Chap. 3
Newton 역학과 미분방정식Ⅱ
미분방정식
l 선형 미분방정식
- 종속변수 와 그것의 모든 도함수들 , , … , 은 1차이다. 즉 를 포함하는 각각의 항들은 1차 거듭제곱이다.
-
, , … , 의 계수함수 , , … , 들은 독립변수 만의 함수이다.
+ +
+ ⋯
+ =
+ = 그리고
+
+ = ()
미분방정식
l 비선형 미분방정식
- 단순히 선형이 아닌 방정식
- , , … , 의 계수함수들의 종속변수 또는 그것의 도함수를 포함 - 과 같읕, , … 의 거듭제곱의 항이 타나난다면 비선형 - 선형 방정식은 sin 나 과 같은 종속변수가 포함되어선 안된다.
예제) 3-1
- 선형과 비선형 미분방정식을 구분 하시오
− + 4 = 0 , − 2 + = 0 ,
+ 3
− 5 = 1 − ′ + 2 = , + = 0 , + = 0
선형미분방정식
- 선형 미분방정식식
첫번째 방정식은 4 + = 의 형태로 표현할 수 있으므로 에 대하여 선형임을 알 수 있다.
- 비선형 미분방정식식
① − + 4 = 0 , ② − 2 + = 0 , ③
+ 3
− 5 =
1 − ′ + 2 =
, +
= 0 , +
= 0 풀이선형미분방정식
l 선형 방정식의 정의
- 표준형 =
l 선형 방정식의 성질
+ = 종속변수 의 상태방정식
+ = ()
①
+ = 0 와 를더한 = + 를 해로 가짐
②
= + + + =
+
+
+
= ()0 ()
미분방정식
l 초기값 문제
1계와 2계 초기값 문제들
조건 1계 ∶ =
= ,
조건 (2계) : = , =
= (, , )
- 조건 ∶ = , = , … , =
= (, , , … , )
2계 초기값 문제 1계 초기값 문제
미분방정식
l 존재성과 유일성
- 그 문제의 해는 존재하는가? 해가 존재한다면 유일한가?
예제) 3-2
- 함수 = 0와 = /16은 미분방정식 / = /과 초기조건 0 = 0를 이용 하여 초기값의 문제가 여러해 를 가질 수 있는지 증명 하시오
존재성 ① 미분방정식 / = (, )의 해는 존재하는가?
.② 점(, )를 지나는 해곡선이 유일하게 존재하는가?
유일성 – 언제점 (, )를 지나는 해곡선이 유일하게 존재 하는가?
미분방정식
- 초기값 문제 / = /, 0 = 0은 적어도 두개의 해를 갖는다.
그림에 나타난 바와 같이 두 함수의 그래프 모두 점(0,0)을 지난다.
- 초기값 문제에서 유일해만이 아니라, 여러 해를 가질 수 있다.
풀이
미분방정식
l 유일한 해의 존재
평면에서 점(, )을 내부에 포함하는 직 사각형 영역 ≤ ≤ , ≤ ≤ 를 R이라 하자. (, )와 /가 R 상에서 연속이면
≤ ≤ 에 포함된 어떤 구간 : − ℎ <
< + ℎ, ℎ > 0가 존재하고 에서 정의되며 초기값 문제는 아래의식의 해가 되는 함수
()가 유일하게 존재한다.
조건 1계 ∶ =
= ,
직사각형 영역 R
고계미분방정식
l 중첩의 원리-제차방정식
l 따름정리
(a) 제차 선형 미분방정식의 해 ()의 상수배 = ()도 역시 해이다.
(b) 제차 선형 미분방정식은 항상 자명해 = 0을 갖는다.
, , … , 가 구간 I에서 제차 계 미분방정식의 해라면 다음과 같은 일차결합도 역 시그 구간에서 해가 된다. 여기서 , = 1, 2, … , 는 임의의 상수이다.
= + + ⋯ + ()
고계미분방정식
l 일차종속과 일차독립
만일 어떤 구간 에서 모든 에 대해
+ + ⋯ + = 0 을 만족시키면서 모두가 동시에영이 아닌 상 수 , , … , 이 존재한다면, 함수
, … , ()의 집합을 그 구간에서 일차종 속(linearly dependent)이라 한다. 만약 함수 의 집합이 그 구간에서 일차종속이 아니면
일차독립(linearly independent)이라 한다.
과 의 집합은 구간 (−∞, ∞)에서 일차독립
고계미분방정식
l Wronskian
각 함수 , , … , 가 적어도 − 1개의 도함수를 가진다고 가정하자. 다 음과 같은 행렬식을 함수들의 Wronskian이라 부른다. 여기서 프라임 기호는 미분 을 표시한다.
, … , =
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯
고계미분방정식
l 일차독립 해의 판별기준
l 해의 기본집합
어떤 구간I에서 제차 선형계 미분방정식의 임의의개의 일차독립 해 , , … , 의 집합을 그 구간의 해의 기본집합(fundamental set of solutions)이라 부른다.
구간 I에서 아래와 같은 제차 선형 계 미분방정식이
+ +
+ ⋯
+ =
다음과 같은 개의 해를 , , … , 해를 가진다. 그러면 이 해의 집합이 I에서 일차 독립이 될 필요충분 조건은 그 구간의 모든 에 대해 (, , … , ) ≠ 0이다.
고계미분방정식
l 일반해 - 제차방정식
예제) 3-3
함수 = 와 = 는 모두 구간(−∞, ∞)에서 제차 선형 미분방정식
− 9 = 0의 해이다. 잘 검토해 보면, 이 해들은 축 상에서 일차독립임을 알 수 있다. 이 사실은 모든에 대해 Wronskian이 다음과 같이 된다는 것으로부터도 확인 할 수 있다.
구간 I에서 제차 선형 계 미분방정식의 해의 기본집합을 , , … , 이라 하자. 그러 면 그 구간에서 그 방정식의 일반해(general solution(은 다음과 같다. 여기서 , = 1,2, … , 은 임의의 상수이다.
고계미분방정식
- , =
3 −3 = −6 ≠ 0
- 결국 r과 는 해의 기본집합을구성하게 되고, 그 결과로 = + 는 그 구간에서 방정식의 일반해가 된다.
풀이
고계미분방정식
l 일반해 – 비제차방정식
l 비제차 미분방정식의 예 - 함수 = −
−
를 비제차 방정식
구간 I에서 비제차 선형 게 미분방정식의 특수해를 라 하고, I에서 연계 제차 미 분방정식의 해의 기본집합을 , , … , 이라 하자. 그러면 그 구간에서 비제차 미 분방
정식의 일반해(general solution)는 다음과 같다. 여기서 , = 1, 2, … , 은 임의의 상 수이다.
= + + ⋯ + +
고계미분방정식
l 비제차 미분방정식의 예(계속)
- 일반해를 구하려면, 연계제차방정식
− 6 + 11 − 6 = 0
- 을 풀 수 있어야 한다. 구간 (−∞, ∞)에서 이 방정식의 일반해는 = +
+이다.
- = , = , = 는 3계 미분방정식 − 6 + 11 − 6 = 0을 만족 시킨다. 모든 실수값 에 대해 다음 식이 충족되므로
, , =
2 3
2 3
4 9
함수 , , 는 (−∞, ∞)에서 해의 기본집합을 구성한다. 결국 = +
+ 는 미분방정식의 일반해이다.
고계미분방정식
l 비제차 미분방정식의 예(계속)
- 따라서 이구간에서의 식의 일반해는 다음과 같다.
= + = + + −
−
l 중첩의 원리 – 비제차 방정식
, , … , 를 구간 I에서, 서로 다른 개의 함수 , , … , 에 차례로 대응되 는 비제차 선형 계 미분방정식의 개의 특수해라 하자. 즉 는 대응되는 미분방정식
+ + ⋯ + + = 의 특수해를 나타낸다고 하자. 여기서 = 1, 2, … , 이다. 그러면
= + + ⋯ + 은 방정식 + + ⋯ + +
고계미분방정식
l 비제차 미분 방정식
- 매개변수 변화법 으로 알려진 방법을 이용하여 구할 수 있다.
①
②
= ()
③ =
그리고 =
④ 의 정의로부터 1/() = ∫
⑤ = + = ∫ + ∫ ∫
+
+ = 또는
+
+ = ()
곱규칙 영
고계미분방정식
l 선형 1계 미분방정식 풀이 지침
① 의 형태의 선형 방정식을 의표준
형으로 바꾸고 ()와 적분인자 ∫ 를 결정하라
② 적분인자를 식 에 곱하라. 그러면 방정식의 좌변은 자동적
으로 적분인자와 의 곱으로 미분한 함수가 된다. 그리고 아래와 같이 식을 쓰 고
이 방정식의 양변을 적분한 후 적분인자로 나누면 해를 구할 수 있다.
+ = ()
+ = ()
∫ =
∫ ()
+ =
고계미분방정식
예제) 3-4 -
- 이 선형방정식은 변수분리를 이용하여 풀 수 있다. 이 방정식은 이미 표준형 식 형태이므로, 적분인자는 ∫ = 이다. 적분인자를 방정식에 곱하면
와 같음을 알 수 있고 양변을 적분하면 = −2 + 와 같이 된다.
이 식을 적분인자로 다시 나누면구하는 해는
= −2 +
, −∞ < < ∞
− 3 = 6을 풀어라
− 3 = 6, 즉
= 6
풀이
고계미분방정식
예제) 3-5
- 로 나누면 다음의 표준형을 얻는다.
- 이로부터 = −4/ = 이 되고, 함수 와 가 구간(0, ∞)에서 연속 이라는 사실을 알 수 있다. 따라서 적분인자는 아래와 같다.
− 4 = 을 풀어라.
−4
= 풀이
고계미분방정식
- 여기서 = (> 0)을 사용 하였고, 을 에 곱하면
을 얻는다. 양변을 적분하면 = − + 또는 = − + 와 같이 (0, ∞)에서 정의되는 일반해를 얻을 수 있다.
− 4
=
− 4 = , 즉
= 풀이
고계미분방정식
l 미정계수법
- 비제차 선형 미분방정식 () + () + ⋯ + + = 을 풀기 위해 우리는 다음의 두 과정을 수행해야 한다.
- 계수 , = 0,1, … , 은 상수이다.
- ()는 상수, 다항식, 지수함수 , 사인함수 sin , 코사인함수 cos , 또는 이 함수 들의 유한한 합과 곱이다.
① 여함수(complementrary function) 를 구한다.
② 비제차방정식의 특수해(particular solution) 를 하나 구한다.
고계미분방정식
l 미정계수법 (계속)
=
+
+ ⋯ +
+
,
,
sin ,
cos
- 위와같은 식에서 = ln , =
, = tan , = sin등과 같은 경우에는 미분방정식에 미정계수법을 적용할수 없다.
예제) 3-6
+ 4 − 2 = 2 − 3 + 6을 풀어라.
고계미분방정식
1단계. 먼저 연계 제차방정식 + 4 − 2 = 0을 푼다. 근의 공식을 써서 보조방정 식 + 4 − 2 = 0의 근을 구하면 = −2 − 6, = −2 + 6 이다.
따라서 여함수는 다음과 같다.
= +
2단계. 함수 ()가 2차 다항식이므로, 특수해도 다음과 같은 혀태의 2차 다항식이라 고 가정하자.
= + +
우리는 가 식(2)의 해가 되도록 특정 계수 , , 를 결정하고자 한다. 와 그 도함수 = 2 + , = 2를 주어진 미분방정식에 대입하면 다음과 같다.
풀이
고계미분방정식
마지막 방정식이 항등식이 되어야 하므로, 의 동일 거듭제곱항의 계수가 같아야 한다.
−2
+8 − 2
+ 2 + 4 − 2 =2
− 3 + 6
즉 −2 = 2, 8 − 2 = −3, 2 + 4 − 2 = 6 이다.
이 연립방정식을 풀면 = −1, = −
, = −9를 얻는다. 따라서 특수해는 다음 과 같다.
= − − 5 2 − 9 3단계. 주어진 방정식의 일반해는 다음과 같다.
= + = + − − 5
− 9 풀이(계속)
고계미분방정식
l 매개변수 변화법의 필요성
- 미정계수법과는 달리, 입력함수가 함수의 조합으로 주어는 경우만으로 제한되지 않고 상수계의 미분 방정식 만으로도 제한되지 않는다.
l 매개변수 변화법 가정
매개변수 변화법을 사용해서 선형 2계 미분방정식
+ + = 을 풀기 위해 맨 앞의 계수 ()로 나눠서 표준형
+ 9) + = 으로 표시한다.
1계 방정식 + = ()의 2계 유사형이다. , , ()는 어떤 공통구간
고계미분방정식
l 매개변수 변화법 -
+ = ()의 특수해 를구하기 위해 = ()를 대입했던 것에 대응 해서, 선형 2계 미분방정식에 대해서 다음과 같은 형태로 해를 구한다.
=
+
- 위의 함수들의 도함수들을 식에 대입하고 항을 정리하면 다음과 같이 된다.
+ + =
+ + + + + = () - Cramer의 규칙 사용하려 다음의 연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하면 다음과
같이 된다.
고계미분방정식
l 매개변수 변화법 -
+ = ()의 특수해 를구하기 위해 = ()를 대입했던 것에 대응 해서, 선형 2계 미분방정식에 대해서 다음과 같은 형태로 해를 구한다.
=
+
- 위의 함수들의 도함수들을 식에 대입하고 항을 정리하면 다음과 같이 된다.
+ + =
+ + + + + = () - Cramer의 규칙 사용하려 다음의 연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하면 다음과
같이 된다.
고계미분방정식
l 매개변수 변화법(계속) - =
′ ′ , = 0
() ′ , = 0
′ ()
- 함수 과는 Cramer규칙의 결과를 적분해서 구한다. 행렬식 는 과 의 Wronskian이다. 구간 I에서 과가 일차독립이므로, 그 구간의 모든 에 대해 ( , ) ≠ 0이다.
예제) 3-8
4 + 36 = csc 3 를 매개변수 변화법을 사용하여 풀어라.
고계미분방정식
- 먼저 방정식을 4로 나누어 표준형 식으로 표현하면 다음과 같다.
+ 9 = 1
4csc 3
보조방정식 + 9 = 0의 근이 = 3와 = −3이므로, 여함수는 = cos 3
+sin 3이다. = cos 3 , sin 3, =
csc 3를 사용하면 다음 결과를 얻는다.
(cos 3, sin 3) = cos 3 sin 3
−3 sin 3 3 cos 3
=
0 sin 3
1
4csc 3 3 cos 3 = −1
4, =
cos 3 0
−3 sin 3 1
4csc 3 = 1 4
cos 3
sin 3
풀이
고계미분방정식
- 다음식
=
= − 1
12, =
= 1 12
cos 3
sin 3
을 적분해서 = −
와 =
=
을 얻는다. 그러면 특수해는
= 1
12 cos 3 + 1
36(sin 3) ln sin 3
이 되고 이 방정식의 일반해는 다음과 같이 된다.
= + = cos 3 + sin 3 − 1
12 cos 3 + 1
36(sin 3) ln sin 3
위의 식은 (0,θ/6) 등과 같은 구간에서의 미분방정식의 일반해를 나타낸다.
풀이
Cauchy-Euler 방정식
l Cauchy-Euler 방정식
- 각 단항식 계수의 차수 = , − 1, … , 1,0이 미분
의차수 와 일치
l Cauchy-Euler 방정식 해법
= − 1 − 2 … − + 1
= − 1 − 2 … − + 1
+
+ ⋯ +
+
= ()
같다
= 을 2계 미방에 대입 같다
+
+ ⋯
Cauchy-Euler 방정식
l Cauchy-Euler 방정식 해법(계속)
- 따라서 = 이 미분방정식의 해가 되려면 반드시 이 보조방정식의 근이 되어야 한다.
l Cauchy-Euler 방정식 해법의 세가지 경우의 근 - 경우Ⅰ= 서로 다른 실근
− 1 + + = 0,
+ − + = 0
① = +
②
− 2
− 4 = − 1 − 2 − 4 = − 1 − 2 − 4 = − 3 − 4
③ − 3 − 4 = 0 = −1 , = 4
Cauchy-Euler 방정식
l Cauchy-Euler 방정식 해법의 세가지 경우의 근(계속) - 경우 Ⅱ= 실중근
① 근이 중복될경우( = )
②
+
+
= 0 표준형 표현
③ =
이고
=
ln 임을확인
④ = /
= ∫ / / = (/)/
Cauchy-Euler 방정식
l Cauchy-Euler 방정식 해법의 세가지 경우의 근(계속) - 경우 Ⅲ = 켤레 복소근
① 근이 켤레쌍일 경우 ( = + , = − )
② = =
③ = cos ln + sin( ln ) , = cos ln − sin( ln )
④ + = 2 cos ln , − = 2 sin ln
⑤ = + = = 1 일 경우
⑥ = ( + ), = ( − )
⑦ = [ cos ln + sin( ln )
Cauchy-Euler 방정식
예제) 3-3
- 아래의 3계방정식을 풀어라.
+ 5
+ 7
+ 8 = 0
- = 의 첫 세 도함수는 아래와 같다.
= ,
= − 1 ,
= − 1 − 2
풀이
Cauchy-Euler 방정식
- 주어진 미분방정식은 아래래과 같이 된다.
+ 5
+ 7
+ 8 = − 1 − 2 + 5 − 1 + 7 + 8
= − 1 − 2 + 5 − 1 + 7 + 8
= + 2+ 4 + 8 = + 2 + 4 = 0
- 이 경우 = 이 미분방정식의 해가 되려면 = −2, = 2, = −2
이어야한다. 따라서 일반해는 다음과 같이 된다.
풀이(계속)
