d x x x dx x c x dx

- 1 -

Chapter 4. The Laplace Transform

4.1. Definition of the Laplace Transform

기초 미적분학에서 미분과 적분은 변환(transforms)임을 공부했다. 이는 이 과정이 하나의 함수를 다른 함수로 변환시킴을 의미한다.

2 2 3 3 2

0

2 , 1 , 9 3

d x x x dx x c x dx

dx = ∫ = + ∫ =

더욱이 이 두 변환들은 선형성(linearity property)을 가진다. 즉 함수들의 선형결합의 변환이 변환 된 함수들의 선형결합으로 표현됨을 의미한다.

[ ]

[ ]

[ ]

( ) ( ) '( ) '( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

d f x g x f x g x

dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

α β α β

α β α β

α β α β

+ = +

+ = +

+ = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

이 장에서는 라플라스 변환이라고 불리는 특별한 형태의 적분 변환에 대해 다룬다. 선형성 외에 라플라스 변환은 선형 초기값 문제를 푸는데 유용한 여러 흥미 있는 성질들을 가지고 있다.

f(x, y)가 2변수 함수이면, 이 중 한 변수에 대한 부분적인 정적분을 취하면 이는 다른 변수에 대

한 함수가 되는 결과를 나타낸다. 예를 들어 ^{2 2 2}

1

2 xy dx = 3 y

∫

^{이다. 유사하게}

∫

a^b

K s t f t dt ^{( , ) ( )}

^와

같은 정적분은 함수 f(t)를 변수 s에 대한 함수로 변환시킨다. 우리는 특히 이런 종류의 적분변환 (integral transform) 중 적분 구간이 무한구간 [0, ∞)인 경우에 흥미가 있다.

 Basic Definition

함수 f(t)가 t ≥ 0 인 구간에서 정의되면, 이상적분(異常積分, improper integral)

0^∞

K s t f t dt ( , ) ( )

∫

^은

0

( , ) ( ) lim

0^b

( , ) ( )

b

K s t f t dt K s t f t dt

∞

=

→∞

∫ ∫

⁽¹⁾

와 같은 극한으로 정의된다. 극한값이 존재하면 적분이 존재(exist)한다고 하거나 수렴(convergent) 한다고 한다; 극한값이 존재하지 않으면 적분은 발산(divergent)한다고 한다. 극한값은 일반적으로 변수 s의 어떤 특정한 값들에 대해서만 존재하게 된다.

K s t ( , ) = e

^−st 로 선택한 경우 특별하게 중요한 적분변환을 정의할 수 있다.

- 2 - Definition 4.1.1. Laplace Transform

f 가 t ≥ 0 인 구간에서 정의된 함수라 하자. 이 때 적분

{ ^{( )} }

₀ ^st

^{( )}

£ f t = ∫

^{∞ −}

e f t dt

(2) 가 수렴하면, 이를 f 의 라플라스 변환(Laplace transform)이라 한다.

식 (2)의 적분이 수렴하면 결과는 s의 함수이다. 일반적으로 변환될 함수를 소문자(대문자)로 사용 하면, 해당되는 대문자(소문자)는 그 함수의 라플라스 변환을 나타낸다.

{ ^{( )} } ^{( ),}

£ f t = F s

^{£ g t} { } ^{( ) = G s ( ),}

^{£ y t} { } ^{( ) = Y s ( ),}

^{£ H t} { ^{( )} } ^{= h s ( ),}

[Example 1]

{ } ¹

£

을 계산하라.

Sol.

{ }

₀ ⁰

( )

0

1 1

1 (1) 0

st

st

e

s s

£ e dt e e s

s s s

− ∞

∞ −

− 

− ⋅∞ − ⋅



= ∫ = = −  −  = >

^

[Example 2]

{ }

£ t

를 계산하라.

Sol.

^{£ t} { }

0 0 0

0

( ) ' 1 (1)

st st

st

e t e

st

e tdt t e dt

s s s

− ∞ −

∞ −

−

∞

 − 

∞ −

= = −   ⋅ = =

 

∫ ∫ ∫ ¹ _s ^{£ { } 1 =} _s ¹

²

^{( s > 0 )}

^

[Example 3]

{ }

^3t

£ e

⁻ 를 계산하라.

Sol.

^{£ e} { }

^−3t ₀ ³ ₀ ^{( 3) ( 3)}

^{( )}

0

1 3

3 3

s t

s t

st t

e

e e dt e dt s

s s

− + ∞

∞ − − ∞ − +

= = = − = > −

+ +

∫ ∫

^

[Example 4]

{ ^{sin 2} }

£ t

를 계산하라.

Sol.

^£ { ^{sin 2 t} }

_{0 0 0}

0

sin 2 sin 2 2 cos 2 2 cos 2

st st

st

e e

st

e tdt t tdt e tdt

s s s

− ∞ −

∞ −

−

∞

 − 

∞ −

= = −   =

 

∫ ∫ ∫

( )

0 0

0

2 2 2 1 2 2

cos 2 2 sin 2 0 sin 2

st st

e e

st

t t dt e tdt

s s s s s s s s

− ∞ ∞ − ∞ −

 −   −     

=     − ∫     − =   − −       − ⋅ ∫

- 3 -

2 2 0 2 2

2 4 2 4

sin 2 e

st

tdt

s s s s

= − ∫

∞ −

= − ^{£ { sin 2 t }}

{ ^{sin 2} }

£ t

= ₂

² ( ⁰ )

4 s

s >

+

^

 £ Is a Linear Transform

함수들의 합에 대해서

∫

₀^∞

^e

^−st

[ ^{α f t ( ) + β g t dt ( )} ] ^{= α} ∫

₀^∞

^e

^−st

^{f t dt ( ) + β} ∫

₀^∞

^e

^−st

^{g t dt ( )}

^{가 성립하므로}

{ ^{( ) ( )} }

£ α f t + β g t

=

^{α £ f t} { ^{( )} } ^{+ β £ g t} { } ^{( )}

⁼

^{α F s ( ) + β G s ( )}

⁽³⁾

의 관계가 성립한다. 이 측면에서 라플라스 변환은 선형변환(linear transform) 이다. 또한 정적분 의 성질에 의해, 함수들 f1(t), f2(t), …, fn(t)의 임의의 유한한 선형결합의 라플라스 변환은 각 변환 들이 s 축에서 어떤 공통 구간을 가지면 그 구간에서 각 함수의 라플라스 변환들의 합과 같다.

[Example 5]

(a)

^£ { ^{1 5 + t} } ^{= £} { } ^{1 + 5 £ t} { } ^{= 1 5}

₂

s + s ( ^{s > 0} )

(b)

^£ { ^{2 e}

^6t

^{− 15sin 2 t} } ^{= 2 £ e} { }

^6t

^{− 15 £ { sin 2 ) t } =}

2

2 15

6 4

s − s

− + ( ^{s > 6} )

지금까지 배운 성질을 일반화하여 다음 정리를 얻을 수 있다.

Theorem 4.1.1. Transforms of Some Basic Functions (a) ^£

{ }

^{1 1}

=s (b)

{ }

1

! , 1, 2, 3...

n n

£ t n n

s ⁺

= = (c) ^{£ e}

{ }

^{at 1}

s a

= − (d)

{

sin

}

₂ k ₂

£ kt

s k

= + (e)

{

cos

}

₂ s ₂

£ kt

s k

= +

(f) ^£

{

^sinhkt

}

₂ ^k ₂

s k

= − (f) ^£

{

^coshkt

}

₂ ^s ₂

s k

= −

 Sufficient Conditions for Existence of ^{£ f t} { ^{( )} }

라플라스 변환을 정의하는 적분은 반드시 수렴하지는 않는다.

^{£ f t} { ^{( )} }

가 존재함을 보장하는 충분조건들은 f가 [0, ∞)에서 부분적으로 연속(piecewise continuous)이고 f가 t > T에서 지수적 차수 (exponential order)이면 된다. 먼저 부분적 연속 조건은 [0, ∞) 내의 어떤 구간에서든지 유한한 개수 의 불연속점만을 가지는 것으로 이해하면 된다 (그림 4.1.1 참고).

- 4 - 지수적 차수의 개념은 다음 정의로부터 이해하도록 하자.

Definition 4.1.2. Exponential Order

만일 t > T 인 모든 t에 대해

f t ( ) ≤ Me

^ct가 되도록 하는 c, M > 0, T > 0 인 상수들이 존재하면, 이 때 함수 f 는 지수적 차수(exponential order) c 라고 한다.

f가 증가함수이면, 위 조건

f t ( ) ≤ Me

^ct(t > T) 은 간단히 말해 f의 그래프가 구간 (T, ∞)에서 지수

함수

Me

^ct (c는 양의 상수)의 그래프보다 더 빨리 증가하지 않는다는 것을 기술한다 (그림 4.1.2 참조).

함수

f t ( ) = t f t , ( ) = e

^−t

, ( ) f t = 2 cos t

등은 모두 t > 0 에서 지수적 차수 c = 1인 함수이다. 왜냐 하면

t ≤ e e

^t

,

^−t

≤ e

^t

, 2 cos t ≤ 2 e

^t이기 때문이다. 구간 [0, ∞)에서의 각 그래프는 그림 4.1.3을 참고하라.

t의 양의 정수제곱은 항상 지수적 차수인데, 이는 c > 0 에 대해

n ct

t ≤ Me

혹은

n ct

t M

e ≤

(t > T)

는

lim

_t→∞

t

ⁿ

/ e

^ct가 정수 n = 1, 2, 3…에 대해 유한함을 보이는 것과 같기 때문이다. 이는 로피탈의 정리를 n번 적용함으로서 알 수 있다.

( )

^t2

f t = e

과 같은 함수는 지수적 차수가 아닌데, 아래 그림 4.1.4와 같이 t > c > 0인 t에 대해서는 지수함수의 어떤 양의 선형지수보다도 그래프가 더 빨리 증가할 수 있기 때문이다.

- 5 - Theorem 4.1.2. Sufficient Conditions for Existence

만일 f가 [0, ∞)에서 부분적으로 연속이고 지수적 차수 c이면, s > c 에 대해

^{£ f t} { ^{( )} }

^{가 존재}

한다.

[Proof]

^{£ f t} { ^{( )} }

⁼ 0^{T st}

( )

^st

( )

1 2

e

⁻

f t dt +

T^∞

e

⁻

f t dt = + I I

∫ ∫

I

1은

e

^−st

f t ( )

가 연속인 구간 상에서의 적분값들의 합으로 표현 가능하므로 적분값이 존재한다.

이제 f가 지수적 차수이므로 t > T 에서

f t ( ) ≤ Me

^ct가 되도록 하는 c, M > 0, T > 0인 상수 들이 존재한다. 이 경우

( ) ( )

( )

2

( )

s c T s c t

st st ct

T T T

I e f t dt M e e dt M e dt M e s c

s c

∞ − ∞ − ∞ − − − −

≤ ≤ = = >

∫ ∫ ∫ −

위 식의 마지막 적분값이 수렴하므로 s > c 에 대해

I

₂가 존재함을 알 수 있다. 따라서

I

1과

I

₂ 모두가 존재함은 결국

^{£ f t} { ^{( )} }

이 존재함을 나타낸다. 

[Example 5]

0, 0 3

( ) 2, 3

t f t t

≤ <

=    ≥

^{에 대해}

^{£ f t} { ^{( )} }

^{를 구하여라.}

Sol. f(t)는 부분적으로 연속이며 그림은 4.1.5와 같다. f 가 두 구간으로 구성되므로

{ ^{( )} }

£ f t

= _{0 0}³ ₃ ³

( )

3

2 2

( ) (0) (2) 0

st s

st st st

e e

e f t dt e dt e dt s

s s

− ∞ −

∞ −

=

−

+

∞ −

= − = >

∫ ∫ ∫

^