 입출력 미분방정식에의한표현

연속시간 시스템의

시간영역 해석

3.1 시스템의 시간영역 표현 방법

3.1.1 입출력 미분방정식을 이용한 표현 3.1.2 임펄스 응답에 의한 표현

3.2 선형 시스템의 시간영역 표현에 대한 응답 구하기 3.2.1 미분방정식으로 표현된 시스템의 응답

3.2.2 임펄스 응답으로 표현된 시스템의 응답: 컨볼루션 3.2.3 컨볼루션의 성질과 컨볼루션 적분 계산

3.3 선형 시불변 시스템의 특성



 LTI system의 입출력 미분방정식

• 차수 N이 높을수록 시스템의 역동성을 정교하게 표현할 수 있으나 미분방정식의 해를 구하는 것이 어려워진다.

• t≥t

에서 시스템이 보이는 응답을 관측하는 경우가 많다.

• 여기서 t

를 초기시간이라 하며 미분방정식의 해를 구하기

위해서는 N 보다 낮은 차수 도함수의 출력 초기값이 필요하다.

입출력 미분방정식에 의한 표현

0 0

( ) ( )

,

n m

N M

n n m m

n m

d y t d x t

a b N M

dt dt

 

 

 

( ) 0

0

( ) ( ), 0,1, , 1

k k

k

d y t

y t k N

 dt  

 예: 1,2차 미분방정식

입출력 미분방정식에 의한 표현





0 0 0

2

1 0 1 0 0 1

2

( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ), (0) ,

dy t a y t b x t y y dt

dy t dy t dx t dy

a a y t b b x t y y y

dt dt dt dt

  

     

 Impulse Response

• 정의:

• 미분방정식 경우, 차수가 높으면 방정식의 해를 구하는 것이 쉽지 않다.

• 임펄스 응답에 의한 시스템 표현에서는 다음 적분만 계산하면 되므로 상대적으로 출력을 구하기가 쉽다.

Impulse Response에 의한 표현

[ ] T  ( )t

 ^{h t( )}

t ( ) ( )

x t  t

0 t

( ) ( ) y t h t

0 (1)

( ) [ ( )]

h t  T  t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t h t x t ^ x  h t  d

  



시스템에 대한 여러 가지 표현 방법

입출력 미분방정식

1 0

ya ya y  x

임펄스응답 ( )

주파수응답/

전달함수 ( ) ( )

^또는

시간 영역

시간 영역

주파수 영역

또는 s-영역

3.1 시스템의 시간영역 표현 방법

3.1.1 입출력 미분방정식을 이용한 표현 3.1.2 임펄스 응답에 의한 표현

3.2 선형 시스템의 시간영역 표현에 대한 응답 구하기

3.2.1 미분방정식으로 표현된 시스템의 응답

3.2.2 임펄스 응답으로 표현된 시스템의 응답: 컨볼루션 3.2.3 컨볼루션의 성질과 컨볼루션 적분 계산

3.3 선형 시불변 시스템의 특성



 1차 미분방정식

• General solution = homogeneous solution + particular solution

• Homogeneous solution (natural response) y

(t)



입력이 0인 경우의 해

• Particular solution (forced response) y

(t)



초기조건을 제외한 방정식의 해

미분방정식의 해

0

( ) ( ) ( ), (0)

dy t ay t x t y y

dt   

( )

( )

( ) y t  y t  y t

( ) ( ) 0

h

h

dy t ay t

dt  

( ) ( ) ( )

p

p

dy t ay t x t

dt  

 1차 미분방정식

i) Homogeneous solution (natural response) y

(t)



Trial homogeneous solution: 을 (1)에 대입



Characteristic equation



Homogeneous solution

미분방정식의 해

( ) ( ) 0 (1)

h

h

dy t ay t

dt  

( ) ^st y th  Ke

  ₀

st st st

sKe  aKe   s a Ke 

0 s a

s a

 

   ( )

,

y t

 Ke

K 는임의의 상수

 1차 미분방정식

ii) Particular solution (forced response) y

(t)



Trial particular solution

미분방정식의 해

( ) ( ) ( ) (2)

p

p

dy t ay t x t

dt  

입력 신호 유형 특수해의 형태

1 (상수) A (상수)

t (직선) AtB (직선)

t (포물선) 2 At² BtC (포물선)

e^t (지수함수) _Ae^t (동일 지수의 지수함수) cos t 또는 sin t (정현파) AcostBsint (동일 주파수 정현파)

tcos

e^ t ^또는 e^tsint ^{et( cosA} ^t^Bsin^t)

 1차 미분방정식

iii) General solution (complete response) y(t)



초기 조건을 적용하여 homogeneous solution에 포함된 미지수 K를 결정

미분방정식의 해

( )

( )

( )

y t  y t  y t

 [예제 3.3] 1차 미분방정식

• 자연해

• 강제해

• 일반해

미분방정식의 해

( ) 2 ( ) ( ), (0) 4 dy t y t u t y

dt   

characteristic eq. 0 ( ) exp( 2 )

h

s a s a

y t K t

    

 

yp  A

2 1

( ) 2

t

h p

y t  y  y  Ke^  0 2 1 1

A A 2

   

st

yh  Ke

Initial condition: (0) 1 4 y   K 2

 2차 미분방정식

i) Homogeneous solution (natural response) y

(t)



Trial homogeneous solution: 을 (1)에 대입



Characteristic equation

미분방정식의 해

2

1 0

2

( ) ( )

( ) 0 (1)

h h

h

dy t dy t

a a y t

dt  dt  

( ) ^st y th  Ke





0

K s

a s

a e

2

1 0 0 1

2

( ) ( ) (0)

( ) ( ), (0) ,

dy t dy t dy

a a y t x t y y y

dt  dt    dt 

2

1 0

0

s  a s  a 

 2차 미분방정식

i) Homogeneous solution (natural response) y

(t)

ii) Particular solution (forced response) y

(t)

iii) General solution (complete response) y(t)



초기 조건을 적용하여 미지수 K

, K

를 결정

미분방정식의 해

1 2

1 2 1 2

discrete real roots ,p p  ( )y t_h K e^{p t} K e^{p t}

 

1 2 1 2

repeated real roots p  p  p ( )y t_h  K K t e^pt

 

1 2

1 2

complex conjugate roots ,

( )_h ^t cos sin

p p j

y t e^ K t K t

 

 

 

  

2

1 0

2

( ) ( )

( ) ( )

p p

p

dy t dy t

a a y t x t

dt  dt  

( ) _h( ) _p( ) y t  y t  y t

 [예제 3.4] 2차 미분방정식

• 자연해

• 강제해

미분방정식의 해

2 2

( ) ( ) (0)

4 3 ( ) cos 2 , (0) 1, 0

dy t dy t dy

y t t y

dt  dt    dt 

2

1 2

3

1 2

characteristic eq. 4 3 ( 1)( 3) 0 1, 3

( )

h

s s s s p p

y t K e

K e

          

 

cos 2 sin 2 yp  A t B t

st

yh  Ke

( 4 cos 2 4 sin 2 ) 4( 2 sin 2 2 cos 2 ) 3( cos 2 sin 2 ) cos 2

( 8 ) 1, ( 8 ) 0

1 8

65, 65

A t B t A t B t A t B t t

A B B A

A B

       

      

   

 [예제 3.4] 2차 미분방정식

• 완전해

미분방정식의 해

3

1 2

1 2

1 2

1 2

1 8

( ) cos 2 sin 2

65 65

(0) 1 1

65

(0) 3 16 0

65

107 41

65 , 65

t t

h p

y t y y K e K e t t

y K K

y K K

K K

 

     

   

     

   

107 41

1 8

( ) cos 2 sin 2

65 65 65 65

t t

y t

e

e

t

t