제 5 장 보와 굽힘응력

제 5 장 보와 굽힘응력

학습목표

본 장에서는 보의 종류를 배우고 보에 힘이나 모멘트가 작용할 때 보의 임의 단면에 발생하는 전단력과 모멘트의 일반식을 자유물체도와 평형 방정식을 적용시켜 구하는 방법을 익히고 전단력 선도 및 굽힘모멘트

선도를 작성하는 방법을 배운다. 또한, 보에 외력이 작용할 때 보 내부에 생기는 굽힘응력 및 굽힘으로 인한 전단응력을 구하는 방법을 알아 본다.

5장 보(beam)

5-1 보의 종류

정의 : 보(beam)라 함은 보의 축선(軸線, 중심선)에 수직인 힘이 작용 하고 보의 길이가 단면높이보다 훨씬 긴 것을 말한다.

보에 작용하는 하중

집중하중

(concentrated load)

분포 하중

(distributed load) (단위 : kgf/cm)

[그림 5-1]

횡축으로는 저항이 없으므로 반력이 생기지 않음

횡축과 수직방향에서 반력이 생김

짝힘(couple)에 의하여 모멘트를 포함해서 세 개의 반력이 생김



지지점의 종류

[그림 5-2]

 정정보(statically determinate beam)

: 평형조건식만으로 미지의 반력들이 풀리는 보

 부정정보(statically indeterminate beam)

: 미지반력이 세 개 이상 있을 때는 평형조건식 외에 별도로 미지수의 수 만큼 조건식을 세워야 한다. 이런 보를 일켤음

 과잉반력(부정정수)

: 미지반력에다 평형방정식을 뺀 나머지 반력

continuous beam overhanging

beam simple

beam

[그림 5-3 ] 정정보

cantilever beam

[그림 5-4] 부정정보

built-up beam

5-2 전단력과 굽힘모멘트



집중하중의 경우

(단면 D의 전단력)

 전단력

: 임의 단면의 어느 한 쪽의 힘의 합성력

0 ) (

) (

:

0 −

+ − − + − =

∑ ^M

= ^R

^{l P l b x R}

^{l x}

) (

)

1

R ( l b x R l x

l

R

= − − − +

−

 굽힘모멘트(bending moment)

: 단면 E에 대해서 한 쪽에 있는 모멘트의 (단면 D의 굽힘모멘트)

0 :

0 + − =

∑ ^P

= ^R

^R

^P

D B

A

P R F

R = − ( + ) =

정방향

[그림 5-7]

[그림 5-6]

 부호의 방향

: 그림 5-6과 같이 mn단면을 중심으로 전단력 F와 굽힘 모멘 트 M의 부호가 정해지면 정방향(+)이라고 약속한다.

: 그림 5-7과 같이 내력과 모멘트들이 작용할 때는 그 부호를 정방향(+)이라고 한다.

5-3 전단력 선도(SFD)와 굽힘모멘트 선도(BMD)

1.

단순지지보에 집중하중이 있는 기본형인 경우

그림 (a)를 근거로 평형방정식을 적용

∑ ^M

^R

^l

^P

^b

^{∴ R}

^{= Pb} _l

∑ ^P

^{= 0 : R}

^{+ R}

^{− P = 0 ∴ R}

^{= P ( l} _l ^{− b )}

∑ ^P

^{= 0 : F}

^{= R}

^{= Pb} _l

∑ ^{M = 0 : M}

^{= R}

^{⋅ x}

^{= Pb} _l ^x

→ A 지점을 원점으로 하는 x₁의 1차식

그림 (b) x₁ 떨어진 곳에서의 평형방정식을 적용

그림 (c) x₂ 떨어진 곳에서의 평형방정식을 적용

∑ ^P

^{= 0 : F}

^{= − R}

^{= − P ( l} _l ^{− b )}

∑ ^{M = 0 : M}

^{= R}

^{⋅ x}

^{= P ( l} _l ^{− b ) x}

→ B 지점으로 원점으로 하는 x₂의 1차식 전단력 선도: SFD

(shearing force diagram)

굽힘모멘트 선도: BMD (bending moment diagram)

[그림 5-8]

2. 단순지지보에 분포하중이 있는 경우

∑P_y=0 → R_A=R_B=w₀l/2 (R_A,R_B가 대칭)

∑ ^P

^{= 0 : R}

^{− F − w}

^{x = 0}

x l w

F w

2 −

=

∑ ^M

^{= 0 : − R}

^{x + M + w}

^{x ⋅} ₂ ^{x = 0}

2 2

2 0

0

w x

l x M = w −

2

0 max

l R w

R

F =

=

=

8

2 0 max

l M = w

(x의 1차식)

(x의 2차식)

(최대 모멘트) (최대 전단력)

[그림 5-9]