Lecture Note: Kinetics of Rigid Bodies Spatial Rigid Body Kinetics

Lecture Note: Kinetics of Rigid Bodies

Spatial Rigid Body Kinetics

평등은 이 세상에서 가장 자연스러우면서도 가장 가상적인 것이다.

평등이 권리에 국한될 때는 자연스럽고 재산과 권력의 균등화를 시도할 때는 부자연스럽다.

(볼테르 ‘철학사전’ 중에서)

강체의 공간 운동 시 운동방정식

질점계의 결과로부터 유도된 방정식을 사용하면

 ^{F   L }

^{3 개의 방정식}

 ^{M }

^G

^{ H }

^{G 3 개의 방정식}

각운동량, 관성모멘트, 그리고 관성적



 



































dm r

r r r

dm r r

v dm r

dm r v

r

dm v r H

G G P G

)]

( ) [(

) (

) (









































 

*

a



b



c



a



c



b



a



b



c

 참조 )

( ) ( )

(

    



강체에 고정된 좌표계를 사용하여 임의 질점의 질량중심점에 대한 위치와 강체의 각속도를 표시하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

r   x a ˆ

₁

 y a ˆ

₂

 z a ˆ

₃

,

   

₁

a ˆ

₁

 

₂

a ˆ

₂

 

₃

a ˆ

₃

이를 위 식에 대입하여 정리하면, 다음과 같이 정리될 수 있다.

H

^G

 H

₁

a

ˆ₁

 H

₂

a

ˆ₂

 H

₃

a

ˆ₃

여기서,

H

₁

 I

₁₁



₁

 I

₁₂



₂

 I

₁₃



₃

H

₂

 I

₂₁



₁

 I

₂₂



₂

 I

₂₃



₃ --- (1)

H

₃

 I

₃₁



₁

 I

₃₂



₂

 I

₃₃



₃

여기서

^I

¹¹

^ 

^{

^y

²

^{ z}

²⁾

^dm

^I

¹²

^{ }  ^{x y d m I}

¹³

^{ }  ^xzdm

^I

²¹

^{ }  ^yxdm

^I

²²

^ 

^{

^z

²

^{ x}

²⁾

^{dm I}

²³

^{ }  ^yzdm

--- (2)

^I

³¹

^{ }  ^zxdm

^I

³²

^{ }  ^{zydm I}

³³

^ 

^{

^x

²

^{ y}

²⁾

^dm

A

(1) 식을 행렬식으로 표시하면,

  ^H    ^I   ^

여기서

 

 

 



 

 





3 2 1

H H H

H  

 

 



 

 





3 2 1







  

 







 









33 32 31

23 22 21

13 12 11

I I I

I I I

I I I I

위 식 중에 마지막 행렬을 관성 행렬이라 부르며 관성 행렬의 대각 요소들을 관성모멘트라 부르고 비 대각 요소들을 관성적이라 (product of inertia) 부른다. 앞쪽의 (2)식이 보여주듯이 관성모멘트나 관성적의 값들은 좌표계 선정에 따라 값이 달라지게 된다. 만일 좌표계를 잘 선정하여 관성 행렬의 비 대각 요소들을 (즉 관성적의 값들을) 모두 0 으로 만들 수 있다면, 그 때 좌표계 방향 (ˆb₁^, ˆb₂^, ˆb₃)을 주관성축 방향이라 부르고 그에 상당하는 관성모멘트를 주 관성모멘트라 부른다. 즉,

 

 







 









3 2 1

*

0 0

0 0

0 0

I I I I

따라서, 이 때

 

¹2 ¹2 3 3

I

H I

I







 

 

  

 

 

또는

H

^G

 I

₁



_{1 1}

b

ˆ

 I

₂



_{2 2}

b

ˆ

 I

₃



_{3 3}

b

ˆ

  

_{1 1}

b

ˆ

 

_{2 2}

b

ˆ

 

_{3 3}

b

ˆ

각운동량 벡터를 절대 기준틀에 대해 미분 한다면,

^N

^d   ^H

^{G B}

^d   ^H

^G

^H

^G

dt  dt   

정리하면 (

H 

^G

 M 

^G에서)

I

₁



₁

 ( I

₂

 I

₃

)  

_{2 3}

 M

₁

I

₂



₂

 ( I

₃

 I

₁

)  

_{3 1}

 M

₂

I

₃



₃

 ( I

₁

 I

₂

)  

_{1 2}

 M

₃

이 식을 오일러 방정식이라고 말한다. 이 방정식들의 좌변 두 번째 항들은 평면운동에서는 없던 효과들인데 이를 자이로효과라고 (Gyroscopic Effect) 말한다.

ˆa1

ˆa2

ˆb1

ˆb2

자이로효과 (Gyroscopic Effect)

이 효과는 3 차원 운동을 하는 기계구조물에서 발생하는 현상으로 잘 이해하고 있어야 한다.

이는 앞에서 설명한 오일러 방정식으로도 설명이 되지만 알기 쉽게 다음과 같이 기술할 수 있다. 즉 공간에서 일정한 방향으로 회전 운동을 하고 있는 물체의 회전 방향을 바꾸려면 일반적으로 모멘트를 가하여야 한다. 다시 말해서 공간에서 일정 방향으로 회전운동을 하고 있는 물체는 모멘트가 가해지지 않는 한 회전방향을 바꾸지 않는다. 이 원리를 이용한 것이 나침반 대신 널리 쓰이는 자이로스코프 장치이다. 이 장치는 2 차원 평면에서 남북의 방향을 결정하는 나침반과 달리 (이는 남극과 북극에서는 무용지물이 되는데) 우주공간에서 일정한 방향을 가리키게 된다. 따라서 정밀한 자이로스코프는 항공기나 대륙간탄도탄의 항법장치로 사용되고 있다.

결국 물체에 힘이 걸리기 전에는 속도의 방향이 변하지 않듯이 모멘트가 걸리기 전에는 그 회전각속도의 방향이 변하지 않는다. 반대로 회전각속도의 방향이 변한다는 것은 모멘트가 걸리고 있다는 증거이다. 예를 들어 항공기의 진행방향으로 일정한 회전운동을 하는 엔진의 경우 항공기가 진행방향을 바꾸게 되면 그 회전축에는 모멘트가 걸리게 된다.



: 항공기의 선회 각속도



E: 엔진의 회전 각속도

항공기의 선회 각속도와 엔진의 회전 각속도가 각각



와



_E로 일정하다면, 엔진의 선회 방향 관성모멘트와 회전 방향 관성 모멘트를 각각

I

_T와

I

_R이라 하면, 자이로효과에 의해 엔진 축에 걸리는 모멘트의 방향은 선회 방향과 회전 방향에 수직 방향이고 그 크기는

M   I

_R

 I

_T

 

_E



여기서 ²

2 1

mR

I

_R



이고 ^{2 2}

12 1 4

1

mR mH

I

_T

 

이다 (

R

은 실린더 반경,

H

는 높이).

이러한 모멘트의 계산 값은 엔진 축이나 베어링의 설계 시에 꼭 필요한 정보이다.

선박에는 종종 커다란 관성모멘트를 갖는 축의 운동을 통해 항해 중 파도로 인한 흔들림을 방지하는 장치가 (Stabilizer 라 부른다) 설치되어 있는 경우가 있는데 이 역시 자이로효과를 이용하는 것이다.

관성 다이아딕

관성 다이아딕은 관성행렬과 같은 강체 질량의 3 차원적 분포를 나타내는데, 좌표계로 표시 되기 때문에 그 형태는 좌표계를 사용하나 그 값은 좌표계의 선정과는 아무 관련이 없다.

이는 마치 벡터와 열 행렬의 관계와 유사하다.

임의의 좌표계

aˆ

_i를 사용하여 관성 다이아딕은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

11 1 1 12 1 2 13 1 3

21 2 1 22 2 2 23 2 3

31 3 1 32 3 2 33 3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

I

G

I a a I a a I a a I a a I a a I a a I a a I a a I a a

  

  

  

만일

bˆ

_i가 주관성축과 일치하는 좌표계라면, 관성 다이아딕은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1 1 1ˆ ˆ 2 2 2ˆ ˆ 3 3 3ˆ ˆ

I

G

 I b b  I b b  I b b

다이아딕은 벡터와 내적하여 벡터가 되는 특성을 지닌다. 예를 들어,



^{1 1 1 2 2 2 3 3 3}

 

^{1 1 2 2 3 3}



1 1 1 2 2 2 3 3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

G G

H I I b b I b b I b b b b b

I b I b I b

   

  

       

  

강체의 회전운동에 의한 운동에너지도 다이아딕을 이용하여 다음과 같이 표시할 수 있다.



^{1 12 2 22 3 32}



1 1

2 2

1 2

G G

K H I

I I I

  

  

    

  

관성 모멘트에 평행축정리가 성립하는 것과 같이 관성행렬이나 관성다이아딕에도 평행축정 리가 성립한다. 예를 들어 관성다이아딕의 평행축정리는 다음과 같이 기술할 수 있다.

I

*

I I

^O ^G 





여기서

I

^O

는

O

점에 대한 관성다이아딕,

I

^G

는

G

점에 대한 관성다이아딕 그리고

I

^*

는 그 차이를 나타내는데 그 값은 다음과 같다.

 ^{p U p p} 

m

I

   





²

*

여기서

p



 OG

이고

U 

는 단위 다이아딕으로 아무 벡터와 내적 하더라도 그 벡터가 되는 성질을 가지며 어떤 좌표계로도 표시가 가능하며, 아래와 같이 표시된다.

3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

a a a a a b b b b b b

a

U



     

<예제>

막대 A의 질량이 M이면,

막대 A의 O점에 관한 관성다이아딕은

3 3 2 2

2 2

/ ˆ ˆ

3 ˆ 1 3 ˆ

1

ML a a ML a a

I

^AO

 

막대 B의 질량이 m이면,

막대 B의 자기 질량중심점 G_B에 대한 관성다이아딕은

2 2 2 1

1 2

/ ˆ ˆ

3 ˆ 1 3 ˆ

1

md a a md a a I

^{B GB}

 

이제 평행축정리에 의해 막대 B의 O점에 대한 관성다이아딕을 계산할 수 있다.

*

2 2 2 1

1 2

/ ˆ ˆ

3 ˆ 1 3 ˆ

1 B

O

B

md a a md a a I

I

 







여기서

 ^{p U p p} 

m

I 

^B

   





²

*

그런데

p   a a ˆ

₁

 d a ˆ

₃

대입해서 정리하면

 



1 1 2 2 1 3 3 1



2 3 3 2 2 2

3 1 3 1 3

3 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

) ˆ ˆ ˆ ˆ (ˆ ˆ )

ˆ ˆ (ˆ

ˆ ) ˆ ˆ )(

ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ )(

* (

a a ad a a ad a a a a d a a a a a m

a d a a a d a a a a a a a a d a m I

^B





























x y

z

O

L A

ˆa1

ˆa2

ˆa3

d 2

x y

z

O a

B

막대 C의 자기 질량중심점 G_C에 대한 관성다이아딕은

/ 2 2

1 1 3 3

1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ

3 3

C GC

I  md a a  md a a

이제 평행축정리에 의해 막대 C의 O점에 대한 관성다이아딕을 계산할 수 있다.

*

3 3 2 2

2 2

/ ˆ ˆ

3 ˆ 1 3 ˆ

1 C

O

C

md a a md a a I

I

 







여기서

 ^{p U p p} 

m

I

^C   





²

*

그런데

p   b a ˆ

₁

 d a ˆ

₂

대입해서 정리하면

 



1 1 3 3 1 2 2 1



2 3 3 2 2 2

2 1 2 1 3

3 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

) ˆ ˆ ˆ ˆ (ˆ ˆ )

ˆ ˆ (ˆ

ˆ ) ˆ ˆ )(

ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ )(

* (

a a bd a a bd a a a a d a a a a b m

a d a b a d a b a a a a a a d b m I

^C





























위와 같이 3 개의 막대가 붙어 있다면, 세 막대의 O점에 대한 관성다이아딕을 계산한 후 이들을 합하면 된다. 즉,

O C O B O A

O

I I I

I

  ^/  ^/  ^/







3 차원 공간회전운동을 하는 강체의 운동방정식은 처음에 기술되었듯이

 ^{M }

^G

^{ H }

^{G 이다.}

그러나 고정점과 같이 가속도가 0 인 점이 있다면 그 점에 대한 방정식

 ^{M }

^O

^{ H }

^{O 을}

사용하는 것이 더 좋다. 그런데

H ^

^O

 I ^

^O

  ^

로 구해지므로 위와 같이 평행축원리를 사용 하여 고정점에 대한 관성 다이아딕을 구하여 사용하는 것이다.

d 2

x y

z

O b

a

L

C

[Sample Problem]

위 그림에 보이는 강체평판의 질량중심점에 대한

p ˆ

₁

, p ˆ

₂

, p ˆ

₃방향 주관성모멘트는

2

1 12

1

mb

I

^G



₂ ²

12 1

ma

I

^G



( )

12

1 2 2

3

m a b

I

^G

 

충돌 후 강체평판의 각속도와 평판의 중심 G의 속도를 다음과 같이 표시하면

3 3 2 2 1

1

p ˆ  p ˆ  p ˆ



    

v

^G

 v

₁

p

ˆ₁

 v

₂

p

ˆ₂

 v

₃

p

ˆ₃

충돌 후 평판의 각운동량과 질량중심점의 선형운동량은 다음과 같이 표시된다.

3 3 3 2 2 2 1 1 1

2

I p ˆ I p ˆ I p ˆ

H 

^G



^G

 

^G

 

^G



L

2

 m v p 

1

ˆ

1

 v p

2

ˆ

2

 v p

3

ˆ

3



<충격량-운동량 원리>

2 1 1 2

 L  I



L

  

그런데

L

₁



0

따라서

m  v

1

p ˆ

1

 v

2

p ˆ

2

 v

3

p ˆ

3

   F  t p ˆ

3

그러므로,

2

0

1

 v 

v m

t v

₃

  F 

G G

G

H

H

^₂



^₁

 

^_12 에서

H

₁^G



0

따라서



₃



2 1 3

3 3 2 2 2 1 1

1 ˆ ˆ

ˆ 2 ˆ 2

ˆ

ˆ

b p F t p

a p p

I p I p

I

^{G G G}

   



 



  





  



위 식으로부터

mb F t



6



1

ma F t

 

6



2



₃

 0

D

ˆd1

ˆd2

ˆd

3

[Sample Problem]

(a) 디스크의 각속도를 구하라.

3 3 2 2 1

1

d

ˆ

d

ˆ

d

ˆ

D

  





  

라 하면, 2 점 정리와 No Slip 조건에 의해

OC v

v ^

^C

 ^

^O

  ^

^D





1ˆ1 2ˆ2 3ˆ3

 

ˆ1 ˆ2



0

0

   d   d   d  L d  r d

따라서



₂



₁

L

 r

 

₃

 0

그러므로 ₁ˆ_{1 1}

d

ˆ₂

L d r

D

 





 

(b)

O

점에 대한 각운동량을 구하라.

G

점에 대한 관성 모멘트는

2

1 2

1

mr

I

^G



₂ ²

4 1

mr

I

^G



₃ ²

4 1

mr I

^G



O

점에 대한 관성 모멘트는 평행축정리에 의해

2

1 2

1

mr

I

^O



₂ ^{2 2}

4

1

mr mL

I

^O

 

₃ ^{2 2}

4

1

mr mL

I

^O

 

따라서

2 1 2

2 1

1

2 ˆ

4 ˆ 1 2

1

d

L mL r mr d

mr

H

^O





 



 



 



 



  



(c) 운동에너지를 구하라.

 

 





 



 



 



 



 



 











2 1 2

2 2

1 2

2 3 3 2 2 2 2 1 1

4 1 2

1 2 1 2 1











L mL r mr mr

I I

I

K

^{O O O}

[Sample Problem]

(a) 실의 장력을 구하라 (일을 하지 않는 힘이라는 데 유의할 것).

고정점인

A

점에 대한 막대의 관성 다이아딕은

rˆ

_i좌표계를 이용하면 다음과 같다.



2 2 3 3



2

ˆ ˆ ˆ 3 r ˆ r r r I 

^A

 mL 

막대의 각속도는

 sin r ˆ

₁

cos r ˆ

₂



R

  

   

따라서

2 2

cos ˆ

3 r

I mL

H 

^A

 

^A

  

^R

  

3 2

2

sin ˆ

3 cos r

H mL

H 

^A

  

^R

 

^A

   

그리고 장력과 자중이 발생시키는

A

점에 대한 모멘트를 구하면,

ˆ3

2 cos

sin 1

mgL r

TL

M

^A





 



 

  



A

A

M

H   

를 적용하면,



 

 2 sin cos cos

3

2

mg

m L

T  

(b)

A

점에 작용하는 반력을 구하라.

이번에는 질량중심점에 대한 운동방정식을 적용하면,

ˆ3

2cos

r m L

L



  

c o s ²



c o s ˆ₁ s i n ^ˆ₂



2

r r

m L L

L



 

^R





     



cos

r

ˆ1 sin

r

ˆ2

  A

1

r

ˆ1

A

2

r

ˆ2

A

3

r

ˆ3

 mg 

sin

r

ˆ1 cos

r

ˆ2



T

F



            

F

L   

을 적용하면

A

₃

 0

2 2

1 cos

sin 2

cos

 mg  m ^L 

T

A   











cos sin

cos 2

sin ²

2

m L mg

T

A    

[Sample Problem]

(Q) 위 막대의 각속도가 일 때, D에 작용하는 반력을 구하라.

위 막대의 C점에 대한 관성 다이아딕을 구하는 과정은 앞에서 설명이 되었으므로 그 값을 다음과 같이 일반적으로 표기하도록 하자.

3 3 33 2 3 32 1 3 31

3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

a a I a a I a a I

a a I a a I a a I a a I a a I a a I I

^C

















 

각속도와 작용하는 모멘트를 표시하면:

 

^A

  ˆa

₁

그리고 M M ˆa₁ D점에 작용하는 반력을 벡터로 표시하면 DD₁aˆ₁D₂aˆ₂D₃aˆ₃ 막대의 고정점 C점에 대한 각운동량은 다음과 같다.

3 31 2 21 1 11

/

I I a

ˆ

I a

ˆ

I a

ˆ

H

^AC



^C

 

^A

     

막대의 고정점 C점에 대한 운동방정식은 다음과 같다.

 

1



1 1 2 2 3 3



/

M L a ˆ D a ˆ D a ˆ D a ˆ

dt H

d

^N _AC









 



그런데

   

2

2 31 3 2 21 3 31 2 21 1 11 / /

/

H H I a ˆ I a ˆ I a ˆ I a ˆ I a ˆ

dt H d

dt

d

^N



_AC



^A



_{A C}



_N

 

_A

 

_{A C}

            

위에서 운동방정식의 세 성분을 비교하면,

2 2

21 31 3

2 31 21

11

M I I LD I I LD

I 



 



    



  

따라서

 

 



 



₂₁ ²

11 31 2

1 M I 

I I

D L 



 



 

 M

I I I

D L

11 2 21 31 3

1 

위 식에서 보는 바와 같이 D₁의 값은 운동방정식과 상관이 없다. 즉, 아무 값으로 주어 져도 상관이 없다. C에 작용하는 반력은 D점에 대한 관성 다이아딕을 이용해 구한다.

x y

z

C L

D M

D

ˆd1

ˆd

2

ˆd

3

[Sample Problem]

(a) 원판과 지면의 접촉점에 가해지는 접촉력을 구하라.

축의 질량을 무시할 수 있다고 가정하면, 위 시스템의 관성다이아딕은 다음과 같이 구할 수 있다. 우선 원판의 자기 질량중심점에 대한 관성다이아딕은 다음과 같다.

/ 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ

2 4 4

I

D G

 mr d d  mr d d  mr d d

이제 O점에 대한 관성 다이아딕을 구하면 (앞에서 평행축정리를 이용해 구했다)

3 3 2 2 2

2 2 2 1

1 2

/ ) ˆ ˆ

4 (1 ˆ ) ˆ 4

(1 ˆ ˆ 2

1

mr d d m r L d d m r L d d

I

^{D O}

    

문제 2 에서 구한 각속도를 이용하여

2 1 1

1ˆ

d

ˆ

L d r

D

 





 

O점에 대한 각운동량을 구하면

2 1 2

2 1

1 2 /

/ ˆ

4 ˆ 1 2

1

d

L mL r mr d

mr I

H

^{D O D O D}





 



 



 



 









^



^

 



이제 C 점에 작용하는 수직항력을 N 이라 하고 마찰력을 T 라 하면 C 점에 작용하는 접촉력은 다음과 같이 표시할 수 있다.

3

2 ˆ

ˆ Td

d N C 

따라서 자중을 고려한 고정점 O점에 대한 시스템의 회전 운동방정식은 다음과 같다.

 ^ˆ

¹

^ˆ

²

 ^{( ) ˆ}

²

^ˆ

³

^ˆ

¹

^{( ) ˆ}

³

^ˆ

²

M

O

 Ld  rd    N  mg d  T d     rTd  L N  mg d  LTd

그런데

   

3

2 1 2 2 3

/ /

/

ˆ

4 1

2 mr mL d

L r L H mr

dt H H d

dt

d

^N _{D O} ^D _{D O N}



_{D D O}

_ 



 



 



 



 











   



따라서

2 1 2 2 3

4 1 ) 2

( _ 



 



 



 



 







 mr mL

L r L mg mr

N

L

그리고

T 

0

그러므로

l mg mL

L mr r L

N mr  



 



 



 



 







^{3 2 2 12}

4 1 2



그리고

T 

0

(b) O점에 작용하는 반력을 구하라.

질량 중심점에 대한 운동방정식을 기술하려면 질량중심점의 가속도가 필요하다.

질량중심점 G의 가속도는

1 2 1

2 ˆd

L a^G r 

O점에 작용하는 반력을 RR₁dˆ₁R₂dˆ₂R₃dˆ₃

라 하면 운동방정식은

3 3

3 2 2 1 1 1 2 1

2 dˆ Rdˆ R dˆ Rdˆ (N mg)dˆ L

mr     

 

따라서

2 1 2

1 

L mr

R  R₂0

mL l L mr

r L R mr

2 1 2 2 3

3 4

1 2





 



 



 



 





자이로스코프 운동

자이로스코프의 자세를 기술하기 위한 세 각도는 오일러 각들이다. 오일러 각들은 공간에 고정된 축이나 강체에 고정된 축에 대해 3 번 회전을 시킬 수 있는데, 그 축 방향이

X

축,

Y

축, 그리고

Z

축이 될 수 있어, 가능한 조합이 12 가지 있게 되어 모두 24 가지 종류가 존재한다. 아래 그림에 나타난 오일러 각들은 그 중 강체에 고정된 축에 대한 회전을

Z

축

Y

축

Z

축 방향의 순서로 수행하는 것이다. 이를 몸체 축 3-2-3 오일러 각이라고 부른다.

그림에서 자이로스코프를 강체

C

라 하고 그를 두르고 있는 김벌을 강체

B

라 하며 다시 그 외곽을 두르고 있는 김벌을 강체

A

, 고정된 기준틀을

N

이라 할 때 이상의 각 강체에 고정된 좌표계를

cˆ

_i,

bˆ

_i,

aˆ

_i, 그리고

nˆ

_i라 하면

ˆa3 A

N



^

 

^{ A}

 ^

^B

  ^ ˆb

₂ ^B



^C

 

^ ˆc₃

따라서 각속도 덧셈정리에 의해

3 2

3

ˆ ˆ

ˆ b c

C

a

B B A A N C

N

 ^   ^   ^   ^   ^   ^   ^

--- (1) 그런데

A

와

B

그리고

B

와

C

는 서로 단순회전운동을 하므로

aˆ

_i와

bˆ

_i 그리고

bˆ

_i와

cˆ

_i

사이는 다음과 같은 관계가 성립하는 것을 쉽게 알 수 있다.

A

A

^B

C

N

1 3

3 cos ˆ sin ˆ

ˆ

b b

a    

c

ˆ₃

 b

ˆ₃

이 두 관계를 이용하여 (1)식을 다시 쓰면



^cos

^b

^{ˆ3 sin}

^b

^ˆ1

 ^b

^ˆ2

^b

^{ˆ3 sin}

^b

^ˆ1

^b

^ˆ2

^

^cos

^{ b}

^ˆ3

C

N









  







 











 





















--- (2) 다음은 자이로스코프의 관성 다이아딕을 그 주관성축 좌표계

bˆ

_i를 이용하여 나타내면

3 3 2 2 1

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

b I b b I b b b

I

I





_t



_t



_r

따라서 각운동량은

 

3

2

1 ˆ cos ˆ

sin

b

ˆ

I b I b

I I

H

 



^C _t

 

 _t



 _r





 

















--- (3)

강체의 운동방정식은

H   M 

이다. 그런데

    ^{H H}

dt H d dt

H d

^{N B}

B

N

   

     

--- (4)

여기서

  H I  sin cos  b ˆ

1

I b ˆ

2

I   cos sin   b ˆ

3

dt d

r t

t

B

^     ^{ }    ^  ^   ^{ }   ^{ }     ^  ^   ^{ }

그런데



3 1



2 1 2 3

2 3

cos ˆ ˆ sin ˆ

ˆ sin ˆ

cos ˆ

ˆ ˆ

b b

b b

b b

b

B

a

A A N B N









































 



























--- (5)

따라서

 sin b ˆ

1

b ˆ

2

cos b ˆ

3

  I sin b ˆ

1

I b ˆ

2

I  cos  b ˆ

3



H

_{t t r}

B

N

 ^  ^     ^   ^    ^     ^   ^   ^    ^

이를 정리하여

H   M 

에 적용하면 자이로스코프 방정식을 얻을 수 있다.

자이로스코프 운동을 기술하는 각도 중,



는 spin이라 하고



는 Nutation 그리고



는 Precession이라 부른다.

회전운동의 안정성

앞서 논의되었듯이 주관성축은 세 방향이 존재한다. 이들 중 어떤 방향으로 운동을 발생시켜야 안정한 운동을 하는지 알아보기로 하자. 외부에서 아무런 모멘트가 가해지지 않는다면 오일러 방정식은 다음과 같이 기술된다.

I

₁



₁

 ( I

₂

 I

₃

)  

_{2 3}

 0

I

₂



₂

 ( I

₃

 I

₁

)  

_{3 1}

 0

I

₃



₃

 ( I

₁

 I

₂

)  

_{1 2}

 0

이제 운동을 첫 번째 주관성축 방향으로 시작시킨다고 하자. 이 때 두 번째나 세 번째 축 방향으로의 각속도 성분은 매우 작은 값을 갖는다면,

1 x

     

₂

 

_y



₃

 

_z

여기서



는 일정한 값이고

  

_x, _y, _z는 변하는 값이다. 위 식을 앞에 식에 대입하면,

I

₁



_x



(

I

₂

 I

₃)

 

_{y z}



0

I

2



_y



(

I

3

 I

1)



_z

   

_x

 

0

I

3



_z



(

I

1

 I

2)

    

_x



_y



0

작은 값들이 서로 곱해지면 무시할 만큼 작아지므로, 위 식을 정리하면,

I

₁



_x

 0

I

₂



_y



(

I

₃

 I

₁)



_z

 

0

I

₃



_z



(

I

₁

 I

₂)

  

_y 0

위 식들 중 두 번째와 세 번째 식을 정리하면,

1 2 1 3 2

2 3

( )( )

y y 0

I I I I

  ^ I I ^   

1 2 1 3 2

2 3

( )( )

y y 0

I I I I

  ^ I I ^   

따라서 위 식으로부터

I

₁

 I

₂ 이고

I

₁

 I

₃ 의 조건이 동시에 만족되거나

I

₁

 I

₂ 이고

1 3

I  I

의 조건이 동시에 만족될 때,



_y 와



_z 는 작은 값으로 머물 수 있다. 즉

I

₁ 이 최대값이 되거나 최소값이 될 때 회전운동은 안정하다.