https://doi.org/10.7468/mathedu.2018.57.1.37 The Mathematical Education 2018. 02. 제 57권, 제 1호, 37-54. February. 2018, Vol. 57, No. 1, 37-54.
37
단위분수에 대한 초등학교 3학년 학생들의 이해 분석 : 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서*
임미인(서울오류초등학교)
Ⅰ. 서론
현행 수학과 교육과정에 기초할 때, 초등학교 2학년 까지 자연수 범위에서 산술을 학습한 학생들은 3학년 때 새로운 수 표현으로서 분수를 접하게 된다. 비록 분수 개념의 생성 과정에 알맞게 단위분수와 같은 기초적인 분수부터 시작하여 체계적으로 분수에 대한 학습을 함에 도 불구하고, 미국 등 외국의 사정과 달리 일상생활의 경험으로부터 분수 표현을 빈번하게 접하기 어려운 우리 나라의 현실을 고려할 때, 분수 개념에 대한 이해는 초 등학교 3학년 학생들에게 결코 단순한 문제가 아니다.
정은실(2006)의 주장과 같이, 분수는 그 개념 자체가 여 러 의미를 지니고 있어서 어린 학생들이 이해하기에 복 잡한 개념일 뿐만 아니라 교실 밖의 실생활과는 관련이 거의 없고, 따라서 대다수의 학생들에게 분수는 학교 수 학 시간에 억지로 다루는 것일 수 있다. 실제로 분수 지 도에 관한 선행 연구가 매우 폭넓게 이루어진 것도 학생 들이 겪는 다양한 어려움을 최소화하고 학교수학에서 보 다 분수에 대한 이해를 도울 수 있는 방향을 모색하기 위함일 것이다.
분수 개념에 대한 이해를 돕는 방법 중 하나는 분수 가 우리 생활의 어디에 쓰이는지 구체적인 상황을 제시 하고 학생들이 실생활에서 자연스럽게 보고 접할 수 있 는 보다 다양한 소재를 활용하여 지도하는 것이다(최창 우, 2017). 이는 2015 개정 수학과 교육과정에서 강조하 는 수학 교과 역량 중 하나인 창의․융합과도 밀접한 관 련이 있다. 창의․융합 역량은 그 하위 요소로 독창성,
* 접수일(2018년 1월 11일), 수정일(2018년 1월 15일), 게재확정 일(2018년 2월 25일)
* ZDM분류 : D32
* MSC2000분류 : 97D99
* 주제어 : 단위분수, 지도 맥락, 시각적 표현
유창성, 융통성, 정교성뿐만 아니라 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과나 실생활의 지 식, 기능, 경험을 연결․융합하여 새로운 지식, 기능, 경 험을 생성하고 문제를 해결하는 능력을 의미하는 수학 내적 연결, 수학 외적 연결을 포함하고 있다(박경미 외, 2015). 이와 관련하여 NCTM(2000)은 학생들이 수학적 사고를 종적, 횡적으로 연결할 수 있을 때 이해가 깊어 지고 더욱 오래 기억할 수 있다고 하였으며, 이는 수학 내적 연결뿐만 아니라 수학적 개념을 실생활이나 타 교 과에 적용하는 능력인 수학 외적 연결의 중요성으로 이 어진다. 대부분의 수업에서 교사들이 수학 개념을 실생 활이나 타 교과와 관련지어 지도하는 것, 수학 교과서에 서 다양한 맥락을 풍부하게 제시하고 있는 것 등은 이러 한 연결성의 중요성과 무관하지 않을 것이다.
수학 학습에서의 ‘맥락’은 학생들이 공감할 수 있는 현실적 상황을 의미하며, 그러한 맥락을 설정하는 것이
‘맥락화’이다(김명운, 장경윤, 2009). Fosnot & Dolk (2002)는 좋은 맥락이 제시될 때 학생들이 그 상황에 대 해 이야기를 하면서 문제를 이해할 수 있기 때문에 수학 학습 시 유의미한 맥락이 사용될 필요를 제기하였다. 우 정호(2000) 또한 수학적 개념은 현실적 상황에 의해 암 시되며, 수학은 실세계의 다양한 경험을 통해 발생한다 고 하였다. 이는 수학 개념 학습 시 현실 상황과 관련된, 적절하고 다양한 맥락이 제공되어야 함을 함의한다. 즉, 본 연구의 관심인 분수 개념을 지도할 때에도 그 지도 맥락은 학생들의 이해와 직결되는 중요한 교수학적 요소 라 할 수 있다.
한편, 우정호(2000)는 수학적 사고의 바탕을 이루는 유추는 수학 학습 시 매우 강력한 사고의 도구이며 구체 물이나 그림을 이용하여 수학적 아이디어를 표현하는 것 은 학생들로 하여금 유추에 의하여 추상적인 개념을 파 악하게 함을 언급함으로써 개념을 나타내는 적절한 표현
의 필요성을 강조하였다. 또한 장혜원(1997)은 수학적 개 념은 추상적이기 때문에 학교수학에서 시각화는 수학의 중요한 측면임을 강조하면서 수학의 개념 지도 시 적절 한 시각적 표현이 제시되어야 한다고 하였다.
이와 관련하여 Tall & Vinner(1981)가 주장한 ‘개념 이미지’에 주목할 필요가 있다. 일반적으로 개념이 정의 되어 있더라도 학생들은 그와 다르게 자신들의 경험을 바탕으로 심상, 연관된 속성, 행동 등을 포함하는 개념 이미지를 지니게 된다는 것이다. 이러한 개념 이미지는 개념 이해, 개념 형성과 밀접하게 연관되며 언어의 형태 보다 먼저 나타난다(Tall, 1991)는 연구 결과에 기초하여 학교수학에서의 개념 지도에 있어서 시각적 표현의 중요 성을 재차 파악할 수 있다. 즉, 앞서 언급한 지도 맥락과 더불어 분수 개념에 대한 이해에 큰 영향을 미치는 요소 중 하나로 학생들에게 제시되고 학생들이 다루는 시각적 표현을 고려할 필요가 있다.
따라서 분수에 대한 학생들의 수학적 아이디어를 확 장시키고 분수를 의미 있게 이해하도록 돕기 위해 어떤 지도 맥락과 시각적 표현을 사용할지를 신중히 선택해야 한다(Chval et al., 2013). 특히 분수 학습의 시점이라 할 수 있는 단위분수의 지도 맥락과 시각적 표현은 학생들 의 분수 학습의 방향에 미치는 영향이 크기 때문에 그에 관한 심도 있는 논의가 요구된다. 이와 관련하여 Chval et al.(2013)는 단위분수 중에서도 시점이라 할 수 있는
에 관한 문제를 서로 다른 맥락과 시각적 표현으로 제시하였을 때 3～5학년 학생들의 이해와 반응이 다름을 검사를 통해 확인하였다. 강완(2014)은 초등학교 수학 교 과서에서 다루는 분수 개념 지도와 관련하여 다방면에서 의 보다 면밀한 연구가 이루어질 필요를 제기한 바 있 다. 이는 우리나라에서도 분수 개념 자체뿐만 아니라 초 등 수학 수업에서 비중 있게 활용되는 수학 교과서에 제 시되는 분수 개념의 지도 맥락과 시각적 표현이 학생들 의 이해를 돕기 위하여 적절히 제시되고 있는지, 학생들 은 이에 대해 올바른 이해를 형성하고 있는지 등을 확인 할 필요로 이어진다. 국내에서 분수 개념이나 연산에 관 한 연구(강완, 2014; 강흥규, 2013; 정은실, 2006; 최근배, 2015; 최창우, 2017 등)는 폭넓게 이루어져 왔으나, 초등 수학에서 분수 학습의 시작이자 이후 분수의 기초가 되 는 단위분수 지도를 위한 효과적인 맥락이나 시각적 표
현 자체에 집중한 연구는 부족한 실정이다.
이에 본 연구는 먼저 단위분수와 관련하여 선행 연구 를 고찰하고 우리나라 초등학교 수학 교과서에 단위분수 관련 지도 맥락과 시각적 표현이 어떻게 제시되어 있는 지 파악한다. 이어서, 단위분수를 학습한 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 Chval et al.(2013)에 기초하여 단위 분수 중에서도 출발점이라 할 수 있는
에 대한 이해 양상은 어떠한지, 또 단위분수의 크기 비교 관련 이해 양상은 어떠한지를 맥락과 시각적 표현의 관점에서 분석 하여 그 결과로부터 분수 학습에 유의미한 교수학적 시 사점을 도출하는 것을 연구의 목적으로 한다.
Ⅱ. 이론적 배경
본 연구에서는 단위분수에 대한 초등학교 3학년 학생 들의 이해를 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서 분석 한다. 이때, 분수의 개념 및 지도에 관한 선행 연구는 그 연구의 양이 방대하여, 여기서는 지면의 제약 상 본 연 구와의 밀접한 관련을 고려하여 크게 단위분수의 지도 맥락 및 시각적 표현에 관한 선행 연구와 현행 초등 수 학 교과서의 관련 내용에 대한 고찰을 실시하여 연구의 토대를 마련하고자 하였다.
1. 선행 연구 고찰
1) 단위분수의 지도 맥락 관련 선행 연구 분석 유리수는 다양한 맥락에서 사용되고 그 해석 또한 맥 락에 따라 달라질 수 있다(Lamon, 2007). 유리수 개념 중 하나인 분수는 이집트 분수의 예에서 볼 수 있듯이 측정 맥락에서 발생했으며(서동엽, 2005), Usiskin(2011) 은 분수가 여러 가지 의미를 지니고 있기 때문에 형식 적, 비형식적인 다양한 맥락에서 지도되어야 한다고 주 장하였다. 학생들은 맥락을 고려한 체계적인 분수 학습 을 통해 실생활에서 발생하는 다양한 측정과 분배 문제 를 이해하고 해결할 수 있는 능력을 기를 수 있다(Behr et al., 1983). 이러한 선행 연구는 학교수학에서 처음 분 수를 접하는 시점에서 분수의 기초가 되는 단위분수 개 념을 학습할 시에도 제공되는 맥락이 학생들의 이해와 해석에 얼마나 큰 영향을 미치는지 짐작하게 한다.
https://doi.org/10.7468/mathedu.2018.57.1.37 The Mathematical Education 2018. 02. 제 57권, 제 1호, 37-54. February. 2018, Vol. 57, No. 1, 37-54.
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단위분수에 대한 초등학교 3학년 학생들의 이해 분석 : 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서*
임미인(서울오류초등학교)
Ⅰ. 서론
현행 수학과 교육과정에 기초할 때, 초등학교 2학년 까지 자연수 범위에서 산술을 학습한 학생들은 3학년 때 새로운 수 표현으로서 분수를 접하게 된다. 비록 분수 개념의 생성 과정에 알맞게 단위분수와 같은 기초적인 분수부터 시작하여 체계적으로 분수에 대한 학습을 함에 도 불구하고, 미국 등 외국의 사정과 달리 일상생활의 경험으로부터 분수 표현을 빈번하게 접하기 어려운 우리 나라의 현실을 고려할 때, 분수 개념에 대한 이해는 초 등학교 3학년 학생들에게 결코 단순한 문제가 아니다.
정은실(2006)의 주장과 같이, 분수는 그 개념 자체가 여 러 의미를 지니고 있어서 어린 학생들이 이해하기에 복 잡한 개념일 뿐만 아니라 교실 밖의 실생활과는 관련이 거의 없고, 따라서 대다수의 학생들에게 분수는 학교 수 학 시간에 억지로 다루는 것일 수 있다. 실제로 분수 지 도에 관한 선행 연구가 매우 폭넓게 이루어진 것도 학생 들이 겪는 다양한 어려움을 최소화하고 학교수학에서 보 다 분수에 대한 이해를 도울 수 있는 방향을 모색하기 위함일 것이다.
분수 개념에 대한 이해를 돕는 방법 중 하나는 분수 가 우리 생활의 어디에 쓰이는지 구체적인 상황을 제시 하고 학생들이 실생활에서 자연스럽게 보고 접할 수 있 는 보다 다양한 소재를 활용하여 지도하는 것이다(최창 우, 2017). 이는 2015 개정 수학과 교육과정에서 강조하 는 수학 교과 역량 중 하나인 창의․융합과도 밀접한 관 련이 있다. 창의․융합 역량은 그 하위 요소로 독창성,
* 접수일(2018년 1월 11일), 수정일(2018년 1월 15일), 게재확정 일(2018년 2월 25일)
* ZDM분류 : D32
* MSC2000분류 : 97D99
* 주제어 : 단위분수, 지도 맥락, 시각적 표현
유창성, 융통성, 정교성뿐만 아니라 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과나 실생활의 지 식, 기능, 경험을 연결․융합하여 새로운 지식, 기능, 경 험을 생성하고 문제를 해결하는 능력을 의미하는 수학 내적 연결, 수학 외적 연결을 포함하고 있다(박경미 외, 2015). 이와 관련하여 NCTM(2000)은 학생들이 수학적 사고를 종적, 횡적으로 연결할 수 있을 때 이해가 깊어 지고 더욱 오래 기억할 수 있다고 하였으며, 이는 수학 내적 연결뿐만 아니라 수학적 개념을 실생활이나 타 교 과에 적용하는 능력인 수학 외적 연결의 중요성으로 이 어진다. 대부분의 수업에서 교사들이 수학 개념을 실생 활이나 타 교과와 관련지어 지도하는 것, 수학 교과서에 서 다양한 맥락을 풍부하게 제시하고 있는 것 등은 이러 한 연결성의 중요성과 무관하지 않을 것이다.
수학 학습에서의 ‘맥락’은 학생들이 공감할 수 있는 현실적 상황을 의미하며, 그러한 맥락을 설정하는 것이
‘맥락화’이다(김명운, 장경윤, 2009). Fosnot & Dolk (2002)는 좋은 맥락이 제시될 때 학생들이 그 상황에 대 해 이야기를 하면서 문제를 이해할 수 있기 때문에 수학 학습 시 유의미한 맥락이 사용될 필요를 제기하였다. 우 정호(2000) 또한 수학적 개념은 현실적 상황에 의해 암 시되며, 수학은 실세계의 다양한 경험을 통해 발생한다 고 하였다. 이는 수학 개념 학습 시 현실 상황과 관련된, 적절하고 다양한 맥락이 제공되어야 함을 함의한다. 즉, 본 연구의 관심인 분수 개념을 지도할 때에도 그 지도 맥락은 학생들의 이해와 직결되는 중요한 교수학적 요소 라 할 수 있다.
한편, 우정호(2000)는 수학적 사고의 바탕을 이루는 유추는 수학 학습 시 매우 강력한 사고의 도구이며 구체 물이나 그림을 이용하여 수학적 아이디어를 표현하는 것 은 학생들로 하여금 유추에 의하여 추상적인 개념을 파 악하게 함을 언급함으로써 개념을 나타내는 적절한 표현
의 필요성을 강조하였다. 또한 장혜원(1997)은 수학적 개 념은 추상적이기 때문에 학교수학에서 시각화는 수학의 중요한 측면임을 강조하면서 수학의 개념 지도 시 적절 한 시각적 표현이 제시되어야 한다고 하였다.
이와 관련하여 Tall & Vinner(1981)가 주장한 ‘개념 이미지’에 주목할 필요가 있다. 일반적으로 개념이 정의 되어 있더라도 학생들은 그와 다르게 자신들의 경험을 바탕으로 심상, 연관된 속성, 행동 등을 포함하는 개념 이미지를 지니게 된다는 것이다. 이러한 개념 이미지는 개념 이해, 개념 형성과 밀접하게 연관되며 언어의 형태 보다 먼저 나타난다(Tall, 1991)는 연구 결과에 기초하여 학교수학에서의 개념 지도에 있어서 시각적 표현의 중요 성을 재차 파악할 수 있다. 즉, 앞서 언급한 지도 맥락과 더불어 분수 개념에 대한 이해에 큰 영향을 미치는 요소 중 하나로 학생들에게 제시되고 학생들이 다루는 시각적 표현을 고려할 필요가 있다.
따라서 분수에 대한 학생들의 수학적 아이디어를 확 장시키고 분수를 의미 있게 이해하도록 돕기 위해 어떤 지도 맥락과 시각적 표현을 사용할지를 신중히 선택해야 한다(Chval et al., 2013). 특히 분수 학습의 시점이라 할 수 있는 단위분수의 지도 맥락과 시각적 표현은 학생들 의 분수 학습의 방향에 미치는 영향이 크기 때문에 그에 관한 심도 있는 논의가 요구된다. 이와 관련하여 Chval et al.(2013)는 단위분수 중에서도 시점이라 할 수 있는
에 관한 문제를 서로 다른 맥락과 시각적 표현으로 제시하였을 때 3～5학년 학생들의 이해와 반응이 다름을 검사를 통해 확인하였다. 강완(2014)은 초등학교 수학 교 과서에서 다루는 분수 개념 지도와 관련하여 다방면에서 의 보다 면밀한 연구가 이루어질 필요를 제기한 바 있 다. 이는 우리나라에서도 분수 개념 자체뿐만 아니라 초 등 수학 수업에서 비중 있게 활용되는 수학 교과서에 제 시되는 분수 개념의 지도 맥락과 시각적 표현이 학생들 의 이해를 돕기 위하여 적절히 제시되고 있는지, 학생들 은 이에 대해 올바른 이해를 형성하고 있는지 등을 확인 할 필요로 이어진다. 국내에서 분수 개념이나 연산에 관 한 연구(강완, 2014; 강흥규, 2013; 정은실, 2006; 최근배, 2015; 최창우, 2017 등)는 폭넓게 이루어져 왔으나, 초등 수학에서 분수 학습의 시작이자 이후 분수의 기초가 되 는 단위분수 지도를 위한 효과적인 맥락이나 시각적 표
현 자체에 집중한 연구는 부족한 실정이다.
이에 본 연구는 먼저 단위분수와 관련하여 선행 연구 를 고찰하고 우리나라 초등학교 수학 교과서에 단위분수 관련 지도 맥락과 시각적 표현이 어떻게 제시되어 있는 지 파악한다. 이어서, 단위분수를 학습한 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 Chval et al.(2013)에 기초하여 단위 분수 중에서도 출발점이라 할 수 있는
에 대한 이해 양상은 어떠한지, 또 단위분수의 크기 비교 관련 이해 양상은 어떠한지를 맥락과 시각적 표현의 관점에서 분석 하여 그 결과로부터 분수 학습에 유의미한 교수학적 시 사점을 도출하는 것을 연구의 목적으로 한다.
Ⅱ. 이론적 배경
본 연구에서는 단위분수에 대한 초등학교 3학년 학생 들의 이해를 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서 분석 한다. 이때, 분수의 개념 및 지도에 관한 선행 연구는 그 연구의 양이 방대하여, 여기서는 지면의 제약 상 본 연 구와의 밀접한 관련을 고려하여 크게 단위분수의 지도 맥락 및 시각적 표현에 관한 선행 연구와 현행 초등 수 학 교과서의 관련 내용에 대한 고찰을 실시하여 연구의 토대를 마련하고자 하였다.
1. 선행 연구 고찰
1) 단위분수의 지도 맥락 관련 선행 연구 분석 유리수는 다양한 맥락에서 사용되고 그 해석 또한 맥 락에 따라 달라질 수 있다(Lamon, 2007). 유리수 개념 중 하나인 분수는 이집트 분수의 예에서 볼 수 있듯이 측정 맥락에서 발생했으며(서동엽, 2005), Usiskin(2011) 은 분수가 여러 가지 의미를 지니고 있기 때문에 형식 적, 비형식적인 다양한 맥락에서 지도되어야 한다고 주 장하였다. 학생들은 맥락을 고려한 체계적인 분수 학습 을 통해 실생활에서 발생하는 다양한 측정과 분배 문제 를 이해하고 해결할 수 있는 능력을 기를 수 있다(Behr et al., 1983). 이러한 선행 연구는 학교수학에서 처음 분 수를 접하는 시점에서 분수의 기초가 되는 단위분수 개 념을 학습할 시에도 제공되는 맥락이 학생들의 이해와 해석에 얼마나 큰 영향을 미치는지 짐작하게 한다.
분수의 지도 맥락과 관련하여 Chval et al.(2013)는 [표 1]과 같이
을 나타내는 두 가지 유형의 맥락을 제 시하였다. C1과 C2는 브라우니라는 소재를 이용하여
의 의미에 대해 질문했다는 점에서 다소 유사하지만 양 자 간에는 중요한 차이가 있다. C1은 학생들이 색칠된 부분이
을 나타내는지 결정하는 것에, C2는 그림이 똑같이 분할되었는지 또는 ‘공평한 분배(fair sharing)’가 이루어졌는지 결정하는 것에 집중하게 한다.
유형 맥락
C1 다음 그림의 브라우니는
만큼 색칠되어 있나요?
C2
다음은 브라우니를 나눈 그림입니다. 당신 이 색칠된 양만큼 브라우니를 받고, 친구는 색칠되지 않은 양만큼 받았습니다. 이 브라 우니는 똑같이 나누어졌나요?
[표 1]
의 지도 맥락(Chval et al., 2013) [Table 1] The teaching contexts of
(Chval et al., 2013)
Chval et al.(2013)에 따르면 3～5학년 학생들에게 이 러한 두 가지 맥락으로 문제를 제시했을 경우, C1에 비 해 C2의 맥락을 제시할 때 정답률이 높았다. C1의 맥락 에서 학생들은
은 반드시 합동인 두 조각으로 분할해 야 한다거나 그림에서 음영 처리된 부분들이 서로 인접 하게 붙어 있어야 한다는 등의 오개념을 보였다. 반면, C2의 맥락에서는
에 대한 형식적인 수학적 의미가 아 닌, 두 사람 간의 ‘공평한 분배’에 집중하고 똑같이 나누 는 것이 전체를 반드시 두 조각으로 나누어야 하는 것은 아님을 명확히 인식하면서 점차
에 대한 의미 이해로 확장하였다. Empson(1995)은 대다수 학생들이 실생활에 서 똑같이 나누는 것을 자연스레 경험하게 되고 그런 상 황에 대한 직관적인 지식을 풍부히 지니고 있기 때문에, 분수 학습 시 공평한 분배나 똑같이 나누는 것에 관한
학생들의 선행 경험과 지식을 활용하는 것은 중요한 교 수학적 전략이라고 주장하였다. 또한, 예컨대 C2와 같이, 똑같이 나누는 맥락을 제시함으로써 학생들로 하여금 부 분들이 같은 크기여야 함을 이해시키는 것을 도울 수 있 다고 하였다. 즉, 이는 C1과 같이 다소 추상적 맥락의 과제보다 C2와 같이 브라우니를 똑같이 나누어 가지는 등 보다 기초적인 분할 맥락의 과제로 분수 학습을 시작 할 때 학생들이 더 잘 이해하고 학습을 수행할 수 있음 을 보여 준다(Chval et al., 2013). 결과적으로, 이러한 선 행 연구는 분수 학습의 기초가 되는 전체-부분 관계와 관련하여 단위분수를 지도할 때 제시되는 맥락이 학생들 의 이해에 미치는 영향이 크다는 것을 함의한다.
2) 단위분수의 시각적 표현 관련 선행 연구 분석 강흥규(2013)는 분수의 모델을 전체-부분, 측정, 분배 의 세 가지로 구분하여 분수 개념과의 관계를 정리하면 서, 비록 초등 수학이라는 현실적 제약에도 불구하고 분 수의 개념 지도 시 다양한 모델을 사용하는 것이 유의미 한 이해를 도울 것이라고 주장하였다. 한편 Tall &
Vinner(1981)는 단위분수 학습과 관련하여 전체를 두 조 각으로 나눈 것으로서
의 개념 이미지에 대해 언급하 였다. 학생들은 실생활에서의 ‘절반’에 대한 경험으로 인 해
을 똑같은 2개의 조각으로 나누어진 것 중 하나를 의미하는 것으로 생각하곤 한다는 것이다. 이와 관련하 여 Chval et al.(2013)가
에 대해 학생들에게 제시한 다양한 시각적 표현을 범주화하면 [표 2]와 같이 정리된 다. Chval et al.(2013)는 똑같은 정사각형을 다양하게 분 할하여
을 나타낸 이러한 여러 가지 표현을 제시함으 로써 학생들이
에 대해 보다 풍부히 이해하게 되고, 나아가 교사는 학생들이 지닌 단위분수에 대한 개념 이 미지의 오류를 파악하여 수정할 수 있게 됨을 강조하였 다. 또한 학생들이 단위분수로부터 확장하여 이후 동치 분수에 대해서도 깊이 있게 이해하도록 돕는다고 하였 다.
모델
M1 M2 M3
M4 M5 M6
[표 2]
을 나타낸 표현(Chval et al., 2013) [Table 2] The representations of
(Chval et al., 2013)
2. 초등 수학 교과서 분석
현행 2009 개정 교육과정에 따른 초등학교 수학 교과 서에서 분수 개념의 학습은 3학년 1학기부터 시작된다.
강완(2014)은 수학 교과서에 나타난 분수 개념 학습을 위한 세부 활동을 19가지로 분류한 바 있는데, 본 연구 는 그 중 단위분수 개념과 밀접하게 연계되는 ‘똑같이 나누기, 전체와 부분, 분수 표기, 단위분수의 크기 비교, 동치분수’ 활동의 교과서 차시를 분석하였다. 이 중 앞의 3가지는 단위분수 개념의 도입과 관련되고, 나머지 2가 지는 단위분수 개념을 다루는 과정과 관련된다. 특히 동 치분수에 관한 차시까지 분석을 실시한 것은 Chval et al.(2013)의 경우
과 관련하여
나
등의 시각적 표현을 의미 있게 함께 다룸으로써
에 대한 학생들의 이해 양상 및 그러한 단위분수에 대한 이해가 동치분수 등 이후 학습으로 확장될 가능성을 조사하고 있는데, 이 로부터 우리나라의 경우는 어떠한지 파악할 필요가 제기 되었기 때문이다.
현행 2009 개정 수학 교과서의 해당 차시에서 제시하 고 있는 단위분수 관련 지도 맥락과 시각적 표현을 추출 하여 앞 절에서 제시한 Chval et al.(2013)의 연구 결과 에 기초해 분석 결과를 기술하였다.
1) 단위분수의 지도 맥락 관련 분석
우리나라 수학 교과서에서 단위분수 개념 도입 시 제 시된 지도 맥락은 [표 3]과 같다.
차시 주제 지도 맥락
똑같이
나누기 ·피자 똑같이 나누기
·크기가 똑같이 나누어진 모양의 국기 찾기 전체와
부분
사각형 모양 색종이의 부분과 전체의 크기 비 교하기(똑같이 2로 나눈 것 중의 1, 똑같이 4 로 나눈 것 중의 1)
분수 표기 우크라이나 국기의 파란색 부분은 전체를 똑 같이 2로 나눈 것 중의 1이다. (
, 2분의 1) [표 3] 단위분수 도입 지도 맥락
[Table 3] The teaching contexts of introducing unit fractions
‘똑같이 나누기’ 활동 시에는 피자를 똑같이 나누기, 크기가 똑같이 나누어진 모양의 국기를 찾는 맥락을 제 시하고 있다. 이는 관련 분수를 명시적으로 찾는 것이 아니라 분할 맥락으로 볼 수 있고, 앞 절에서 언급했던 C2 유형에 가까운 맥락으로 파악된다. ‘전체와 부분’ 활 동 시에는 사각형 모양 색종이를 똑같이 2 또는 4로 나 누고 제시된 부분은 그 중 1을 나타냄을 이해하도록 한 다. 이 또한 단순히 그 부분이
인지 묻는 C1이 아닌, C2 유형의 맥락을 제시하고 그로부터 점차 전체-부분 관계로서
의 개념에 접근하도록 유도하는 것으로 파 악된다. 이어서 ‘분수 표기’ 활동 시에는 우크라이나 국 기를 소재로 제시하고 국기의 파란색 부분은 전체를 똑 같이 2로 나눈 것 중의 1이고 이것이
을 의미함을 약 속한다. 이는 우크라이나 국기가 파란색과 노란색의 두 부분으로 똑같이 분할된 것으로부터 시작하여, 즉 C2 유 형의 맥락으로 시작하여 파란색 부분이
임을 파악케 하는 C1의 맥락으로 이어지는 것으로 분석된다. 이러한 분석 결과에 기초할 때, 현행 우리나라 초등 수학 교과 서에서 단위분수 개념은 실생활 경험을 토대로 한 기초 적인 분할 맥락(C2)으로 시작하여 이후 단위분수의 의미 에 집중한 맥락(C1) 순으로 지도되고 있는 것으로 나타 났다.
단위분수의 크기 비교 시 제시된 맥락은 [표 4]와 같다.
분수의 지도 맥락과 관련하여 Chval et al.(2013)는 [표 1]과 같이
을 나타내는 두 가지 유형의 맥락을 제 시하였다. C1과 C2는 브라우니라는 소재를 이용하여
의 의미에 대해 질문했다는 점에서 다소 유사하지만 양 자 간에는 중요한 차이가 있다. C1은 학생들이 색칠된 부분이
을 나타내는지 결정하는 것에, C2는 그림이 똑같이 분할되었는지 또는 ‘공평한 분배(fair sharing)’가 이루어졌는지 결정하는 것에 집중하게 한다.
유형 맥락
C1 다음 그림의 브라우니는
만큼 색칠되어 있나요?
C2
다음은 브라우니를 나눈 그림입니다. 당신 이 색칠된 양만큼 브라우니를 받고, 친구는 색칠되지 않은 양만큼 받았습니다. 이 브라 우니는 똑같이 나누어졌나요?
[표 1]
의 지도 맥락(Chval et al., 2013) [Table 1] The teaching contexts of
(Chval et al., 2013)
Chval et al.(2013)에 따르면 3～5학년 학생들에게 이 러한 두 가지 맥락으로 문제를 제시했을 경우, C1에 비 해 C2의 맥락을 제시할 때 정답률이 높았다. C1의 맥락 에서 학생들은
은 반드시 합동인 두 조각으로 분할해 야 한다거나 그림에서 음영 처리된 부분들이 서로 인접 하게 붙어 있어야 한다는 등의 오개념을 보였다. 반면, C2의 맥락에서는
에 대한 형식적인 수학적 의미가 아 닌, 두 사람 간의 ‘공평한 분배’에 집중하고 똑같이 나누 는 것이 전체를 반드시 두 조각으로 나누어야 하는 것은 아님을 명확히 인식하면서 점차
에 대한 의미 이해로 확장하였다. Empson(1995)은 대다수 학생들이 실생활에 서 똑같이 나누는 것을 자연스레 경험하게 되고 그런 상 황에 대한 직관적인 지식을 풍부히 지니고 있기 때문에, 분수 학습 시 공평한 분배나 똑같이 나누는 것에 관한
학생들의 선행 경험과 지식을 활용하는 것은 중요한 교 수학적 전략이라고 주장하였다. 또한, 예컨대 C2와 같이, 똑같이 나누는 맥락을 제시함으로써 학생들로 하여금 부 분들이 같은 크기여야 함을 이해시키는 것을 도울 수 있 다고 하였다. 즉, 이는 C1과 같이 다소 추상적 맥락의 과제보다 C2와 같이 브라우니를 똑같이 나누어 가지는 등 보다 기초적인 분할 맥락의 과제로 분수 학습을 시작 할 때 학생들이 더 잘 이해하고 학습을 수행할 수 있음 을 보여 준다(Chval et al., 2013). 결과적으로, 이러한 선 행 연구는 분수 학습의 기초가 되는 전체-부분 관계와 관련하여 단위분수를 지도할 때 제시되는 맥락이 학생들 의 이해에 미치는 영향이 크다는 것을 함의한다.
2) 단위분수의 시각적 표현 관련 선행 연구 분석 강흥규(2013)는 분수의 모델을 전체-부분, 측정, 분배 의 세 가지로 구분하여 분수 개념과의 관계를 정리하면 서, 비록 초등 수학이라는 현실적 제약에도 불구하고 분 수의 개념 지도 시 다양한 모델을 사용하는 것이 유의미 한 이해를 도울 것이라고 주장하였다. 한편 Tall &
Vinner(1981)는 단위분수 학습과 관련하여 전체를 두 조 각으로 나눈 것으로서
의 개념 이미지에 대해 언급하 였다. 학생들은 실생활에서의 ‘절반’에 대한 경험으로 인 해
을 똑같은 2개의 조각으로 나누어진 것 중 하나를 의미하는 것으로 생각하곤 한다는 것이다. 이와 관련하 여 Chval et al.(2013)가
에 대해 학생들에게 제시한 다양한 시각적 표현을 범주화하면 [표 2]와 같이 정리된 다. Chval et al.(2013)는 똑같은 정사각형을 다양하게 분 할하여
을 나타낸 이러한 여러 가지 표현을 제시함으 로써 학생들이
에 대해 보다 풍부히 이해하게 되고, 나아가 교사는 학생들이 지닌 단위분수에 대한 개념 이 미지의 오류를 파악하여 수정할 수 있게 됨을 강조하였 다. 또한 학생들이 단위분수로부터 확장하여 이후 동치 분수에 대해서도 깊이 있게 이해하도록 돕는다고 하였 다.
모델
M1 M2 M3
M4 M5 M6
[표 2]
을 나타낸 표현(Chval et al., 2013) [Table 2] The representations of
(Chval et al., 2013)
2. 초등 수학 교과서 분석
현행 2009 개정 교육과정에 따른 초등학교 수학 교과 서에서 분수 개념의 학습은 3학년 1학기부터 시작된다.
강완(2014)은 수학 교과서에 나타난 분수 개념 학습을 위한 세부 활동을 19가지로 분류한 바 있는데, 본 연구 는 그 중 단위분수 개념과 밀접하게 연계되는 ‘똑같이 나누기, 전체와 부분, 분수 표기, 단위분수의 크기 비교, 동치분수’ 활동의 교과서 차시를 분석하였다. 이 중 앞의 3가지는 단위분수 개념의 도입과 관련되고, 나머지 2가 지는 단위분수 개념을 다루는 과정과 관련된다. 특히 동 치분수에 관한 차시까지 분석을 실시한 것은 Chval et al.(2013)의 경우
과 관련하여
나
등의 시각적 표현을 의미 있게 함께 다룸으로써
에 대한 학생들의 이해 양상 및 그러한 단위분수에 대한 이해가 동치분수 등 이후 학습으로 확장될 가능성을 조사하고 있는데, 이 로부터 우리나라의 경우는 어떠한지 파악할 필요가 제기 되었기 때문이다.
현행 2009 개정 수학 교과서의 해당 차시에서 제시하 고 있는 단위분수 관련 지도 맥락과 시각적 표현을 추출 하여 앞 절에서 제시한 Chval et al.(2013)의 연구 결과 에 기초해 분석 결과를 기술하였다.
1) 단위분수의 지도 맥락 관련 분석
우리나라 수학 교과서에서 단위분수 개념 도입 시 제 시된 지도 맥락은 [표 3]과 같다.
차시 주제 지도 맥락
똑같이
나누기 ·피자 똑같이 나누기
·크기가 똑같이 나누어진 모양의 국기 찾기 전체와
부분
사각형 모양 색종이의 부분과 전체의 크기 비 교하기(똑같이 2로 나눈 것 중의 1, 똑같이 4 로 나눈 것 중의 1)
분수 표기 우크라이나 국기의 파란색 부분은 전체를 똑 같이 2로 나눈 것 중의 1이다. (
, 2분의 1) [표 3] 단위분수 도입 지도 맥락
[Table 3] The teaching contexts of introducing unit fractions
‘똑같이 나누기’ 활동 시에는 피자를 똑같이 나누기, 크기가 똑같이 나누어진 모양의 국기를 찾는 맥락을 제 시하고 있다. 이는 관련 분수를 명시적으로 찾는 것이 아니라 분할 맥락으로 볼 수 있고, 앞 절에서 언급했던 C2 유형에 가까운 맥락으로 파악된다. ‘전체와 부분’ 활 동 시에는 사각형 모양 색종이를 똑같이 2 또는 4로 나 누고 제시된 부분은 그 중 1을 나타냄을 이해하도록 한 다. 이 또한 단순히 그 부분이
인지 묻는 C1이 아닌, C2 유형의 맥락을 제시하고 그로부터 점차 전체-부분 관계로서
의 개념에 접근하도록 유도하는 것으로 파 악된다. 이어서 ‘분수 표기’ 활동 시에는 우크라이나 국 기를 소재로 제시하고 국기의 파란색 부분은 전체를 똑 같이 2로 나눈 것 중의 1이고 이것이
을 의미함을 약 속한다. 이는 우크라이나 국기가 파란색과 노란색의 두 부분으로 똑같이 분할된 것으로부터 시작하여, 즉 C2 유 형의 맥락으로 시작하여 파란색 부분이
임을 파악케 하는 C1의 맥락으로 이어지는 것으로 분석된다. 이러한 분석 결과에 기초할 때, 현행 우리나라 초등 수학 교과 서에서 단위분수 개념은 실생활 경험을 토대로 한 기초 적인 분할 맥락(C2)으로 시작하여 이후 단위분수의 의미 에 집중한 맥락(C1) 순으로 지도되고 있는 것으로 나타 났다.
단위분수의 크기 비교 시 제시된 맥락은 [표 4]와 같다.
[그림 1] 2009 교과서 3-1, 단위분수 크기 비교(교육부, 2015a)
[Fig. 1] 2009 mathematics textbook 3-1, comparison of unit fractions(Ministry of education, 2015a)
차시 주제 지도 맥락
단위분수의 크기 비교
색 테이프의
과
중 어느 것 이 더 많은지 알아보기 [표 4] 단위분수의 크기 비교 지도 맥락
[Table 4] The teaching context of comparison of unit fractions
단위분수의 크기 비교 시에는 윤호네 모둠은 색 테이 프의
을 사용했고 세미네 모둠은 색 테이프의
을 사 용했을 때 어느 모둠이 색 테이프를 더 많이 사용했는지 알아보는 상황을 제시하고 있다. 교과서에서는 [그림 1]과 같이, 본격적인 크기 비교에 앞서 색 테이프라는 소재를 통해
과
중 어느 분수가 더 큰지 확인할 수 있는 방법을 이야기하게끔 하고 있고, 이때 실제 학교 현장에 서 지도하는 교사의 재량에 따라 교수 학습의 과정 중에 똑같이 나누었는지에 집중하면서 C2 유형에 맞게 수업 을 시작하며 이후 학습으로 진행할 수도 있을 것이다.
그러나 단순히 교과서에 제시된 맥락과 단위분수 자체에 초점을 맞추어 보면, 활동1에서는 맥락에 대한 구체적인 설명 없이 각각
,
만큼 색칠하여 이를 통해 크기를 비교하게 함으로써, C1 유형으로
과
을 이해하고 크기를 비교하는 것으로 분석되었다.
동치분수 지도 시 제시된 맥락은 [표 5]와 같다.
차시 주제 지도 맥락
동치분수
크기가 같은 대나무 통에 태준이는
만 큼, 주영이는
만큼 물을 모았을 때, 누가 물을 더 많이 모았는지 알아보기 [표 5] 동치분수 지도 맥락
[Table 5] The teaching context of equivalent fractions
[그림 2] 2009 교과서 5-1, 동치분수(교육부, 2015c)
[Fig. 2] 2009 mathematics textbook 5-1, equivalent fractions(Ministry of education, 2015c) 동치분수 지도 시에는 태준이가
만큼, 주영이는
만 큼 물을 모았을 때 누가 물을 더 많이 모았는지 알아보는
상황을 제시하고 있다. 이 또한 교과서에서 [그림 2]와 같이 교수 학습의 소재로 대나무 통에 물을 담는 상황을 사용하 고 있으나 그 맥락에 대한 구체적인 설명 없이
과
만큼 색칠하여 크기를 비교하게 함으로써 학생들이 C1 유형에 맞게
과
각각을 파악하는 교수 학습 상황이 전개될 것으로 추측된다.
2) 단위분수의 시각적 표현 관련 분석
현행 수학 교과서에서 단위분수 개념을 다루는 차시 에서의 그 시각적 표현이 어떠한지 분석하였다. 분석 결 과, 우리나라 수학 교과서에서는 3학년 1학기에 분수를 처음 지도할 때 다수의 시각적 표현을 제시하고 있으며, 분수를 [그림 3]과 같이 실생활의 구체물, 모델, 기호적 표현 순으로 연결 지어 지도하고 있는 것으로 나타났다.
[그림 3] 분수 표현 지도(교육부, 2015a)
[Fig. 3] Teaching representations of fractions(Ministry of education, 2015a)
그러나 다수의 시각적 표현 제시에도 불구하고, 본 연구의 관심인 단위분수에 대한 시각적 표현은 [표 2]에 근거했을 때 유형의 다양성은 미흡한 것으로 분석되었 다. 수학 교과서에서 단위분수 개념을 지도할 때 다루어 지는 표현 유형은 M1이며 동일 단위분수에 대해서 M2, M3과 같은 다른 유형의 표현은 찾아보기 어려웠다. 이 때 분수의 표기까지 학습한 다음, 단위분수를 포함한 진 분수로 나타내기 차시에서 마무리 문제로 [그림 4]와 같 이 제시하고 있기 때문에 이 경우
에 대한 M5 유형 을 제시한 것으로 추측할 수도 있으나, 교사용 지도서의 관련 답안 및 해설에서는 이를 각각
,
로만 제시할 뿐,
을 다양한 표현으로 접해볼 수 있게 한다는 의도 에 대해 기술하고 있지는 않았다([그림 5]). 단위분수는
3학년에서, 동치분수는 5학년에서 분리하여 학습하게 되 는 우리나라 수학과 교육과정에 기초할 때 3학년 1학기 수학 교과서에서 단위분수 지도 시 M4, M5, M6의 유형 을 명시적으로 다루지 않는 이와 같은 제시는 당연한 결 과일 것이다. 다만, M2, M3 유형이 제시되지 않은 것은 재고의 여지가 있다.
[그림 4] 2009 교과서 3-1, 진분수로 나타내기(교육부, 2015a)
[Fig. 4] 2009 mathematics textbook 3-1, representing as proper fractions(Ministry of education, 2015a)
[그림 5] 지도서, 진분수로 나타내기(교육부, 2015b) [Fig. 5] Teacher’s guide book, representing as proper fractions(Ministry of education, 2015b)
이와 관련하여 3학년 1학기 분수 단원의 4차시에서 분 수를 쓰고 읽는 방법을 지도할 때 [그림 6]과 같이 ‘전체 를 똑같이 2로 나눈 것 중의 1을
이라고 쓰고 2분의 1 이라고 읽습니다.’라고 제시한 것에 주목할 수 있다.
에 대한 다양한 유형의 표현을 접해보지 않은 학생들은
이 전체를 항상 똑같이 2개로 나누고 그 중 1개에 음영
[그림 1] 2009 교과서 3-1, 단위분수 크기 비교(교육부, 2015a)
[Fig. 1] 2009 mathematics textbook 3-1, comparison of unit fractions(Ministry of education, 2015a)
차시 주제 지도 맥락
단위분수의 크기 비교
색 테이프의
과
중 어느 것 이 더 많은지 알아보기 [표 4] 단위분수의 크기 비교 지도 맥락
[Table 4] The teaching context of comparison of unit fractions
단위분수의 크기 비교 시에는 윤호네 모둠은 색 테이 프의
을 사용했고 세미네 모둠은 색 테이프의
을 사 용했을 때 어느 모둠이 색 테이프를 더 많이 사용했는지 알아보는 상황을 제시하고 있다. 교과서에서는 [그림 1]과 같이, 본격적인 크기 비교에 앞서 색 테이프라는 소재를 통해
과
중 어느 분수가 더 큰지 확인할 수 있는 방법을 이야기하게끔 하고 있고, 이때 실제 학교 현장에 서 지도하는 교사의 재량에 따라 교수 학습의 과정 중에 똑같이 나누었는지에 집중하면서 C2 유형에 맞게 수업 을 시작하며 이후 학습으로 진행할 수도 있을 것이다.
그러나 단순히 교과서에 제시된 맥락과 단위분수 자체에 초점을 맞추어 보면, 활동1에서는 맥락에 대한 구체적인 설명 없이 각각
,
만큼 색칠하여 이를 통해 크기를 비교하게 함으로써, C1 유형으로
과
을 이해하고 크기를 비교하는 것으로 분석되었다.
동치분수 지도 시 제시된 맥락은 [표 5]와 같다.
차시 주제 지도 맥락
동치분수
크기가 같은 대나무 통에 태준이는
만 큼, 주영이는
만큼 물을 모았을 때, 누가 물을 더 많이 모았는지 알아보기 [표 5] 동치분수 지도 맥락
[Table 5] The teaching context of equivalent fractions
[그림 2] 2009 교과서 5-1, 동치분수(교육부, 2015c)
[Fig. 2] 2009 mathematics textbook 5-1, equivalent fractions(Ministry of education, 2015c) 동치분수 지도 시에는 태준이가
만큼, 주영이는
만 큼 물을 모았을 때 누가 물을 더 많이 모았는지 알아보는
상황을 제시하고 있다. 이 또한 교과서에서 [그림 2]와 같이 교수 학습의 소재로 대나무 통에 물을 담는 상황을 사용하 고 있으나 그 맥락에 대한 구체적인 설명 없이
과
만큼 색칠하여 크기를 비교하게 함으로써 학생들이 C1 유형에 맞게
과
각각을 파악하는 교수 학습 상황이 전개될 것으로 추측된다.
2) 단위분수의 시각적 표현 관련 분석
현행 수학 교과서에서 단위분수 개념을 다루는 차시 에서의 그 시각적 표현이 어떠한지 분석하였다. 분석 결 과, 우리나라 수학 교과서에서는 3학년 1학기에 분수를 처음 지도할 때 다수의 시각적 표현을 제시하고 있으며, 분수를 [그림 3]과 같이 실생활의 구체물, 모델, 기호적 표현 순으로 연결 지어 지도하고 있는 것으로 나타났다.
[그림 3] 분수 표현 지도(교육부, 2015a)
[Fig. 3] Teaching representations of fractions(Ministry of education, 2015a)
그러나 다수의 시각적 표현 제시에도 불구하고, 본 연구의 관심인 단위분수에 대한 시각적 표현은 [표 2]에 근거했을 때 유형의 다양성은 미흡한 것으로 분석되었 다. 수학 교과서에서 단위분수 개념을 지도할 때 다루어 지는 표현 유형은 M1이며 동일 단위분수에 대해서 M2, M3과 같은 다른 유형의 표현은 찾아보기 어려웠다. 이 때 분수의 표기까지 학습한 다음, 단위분수를 포함한 진 분수로 나타내기 차시에서 마무리 문제로 [그림 4]와 같 이 제시하고 있기 때문에 이 경우
에 대한 M5 유형 을 제시한 것으로 추측할 수도 있으나, 교사용 지도서의 관련 답안 및 해설에서는 이를 각각
,
로만 제시할 뿐,
을 다양한 표현으로 접해볼 수 있게 한다는 의도 에 대해 기술하고 있지는 않았다([그림 5]). 단위분수는
3학년에서, 동치분수는 5학년에서 분리하여 학습하게 되 는 우리나라 수학과 교육과정에 기초할 때 3학년 1학기 수학 교과서에서 단위분수 지도 시 M4, M5, M6의 유형 을 명시적으로 다루지 않는 이와 같은 제시는 당연한 결 과일 것이다. 다만, M2, M3 유형이 제시되지 않은 것은 재고의 여지가 있다.
[그림 4] 2009 교과서 3-1, 진분수로 나타내기(교육부, 2015a)
[Fig. 4] 2009 mathematics textbook 3-1, representing as proper fractions(Ministry of education, 2015a)
[그림 5] 지도서, 진분수로 나타내기(교육부, 2015b) [Fig. 5] Teacher’s guide book, representing as proper fractions(Ministry of education, 2015b)
이와 관련하여 3학년 1학기 분수 단원의 4차시에서 분 수를 쓰고 읽는 방법을 지도할 때 [그림 6]과 같이 ‘전체 를 똑같이 2로 나눈 것 중의 1을
이라고 쓰고 2분의 1 이라고 읽습니다.’라고 제시한 것에 주목할 수 있다.
에 대한 다양한 유형의 표현을 접해보지 않은 학생들은
이 전체를 항상 똑같이 2개로 나누고 그 중 1개에 음영
처리한 표현이라고만 생각할 우려가 있다. 물론, 전체를 2로 나눈 것 중의 1이
의 의미를 나타내는 가장 기본 적인 설명이며 5학년 때 동치분수를 학습하면서 [그림 2]
와 같은 다양한 유형의 시각적 표현으로
을 나타내는 표현에 대한 이해가 확장될 수도 있다. 그러나 3학년부 터 5학년까지 약 2년의 기간 동안 다수의 학생들이 소위 Tall & Vinner(1981)가 주장했던
에 대한 불완전한 개념 이미지를 형성한 채 머무를 가능성도 배제할 수 없 는 것이다. 이것이 수학이 계열성을 지니는 교과이기 때 문에 불가피한 일이고 5학년 때 동치분수를 학습하면 해 결될 수 있는 문제라는 주장도 가능하다. 그러나, 한편으 로는 그 간극을 좁히기 위한 또 다른 교수학적 시도에 대한 연구가 필요하지는 않은지, 만약 그렇게 간극을 좁 히기 위한 지도를 수행할 경우 긍정적인 결과가 도출되 지는 않을지 측면에서의 물음도 가능하다.
[그림 6] 2009 교과서 3-1, 단위분수 쓰고 읽기(교육부, 2015a)
[Fig. 6] 2009 mathematics textbook 3-1, writing and reading unit fractions(Ministry of education, 2015a)
한편, 5학년 1학기 3단원에서는 약분과 통분을 학습 한 다음, [그림 7]과 같이 같은 크기의 색종이를 여러 번 나누어 동치분수를 시각화하여 제시하고 있다. 이로부터 수학 교과서 전반에서 볼 때,
이 반드시 똑같은 2조각 으로 나눈 것 중 1만을 의미하는 것이 아니라 똑같이 4 조각으로 나눈 것 중 2나 똑같이 8조각으로 나눈 것 중 4, 똑같이 16조각으로 나눈 것 중 8과도 같음에 대한 이 해를 돕는 다양한 시각적 표현을 제공하려는 아이디어를 살펴볼 수 있으나 제시된 차시가 본차시가 아닌, 체험마 당 차시라는 한계가 있다.
[그림 7] 2009 교과서 5-1, 3단원 체험마당(교육부, 2015c) [Fig. 7] 2009 mathematics textbook 5-1, experience corner of Unit 3(Ministry of education, 2015c)
이와 관련하여 2007 개정 교육과정에 따른 수학 교과 서에서 2학년 2학기에 분수를 지도할 때 모양, 분할 등 에 있어서 다양한 시각적 표현을 제시했던 사례를 참조 할 수 있다. 예컨대 [그림 8]과 같이,
,
을 나타낼 때 원, 정사각형, 정삼각형, 직사각형 등 여러 도형을 고 루 사용하거나
을 나타내는 동일한 도형(예, 정사각 형)일지라도 나누어지는 모양을 ‘나’, ‘자’처럼 달리 제시 하였다(M1과 M2 유형).
[그림 8] 2007 교과서 2-2, 분수 표현(교육과학기술부, 2009)
[Fig. 8] 2007 mathematics textbook 2-2, representations of fractions(Ministry of education, science, and technology, 2009)
또한 [그림 9]와 같이, 같은 진분수라도 원, 정사각형, 직사각형, 정육각형 등 여러 도형을 사용하고 다양한 분 할, 음영 처리 등을 고루 고려하여 제시함으로써 학생들 로 하여금 여러 시각적 표현을 비교할 수 있는 활동을 구현하고 있다. 이로부터 학생들이 분수를 나타낼 때 반
드시 한두 가지 고정된 모양만을 이용할 필요가 없고 색 칠된 부분이 인접해야만 하는 것은 아니라는 것을 명확 히 인지하면서
,
과 같은 분수의 개념을 보다 깊이 있게 이해하는 경험을 했으리라 기대할 수 있다.
[그림 9] 2007 교과서 2-2, 분수 표현(교육과학기술부, 2009)
[Fig. 9] 2007 mathematics textbook 2-2, representations of fractions(Ministry of education, science, and technology, 2009)
Ⅲ. 연구 방법
본 연구에서는 현행 2009 개정 교육과정에 따른 수학 교과서에 제시된 지도 맥락과 시각적 표현에 따라 단위 분수를 학습한 3학년 학생들을 대상으로, Chval et al.(2013)에 기초하여 단위분수 중 가장 기초이자 동치분 수에 대한 이해 등 후속 분수 학습에 토대가 되는 매우 중요한 출발점 수라 할 수 있는
에 대한 이해 양상 및 단위분수의 크기 비교 관련 이해 양상을 알아보기 위 한 검사를 실시하고 그 결과를 빈도 분석 및 질적 분석 하였다. 이때 단순히 학생들이 제시된 문제에 정답을 하 는지의 여부를 판단하기 보다는, 자료 분석 결과로부터 학생들이 단위분수에 관한 맥락 및 시각적 표현을 이해 하는 양상을 면밀히 파악함으로써 학생들의 분수에 대한 이해를 신장하는 지도 맥락과 시각적 표현에 있어서 유 의미한 시사점을 도출하는 데 초점을 맞추어 연구를 실 시하였다. 구체적인 연구 대상, 검사 도구, 자료 수집 및 분석 방법은 다음과 같다.
1. 연구 대상
본 연구는 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서 학생 들의 단위분수에 대한 이해 양상을 면밀히 분석하기 위 하여 S시 O초등학교에 재학 중인 3학년 2개 학급 41명 을 연구 대상으로 선정하였다. 이 학교는 지역 특성상 S 시에서 경제적 여건과 교육 환경이 평균 내지 그 이하로 분류되는 학교이다. 연구 대상 41명 모두는 2009 개정 교육과정에 따른 수학 교과서를 이용하여 3학년 1학기 6 단원의 분수 학습(똑같이 나누기, 전체와 부분, 단위분수 및 진분수 개념, 분모가 같은 진분수 및 단위분수의 크 기 비교)을 전부 완료한 학생들이다.
2. 검사 도구
본 연구에서는 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서 학생들의 단위분수에 관한 이해 양상을 검사하기 위하여 Chval et al.(2013)의 연구에 기초하여 검사지를 개발하 였다. 구체적으로, 검사지의 구성은 Chval et al.(2013)에 제시된 문항을 번역하여 그대로 활용하되, 문제를 ‘맥락에 따른
이해 분석, 다양한 시각적 표현에 따른
이해 분석, 맥락과 시각적 표현에 따른 단위분수의 크기 비교 이해 분석’을 위한 문제의 3가지로 범주화하여 재배치하 였다. 또한 학생의 이해 상태를 면밀히 파악하기 위하여
‘이유를 설명해 보시오’라는 지시문을 추가하였다. 검사 지는 수학교육 전문가 2인의 검토를 통해 내용 타당도를 확보하였으며, 검사지의 전체적인 문항 구성은 [표 6],
<부록>과 같다.
첫째 문제는 주어진 맥락에 따른
에 대한 이해 양 상을 파악하게 한다. 이 문제는 앞서 [표 1]에서 살펴본 것처럼, 색칠된 부분이
을 나타내는지 결정하는 1-(1) 문항과 그림이 똑같이 분할되었으며 두 사람이 똑같이 나누어 가졌는지 결정하는 1-(2) 문항으로 구성되어 있 다. 이를 통해 제시된 맥락에 따른 학생의 이해뿐만 아 니라 분할된 조각의 개수, 음영 처리된 조각들의 배치에 따른 학생의 이해 또는 오개념을 파악할 수 있을 것으로 기대된다.
처리한 표현이라고만 생각할 우려가 있다. 물론, 전체를 2로 나눈 것 중의 1이
의 의미를 나타내는 가장 기본 적인 설명이며 5학년 때 동치분수를 학습하면서 [그림 2]
와 같은 다양한 유형의 시각적 표현으로
을 나타내는 표현에 대한 이해가 확장될 수도 있다. 그러나 3학년부 터 5학년까지 약 2년의 기간 동안 다수의 학생들이 소위 Tall & Vinner(1981)가 주장했던
에 대한 불완전한 개념 이미지를 형성한 채 머무를 가능성도 배제할 수 없 는 것이다. 이것이 수학이 계열성을 지니는 교과이기 때 문에 불가피한 일이고 5학년 때 동치분수를 학습하면 해 결될 수 있는 문제라는 주장도 가능하다. 그러나, 한편으 로는 그 간극을 좁히기 위한 또 다른 교수학적 시도에 대한 연구가 필요하지는 않은지, 만약 그렇게 간극을 좁 히기 위한 지도를 수행할 경우 긍정적인 결과가 도출되 지는 않을지 측면에서의 물음도 가능하다.
[그림 6] 2009 교과서 3-1, 단위분수 쓰고 읽기(교육부, 2015a)
[Fig. 6] 2009 mathematics textbook 3-1, writing and reading unit fractions(Ministry of education, 2015a)
한편, 5학년 1학기 3단원에서는 약분과 통분을 학습 한 다음, [그림 7]과 같이 같은 크기의 색종이를 여러 번 나누어 동치분수를 시각화하여 제시하고 있다. 이로부터 수학 교과서 전반에서 볼 때,
이 반드시 똑같은 2조각 으로 나눈 것 중 1만을 의미하는 것이 아니라 똑같이 4 조각으로 나눈 것 중 2나 똑같이 8조각으로 나눈 것 중 4, 똑같이 16조각으로 나눈 것 중 8과도 같음에 대한 이 해를 돕는 다양한 시각적 표현을 제공하려는 아이디어를 살펴볼 수 있으나 제시된 차시가 본차시가 아닌, 체험마 당 차시라는 한계가 있다.
[그림 7] 2009 교과서 5-1, 3단원 체험마당(교육부, 2015c) [Fig. 7] 2009 mathematics textbook 5-1, experience corner of Unit 3(Ministry of education, 2015c)
이와 관련하여 2007 개정 교육과정에 따른 수학 교과 서에서 2학년 2학기에 분수를 지도할 때 모양, 분할 등 에 있어서 다양한 시각적 표현을 제시했던 사례를 참조 할 수 있다. 예컨대 [그림 8]과 같이,
,
을 나타낼 때 원, 정사각형, 정삼각형, 직사각형 등 여러 도형을 고 루 사용하거나
을 나타내는 동일한 도형(예, 정사각 형)일지라도 나누어지는 모양을 ‘나’, ‘자’처럼 달리 제시 하였다(M1과 M2 유형).
[그림 8] 2007 교과서 2-2, 분수 표현(교육과학기술부, 2009)
[Fig. 8] 2007 mathematics textbook 2-2, representations of fractions(Ministry of education, science, and technology, 2009)
또한 [그림 9]와 같이, 같은 진분수라도 원, 정사각형, 직사각형, 정육각형 등 여러 도형을 사용하고 다양한 분 할, 음영 처리 등을 고루 고려하여 제시함으로써 학생들 로 하여금 여러 시각적 표현을 비교할 수 있는 활동을 구현하고 있다. 이로부터 학생들이 분수를 나타낼 때 반
드시 한두 가지 고정된 모양만을 이용할 필요가 없고 색 칠된 부분이 인접해야만 하는 것은 아니라는 것을 명확 히 인지하면서
,
과 같은 분수의 개념을 보다 깊이 있게 이해하는 경험을 했으리라 기대할 수 있다.
[그림 9] 2007 교과서 2-2, 분수 표현(교육과학기술부, 2009)
[Fig. 9] 2007 mathematics textbook 2-2, representations of fractions(Ministry of education, science, and technology, 2009)
Ⅲ. 연구 방법
본 연구에서는 현행 2009 개정 교육과정에 따른 수학 교과서에 제시된 지도 맥락과 시각적 표현에 따라 단위 분수를 학습한 3학년 학생들을 대상으로, Chval et al.(2013)에 기초하여 단위분수 중 가장 기초이자 동치분 수에 대한 이해 등 후속 분수 학습에 토대가 되는 매우 중요한 출발점 수라 할 수 있는
에 대한 이해 양상 및 단위분수의 크기 비교 관련 이해 양상을 알아보기 위 한 검사를 실시하고 그 결과를 빈도 분석 및 질적 분석 하였다. 이때 단순히 학생들이 제시된 문제에 정답을 하 는지의 여부를 판단하기 보다는, 자료 분석 결과로부터 학생들이 단위분수에 관한 맥락 및 시각적 표현을 이해 하는 양상을 면밀히 파악함으로써 학생들의 분수에 대한 이해를 신장하는 지도 맥락과 시각적 표현에 있어서 유 의미한 시사점을 도출하는 데 초점을 맞추어 연구를 실 시하였다. 구체적인 연구 대상, 검사 도구, 자료 수집 및 분석 방법은 다음과 같다.
1. 연구 대상
본 연구는 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서 학생 들의 단위분수에 대한 이해 양상을 면밀히 분석하기 위 하여 S시 O초등학교에 재학 중인 3학년 2개 학급 41명 을 연구 대상으로 선정하였다. 이 학교는 지역 특성상 S 시에서 경제적 여건과 교육 환경이 평균 내지 그 이하로 분류되는 학교이다. 연구 대상 41명 모두는 2009 개정 교육과정에 따른 수학 교과서를 이용하여 3학년 1학기 6 단원의 분수 학습(똑같이 나누기, 전체와 부분, 단위분수 및 진분수 개념, 분모가 같은 진분수 및 단위분수의 크 기 비교)을 전부 완료한 학생들이다.
2. 검사 도구
본 연구에서는 지도 맥락과 시각적 표현의 관점에서 학생들의 단위분수에 관한 이해 양상을 검사하기 위하여 Chval et al.(2013)의 연구에 기초하여 검사지를 개발하 였다. 구체적으로, 검사지의 구성은 Chval et al.(2013)에 제시된 문항을 번역하여 그대로 활용하되, 문제를 ‘맥락에 따른
이해 분석, 다양한 시각적 표현에 따른
이해 분석, 맥락과 시각적 표현에 따른 단위분수의 크기 비교 이해 분석’을 위한 문제의 3가지로 범주화하여 재배치하 였다. 또한 학생의 이해 상태를 면밀히 파악하기 위하여
‘이유를 설명해 보시오’라는 지시문을 추가하였다. 검사 지는 수학교육 전문가 2인의 검토를 통해 내용 타당도를 확보하였으며, 검사지의 전체적인 문항 구성은 [표 6],
<부록>과 같다.
첫째 문제는 주어진 맥락에 따른
에 대한 이해 양 상을 파악하게 한다. 이 문제는 앞서 [표 1]에서 살펴본 것처럼, 색칠된 부분이
을 나타내는지 결정하는 1-(1) 문항과 그림이 똑같이 분할되었으며 두 사람이 똑같이 나누어 가졌는지 결정하는 1-(2) 문항으로 구성되어 있 다. 이를 통해 제시된 맥락에 따른 학생의 이해뿐만 아 니라 분할된 조각의 개수, 음영 처리된 조각들의 배치에 따른 학생의 이해 또는 오개념을 파악할 수 있을 것으로 기대된다.
