므로, ^{예를 들어} 3차 정확도라고 할지라도 수치 적으로 구배가 큰 부분 이외의 영역에서는 4^{차 정확도를 보} 장할 수 있으므로, 정확도 면에서는 훨씬 더 개선된 방법이 다. ^{이 사실은} Fig. 2에서 쉽게 확인할 수 있다. ^단지 MUSCL 2차 정확도 기법에서 3^{차 정확도의} WENO ^{기법으로 바꾸더} 라도 계산 성능은 크게 향상된다.

x ρ

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

1.2 MUSCL-2

WENO-3 WENO-5 Exact x = 0.04

Δ

(a) Density

x M

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

MUSCL-2 WENO-3 WENO-5 Exact

x = 0.04 Δ

(b) Mach number Fig. 2 Simple shock tube problem

x ρ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Exact Level 1 Level 3 Level 5 Xmax= 0.2 Δ

(a) Sod's problem

x ρ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Exact Level 1 Level 3 Level 5 X_max= 0.2 Δ

(b) Lax's problem

Fig. 3 Numerical shock tube problems 4.2 Sod와 Lax의 충격파관 문제

참고문헌 [3]에서 제시하는 두 가지 종류의 충격파관 문제 를 풀이하였다. ^이들은 ‘Sod^{의 문제}’^와 ‘Lax^{의 문제}’^{로 각각의} 초기 조건을 다음과 같이 설정한다.

Sod's problem:

___  

___   (8)

Lax's problem

___  

___   (9)

초기 조건에 대해서는 양 문제 모두  ≥ 일 때는 아래 첨자 인 물리량들을, ^그리고   일 때는 아래 첨자 인 물리량들을 적용한다. 초기 격자의 간격은 ∆  값을 사

x ρ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Adaptivegrids(100, Level4) Uniformgrids(1,600)

(c) level 4

Fig. 4 Shock-entropy wave interaction x

ρ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Adaptivegrids(100, Level2) Uniformgrids(1,600)

(a) level 2

x ρ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Adaptivegrids(100, Level3) Uniformgrids(1,600)

(b) level 3

용하고, 5 단계까지의 적응 격자를 이용하여 비정상 파동들을 잡아내도록 한다.

Fig. 3에서는 각각의 문제에 대해   (Sod),   

(Lax)에서의 밀도 분포를 비교하였다. 적응 격자의 수준이 높 아질수록 날카로운 구배의 파동들의 위치에는 더 많은 격자 들이 사용되므로 해석해와 유사한 결과를 보여준다.

4.3 충격파와 엔트로피파의 간섭

본 검증 문제는 충격파와 같은 비선형파와 사인파와 같은 선형파가 서로 겹쳐질 때 비정상적인 밀도 분포를 구해 서로 비교하는 것으로, 개발된 코드가 비선형파와 선형파 모두에서 제대로 작동하는지를 알아보기 위한 수치 실험이다. 이 문제 는 참고문헌[14]에서 제시되었으며, 일반적인 WENO 방법은 비선형 파동에 대한 필터링을 하므로 선형 파동에 대한 공간 정확도를 떨어뜨린다고 알려져 있다.

이 문제의 초기 조건은 이동 충격파 마하 수 _  인 평면 충격파를   에서 축의 양의 방향으로 출발시켜 다음과 같은 정상파와 충돌시키는 것이다.

  ,

_ ,

    (10)

식 (10)에서, 밀도는 변하지만 압력은 일정하므로, 등엔트 로피 조건(^ )을 만족시키지 못하기 때문에, 이를

‘엔트로피파’라고 부른다. 즉, 충격파는 엔트로피 구배가 연속 적으로 존재하는 선형 파동 구간을 지나간다. 여기에서 시간

  에서의 밀도 값을 서로 비교하는데, 해석해를 알 수 없으므로 매우 조밀한 균일 격자(      구간에서 1,600 개)에서의 결과와 비교한다.

Fig. 4에서는, 초기 균일 격자 100 개로부터 출발하여, 적 응 격자의 수준을 높여 가면서 점점 더 좋은 해의 질에 도달 할 수 있음 알 수 있다. 특히 가장 높은 수준의 계산에서는 간섭에 의해 발생하는 파의 꼭대기(peak) 값들을 제대로 잡아 내고 있다. 따라서 본 연구에서 사용한 방법은 비선형 파동뿐 만 아니라 급격하게 변하는 선형 파동에 대해서도 유효한 고 차 정확도 기법이다.

5. 2차원 검증 문제

본 연구에서 사용한 수치 기법의 2차원 검증 문제로서 이 전 문헌에서 자주 다루어 온 ‘대류 와동(convective vortex)’ 문 제는 이미 참고문헌[6]에서 제시한 바 있다. 본 절에서는 강

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(a) level 2, 30 isopycnics

(b) level 2, grids

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(c) level 3, 30 isopycnics

(d) level 3, grids

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(e) level 4, 30 isopycnics

(f) level 4, grids Fig. 5 Forward step flow

한 충격파가 발생하는 압축성 유동 문제들에 대해 현재의 수 치 기법이 매우 유용하게 쓰일 수 있음을 보이고자 한다. 5.1 전방 계단 유동

참고문헌[15]^{에서 제시된 문제로서}, ^{계산 영역은}

× 이고, ^높이 인 전방 계단이   에 위치 한다. ^{초기 조건은}   인 균일 유동으로 주는데, ^{이 경우} 충격파는 입구 쪽으로 반사되어 밀려나기 때문에 정상 상태 에는 이르지 못한다.

시간   에서 적응 격자계와 밀도 분포를 도시한 결과가 Fig. 5에 제시되어 있다. ^초기  × 개의 균일 격자로 출발 하여, 격자계의 수준을 높여 나가면 점점 더 날카로운 충격파 를 관찰할 수 있다. 4 단계의 적응 격자를 적용하면, ^최종적 으로 20,862 개의 격자만으로 본 문제를 해결할 수 있다. ^위 쪽 벽면에서는 강한 충격파의 마하 반사(Mach reflection)^{가 일} 어나고, 미끄럼선이 제대로 잡히고 있음을 (e) ^{등밀도선과} (f) 적응 격자 모두에서 확인할 수 있다. 충격파의 아래쪽 벽면으 로의 반사는 정상 반사(regular reflection) ^{형태를 보이고}, ^반사 된 충격파는 다시 위쪽 벽면에서 반사된다. 계단 상단의 꺾인 점 에서는 유동이 Prandtl-Meyer의 한계 이상으로 급 격하게 꺾이면서 경사 충격파(oblique shock wave)가 발생하며, 이것이 아래쪽 벽면에서 반사된 충격파와 만나 ‘-^충격파’ ^형 상을 이루고 있다.

5.2 이중 마하 반사

이 문제는 참고문헌[15]를 비롯한 많은 기존 연구에서 제 시된 것으로서, _ 인 충격파가 가로축의 양의 방향과

를 이루도록 입사하여 이중 마하 반사(double Mach reflection)를 일으키는 순간을 포착하는 문제이다.

계산 영역은 × 이고, 충격파는 초기에 점

에서 출발한다. ^{경계 조건은}  ≤  ≤ 인 아랫변 에서 반사 조건(reflecting B/C, slip condition)^{을 적용하고}, ^충격 파의 전후에서는 입사 충격파 마하수에 따라 각 물리량들을 정확히 준다. ^수준 1^에서  × 개의 균일 격자로 출발하 여, ^모두 6 단계의 적응 격자를 적용하고   에서의 결과 를 분석한다. Fig. 6을 살펴보면 앞의 문제에서와 마찬가지로 비교적 적은 수의 격자를 가지고 효율적인 계산을 할 수 있 음을 알 수 있다.

그런데 앞의 2.2 절에서 언급한대로 적응 격자 기법에서는 격자의 질을 파라메터 와 를 이용하여 조절할 수 있다. Fig. 7^에서는   로 고정한 상태에서   (low sensitivity) 와   (high sensitivity)인 경우에 대해서 각각 6 ^단계까지 의 적응 격자를 사용하여 본 문제를 풀이하였다. ^{여기에서 격} 자의 개수가 부족할 경우, 해의 질이 현격하게 떨어짐을 알 수 있다. ^미끄럼선(slip line)^에서 Kelvin-Helmholtz ^{불안정성에}

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(a) level 2, 5,325 cells

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(b) level 3, 8,778 cells

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(c) level 4, 16,137 cells

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(d) level 5, 30,906 cells

Fig. 6 Double Mach reflection, 30 isopycnics

x y

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x y

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

(a) level 6, low sensitivity, 56,676 cells in total (b) level 6, high sensitivity, 95,235 cells in total Fig. 7 Zoomed view of Double Mach reflection, 50 isopycnics

x y

0 5 10 15

-10 -5 0 5

I T

R

(b) WENO(present)

Fig. 8 Shock and strong vortex interaction

x y

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Fig. 9 Adaptive grids of Fig. 6(b), partial view

T R

S S

I

A SSSV

(a) MUSCL-TVD[16]

의해 소와동들이 발생하고, 미끄럼선의 끝단은 반사 충격파와 간섭하고 벽면에 닿아 와동을 형성하면서 유동 박리(flow separation)를 일으켜야 한다. 그러나 격자의 개수가 부족하면 이러한 주요 물리 현상을 충분히 잡아낼 수 없다.

5.3 충격파-와동 간섭

충격파와 국지적으로 초음속 영역을 갖는 강한 와동과의 간섭에 대해서는 참고문헌[7,8]에서 실험 연구로 이미 제시한 바 있다. 참고문헌[16]에서는  인 평면 이동 충격파와

_ 인 와동과의 충돌 및 간섭에 대해 MUSCL-TVD 방법을 이용하여 비정상 수치 해석을 실시하였다.

계산 영역은   ≤  ≤  ≤  ≤ 인 정사각형 이고, 초기에 와동은 원점에 다음과 같은 초기 조건으로 분포 시킨다.

  ,    if   ;

  _^,   _^ if  ≥ ;

   ^^,

  ^,

     at →∞ (11)

여기에서 평면 충격파는   에서 출발하고, ^와동을 고립시키지 않았으므로 충격파 앞(  )^{에서는 와동에} 의해 유도되는 유동장 조건을 적용하고, ^{충격파 뒤} (  )에서는 주어진 평면 이동 충격파 마하수에 의한 일정 물리량 값들을 적용한다.

이러한 초기 조건으로부터   에서의 밀도 값을 도시 한 것이 Fig. 8이다. 초기에는  × 개의 균일 격자를 사 용하고, 5 단계의 적응 격자를 적용한다. ^{그림에서 미끄럼선} (S)^{이나 반사파}(R, reflected wave), ^관통파(transmitted shock) ^등 의 해상도가 (a) MUSCL-TVD 기법으로 계산한 기존 연구에 서보다 (b) ^현재 WENO 기법을 사용한 결과에서 현저하게 향 상되었음을 알 수 있다.

Sect. Problem   Max. level

4.2 Shock tube 0.25 0.5 5

4.3 Shock-entropy

wave interaction 0.05 0.5 4

5.1 Forward step

flow 0.05 0.2 4

5.2 Double Mach reflection 0.3

0.2 6

0.1 5.3 Shock-vortex

interaction 0.1 0.5 5

Table 1 Grid-sensitivity parameters

Sect. Problem N Nmax 

4.2 Shock tube 140 ~ 170 800 79 ~ 83 4.3 Shock-entropy

wave interaction 676 800 16

5.1 Forward step flow 20,862 64,512 68 5.2 Double Mach

reflection 95,235 3,686,400 97 5.3 Shock-vortex

interaction 59,897 230,400 74 Table 2 Grid-efficiency parameters 6. 계산 파라메터

6.1 격자의 민감도

식 (2)에서 정의한 격자 민감도에 대한 파라메터들은 각 문제들에 따라 조금씩 다르게 적용하였다. 이 값들을 다음 Table 1^{에 제시하였다}.

위에서 파라메터 는 최초의 격자 분할 수준을 결정하고, 파라메터 는 각 수준별 격자 분할/병합 조건을 결정한다. 따라서  값이 작을수록 전체적으로 더 민감한 격자 분할이 일어나고,  값이 작을수록 높은 수준의 격자가 더 급격하게 집중되는 경향이 있다. ^충격파-엔트로피파 간섭이나 전방 계 단 문제와 같이 엔트로피의 구배가 큰 비선형 간섭 문제를 풀이할 경우 좀더 민감하게 격자 분할을 해야 한다. ^{또한 충} 격파관, ^충격파-엔트로피파 간섭이나 충격파-^{와동 간섭과 같} 이 충격파에 비해 구배가 낮은 파동의 구배를 보다 확실하게 구분하기 위해서는 낮은 수준에서의 격자 영역을 완만하게 늘려줄 필요가 있다.

일반적으로 압축성 유동 내 강한 충격파 문제에서 4~6 ^단 계의 격자 분할 및 병합을 실시한다면,    ∼ ,

   ∼  정도의 값이 적합하다. 6.2 격자의 효율

식 (3)에서 정의한 격자의 효율을 각 문제들에 대해서 구 해 보았다. Table 2에서는 각 문제별로 가장 많은 수의 격자 를 사용한 계산 결과들에 대해 가장 작은 크기의 격자로 균 일 격자로 계산했을 경우와 계산 격자수를 비교해 보았다.

충격파-엔트로피파 간섭과 같이 매우 넓고 조밀한 엔트로 피 구배가 있는 영역을 제외하고는 적응 격자에 의한 격자 효율은 68~97% ^{까지 상승한다}. ^즉, 대부분의 압축성 유동과 충격파 문제들에 대해 균일 격자에 비하여 3~32% ^{정도 개수} 의 격자만 사용하더라도 문제를 풀이할 수 있다.

6.3 기억 공간과 계산 시간

본 연구와 가장 유사한 데이터 구조를 사용하는 참고문헌 [9]의 연구 결과에 의하면, 적응 격자 기법이 사용하는 메모 리의 양은 분할/병합하는 각 수준 사이의 계층 구조를 표현하 기 위해 몇 가지 정수(integer) 색인들을 추가하는데 불과하므 로 정렬 격자에 비해 그렇게 큰 차이가 없다고 보고되고 있 다.

그러나 본 연구에서는 크기가 다른 격자들 사이의 5^{차 정} 확도 다차원 내삽법을 구현하기 위해서는 각 종속 변수들의 고차 미분 항을 20 개까지 계산해야 하기 때문에, ^{기억 공간} 과 계산 시간이 더 소요된다. 다행히 이것은 모든 격자에 대 해 미분 항들을 계산해야 하는 것은 아니고 이웃한 격자의 수준이 변하는 경계 셀에서만 해당되므로, 앞 절에서 구한 격 자 효율이 약 3~5% 정도 저감 되어 실제 기억 공간 또는 계 산 시간에 적용된다.

참고문헌[7,8]에서 각 시간 단계의 계산이 끝난 후 분할/^병 합을 위해 소요되는 시간은 전체 계산 시간의 1% ^내외였다. 다차원 내삽법을 채용하면서 크기가 다른 격자들 사이 경계 에 대한 검색이 필요하므로 이 시간은 상당히 늘어나 전체 계산 시간의 2~3% 까지 증가하였다. 그러나 전체적으로 계산 의 효율은 크게 저하되지 않았으며, 예를 들어 Fig. 9와 같은 격자계(최종 격자 수 약 10만 개)에서 본 연구의 계산을 수행 하는 데에는 보통 사양의 PC(Pentium4 2.8 GHz, 2 GB RAM) 에서 약 9시간 40분 정도가 소요된다.

7. 결 론

비정상 압축성 유동장의 해석을 위하여 사각형 비정렬 적 응 격자를 사용하는 고차 해상도 WENO 기법 코드를 완성하 고 이의 성능을 시험해 보았다. 1^차원과 2 ^차원, ^모두 5 ^개의 공인된 검증 문제를 해석하였으며, 그 결과 본 연구에서 개발 한 수치 기법은 전반적으로 수용할만한 성능을 보여 주었다.

적응 격자의 이용은 필요한 곳에 격자를 분할/^{병합하여 필} 요한 격자수를 현저하게 감소시킬 수 있기 때문에 이전부터 많이 사용되어 온 방법이다. 그러나 최근 고해상도 수치 기법 의 사용에 따라 요구되는 수치 해의 공간 및 시간 정확도가 높아지면서 여러 가지 문제점을 나타내게 되었다. ^{크기가 다} 른 격자들 사이에서 불필요한 수치적인 파동이 나타나 잡음 으로 작용하기 때문에, 허용 오차를 수치 기법이 가진 정확도 의 계산 오차 이내로 제한하기 위해서는 수준이 다른 격자들 사이에서는 복잡한 다차원 내삽법이 필요하였다[6]. ^{이 때문} 에 고차 해상도의 적응 격자 기법은 요구되는 기억 공간이 늘어나고 계산 시간이 증가한다는 단점을 지니고 있다. 본 연 구 결과, 문제에 따라 격자의 민감도를 나타내는 파라메터들 을 정밀하게 조정할 필요가 있으며, 계산하는 문제의 특성에 따라 격자의 효율성 또한 크게 변함을 알 수 있었다. 특히 충 격파와 같은 비선형 파동과 엔트로피파와 같은 선형 파동의 간섭 문제에서는, 넓은 계산 영역에서 많은 개수의 격자들을 필요로 하기 때문에, 본 연구에서 사용하는 수치 기법의 효율 이 크게 저하됨을 알 수 있었다.

그러나 이러한 약점들에도 불구하고, 충격파의 강도가 큰 비정상 압축성 유동장이나 충격파-와동 간섭과 같이 복잡한 파동 현상을 포함하고 있는 유체역학 문제들에 대해 본 연구 의 수치 기법이 매우 효율적으로 사용될 수 있음을 확인할 수 있었다.

후 기

본 논문은 2005 년도 한국학술진흥재단 (Korea Research Foundation)^{의 지원에 의해 연구되었음} (KRF-2005-214- D00009, M01-2005-000-10179-0).

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