Chapter 4. 재표현

(1)

Chapter 4. 재표현

김남형 응용통계학과 가천대학교

[email protected]

(2)

 재표현의 목적 1) 분포의 대칭화

2) 산포를 비슷하게 하기 위해

3) 변수 사이의 단순한 관계의 표출

(3)

 재표현의 활용

 줄기그림이 한쪽으로 기울어진 모형 평균과 중위수가 상당히 다르다 어떤 값을 대표값으로 쓸 것인가?

< 서울지역 I의 월 소득 자료>

줄기 그림

단위 = 10(만원)

6 0 566888

20 1 00111222333444 (9) 1 556788999

21 2 013344 15 2 5589 11 3 001114

5 3 57 3 4 3 4 568

문자값 전시

Depth Lower Upper Mid Spread N= 50

M 25.5 181.966 181.966

H 13.0 123.694 283.798 203.746 160.104 E 7.0 100.000 318.000 209.133 217.871 D 4.0 86.000 373.000 229.965 287.750 C 2.5 67.000 461.500 264.262 393.631 B 1.5 61.500 475.000 268.344 414.110 1 57.000 483.000 270.340 425.154

중위수 182만원, 아래 사분위수 123.7만원, 위 사분위수 283.8만원 비대칭

(4)

 자료의 변환(transform) 즉, 재표현(re-expression) 후의 분 포 (1) 제곱근 변환

여전히 비대칭인 분포 줄기 그림

단위 = 0.1

1 7 5

3 8 03 6 9 233 11 10 02788 19 11 01245789 23 12 0367

(5) 13 24489 22 14 127 19 15 2456 15 16 008 12 17 033778

6 18 57 4 19 3 3 20

3 21 369

문자값 전시

M 25.5 13.486 13.486

H 13.0 11.122 16.846 13.984 5.725 E 7.0 10.010 17.834 13.922 7.825 D 4.0 9.278 19.335 14.307 10.056 C 2.5 8.212 21.472 14.842 13.261 B 1.5 7.824 21.803 14.814 13.978 1 7.567 21.987 14.777 14.420

(5)

(2) 로그 변환

자료의 재표현(로그 변환후 대칭적인 모형)

 자료의 재표현의 목적

(1) 독립적으로 산포의 균일화가 변환의 목적 평균과 중위수가 거의 유사 (2) 분포의 대칭화가 목적

줄기 그림

단위 = 0.01

1 17 5

3 18 14 6 19 334

13 20 0267789 21 21 01244568 (8) 22 01456899 21 23 036788 15 24 01567799

7 25 0347 3 26 568

문자값 전시

M 25.5 2.260 2.260

H 13.0 2.092 2.453 2.273 0.361 E 7.0 2.001 2.503 2.252 0.502 D 4.0 1.935 2.573 2.254 0.638 C 2.5 1.829 2.664 2.246 0.835 B 1.5 1.786 2.677 2.232 0.891 1 1.758 2.684 2.221 0.926

(6)

## 서울지역의 월소득 원자료와 제곱근 변환, 로그변환후의 상자 그림 비교 (1) 원자료

---

---I + I--- ---

---+---+---+---+---+---+C1 8.0 160.0 240.0 320.0 400.0 480.0

(2) 제곱근변환 후 자료

---

---I + I--- ---

--+---+---+---+---+---+----C2 7.0 10.0 13.0 16.0 19.0 22.0

(3) 로그변환 후 자료

---

---I + I--- ---

+---+---+---+---+---+---C3 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60

(7)

 재표현의 사다리

자료분석에서 가장 많이 사용되는 변환 방법

박스-칵스 변환(Box-Cox transform)

이면 무변환(no transform) 이면 제곱근 변환

이면 로그변환 이면

변환 단조함수(monoton function)이어야 함

x _f _(x ₎

 

 



<

−

=

>

=

0 ,

0 ),

log(

0 ,

p x

y

p p

= 1 p

2 /

= 1 p

= 0 p

≈ 0

p ⁽ x

^p

− ¹ ⁾ ^/ p ≈ ^log

_e

⁽ x ⁾⁽ = ² ^. ³⁰³ ^log

¹⁰

⁽ x ⁾⁾

(8)

<p의 부호와 크기에 따른 변환의 곡률의 부호와 크기의 관계>

p=3 볼록 재 p=2

표 p=1 무변환

현 p=1/2

의 p=1/3

p=0

사 p=-1/3 오목

다 p=-1/2

리 p=-1

p=-2 p=-3

(1) 오른쪽으로 꼬리가 긴 모형 (p<1) 경향이 누그러진다 (2) 왼쪽으로 꼬리가 긴 모형 (p>1) 경향이 누그러진다 (3) 오른쪽으로 꼬리가 긴 모형 (p=1에서 p=0까지 변환)

계속 오른쪽으로 꼬리가 긴 모형 음의 역변환(p=-1)

(4) 로그변환 후 오른쪽으로 꼬리가 긴 모형이 왼쪽으로 꼬리가 긴 모형으로 된다면 재표현의 사다리를 거슬러 올라가 제곱변환(p=1/2)

(9)

<표본으로 채취된 세 종류의 플랑크톤 수의 자료>

(1) 자료

(2) 문자값 전시

Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 I N= 12

M 6.5 580.000 580.000

H 3.5 483.500 870.000 676.750 386.500 E 2.0 428.000 1020.000 724.000 592.000 1 387.000 1050.000 718.500 663.000 Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 IV N= 12

M 6.5 9075.000 9075.000

H 3.5 8080.000 10015.000 9047.500 1935.000 E 2.0 7600.000 11000.000 9300.000 3400.000 1 6060.000 15500.000 10780.000 9440.000 Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 III N= 12

M 6.5 30200.000 30200.000

H 3.5 27950.000 33700.000 30825.000 5750.000

(10)

<플랑크톤 자료의 제곱근 변환 결과>

Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 I N= 12

M 6.5 24.069 24.069

M 6.5 95.258 95.258

H 3.5 89.883 100.071 94.977 10.187 E 2.0 87.178 104.881 96.029 17.703 1 77.846 124.499 101.172 46.653 Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 III N= 12

M 6.5 173.747 173.747

H 3.5 167.182 183.559 175.371 16.377 E 2.0 149.332 198.746 174.039 49.414 1 137.477 208.087 172.782 70.609

--- I I+I-

---

----

IV ----I+ I- * ----

---

III * ---I + I--- ---

---+---+---+---+---+---+

35 70 105 140 175 210

(11)

<플랑크톤 자료의 (상용)로그 변환 결과>

M 6.5 2.762 2.762

M 6.5 3.958 3.958

H 3.5 3.907 4.001 3.954 0.093 E 2.0 3.881 4.041 3.961 0.161 1 3.782 4.190 3.986 0.408 Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 III N= 12

M 6.5 4.480 4.480

H 3.5 4.446 4.527 4.487 0.081 E 2.0 4.348 4.597 4.472 0.248 1 4.276 4.636 4.456 0.360

--- 플랑크톤 I --I + I---

---

플랑크톤 IV ---I+I---- *

--- ---

플랑크톤 III * --I+I---

---+---+---+---+---+---C12 --- 2.80 3.20 3.60 4.00 4.40

(12)

<플랑크톤 자료의 세제곱근 변환 결과>

M 6.5 8.335 8.335

M 6.5 20.858 20.858

H 3.5 20.065 21.554 20.810 1.489 E 2.0 19.661 22.240 20.950 2.579 1 18.232 24.933 21.582 6.702 Depth Lower Upper Mid Spread 플랑크톤 III N= 12

M 6.5 31.136 31.136

H 3.5 30.348 32.298 31.323 1.950 E 2.0 28.147 34.056 31.102 5.909 1 26.637 35.115 30.876 8.478 플랑크톤 I -I+ I-----

----

플랑크톤 IV ---I +I- * ----

플랑크톤 III * ----I+ I------- ----

--+---+---+---+---+---+---- 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 36.0

Chapter 4. 재표현