3 중

ALL 100

u

^{2학기 중간 고사}

V. ^통계 ₃₄

VI. ^{피타고라스 정리} 37

VII. ^삼각비 ₄₄

3

중

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34 수학 ➌

01-

D가 읽은 책의 수를 x권이라고 하면

(평균)= =12이므로

=12, x+66=72 ∴x=6 따라서 D가 읽은 책의 수는 6권이다.

01 -

동아리를 옮긴 학생의 키를x cm라고 하면

=164, 1320-x=1148 ∴x=172 따라서 동아리를 옮긴 학생의 키는 172 cm이다.

01 -

2학기 기말고사에서 과학 성적을 x점 받는다고 하면

(평균)= æ85

244+xæ340 ∴xæ96

따라서 2학기 기말고사에서 과학 성적을 96점 이상 받 아야 한다.

01 -

3+a+12+b=30에서 a+b=15 yy㉠

(평균)= =16이므로

15a+19b+243=480

∴15a+19b=237 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면a=12, b=3

∴ab=12_3=36

01 -

남학생 수를x명, 여학생 수를 y명이라고 하면

(전체 평균)= =62이므로

68x+53y=62x+62y, 6x=9y

∴x : y=9 : 6=3 : 2

02-

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 18, 31, 48, 54, 62, 73이므로

(중앙값)=48+54=51 2 68x+53y

x+y

13_3+15_a+17_12+19_b 30

78+81+85+x 4 165_8-x

7 x+666

10+6+8+x+18+24 6

│2~5^쪽│

01-

6권

01-

172 cm

01-

96점

01-

36

01-

3 : 2

02-

51

02-

④

02-

73

02-

4개

03-

운동

03-

36회

03-

68

03-

a=2, b=4

04-

중앙값：25초, 최빈값：15초

04-

60

04-

①, ⑤

05-

1

05-

78점

05-

⑤

05-

5

06-

8

06-

2시간

06-

'∂11회

06-

12

06-

204

07-

분산：75, 표준편차：5'3점

07-

_{'∂3.4 kg}

07-

_{;;¡2¡5™;;}

08-

D팀

08-

④

08-

C, B, A

V ^{. 통계}

1. 대푯값과 산포도

02 -

중앙값을 각각 구하면

① 5 ② 4 ③ 3.5 ④ 6.5 ⑤ 4

02-

중앙값이72점이므로 자료를 작은 값에서부터 크기순으 로 나열하면65, 71, x, 75이어야 한다.

즉, (중앙값)= =72이므로 71+x=144 ∴x=73

02-

14, 8, a, 10, 12의 중앙값이 12이므로 자료를 작은 값 에서부터 크기순으로 나열하면 8, 10, 12, a, 14 또는 8, 10, 12, 14, a이어야 한다.

∴aæ12 yy㉠

11, 15, a의 중앙값이 a이므로 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 11, a, 15이어야 한다.

∴11…a…15 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여12…a…15

따라서 주어진 조건을 만족하는 자연수a는 12, 13, 14, 15의 4개이다.

03-

(평균)=

(평균)=

=25

∴a=25

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 17, 17, 17, 22, 30, 31, 31, 35이므로 (중앙값)= =26 ∴b=26 최빈값은 17이므로c=17

∴a+b+c=25+26+17=68

03-

(평균)= =2이므로

=2, a+b+8=14

∴a+b=6 yy ㉠

한편, 최빈값이2이므로 a, b의 값 중 하나는 2이다.

그런데a<b이므로 ㉠에서 a=2, b=4

04-

크기순으로 20번째와 21번째 값은 모두 20초 이상 30초 미만인 계급에 속하므로

(중앙값)= =25(초)

도수가 가장 큰 계급은 10초 이상 20초 미만인 계급이 므로 (최빈값)= =15(초)

04 -

(평균)=

(평균)

=;;¢2º0;);=20(분)

∴a=20

크기순으로10번째와 11번째 값은 모두 18분 이상 22분 미만인 계급에 속하므로

(중앙값)=18+22=20(분) ∴b=20 2

12_3+16_3+20_7+24_5+28_2 20

10+20 2 20+30

2 a+b+8

7

2+7+1+0+(-2)+a+b 7

22+30 2 2008

35+31+17+30+17+22+31+17 8

71+x2

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정답과 해설 35 도수가가장큰계급은18분이상 22분미만인계급이므로

(최빈값)= =20(분) ∴c=20

∴a+b+c=20+20+20=60

04-

최빈값이 75점이므로 도수가 가장 큰 계급은 70점 이상 80점 미만인 계급이다.

∴a>7 yy㉠

이때 a+b=33-(2+7+5)=19이고 a>b이므로 10…a…19 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여10…a…19

05-

편차의 합은0이므로

-3+2+x+(-1)+4+(-3)=0 ∴x=1

05-

편차의 합은 0이므로

9+(-7)+x+6+(-4)=0 ∴x=-4 따라서 예빈이의 체육 성적은 82+(-4)=78(점)

05-

①, ④ 편차의 합은0이므로

-1+x+3+(-2)+5=0 ∴x=-5

② A의 편차가 음수이므로 A의 맥박 수는 평균보다 낮 다.

③ 평균보다 맥박 수가 높은 학생은 C, E의 2명이다.

⑤ D의 맥박 수는 60+(-2)=58(회)이다.

05-

{(편차)_(도수)}의 총합은 0이므로

(-12)_2+(-7)_4+(-2)_x+3_10+8_4

=0

-2x=-10 ∴x=5

06-

(평균)= =;;¢5º;;=8(점)

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;¢5º;;=8

06 -

(평균)= =;;£5∞;;=7(시간) (분산)=

(분산)=;;™5º;;=4

∴ (표준편차)='4=2(시간)

06-

편차의 합은 0이므로

5+x+(-3)+1=0 ∴x=-3 (분산)=

(분산)=;;¢4¢;;=11

∴ (표준편차)='∂11(회)

06-

(평균)= =7이므로

x+y+28=35 ∴x+y=7

(분산)= =12이

므로x¤ +y¤ -14(x+y)+133=60

(x-7)¤ +(y-7)¤ +5¤ +(-1)¤ +3¤

5 x+y+12+6+10

5

5¤ +(-3)¤ +(-3)¤ +1¤

4

(-1)¤ +(-3)¤ +1¤ +0¤ +3¤

5 6+4+8+7+10

5

(-4)¤ +2¤ +(-2)¤ +0¤ +4¤

5 4+10+6+8+12

5 18+22

2

∴x¤ +y¤ =14(x+y)-73=14_7-73=25 이때x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로

25=7¤ -2xy, 2xy=24 ∴xy=12

06-

(평균)= =8이므로 x+y+z=24

표준편차가 2, 즉 분산이 4이므로

=4 (x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ =12 x¤ +y¤ +z¤ -16(x+y+z)+192=12

∴x¤ +y¤ +z¤ =16(x+y+z)-180

=16_24-180=204

07-

(평균)=

(평균)

=;¡;2*4);º;;=75(점) (분산)=

(평균)

=;¡;2*4);º;;=75

∴ (표준편차)='∂75=5'3(점)

07-

4 kg 이상 6 kg 미만인 계급의 도수는 10-(1+5+2)=2(마리)

(평균)= =;1$0);=4(kg)

(분산)=

(평균)

=;1#0$;=3.4

∴ (표준편차)='∂3.4(kg)

07-

3시간 이상 5시간 미만인 계급의 도수를 a명, 5시간 이 상 7시간 미만인 계급의 도수를b명이라고 하면 a+b=25-(1+4+3)=17 yy㉠

(평균)= =6이므

로4a+6b+64=150

∴2a+3b=43 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면a=8, b=9

∴ (분산)=

∴ (분산)

=;;¡2¡5™;;

08-

3점슛 성공률이 가장 고른 팀은 표준편차가 가장 작은 D 팀이다.

08 -

① 산포도가 가장 작은 시험은 표준편차가 가장 작은 기 말고사이다.

② 편차의 합은 항상 0이다.

③ 기말고사 성적의 평균이 중간고사 성적의 평균보다 더 높으므로 기말고사 성적이 중간고사 성적보다 더 우수하다.

⑤ 성취도 평가 성적의 표준편차가 중간고사 성적의 표 준편차보다 더 작으므로 성취도 평가 성적이 중간고 사 성적보다 더 고르다.

(-4)¤_1+(-2)¤_8+0¤_9+2¤_4+4¤_3 25

2_1+4_a+6_b+8_4+10_3 25

(-3)¤ _1+(-1)¤ _5+1¤ _2+3¤ _2 10

1_1+3_5+5_2+7_2 10

(-15)¤ _3+(-5)¤ _9+5¤ _9+15¤ _3 24

60_3+70_9+80_9+90_3 24

4{(x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ } 12

4(x+y+z) 12

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36 수학 ➌

│6~7^쪽│

01

⑤

02

④

03

②

04

⑤

05

②

06

②

07

④

08

③

01

^{㉠ (평균)}= = =5.6

㉡ 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 2, 4, 5, 8, 9이므로 중앙값은 5이다.

㉢ 최빈값은 없다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다.

02

^(중앙값)= =12이므로 10+x=24 ∴x=14

03

2가 4번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 만족이다.

04

^(평균)= =;;ª6º;;=15(점)

따라서 각 변량들의 편차는 차례로 3점, -2점, -3점, 4점, 2점, -4점이다.

05

② 최빈값은 존재하지 않을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있 다.

06

=9이므로 a+b+c=27

표준편차가'5, 즉 분산이 5이므로

=5

∴(a-9)¤ +(b-9)¤ +(c-9)¤ =15 따라서 4, a, b, c, 14에서

(평균)= = = =9

∴ (분산)=

∴ (분산)

= = =13

07

^(평균)=

(분산)

= =6(회) (분산)=

(분산)

= =5.6

∴ (표준편차)='∂5.6(회) 11220

(-4)¤ _2+(-2)¤ _5+0¤ _7+2¤ _3+4¤ _3 20

12020

2_2+4_5+6_7+8_3+10_3 20

655 25+15+25

5

(-5)¤ +(a-9)¤ +(b-9)¤ +(c-9)¤ +5¤

5

455 4+27+14 4+a+b+c+14 5

5

(a-9)¤ +(b-9)¤ +(c-9)¤

3 a+b+c

3

18+13+12+19+17+11 6

10+x2

285 4+8+2+5+9

5

09

12 1024 11 159 cm 12 ² 13 2 kg 144반, 1반

│서술형 문제│

08

①, ② 평균이 같으므로 어느 과목의 성적이 더 우수하다고 할 수 없다.

③, ④, ⑤ 수학 성적의 표준편차가 과학 성적의 표준편차보 다 더 작으므로 수학 성적이 과학 성적보다 더 고르다.

09

^(평균)= = ^……40%

이때 중앙값이x이므로 =x ^……40%

x+48=5x, 4x=48 ∴x=12 ^……20%

10

8회 이상 12회 미만인 계급의 도수는

30-(2+6+10+4)=8(명) ^……20%

크기순으로 15번째와 16번째 값은 모두 8회 이상 12회 미 만인 계급에 속하므로

(중앙값)= =10(회) ∴a=10 ^……30%

도수가 가장 큰 계급은 12회 이상 16회 미만인 계급이므로 (최빈값)= =14(회) ∴b=14 ^……30%

∴a+b=10+14=24 ^……20%

11

^{편차의 합은}0이므로

4+(-2)+x+1+(-6)+(-1)=0

∴x=4 ^……40%

키가 가장 작은 학생은 편차가 가장 작은 학생이므로 E이

다. ……30%

따라서 학생 E의 키는165-6=159(cm) ^……30%

12

^{A：(평균)=} =;;¢5º;;=8(점)

A：

(분산)= =;5^; ^……40%

B：(평균)= =;;¢5º;;=8(점)

A：

(분산)=

A：(분산)

=;5$; ^……40%

따라서x=;5^;, y=;5$;이므로

x+y=;5^;+;5$;=;;¡5º;;=2 ^……20%

13

^{편차의 합은}0이므로

2+0+3+(-1)+x+(-1)=0

∴x=-3 ^……40%

(분산)=

(분산)=:™6¢:=4

^……40%

∴ (표준편차)='4=2(kg) ^……20%

14

성적이 가장 우수한 반은 평균이 가장 높은 4반이다.

……50%

성적이 가장 고른 반은 표준편차가 가장 작은 1반이다.

……50%

2¤ +0¤ +3¤ +(-1)¤ +(-3)¤ +(-1)¤

6

1¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤

5 9+7+9+8+7

5

(-2)¤ +1¤ +1¤ +0¤ +0¤

5 6+9+9+8+8

5 12+16

2 8+122

x+485

x+485 6+10+x+13+19

5

08-

A, B, C가 화살을 쏘아서 얻은 점수는 다음과 같다.

A：6, 7, 8, 9, 10 B：7, 7, 8, 9, 9 C：7, 8, 8, 8, 9 A, B, C의 평균이 모두 8점으로 같으므로 표준편차가 작을수록 자료는 평균 주위에 모여 있다.

따라서 점수의 표준편차가 작은 사람부터 차례로 나열

하면 C, B, A이다.

│서술형 문제│

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정답과 해설 37

│08~11^쪽│

01- 32

01-

3'5 cm

01-

6'3

01-

4'5

01-

2'5

01-

6

02-

'∂113 cm

02-

12'2+17

03-

3 cm

03-

②

04-

100 cm¤

04-

100 cm¤

05-

80 cm¤

05-

16 cm¤

06-

:¡ 2^ ª: cm¤

06-

98 cm¤

07-

:¡3º:

07-

3

07-

:¡3º:

08-

①, ②

08-

12, '∂194

09-

4<x<5

09-

6 10- ② 10- ② 11- 29

11- _{2'5 cm} 11- _{:¡5§: cm}

12- '∂15 cm 12- 2'7

13- 12p cm¤ 13- 32'3 cm¤

VI ^{. 피타고라스 정리}

1. 피타고라스 정리

01-

△ADC에서x="√13¤ -5¤ =12

△ABC에서y="√(11+5)¤ +12¤ =20

∴x+y=12+20=32

01 -

△ABC에서 BC”="√12¤ -6¤ =6'3 이때 AD”가 ∠A의 이등분선이므로 BD”：CD”=AB”：AC”=6：12=1：2

∴ BD”=;3!;BC”=;3!;_6'3=2'3

∴ △ABD=;2!;_2'3_6=6'3

01-

점 G가 △ABC의 무게중심이므로

AG”=2GD”=2_2=4 ∴ AD”=4+2=6 또, 점 D는 직각삼각형의 빗변의 중점이므로 외심이다.

∴ AD”=BD”=CD”=6

따라서 △ABC에서 AB”="√(6+6)¤ -8¤ =4'5

01 -

BE”=BD”="√2¤ +2¤ =2'2 BG”=BF”="√(2'2 )¤ +2¤ =2'3 BI”=BH”="√(2'3 )¤ +2¤ =4

따라서 △BIJ에서 BJ”="√4¤ +2¤ =2'5

01-

BM”=;2!;BC”=;2!;_6=3(cm)이므로 △ABM에서 AB”=øπ(3'2)¤ -3¤ =3(cm)

따라서 △ABC에서 AC”="√3¤ +6¤ =3'5(cm)

02-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

HC”=AD”=7 cm이므로 BH”=9-7=2(cm)

△ABH에서

A’H”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)

따라서 DC”=AH”=4'2 cm이므로 △DBC에서 BD”="√9¤ +(4'2 )¤ ='∂113(cm)

H A

B C

D

9###cm 6###cm

7###cm

02-

BD”를 그으면 △ABD에서 BD”="√6¤ +(4'2 )¤ =2'∂17 BC”=CD”=x라고 하면

△BCD에서

x¤ +x¤ =(2'∂17)¤ , 2x¤ =68 x¤ =34

∴x='∂34 (∵ x>0)

∴ ABCD=△ABD+△BCD

∴ ABCD

=;2!;_6_4'2+;2!;_'∂34_'∂34

∴ ABCD

=12'2+17

A

C

B D

6 4 2

03-

BFGC= ADEB+ ACHI이므로 33=24+ ACHI ∴ ACHI=9(cm¤ )

∴ AC”='9=3(cm)(∵ AC”>0)

03-

DC”∥EB”이므로 △EBA=△EBC

△EBC™△ABF(SAS 합동)이므로

△EBC=△ABF

BF”∥AK”이므로 △ABF=△JBF

∴ △EBA=△EBC=△ABF=△JBF

04-

△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동)이 므로 EFGH는 정사각형이다.

AH”=14-8=6(cm)이므로 △AEH에서 EH”="√8¤ +6¤ =10(cm)

∴ EFGH=10¤ =100(cm¤ )

04 -

△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동) 이므로 EFGH는 정사각형이다.

이때 EFGH=52 cm¤ 이므로 EH”='∂52=2'∂13(cm)(∵ EH”>0)

△AEH에서 AH”="√(2'∂13)¤ -4¤ =6(cm) 따라서 AD””=6+4=10(cm)이므로

ABCD=10¤ =100(cm¤ )

05-

4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH는 정사 각형이다.

EFGH=16 cm¤ 이므로 HG”='∂16=4(cm) (∵ HG”>0) AG”=BH”=4 cm이므로 △ABG에서 AB”="√4¤ +(4+4)¤ =4'5(cm)

∴ ABCD=(4'5)¤ =80(cm¤ )

01-

PA”=x라고 하면

PB”="√x¤ +x¤ ='2x, PC”=øπ('2x)¤ +x¤ ='3x PD”=øπ('3x)¤ +x¤ =2x, PE”="√(2x)¤ +x¤ ='5x 이때 PE”=6'5이므로 '5x=6'5 ∴x=6

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38 수학 ➌

05-

4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH는 정사 각형이다.

AB”=AD”='∂58 cm이므로 △ABE에서 BE”="√('∂58 )¤ -3¤ =7(cm)

이때 BF”=AE”=3 cm이므로 EF”=BE”-BF””=7-3=4(cm)

∴ EFGH=4¤ =16(cm¤ )

06-

AB”=EC”=12 cm이므로 △ABE에서 AE”="√12¤ +5¤ =13(cm)

△AED는 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_13_13=:¡ 2^ ª:(cm¤ )

06-

△AED는 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!; AE”¤ =50, AE””¤ =100

∴ AE”=10(cm) (∵ AE”>0)

△ABE에서 BE”="√10¤ -8¤ =6(cm) 따라서 BC”=BE”+EC”=6+8=14(cm), CD”=BE”=6 cm이므로

ABCD=;2!;_(8+6)_14=98(cm¤ )

07-

AQ”=AD”=10이므로 △ABQ에서 BQ”="√10¤ -6¤ =8 ∴ CQ”=10-8=2 PQ”=x라고 하면 DP”=PQ”=x, PC”=6-x

△PQC에서 2¤ +(6-x)¤ =x¤ , 12x=40

∴x=:¡3º:

07-

DC”=;2!;BC”=;2!;_8=4

CF”=x라고 하면 DF”=AF”=8-x

△FDC에서4¤ +x¤ =(8-x)¤ , 16x=48 ∴x=3

07-

∠EAC=∠ACB(엇각), ∠ACB=∠ECA(접은 각) 이므로 ∠EAC=∠ECA

즉, △EAC는 EA”=EC”인 이등변삼각형이다.

B'E”=x라고 하면 AE”=CE”=6-x

△AEB'에서x¤ +4¤ =(6-x)¤ , 12x=20 ∴x=;3%;

∴ △AEB'=;2!;_4_;3%;=:¡3º:

08 -

① ('3 )¤ +2¤ =('7 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

② ('6 )¤ +('7 )¤ =('∂13 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

08-

⁄ 빗변의 길이가 13일 때

x¤ +5¤ =13¤ , x¤ =144 ∴x=12 (∵ x>0)

¤ 빗변의 길이가 x일 때

5¤ +13¤ =x¤ , x¤ =194 ∴x='1å9å4 (∵ x>0)

⁄, ¤에 의하여 구하는 x의 값은 12, '1å9å4이다.

09 -

x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건 에 의하여4<x<4+3 ∴4<x<7 yy ㉠ 예각삼각형이 되려면x¤ <4¤ +3¤ , x¤ <25

∴0<x<5 (∵ x>0) yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여4<x<5

10-

8¤ >6¤ +4¤ 이므로 △ABC는 ∠A>90˘인 둔각삼각형 이다.

10-

②6¤ >(2'2 )¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다.

11-

AB”="√3¤ +4¤ =5이므로

AD”¤ +BE”¤ =AB”¤ +DE”¤ =5¤ +2¤ =29

12-

△AOD에서 AD”="√3¤ +4¤ =5(cm) AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 AB”¤ +(2'5 )¤ =5¤ +('∂10 )¤ , AB”¤ =15

∴ AB”='∂15(cm) (∵ AB”>0)

13-

AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는

;2!;_(p_2¤ )=2p(cm¤ )

따라서 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 2p+10p=12p(cm¤ )

12-

△DBC에서 BD”="√8¤ +6¤ =10 ∴ PB”=10-6=4 PA”¤ +PC”¤ =PB”¤ +PD”¤ 이므로

(2'6)¤ +PC”¤ =4¤ +6¤ , PC”¤ =28

∴ PC”=2'7 (∵ PC”>0)

13-

△ABC에서 AC”="√16¤ -8¤ =8'3(cm)

이때 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로

;2!;_8_8'3=32'3(cm¤ )

11-

AB”="√9¤ -(3'5 )¤ =6(cm)

AB”_AC”=BC”_AH”이므로 6_3'5=9_AH”

∴ AH”=2'5(cm)

11 -

△ABD에서 BD”="√(4'5)¤ -4¤ =8(cm) AD”¤ =BD”_CD”이므로 4¤ =8_CD”

∴ CD”=2(cm)

∴ BC”=BD”+CD”=8+2=10(cm) 이때 직각삼각형에서 빗변의 중점은 외심이므로 AM”=BM”=CM”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm) 따라서 △AMD에서 AD”¤ =AE”_AM”이므로 4¤ =AE”_5 ∴ AE”=:¡5§:(cm)

09-

x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건 에 의하여5<x<3+5 ∴5<x<8 yy ㉠ 둔각삼각형이 되려면x¤ >3¤ +5¤ , x¤ >34

∴x>'3å4 (∵ x>0) yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여'∂34<x<8

따라서 구하는 자연수x의 최솟값은 6이다.

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정답과 해설 39

│12~15^쪽│

01-

60 cm¤

01-

4 cm

01-

:£5§: cm

01-

10 cm

01-

;2*5$; cm¤

02-

28'2 cm

02-

8 cm

02-

2'6

03-

5'3 cm¤

03-

cm¤

03-

_{8 cm}

03-

9 cm

03-

_{108'3 cm¤}

03-

_;4#;

04-

2'∂10 cm

04-

12 cm¤

04-

6 cm

05-

2'5

05-

16 cm¤

06-

x=6, y=6'3, z=3'6

06-

2'3

06-

2'3 cm

06-

21'3 cm¤

06-

5'3

06-

4(2+'2) cm

07-

5'5

07-

10

07-

'∂29

07-

(9, 0)

07-

③

08-

2'∂113

08-

25 km 3'32

2. 평면도형에서의 활용

01-

AB”="√13¤ -12¤ =5(cm)

∴ ABCD=12_5=60(cm¤ )

01 -

직사각형의 가로의 길이를2k cm, 세로의 길이를 3k cm(k>0)라고 하면

"√(2k)¤ +(3k)¤ =2'∂13, '∂13k=2'∂13 ∴k=2 따라서 가로의 길이는2k=2_2=4(cm)

01-

BD”="√9¤ +12¤ =15(cm)

△ABD에서 AB”_AD”=BD”_AH”이므로 9_12=15_AH” ∴ AH”=:£5§:(cm)

01-

정사각형의 한 변의 길이를x cm라고 하면 AC”="√x¤ +(3x)¤ ='∂10x=10'2 ∴x=2'5

∴ AB”="√x¤ +(2x)¤ ='5x='5_2'5=10(cm)

01-

BD”="√3¤ +4¤ =5(cm)

△ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”이므로 3_4=5_AE” ∴ AE”=:¡5™:(cm) 또, AB”¤ =BE”_BD”이므로 3¤ =BE”_5

∴ BE”=;5(;(cm)

DF”=BE”=;5(; cm이므로 EF”=5-2_;5(;=;5&;(cm)

∴ AECF=2△AEF

∴ AECF

=2_{;2!;_:¡5™:_;5&;}=;2*5$;(cm¤ )

02-

식빵의 한 변의 길이를x cm라고 하면 '2x=14 ∴x=7'2

따라서 식빵의 둘레의 길이는4_7'2=28'2(cm)

02-

내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길 이와 같으므로 4'2_2=8'2(cm)

정사각형의 한 변의 길이를x cm라고 하면 '2x=8'2 ∴x=8

따라서 정사각형의 한 변의 길이는 8 cm이다.

02 -

직사각형 ABCD에서 AC”="√('2 )¤ +2¤ ='6 정사각형 ECFG에서 CG”='2_'3='6

∴ AC”+CG”='6+'6=2'6

03 -

△ABC에서 AC”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

∴ △ACD='3_(2'5)¤ =5'3(cm¤ ) 4

03-

∠GEC=∠GCE=60˘이므로△GEC는정삼각형이다.

이때 BE”=EC”=CF”=;2!;_2=1(cm)이므로 색칠한 부분의 넓이는

2(△ABC-△GEC)=2_{ _2¤ - _1¤ }

2(△ABC-△GEC)=

3'3(cm¤ )

2

'34 '34

03-

원 O의 반지름의 길이를r cm라고하면주어진정육각형 은한변의길이가r cm인정삼각형6개로이루어져있다.

(정육각형의 넓이)=6_{ _r¤ }=96'3이므로

r¤ =96'3, r¤ =64 ∴r=8 (∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 8 cm이다.

3'32

'34

03-

AP”를 그으면

△ABC=△ABP+△ACP 이므로

_(6'3 )¤

=;2!;_6'3_PQ”+;2!;_6'3_PR”

27'3=3'3(PQ”+PR”) ∴ PQ”+PR”=9(cm) '34

A

B P C

Q R

cm 6 3

03-

AO”의 연장선과 BC”가 만나는 점 을 D라고 하면 점 O는 △ABC 의 무게중심이므로

AD”=;2#;AO”=;2#;_12=18(cm)

△ABC의 한 변의 길이를x cm라고 하면 x=18 ∴x=12'3

∴ △ABC='3_(12'3 )¤ =108'3(cm¤ ) 4

'32

A

B D C

O12###cm

03-

△ABC에서 AD”= _16=8'3(cm)

△ADE에서 AF”= _8'3=12(cm)

△AFG에서 AH”= _12=6'3(cm) 이때 AI”=AH”=6'3 cm이므로 =6'3=;4#;

8'3 AI”

AD”

'32 '32 '32

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40 수학 ➌

04-

BH”=;2!;BC”=;2!;_6=3(cm)이므로 △ABH에서 AH”="√7¤ -3¤ =2'∂10(cm)

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

BH”=;2!;BC”=;2!;_6

BH”=3(cm)

△ABH에서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)

∴ △ABC=;2!;_6_4=12(cm¤ )

A

B H C

6###cm 5###cm 5###cm

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

△ABC=;2!;_8_AH”

△ABC=8'5

∴ AH”=2'5(cm)

이때BH”=;2!;BC”=;2!;_8=4(cm)이므로△ABH에서 AB”="√4¤ +(2'5)¤ =6(cm)

A

B H C

8###cm

05-

BH”=x라고 하면 CH”=7-x

△ABH에서 AH”¤ =('∂29 )¤ -x¤ yy ㉠

△AHC에서 AH”¤ =6¤ -(7-x)¤ yy ㉡

㉠, ㉡에서('∂29 )¤ -x¤ =6¤ -(7-x)¤

14x=42 ∴x=3

∴ AH”="√('∂29 )¤ -3¤ =2'5

05-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하고 BH”=x cm라고 하면 CH”=(8-x) cm

△ABH에서 AH”¤ =5¤ -x¤ yy ㉠

△AHC에서 AH”¤ =('∂41)¤ -(8-x)¤ yy ㉡

㉠, ㉡에서5¤ -x¤ =('∂41)¤ -(8-x)¤

16x=48 ∴x=3

따라서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)이므로

△ABC=;2!;_8_4=16(cm¤ )

A

B H C

cm 5###cm 41

8###cm

06-

두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내 린 수선의 발을 각각 E, F라 고 하면 EF”=AD”=4 cm

△ABE에서

AB” : AE”=2 : '3이므로

6 : AE”=2 : '3, 2AE”=6'3 ∴ AE”=3'3(cm) AB” : BE”=2：1이므로 6 : BE”=2：1

2BE”=6 ∴ BE”=3(cm) 이때 CF”=BE”=3 cm이므로

BC”=BE”+EF”+FC”=3+4+3=10(cm)

∴ ABCD=;2!;_(4+10)_3'3=21'3(cm¤ ) 60˘E F

B C

A 4###cm D 6###cm

06-

꼭짓점 A에서 BC”의 연장선 에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ACH에서

AC”” : AH”=2 : '3이므로

4 : AH”=2 : '3, 2AH”=4'3 ∴ AH”=2'3

∴ △ABC=;2!;_5_2'3=5'3

120˘ 60˘

A

B 5 C H

4

06 -

정팔각형의 한 외각의 크기는

=45˘이므로 네 귀퉁이의 삼각형은 직각이등변삼각형이다.

AB” : BC”=1 : '2이므로

AB” : 4'2=1 : '2, '2 AB”=4'2 ∴ AB”=4(cm) 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는

2_4+4'2=4(2+'2 )(cm) 360˘

8

A B

C4 2cm

07-

^AB”="√{3-(-1)√}¤ +(4-2)¤ =2'5 BC”="√(-3-3)√¤ +(1-4)¤ =3'5

∴ AB”+BC”=2'5+3'5=5'5

07-

AB”="√(3-√a)¤ √+(√-2√-1)¤ ='∂58이므로 a¤ -6a-40=0, (a+4)(a-10)=0

∴a=-4 또는 a=10

이때 점 A는 제1사분면 위의 점이므로 a>0

∴a=10

07-

y=2x¤ -8x+13=2(x-2)¤ +5의 그래프의 꼭짓점 의 좌표는 (2, 5)

따라서 꼭짓점과 원점 사이의 거리는"√2¤ +5¤ ='∂29

07-

x축 위의 점의 좌표를 P(a, 0)이라고 하면 AP”=BP”

이므로"√(a-2)¤ +(0-1)¤ ="√(a-4)¤ +(0-5)¤

4a=36 ∴a=9

따라서 구하는 점의 좌표는(9, 0)

07-

AB”="√{2-(-1)}¤ +(1-√0)¤ ='∂10 BC”="√(3-2)¤ +(-2-1)¤ ='∂10 CA”="√(-1-3)¤ +{0-(√-2)}¤ =2'5

AB”=BC”이고 CA”¤ =AB”¤ +BC”¤ 이므로 △ABC는

∠B=90˘인 직각이등변삼각형이다.

∴ △ABC=;2!;_'∂10_'∂10=5

06-

12 : x=2 : 1이므로 2x=12 ∴x=6 12 : y=2 : '3이므로 2y=12'3 ∴y=6'3 z : 6'3=1 : '2이므로 '2z=6'3 ∴z=3'6

06-

△ABC에서 AB” : BC”=1 :'3이므로 '2 : BC”=1 : '3 ∴ BC”='6

△DBC에서 BC”：BD”=1：'2이므로 '6 : BD”=1 : '2 ∴ BD”=2'3

06-

△ABC에서 AB” : AC”=2 : 1이므로 6：AC”=2 : 1, 2AC”=6 ∴ AC”=3(cm)

∠BAD=∠DAC이고 ∠BAC=60˘이므로

∠DAC=30˘

따라서 △ADC에서 AC”：AD”='3 : 2이므로 3 : AD”='3 : 2, '3 AD”=6 ∴ AD”=2'3(cm)

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정답과 해설 41

08 -

점 D와 AB”에 대하여 대칭인 점 을 D'이라고 하면 DP”=D'P”이 므로

CP”+DP”=CP”+D'P”æCD'””

CP”+DP”=

"√(6+8)¤ +16¤ =2'∂113 P

C D

D'

A B

6 8

16

08 -

점 B와 강가에 대하여 대 칭인 점을 B'이라고 하면 AB'”의 길이가 구하는 최 단 거리가 된다.

∴ AB'”="√(8+7)¤ +20¤ =25(km)

A B

B'

8###km 7###km

20###km

│16~19^쪽│

01-

①

01-

_{2'2 cm}

01-

96 cm‹

01-

_{'1å4å5 cm}

01-

2'1å1 cm

01-

cm

02-

_{2'2 cm‹}

02-

12 cm

02-

_8'2

02-

_{98'6 cm¤}

02-

_'2

02-

cm

02-

24 cm¤

03-

_{'3 cm‹}

03-

03-

144'2 cm‹

03-

5'2 cm

04-

cm‹

04-

cm‹

04-

cm¤

04-

_{3'∂11 cm¤}

05-

320p cm‹

05-

2'1å5 cm

05-

81p cm‹

05-

648p cm‹

05-

24p

06-

10 cm

06-

5'1å7 cm

06-

5p

06-

16'2 cm

06-

6'5 cm

06-

3'7 cm

9'∂14 2

32'23 9'22

16'23 4'33

15'22

3. 입체도형에서의 활용

01-

①'∂69 ②'∂33 ③'∂38 ④ 7 ⑤ 3'6

01 -

밑면의 한 변의 길이를a cm라고 하면

"√a¤ +a¤ +4¤ =4'2이므로 2a¤ +16=32 a¤ =8 ∴a=2'2 (∵ a>0)

따라서 밑면의 한 변의 길이는 2'2 cm이다.

01-

직육면체의 세 모서리의 길이를 각각a cm, 3a cm, 4a cm(a>0)라고 하면 "√a¤ +(3a)¤ +(4a)¤ =2'∂26 '∂26a=2'∂26 ∴a=2

따라서 세 모서리의 길이가 각각 2 cm, 6 cm, 8 cm이 므로 이 직육면체의 부피는 2_6_8=96(cm‹ )

01 -

EG”=4'2 cm이므로

EO”=;2!; EG”=;2!;_4'2=2'2(cm)

따라서 △AEO에서 AO”=øπ6¤ +(2'2)¤ =2'1å1(cm)

△AMC에서 A’M’”="√(2'∂34 )¤ +3¤ ='1å4å5(cm)

01-

EG”="√9¤ +12¤ =15(cm) AG”="√12¤ +9¤ +15¤ =15'2(cm)

△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로 15_15=15'2_EI” ∴ EI”=15'2(cm)

2

02-

정육면체의 한 모서리의 길이를a cm라고 하면 '3a='6 ∴a='2

∴ (부피)=('2)‹ =2'2(cm‹ )

02-

구에 내접하는 정육면체의 대각선의 길이는 구의 지름 의 길이와 같다.

정육면체의 한 모서리의 길이를a cm라고 하면 '3a=12'3 ∴a=12

따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 12 cm이다.

02-

정육면체의 한 모서리의 길이를a라고 하면 '3a=4'3 ∴a=4

이때 EG”=4'2이므로 △AEG=;2!;_4'2_4=8'2

02-

BM”=MH”=HN”=NB”이므로 BMHN은 마름모 이다. BH”=14'3 cm, MN”=AC”=14'2 cm이므로

BMHN=;2!;_14'3_14'2=98'6(cm¤ )

02-

정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 '3a=3 ∴a='3

이때 AC”='2a='2_'3='6이고 △AGC에서 AC”_CG”=AG”_CI”이므로

'6_'3=3_C’I’ ∴ C’I’='2

02-

(삼각뿔 A-BFC의 부피)=;3!;_{;2!;_4_4}_4

(삼각뿔 A-BFC의 부피)

=:£3™:(cm‹ )

한편, △AFC는 AF”=FC”=CA”=4'2 cm인 정삼각 형이므로 △AFC= _(4'2)¤ =8'3(cm¤ )

∴ (삼각뿔 B-AFC의 부피)=;3!;_8'3_BI”

∴ (삼각뿔 B-AFC의 부피)

= BI”(cm‹ ) 따라서 BI”=:£3™:이므로 BI”=4'3(cm)

8'3 3 3

8'33 '34

02 -

BM”=BN”="√8¤ +4¤ =4'5(cm) MN”="√4¤ +4¤ =4'2(cm) 점 B에서 MN”에 내린 수선의 발을 I라고 하면

MI”=;2!;MN”

MI”

=;2!;_4'2=2'2(cm) ^{M I N} B

4 2cm 4 5cm 4 5cm

01-

AC”="√10¤ +6¤ =2'∂34(cm)

이때 CM”=;2!;CG”=;2!;_6=3(cm)이므로

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42 수학 ➌

03-

(부피)='2_('6)‹ ='3(cm‹ ) 12

△BMI에서 BI”="√(4'5 )¤ -√(2'2 )¤ =6'2(cm)

∴ △BMN=;2!;_4'2_6'2=24(cm¤ )

두 점 P, Q에서 AB”에 내 린 수선의 발을 각각 R, S 라고 하면

AR”=BS”=1 cm이므로

△PAR에서

PR”="√(2'3 )¤ -1¤ ='∂11(cm)

∴ PABQ=;2!;_(2+4)_'∂11=3'∂11(cm¤ )

A B

Q P

S R4###cm

2###cm

2 3cm 2 3cm

03-

^D’M”= _8=4'3이므로 M’H”=;3!;DM”=;3!;_4'3=

이때 AH”= _8= 이므로

△AMH=;2!;_ _ =16'2 8'6 3 4'3 3

3 8'63 '63

4'33 '32

03 -

DM”=;2#;DH”=;2#;_4'3=6'3(cm) 정사면체의 한 모서리의 길이를a cm라고 하면

a=6'3 ∴a=12

∴ (부피)='2_12‹ =144'2(cm‹ ) 12

'32

03-

AM”, DM”을 그으면 AM”, DM”은 각각 두 정삼각형 ABC, BCD의 높이이므로 AM”=DM”

MA”=

_10=5'3(cm)

이때 △AMD는 이등변삼각형이므로 MN”⊥AD”

따라서 △AMN에서 MN”="√(5'3 )¤ -5¤ =5'2(cm) '32

A

M N

C

B D

10###cm

04-

주어진 전개도로 만들어지는 정 사각뿔은 오른쪽 그림과 같다.

BD”=3'2 cm이므로 BH”=;2!;BD”

BH”

=;2!;_3'2= (cm)

△OBH에서 OH”=æ3¤ –-{ }2 = (cm)이므로

(부피)=;3!;_3¤ _ =9'2(cm‹ ) 3'2 2

2

3'22 3'22 3'22

B C

D O

3###cm 3###cm

A H

3###cm

04-

△OHM에서 OH”=ø(π2'3)¤ -2¤ =2'2(cm)

∴ (부피)=;3!;_4¤ _2'2=32'2(cm‹ ) 3

04-

AC”=6'2 cm이므로

AH”=;2!;AC”=;2!;_6'2=3'2(cm)

△OAH에서 OH”=øπ9¤ -(3'2)¤ =3'7(cm)이므로

△OAH=;2!;_3'2_3'7=9'∂14(cm¤ ) 2

04-

^AP”=BQ”= _4=2'3(cm) PQ”=;2!;CD”=;2!;_4=2(cm)

'32

05-

원뿔의 높이는

"1√7¤ -8¤ =15(cm)이므로 (부피)=;3!;_(p_8¤ )_15

(부피)=320p(cm‹ )

^8###cm 17###cm

05-

밑면의 반지름의 길이를r cm라고 하면 2p_8_;3ª6º0;=2pr ∴r=2 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같으므로

(높이)="√8¤ -2¤ =2'1å5(cm)

2###cm 8###cm

05 -

△AOB에서 AB” : OB”=2 : 1이므로 6'3 : OB”=2 : 1, 2OB”=6'3

∴ OB”=3'3(cm)

AB” : AO”=2 : '3이므로 6'3 : AO”=2 : '3 2AO”=18 ∴ AO”=9(cm)

∴ (부피)=;3!;_{p_(3'3 )¤ }_9=81p(cm‹ )

05-

△OBH에서 OH”="√12¤ -(6'3 )¤ =6(cm)이므로 AH”=AO”+OH”=12+6=18(cm)

∴ (부피)=;3!;_{p_(6'3 )¤ }_18=648p(cm‹ )

05-

회전체는 오른쪽 그림과 같다.

AC”="√5¤ -3¤ =4이므로 (입체도형의 부피)

=p_3¤ _4-;3!;_(p_3¤ )_4

=24p

A

B C

5

3

06-

오른쪽 그림의 전개도에서 최단 거리는 DC”의 길이와 같으므로 DC”="√(2+4)¤ +8¤ =10(cm)

A B C

D E4###cmF 2###cm

8###cm

06-

위의 그림의 전개도에서 최단 거리는 FG”'”의 길이와 같 으므로 FG”'”="√(5_4)¤ +5¤ =5'1å7(cm)

H

C D

A

B E

F F'

G G'

5###cm 5###cm 5###cm 5###cm 5###cm

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정답과 해설 43

06-

밑면의 둘레의 길이는 2p_2=4p 오른쪽그림의 전개도에서 최단 거리는 BA'”의 길이와 같으므로 BA'”="(√4p)¤ +(3p)¤ =5p

A

B

A'

B' 3p

4p

06-

오른쪽 그림의 원뿔의 전개도 에서 부채꼴의 중심각의 크기 를x˘라고 하면

2p_16_ =2p_4

∴x=90

따라서 구하는 최단 거리는 AA'”의 길이와 같으므로 AA'”="√16¤ +16¤ =16'2(cm)

360x

x˘

A A'

O

4###cm 16###cm

06-

오른쪽 그림의 원뿔의 전개도 에서 부채꼴의 중심각의 크기 를x˘라고 하면

2p_12_;36{0;=2p_3

∴x=90

따라서 구하는 최단 거리는 AM”의 길이와 같으므로 AM”="√12¤ +6¤ =6'5(cm)

x˘ M

A A'

O

3###cm 12###cm 6###cm

06-

오른쪽 그림의 전개도에서

∠BCA=60˘, ∠ACM=30˘

△ACD에서

CM”= _6=3'3(cm)

따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길이와 같으므로

△BCM에서 BM”="√6¤ +(3'3 )¤ =3'7(cm) '32

60˘ 30˘

A M

C

B D

6###cm

│20~22^쪽│

01

④

02

④

03

②

04

③, ⑤

05

④

06

③

07

①

08

⑤

09

③ 10④ 11 ② 12 ③

13 ^{3 cm} 145'∂10, 2'∂22 15 2'6 16 18p cm¤

17 '6 cm 187'2 1981'2 cm¤

2010'2 cm

│서술형 문제│

01

△ABD에서 AD”="√3¤ +4¤ =5(cm) DC”=AD”=5 cm이므로 BC”=4+5=9(cm) 따라서 △ABC에서 AC”="√3¤ +9¤ =3'∂10(cm)

02

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

HC”=AD”=9 cm이므로 BH”=12-9=3(cm)

△ABH에서 AH”="√9¤ -3¤ =6'2(cm) 따라서 DC”=AH”=6'2 cm이므로 △BCD에서 BD”="√12¤ +(6'2 )¤ =6'6(cm)

A

B H C

9###cm D 9###cm

12###cm

03

^△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동)이므 로 EFGH는 정사각형이다. AH”=23-8=15(cm)이 므로 △AEH에서 EH”="√8¤ +15¤ =17(cm)

∴ EFGH=17¤ =289(cm¤ )

04

③ 7¤ <5¤ +6¤ 이므로 예각삼각형이다.

⑤ 8¤ <7¤ +7¤ 이므로 예각삼각형이다.

05

△ABC에서 AB”="√(6'2 )¤ -(4'2 )¤ =2'∂10(cm) 이때 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로

;2!;_2'∂10_4'2=8'5(cm¤ )

06

AC”="√12¤ +5¤ =13(cm)

△ABC에서 AB”_BC”=AC”_BH”이므로 5_12=13_BH” ∴ BH”=;1^3);(cm)

08

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면

△ABC=;2!;_10_AH”=20'6

∴ AH”=4'6(cm)

이때 BH”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm)이므로△ABH에서 AB”="√5¤ +(4'6 )¤ =11(cm)

A

B H C

10###cm

09

AB”="√(4-x)¤ +√(2-3)¤ ='∂26이므로 x¤ -8x-9=0, (x+1)(x-9)=0

∴x=-1 또는 x=9

이때 점 A는 제2사분면 위의 점이므로 x<0 ∴ x=-1

07

△ABC에서 AD”= _24=12'3(cm)

△ADE에서 AF”= _12'3=18(cm)

∴ △AFG='3_18¤ =81'3(cm¤ ) 4

'32 '32

10

AM”=MG”=GN”=NA”이므로 AMGN은마름모이다.

AG”='3_2'6=6'2(cm),

MN”=BD”='2_2'6=4'3(cm)이므로 AMGN=;2!;_6'2_4'3=12'6(cm¤ )

11

BD”=10'2 cm이므로 BH””=;2!;_10'2=5'2(cm)

△OBH에서 OH”="√8¤ -√(5'2 )¤ ='∂14(cm)

∴ (부피)=;3!;_10¤ _'∂14=100'∂14(cm‹ ) 3

12

밑면의 둘레의 길이는 2p_5=10p(cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 최

단 거리는 AB'”의 길이와 같 으므로

AB'”="√(5p)¤ +(10p)¤

=5'5p(cm)

A A'

B B' 5p###cm

10p###cm

│서술형 문제│

13

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를a cm라고 하면 BE”=BD”="√a¤ +a¤ ='2a(cm)

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44 수학 ➌

20

밑면의 반지름의 길이를r cm라고 하면

2p_15_;3!6@0);=2pr ∴r=5 ^{…… 60%}

주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이는

"√15¤ -5¤ =10'2(cm) ^…… 40%

5###cm 15###cm BG”=BF”="√('2a)¤ +a¤ ='3a(cm) …… 50%

이때 BG”=3'3 cm이므로 '3a=3'3 ∴a=3 따라서 구하는 한 변의 길이는 3 cm이다. ……50%

14

⁄`가장 긴 변의 길이가 x cm일 때 9¤ +13¤ =x¤ 이므로 x¤ =250

∴x=5'∂10 (∵ x>0) ^…… 45%

¤`가장 긴 변의 길이가 13 cm일 때 9¤ +x¤ =13¤ 이므로 x¤ =88

∴x=2'∂22 (∵ x>0) ^…… 45%

⁄, ¤에 의하여 x의 값은 5'∂10, 2'∂22이다. ^…… 10%

15

AH”=3k, CH”=k(k>0)라고 하면 △ABC에서 BH”¤ =AH”_CH”이므로 (3'2 )¤ =3k_k

k¤ =6 ∴k='6 (∵ k>0) ^…… 50%

∴ CH”='6 ^…… 10%

△BCH에서 BC”="√(3'2 )¤ +('6 )¤ =2'6 ^…… 40%

16

정사각형의 한 변의 길이를x cm라고 하면

'2x=12 ∴x=6'2 ^……50%

따라서 원의 지름의 길이가 6'2 cm이므로 구하는 원의 넓 이는p_(3'2 )¤ =18p(cm¤ ) ^…… 50%

17

△ABC에서 AB” : BC”=1 :'2이므로

3 : BC”=1 : '2 ∴ BC”=3'2(cm) ^…… 50%

△BCD에서 BC” : CD”='3 : 1이므로 3'2 : CD”='3 : 1, '3 CD”=3'2

∴ CD”='6(cm) ^…… 50%

18

오른쪽 그림과 같이 점 A와x축 에 대하여 대칭인 점을 A'이라 고 하면 A'(-2, -3)……40%

AP”=A'P”이므로 AP”+BP”=A'P”+BP”

AP”+BP”

æA'B”

AP”+BP”=

"√{5-√(-2√)}¤ +√{4-√(-3)}¤ =7'2 ^…… 50%

따라서 AP”+BP”의 최솟값은 7'2이다. ^……10%

x y

O A

A' 3

-3

4 B

P 5

-2

19

꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발을 H라고 하면

DM”= _18=9'3(cm)

……40%

AH”= _18=6'6(cm) ^…… 40%

∴ △AMD=;2!;_9'3_6'6=81'2(cm¤ ) ^…… 20%

'63 '32

M HC

B D

A 18###cm

│23~26^쪽│

01-

㉠, ㉢, ㉤

01- 01-

01-

'2

02-

20

02- 03-

03- 03-

;3$;

04-

04-

;5#;

04-

②, ③

05-

⑤

05-

05-

0

06-

20˘

06-

;4!;

06-

30˘

07-

7('3+1)

07-

07-

_3'2+'6

07-

_'2-1

08-

②

08-

1.81

09-

㉡, ㉤

09-

⑤

09-

0

10- ③ 10- ㉠, ㉥, ㉣, ㉡, ㉤, ㉢ 11- 1.9887

11- 34˘ 11- 2.3116

8'6 3

5'2 2 '3+1

2 2'6

7

'5 6 '3

3

'5 5 '∂29

6

1. 삼각비

VII ^{. 삼각비}

01-

AC”="√4¤ +3¤ =5

㉡ cosA=;5$; ㉣ sin C=;5$; ㉥ tanC=;3$;

01 -

△BCD에서 BC”="√8¤ -6¤ =2'7

△ABC에서 AC”="√12¤ -(2'7)¤ =2'∂29

∴ cosA=2'∂29= '∂296 12

01 -

2x-y+4=0에 y=0, x=0을 각각 대입하면 A(-2, 0), B(0, 4)

직각삼각형 AOB에서 AO”=2, BO”=4이므로 AB”="√2¤ +4¤ =2'5 ∴ cosa= 2 = '55

2'5

01 -

정삼각형 BCD에서 BM”= _12=6'3 AH”= _12=4'6

BH”=;3@;BM”=;3@;_6'3=4'3

따라서 △ABH에서 tanx=4'6='2 4'3 '63

'32

02-

tan B= =;3$;에서 AC”=16

∴ AB”="√12¤ +16¤ =20 AC”

12

02-

cos C= = 에서 AC”=3'2 AB”="√(3'2)¤ -('6)¤ =2'3이므로 cos A_tanA= _ '6 = '33

2'3 2'3 3'2 '33 '6 AC”

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정답과 해설 45

03-

cos A=;3@;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서

BC”="√3¤ -2¤ ='5

∴ tanA-sin A= -

∴ tan

A-sin A= '56 '53 '52

C

A 2 B

3

03-

7 sin A-5=0에서 sin A=;7%;

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC 에서 AB”="√7¤ -5¤ =2'6

∴ cosA=2'6

7 _{A B}

C

7 5

03-

tan A=3이므로 오른쪽 그림과 같은 직각 삼각형 ABC에서 AC”="√1¤ +3¤ ='1å0

∴

∴

={ + }÷

∴

= ÷ 3 =;3$;

'∂10 4 '∂10

3 '∂10 1

'∂10 3 '∂10 sin A+cos A

sin A

A B

C

3

1

04-

① sinB= = ④ cosC= =

⑤ tanC= =AH”

CH”

AB”

AC”

CH”

AC”

AC”

BC”

AH”

AB”

AC”

BC”

05-

(주어진 식)=2_ +'3_'3_ =5'2 '2 2 '2 2

2

05-

(주어진 식)={ + }÷ -{1+;2!;}÷;2!;

(주어진 식)=3-3=0

'33 '32 '32

06 -

sin 60˘= 이므로 2x+20˘=60˘

2x=40˘ ∴ x=20˘

'32

06-

tan 30˘= 이므로A=30˘

∴ sinA_cos(90˘-A)=sin30˘_cos60˘

∴ sin

A_cos(90˘-A)=;2!;_;2!;=;4!;

'33

04-

△ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠C=x

△ABC에서 BC”=øπ(6'3)¤ +6¤ =12

∴ sinx+cos x=sin C+cos C

∴ sin

x+cos x=6'3+;1§2;= '3+12 12

04-

△ABDª△HAD(AA 닮음)이므로 ∠ABD=x

△ABD에서 BD”="√6¤ +8¤ =10

∴ cosx=cos(∠ABD)=;1§0;=;5#

06-

4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0 ∴x=;2!;`(중근) 즉, sinA=;2!;이므로 ∠A=30˘

07-

sin 30˘= =;2!;이므로 BC”=7 cos 30˘= = 이므로 AB”=7'3

∴ AB”+BC”=7'3+7=7('3+1) '32

AB”

14 BC”

14

07-

△DBC에서 sin 45˘= = ∴ BC”=4'2

△ABC에서 sin 60˘= = ∴ AC”=8'6 '3 3

4'2 2 AC”

'22 BC”

8

07-

△ABH에서 sin 45˘= = ∴ BH”=3'2 cos 45˘= = ∴ AH”=3'2

△AHC에서 tan 30˘= = ∴ CH”='6

∴ BC”=BH”+CH”=3'2+'6 '33 CH”

3'2 '22 AH”

6

'22 BH”

6

08-

cos 49˘= = =OB”=0.66

tan 49˘= = =CD”=1.15

∴ cos 49˘+tan 49˘=0.66+1.15=1.81 CD”

1 CD”

OD”

OB”

1 OB”

OA”

10-

㉠ sin 45˘= ㉡ sin 90˘=1

㉢, ㉤ 1<tan 50˘<tan 70˘

㉣, ㉥ <cos 35˘<cos 15˘<1

따라서 sin 45˘<cos 35˘<cos 15˘<sin 90˘<tan 50˘

<tan 70˘이므로 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉠, ㉥,

㉣, ㉡, ㉤, ㉢이다.

'22 '22

07 -

△ABD가 이등변삼각형이고 ∠DBA+∠DAB=45˘

이므로 ∠DBA=∠DAB=22.5˘

△ADC에서 AC”=x라고 하면 sin 45˘= = ∴ AD”='2x tan 45˘= =1 ∴ CD”=x

따라서 BD”=AD”='2x이므로 △ABC에서

tan 22.5˘= = = 1 ='2-1

x '2+1 ('2+1)x AC”

BC”

x CD”

'22 x AD”

08-

BC”∥DE”이므로 ∠ACB=x

∴ cosx=cos (∠ACB)= =BC”=BC”

1 BC”

AC”

09 -

⑤ tan 90˘의 값은 정할 수 없다.

09-

(주어진 식)=1_(0-1)+1=0

10-

45˘<A<90˘일 때, cos A<sin A<1, tan A>1

∴ cosA<sin A<tan A

11-

sin 33˘+cos 35˘+tan 32˘

=0.5446+0.8192+0.6249=1.9887

11-

OD”=1이므로 OB”=1-0.4408=0.5592

이때 OB”=cosx이고 cos 56˘=0.5592이므로 x=56˘

AB”=sin 56˘=0.8290, CD”=tan 56˘=1.4826

∴ AB”+CD”=0.8290+1.4826=2.3116

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46 수학 ➌

│27~29^쪽│

01 -

10.598

01 -

②, ⑤

01 -

5.96 m

01 -

_{9('3+1) m}

01 -

_{10('3-1) m}

02 -

5 cm

02 -

_{20'1å3 m}

03 -

_{40'6 m}

03 -

8 cm

04 -

①

04 -

_{25('3-1) m}

05 -

_10'3

05 -

9(3+'3 ) cm¤

06 -

_{10'2 cm¤}

06 -

8 cm

06 -

(24'3+9'7) cm¤

07 -

_{4'3 cm¤}

07 -

54 cm¤

07 -

_{14'3 cm¤}

08 -

_{12'3 cm¤}

08 -

4 cm

08-

cm¤

09-

27'3 cm¤

09-

120˘

15'22

2. 삼각비의 활용

01 -

a=c cos 47˘= , b=c sin 47˘=a tan 47˘

c= = a

cos 47˘

sin 47˘b

tan 47˘b

01-

AC”=20sin 32˘=20_0.5299=10.598

01 -

△ABC에서 AC”=8 sin 35˘=8_0.57=4.56(m)

∴ (지면에서 연까지의 높이)=AH”=AC”+CH”

=4.56+1.4=5.96(m)

01 -

CH”=9 m이므로 △ACH에서 AH”= =9(m)

△AHB에서 BH”=AH” tan 60˘=9_'3=9'3(m)

∴ (건물 Q의 높이)=BC”=BH”+CH”

=9'3+9=9('3+1)(m) tan 45˘9

01 -

처음 배의 위치를 C, 1분 후 의 배의 위치를 D라고 하면 오른쪽 그림에서

∠CAB=60˘이므로

BC”=10 tan 60˘=10_'3=10'3(m) 또, ∠DAB=45˘이므로

BD”=10 tan 45˘=10_1=10(m)

∴ CD”=BC”-BD”=10'3-10=10('3-1)(m) 따라서 1분 동안 이 배가 이동한 거리는 10('3-1) m 이다.

45˘

30˘ A

C D B

10###m

02-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

△ABH에서 AH”=4'2 sin 45˘

AH”

=4'2_ =4(cm)

BH”=4'2 cos 45˘=4'2_ =4(cm)

CH”=BC”-BH”=7-4=3(cm)이므로 △AHC에서 AC”="√4¤ +3¤ =5(cm)

'22 '22

45˘

A

B H C

7###cm cm 4 2

02-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ACH 에서

AH”=60 sin 60˘

AH”=60_

=30'3(m) CH”=60 cos 60˘=60_;2!;=30(m) BH”=BC”-CH”=80-30=50(m)이므로

△AHB에서 AB”=øπ(30'3)¤ +50¤ =20'1å3(m) '32

60˘

A B

H C

80###m 60###m

03 -

∠A=180˘-(45˘+75˘)=60˘

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △BCH에서 CH”=120 sin 45˘

CH”=120_

=60'2(m) 따라서 △AHC에서

AC”= =60'2_ 2 =40'6(m) '3

sin 60˘60'2 '22

45˘ 75˘

A H

B 120###m C

03-

∠A=180˘-(30˘+105˘)=45˘

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

△AHC에서 CH”=4'2 sin 45˘

CH”

=4'2_ =4(cm)

따라서 △BCH에서 BC”= 4 =4_2=8(cm) sin 30˘

'22

30˘ 105˘

A

B

H

C 4 2cm

04-

∠ACH=50˘이므로 AH”=h tan 50˘(m)

∠BCH=35˘이므로 BH”=h tan 35˘(m)

AB”=AH”+BH”이므로 100=h tan 50˘+h tan 35˘

(tan 50˘+tan 35˘)h=100

∴h= 100 tan 50˘+tan 35˘

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하고 AH”=h m라고 하면

∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h(m)

∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h(m) BC”=BH”+CH”이므로 50='3h+h, ('3+1)h=50

∴h= =25('3-1)

따라서 육지에서 섬의 A 지점까지 가장 짧은 거리는 25('3-1) m이다.

50 '3+1

50###mH45˘

30˘

A

B C

05 -

CD”=h라고 하면 ∠ACD=60˘이므로 AD”=h tan 60˘='3h

∠BCD=30˘이므로 BD”=h tan 30˘='3h 3

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정답과 해설 47 AB”=AD”-BD”이므로 20='3h- h

h=20 ∴ h=10'3 2'33

'33

05-

AH”=h cm라고 하면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan45˘=h(cm)

∠CAH=30˘이므로 CH”=htan30˘= h(cm) BC”=BH”-CH”이므로 6=h- h

{1- }h=6 ∴ h= =3(3+'3)

∴ △ABC=;2!;_6_3(3+'3 )=9(3+'3 )(cm¤ ) 18

3-'3 '33

'33 '33

06 -

△ABC=;2!;_5_8_sin 45˘

△ABC

=;2!;_5_8_'2=10'2(cm¤ ) 2

06-

;2!;_AB”_10_sin 30˘=20이므로

;2!;_AB”_10_;2!;=20, ;2%;AB”=20

∴ AB”=8(cm)

06-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

AH”=8 sin 60˘

AH”=8_

=4'3(cm) BH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4(cm)

CH”=BC”-BH”=12-4=8(cm)이므로△AHC에서 AC”="√(4'3)¤ +8¤ =4'7(cm)

∴ ABCD

∴

=△ABC+△ACD

∴

=;2!;_8_12_sin 60˘+;2!;_4'7_9_sin 30˘

∴

=;2!;_8_12_ +;2!;_4'7_9_;2!;

∴

=24'3+9'7(cm¤ ) '32 '32

60˘

30˘

A

B H C

D

12###cm 9###cm 8###cm

07-

AC”=12 sin 60˘=12_ =6'3(cm)

∠ACE=∠ACB+∠BCE=30˘+90˘=120˘이므로

△AEC=;2!;_6'3_12_sin (180˘-120˘)

△AEC

=;2!;_6'3_12_'3=54(cm¤ ) 2

'32

07-

∠A=∠B이므로 AC”=BC”=4 cm

∠C=180˘-2_30˘=120˘이므로

△ABC=;2!;_4_4_sin (180˘-120˘)

△ABC

=;2!;_4_4_'3=4'3(cm¤ ) 2

08-

△AMC=;2!;△ABC=;2!;_;2!; ABCD

△AMC=;4!; ABCD=;4!;_10_6_sin 45˘

△AMC=;4!;_10_6_

=15'2(cm¤ ) '2 2

2

09-

ABCD=;2!;_12_9_sin 60˘

ABCD

=;2!;_12_9_'3=27'3(cm¤ ) 2

07 -

ABCD

=△ABD+△BCD

=;2!;_4_2'3

_sin(180˘-150˘) +;2!;_8_6_sin 60˘

=;2!;_4_2'3_;2!;+;2!;_8_6_'3=14'3(cm¤ ) 2

B 60˘ C

A D

4###cm 6###cm

8###cm 2 3cm

150˘

08-

마름모 ABCD의 한 변의 길이를x cm라고 하면 ABCD=x_x_sin 60˘=8'3이므로

x¤ =8'3, x¤ =16 ∴x=4 (∵ x>0) 따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 4 cm이다.

'32

08-

ABCD=4_6_sin(180˘-120˘)

ABCD=4_6_

'3=12'3(cm¤ )

2

09-

두 대각선이 이루는 둔각의 크기를x라고 하면

;2!;_8_9_sin(180˘-x)=18'3 sin (180˘-x)=

이때 sin 60˘= 이므로 180˘-x=60˘ ∴x=120˘

'32 '32

│30~32^쪽│

01

⑤

02

⑤

03

③

04

④

05

①

06

④

07

③

08

④

09

⑤ 10② 11 ③ 12 ④

13 14 15 6 1613.112

17 2'7 cm 18 10('3+1) m 1921'3 cm¤

2012

'53 2'2+'∂17

5

│서술형 문제│

01

BC”="√3¤ -1¤ =2'2

① sinA= ② sinB=;3!;

③ cosA=;3!; ④ cos B=2'2 3 2'23

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48 수학 ➌

03

cos A=;1!3@;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 BC”="√13¤ -12¤ =5

∴ sinA_tan C=;1∞3;_:¡5™:=;1!3@;

A B

13 C

12

04

^{(주어진 식)= _} +;2!;_1- _'2=;2!;

'2 2 '3 2

'3 3 2

05

cos 60˘=;2!;이므로 sin 2x=;2!;

이때 sin 30˘=;2!;이므로 2x=30˘ ∴x=15˘

06

^{④ cos}y= =BC”=BC”

1 BC”

AC”

07

^{① cos 0˘=1} ② sin 20˘<1 ③ tan 55˘>1

④ cos 80˘<1 ⑤ sin 90˘=1

08

x=15 cos 42˘=15_0.74=11.1 y=15 sin 42˘=15_0.67=10.05

∴x+y=11.1+10.05=21.15

│서술형 문제│

09

∠C=180˘-(75˘+60˘)=45˘

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH”=8 sin 60˘=8_

”

=4'3 따라서 △AHC에서

AC”= =4'3_ 2 =4'6 '2 sin 45˘4'3

'32

H 60˘

75˘

A

B C

8

10

AH”=h라고 하면 ∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h

∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h BC”=BH”+CH”이므로6='3h+h, ('3+1)h=6

∴h= 6 =3('3-1) '3+1

11

;2!;_4_7_sin A=7'3이므로 sin A=

이때 sin 60˘='3이므로 ∠A=60˘

2

'32

12

ABCD=7_10_sin(180˘-135˘)

ABCD=7_10_

'2=35'2(cm¤ )

2

13

FH”="√5¤ +3¤ ='∂34, BH”="√5¤ +3¤ +4¤ =5'2 ^……40%

△BFH에서 ∠BFH=90˘이므로

sin x= = , cosx= = ……40%

∴ sinx+cos x=444444442'25 +44444444'∂175 =4444444444444444442'2+'∂175 ……20%

44444444'∂175 44444444'∂34

5'2 2'2

5 4 5'2

14

^△ABCª△DEC(AA 닮음)이므로

∠CDE=x ^……40%

△DCE에서 DE”="√9¤ -6¤ =3'5 ^……30%

∴ cosx=cos(∠CDE)= ='5 ……30%

3 3'59

15

△ADC에서 sin 45˘= =

∴ AD”=3 ……50%

△ABD에서 sin 30˘= =;2!;

∴ AB”=6 ……50%

44444444AB”3 444444'22 44444444AD”

3'2

16

^{cos 67˘= =0.3907이므로}

AB”=10_0.3907=3.907 ……40%

sin 67˘= =0.9205이므로

BC”=10_0.9205=9.205 ……40%

∴ AB”+BC”=3.907+9.205=13.112 ……20%

44444444BC”10 44444444AB”10

17

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 ∠B=60˘

이므로 △ABH에서 AH”=4 sin 60˘

AH”=4_

=2'3(cm)

BH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2(cm) ^……50%

CH”=BC”-BH”=6-2=4(cm)이므로 △AHC에서 AC”="√(2'3)¤ +4¤ =2'7(cm) ^……50%

444444'32

120˘

B H C

A D

6###cm 4###cm

18

CH”=h m라고 하면 ∠ACH=60˘이므로

AH”=h tan 60˘='3h(m) ^……30%

∠BCH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m) ^……30%

AB”=AH”-BH”이므로 20='3h-h, ('3-1)h=20

∴h= =10('3+1)

따라서 가로등의 높이는 10('3+1) m이다. ^……40%

4444444444420 '3-1

19

^ABCD

=△ABD+△BCD

……25%

=;2!;_6_10_sin 60˘

=

+;2!;_6_4_sin(180˘-120˘) ^……25%

=;2!;_6_10_ +;2!;_6_4_ ^…… 25%

=15'3+6'3=21'3(cm¤ ) ^……25%

444444'32 444444'32

60˘

120˘

A

B C

D 10###cm

4###cm 6###cm

6###cm

20

;2!;_15_x_sin 45˘=45'2이므로 ^……50%

;2!;_15_x_ =45'2

x=45'2 ∴ x=12 ^……50%

444444444415'24

444444'22

02

sin A= =;2!;에서 BC”=8(cm) AB”="√16¤ -8¤ =8'3(cm)이므로

△ABC=;2!;_8_8'3=32'3(cm¤ ) BC”

16

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