제 5 장 보와 굽힘응력
학습목표
본 장에서는 보의 종류를 배우고 보에 힘이나 모멘트가 작용할 때 보의 임의 단면에 발생하는 전단력과 모멘트의 일반식을 자유물체도와 평형 방정식을 적용시켜 구하는 방법을 익히고 전단력 선도 및 굽힘모멘트 선도를 작성하는 방법을 배운다. 또한, 보에 외력이 작용할 때 보 내부에
생기는 굽힘응력 및 굽힘으로 인한 전단응력을 구하는 방법을 알아 본다.
5장 보(beam)
5-1 보의 종류
정의 : 보(beam)라 함은 보의 축선(軸線, 중심선)에 수직인 힘이 작용 하고 보의 길이가 단면높이보다 훨씬 긴 것을 말한다.
보에 작용하는 하중
집중하중
(concentrated load)
분포 하중
(distributed load) (단위 : kgf/cm)
[그림 5-1]
횡축으로는 저항이 없으므로 반력이 생기지 않음
횡축과 수직방향에서 반력이 생김
짝힘(couple)에 의하여 모멘트를 포함해서 세 개의 반력이 생김
지지점의 종류
[그림 5-2]
정정보(statically determinate beam)
: 평형조건식만으로 미지의 반력들이 풀리는 보
부정정보(statically indeterminate beam)
: 미지반력이 세 개 이상 있을 때는 평형조건식 외에 별도로 미지수의 수 만큼 조건식을 세워야 한다. 이런 보를 일켤음
과잉반력(부정정수)
: 미지반력에다 평형방정식을 뺀 나머지 반력
continuous beam
overhanging beam
simple beam
[그림 5-3 ] 정정보
cantilever beam
[그림 5-4] 부정정보
built-up beam
5-2 전단력과 굽힘모멘트
집중하중의 경우
(단면 D의 전단력)
전단력
: 임의 단면의 어느 한 쪽의 힘의 합성력
0 ) ( )
( :
0 −
1+ − − + − =
∑ MD = R
Al P l b x R
B l x
) (
)
1
R ( l b x R l x
l
R
A= − − − +
B−
굽힘모멘트(bending moment)
: 단면 E에 대해서 한 쪽에 있는 모멘트의 합성
(단면 D의 굽힘모멘트)
[그림 5-5]
0 :
0 + − =
∑ Py = R
A R
B P
D B
A
P R F
R = − ( + ) =
정방향
[그림 5-7]
[그림 5-6]
부호의 방향
: 그림 5-6과 같이 mn단면을 중심으로 전단력 F와 굽힘 모멘 트 M의 부호가 정해지면 정방향(+)이라고 약속한다.
: 그림 5-7과 같이 내력과 모멘트들이 작용할 때는 그 부호를 정방향(+)이라고 한다.
5-3 전단력 선도(SFD)와 굽힘모멘트 선도(BMD)
1.
단순지지보에 집중하중이 있는 기본형인 경우
그림 (a)를 근거로 평형방정식을 적용
∑
MB =0:−RA ⋅l + P⋅b= 0 ∴RA = Pbl∑
Py = 0:RA + RB − P= 0 ∴RB = P(ll−b)∑
Py =0:F1 = RA = Pbl∑
M =0:M1 = RA ⋅x1 = Pbl x1→ A 지점을 원점으로 하는 x1의 1차식
그림 (b) x1 떨어진 곳에서의 평형방정식을 적용
그림 (c) x2 떨어진 곳에서의 평형방정식을 적용
∑
Py =0:F2 =−RB =−P(ll−b)∑
M =0:M2 = RB⋅x2 = P(ll−b) x2→ B 지점으로 원점으로 하는 x2의 1차식 전단력 선도: SFD
(shearing force diagram)
굽힘모멘트 선도: BMD
(bending moment diagram)
[그림 5-8]
2. 단순지지보에 분포하중이 있는 경우
∑Py=0 → RA=RB=w0l/2 (RA,RB가 대칭)
∑
Py = 0:RA −F −w0x = 0x l w F w0 0
2 −
=
∑
MB = 0:−RAx+M +w0x⋅ 2x = 02 2
2 0
0 w x
l x M = w −
2
0 max
l R w
R
F = A = B =
8
2 0 max
l M = w
(x의 1차식)
(x의 2차식)
(최대 모멘트) (최대 전단력)
[그림 5-9]
