cs of Materials

Mechanic

5.1 소개

- 전단력 - 굽힘에 - 좌표축 - 보의 단 

y

_축

- 모든 하 - 굽힘 처 

xy

- 처짐은

cs of Materials

개

/굽힘모멘트 에 의해 처짐 축은 그림에 도

단면은

xy

_평

축이 단면의 하중은

xy

_평

처짐은

xy

_평

y

_{평면: 굽힘평}

은

y

_방향으로

s, 7

^th

ed., Jame

제

트를 받는 보에 발생  처짐 도시함

평면에 대칭 대칭축 평면내에서만 평면내에서만

평면 (plane o 로 측정된 보의

es M. Gere &

제 5 장 보

에서 발생하는 짐 곡선

작용 일어남 of bending) 의 변위

Barry J. Goo

의 응력

는 응력/변형

dno

(기본주제

형률

제)

Pa

age 05-2

5.2 순수

순수굽힘

불균일 굽

예-1) 두

예-2) 자 

수굽힘과 불

힘: 일정한 굽

V  dM /

즉 전단력

굽힘: 전단력 

x

_축

개의 우력을

유단에 우력

 고정단에 같 (단순지지보

불균일굽힘

힘모멘트 하

/ dx  0

_

력이 0 인 구간

이 존재하는 축을 따라 굽

을 가지는 단

이 작용하는 같은 크기의 보의 경우와

하에서의 굽힘

consta M 

간에서 발생

는 상태의 굽힘 굽힘모멘트가

단순지지보

는 캔틸레버보 반력모멘트 같은 응력상

ant

함

힘 변함

보 발생 상태)

Mechanic

예-3) 일 나

보의 응력

 불균일

cs of Materials

부는 순수굽 나머지 일부는

력 / 변형률 일 굽힘에서도

s, 7

^th

ed., Jame

힘상태

는 불균일 굽힘

 순수굽힘 도 활용 가능

es M. Gere &

힘 상태

힘 상태에서 유 능함 (5.8 장)

Barry J. Goo

유도

dno

Pa

age 05-4

5.3

- 곡률중 - 곡률반

m O

1



- 곡률 (c

 1

 

기하학적





 

처짐량이



 

보의 곡률

중심 (center o 반지름 (radius





curvature)



적 조건:

  d 1 d

ds



 ^

이 작은 경우

1 d dx



 ^

of curvature) s of curvatur

  ds

ds  dx

_이므

:

O

re)

(5-2) 므로

(5-3)

Mechanic

- 곡률의

- 곡률의 - 처짐곡 - 부호 규

cs of Materials

부호 규약

부호 규약은 곡선의 방정식

규약은 일관성

s, 7

^th

ed., Jame

 그림 참조

은 좌표축의 식의 유도시에

성을 유지하면

es M. Gere &

조

선택과 관계 에 곡률의 부호

면 됨.

Barry J. Goo

계있음.

호가 중요함

dno

Pa

age 05-6

5.4 보의 의 길이방향 향 변형률

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-8 단면

(mn, pq)

에 관한 가정

- 변형후에도 평면을 유지

- 길이방향 축 (

x

축)과 직각, 전단변형은 고려하지 않음, (Euler Beam) 변형 후의 형상 (그림-c)

- 윗부분 : 길이가 줄어듬 (압축) - 아랫부분: 길이가 늘어남 (인장)

- 중간 단면

ss

는 길이가 변하지 않음  중립면 (neutral surface) - 중립면과 단면 평면과의 교선  중립축 (neutral axis), e.g.

z 

축 변형률의 계산

선분

ef

의 처음 길이:

dx

선분

ef

의 최종 길이: ¹

( ) ( ) dx y

L  y d   y dx dx

 

     

변형률: ^x

L

¹

dx y dx y

 



     

_(5-4)

(   0, y  0)

_이면

( 

_x

 0)

_(압축)

 예제 문제

8.0 L 

바닥면에 문제:

 ,

풀이

x

 y

  

 1

  

   (1



  

5-1

ft, 6.0 h  i

에서



_x

 0.0 , ,  

_구하기

3 in 0.0012

x

y 

 

0.0050 ft

^1



cos ) 



_이며

(1 cos )

   in

00125

_{, 바닥}

기.

n 2400 in 25 

1

며

sin L

  (2400 in)



면-중립면간

n  200 ft

/ 2 L



^

  ⁰ )(1 0.9998) 

거리;

3 in

0.0200 rad )  0.480 in





Mechanic

5.5 보의

선형탄성

x

E

  

정역학적 (1)

x

_방향

 중 (2) 응력에  모

 중립축

A



x

d





z

축 (1)

y

_축

(2) 좌표의

cs of Materials

의 수직응력

성재료의 경우

x

 Ey

   

적 평형 조건을 향 합력은 0 중립축의 위치

에 의한 모멘 모멘트-곡률

축의 위치

dA   

A

E 

축에 대한 단 에 대해 대칭 의 원점은 단

s, 7

^th

ed., Jame

력 (선형 탄

우;

E y 



_(5-7

을 사용함.

이다 (축력이 치 결정

멘트의 합은 관계식

0

 y dA 

_

단면의 면적의 칭인 단면만을 단면적의 도심

es M. Gere &

성 재료)

7)

이 없음)

단면에 가해





_A

y dA 

의 1 차모멘트 을 고려함.

심

Barry J. Goo

진 모멘트와

0

_(5-

트가 0 

z

축

dno

와 같다.

8)

축은 단면의

도심 통과

Pa

age 05-10

 모멘트 면적

dA



dM  M   

즉 여 (5-10)을

  EI

- 굽힘모

참고: 사

트-곡률 관계

A

인 요소에

x

ydA



 

A



x

ydA 

 

즉

M   EI

기서

I  

_A

다시 정리하

1 M

 EI

 

I

: 굽힘강도 모멘트와 곡률

각형부재  식

작용하는 힘

2 A

 Ey dA 



(5-10)

y dA

2 _(5-11)

하면

(5-12)

률의 부호 규약

1

3

I  12 bh

은



x

dA

2

E

A

y dA

 

)  모멘트- )  관성모멘

)  모멘트-

약  그림에

, 원형 부재

 EI



곡률 관계식 멘트 (Momen

곡률 관계식

에 정의됨.



64

I _  d

nt of Inertia)

4 4

4 4

 r



)

Mechanic

 굽힘공 (5-12)를

x

E

  

x

   M

 단면에

단면에 작

cs of Materials

공식

(5-7)에 대입

x

 Ey

    My

I

에서의 최대응

작용하는 최대

s, 7

^th

ed., Jame

입하면 굽힘응

E y 



_,



응력

대인장/압축

es M. Gere &

응력 (bendin

1 M

 EI

  

(5-13) 

굽힘응력 

Barry J. Goo

ng stress)을

굽힘공식 (f

 중립축에서

dno

계산할 수

flexure form

서 가장 먼 곳

있음.

mula)

곳에 위치한

Pa 점에서 발생

age 05-12

중립축으

1

   M

여기서

S

 이중 단면이

y

1 2

c  c 



1

  

직사각형

원형단면

부록 D,

으로부터 양/음

1

1

Mc M

I   S

1 2

1

I

S S

 c

대칭 형상

,

y z

_{축에 각}

 c

_{이고 최대}

2

Mc

   I 

형 단면:

I 

면:

4

64 I _  d

E, F 참조

음

y

_방향으로

2

2

Mc

  I

2

I

 c

_{ 단}

각각 대칭이면 대인장/압축이

or M

 S

3

12

bh

S 

3

32 S _  d

로 맨 끝에

2

M

 S

면계수 (sect

면 (2 축대칭) 이 수치적으로

max

M

  S

2

6 I bh c 

있는 요소까

tion modulu

로 동일

M

S

^{, 여기서}

S

지의 거리를 (5-14a,b

s) (5-15a,b

S I

 c

각각

c c

1

,

2

b)

b)

2로 하면

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-14

 제한

- 단선형 탄성 재료

- 규일 단면 보의 순수 굽힘

- 전단 변형으로 인한 뒤틀림 (Warping)은 고려하지 않음 - 응력분포 / 하중의 불연속에 의한 응력 집중현상은 무시함

 예제 문제

굽힘으로 5-3

로 인한 보 내내의 최대인장장 및 압축응력 구하기

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-16 풀이

반력:

 M

_A

 0, 0  M

_B



^에서



R

_A

 23.59 k R

_B

 21.41 k

집중하중 좌/우측 각각의 구간의 단면에 대한 자유물체도의 평형 조건에서 SFD/BMD 를 플롯하면 그림 (c), (d)와 같다.

그림 (d)에서 최대굽힘모멘트:

M

max

 151.5 k-ft

단면계수:

2

2 3

1 (8.75 in)(27 in) 1063 in

6 6

S  bh  

최대응력: ^{2 max} 3

(151.6 k-ft)(12 in/ft)

1710 psi 1063 in

t

M

    S  

_

_c ¹

M

^max

1710 psi

     S  

_

 예제 문제 보 내의 풀이 반력:



SFD/BMD 그림에서 전단력의

pos

2

M 

5-4

최대인장 및

A

0, M 

 



R

_A

 3.6

D 작도  그 서 굽힘모멘트 의 부호가 바뀌

2.025 kN m 

및 압축응력 구

B

0 M 



^에

6 kN R

_B



그림 (b),(c)에 트의 최대값은

뀌는 지점에서

m M

neg

 

구하기.

에서

10.8 kN

에 도시함.

은

서 발생함.

3.6 kN m

 

Mechanic

면적-1:

cs of Materials

1

/ 2 6

y  t 

s, 7

^th

ed., Jame

6 mm, A

1

 (

es M. Gere &

( b  2 )( ) t t 

Barry J. Goo

(276 mm)(

dno

(12 mm)  3

3312 mm

2

Pa

age 05-18

면적-2:

y

2

 h / 2  40 mm, A

2

 ht  (80 mm)(12 mm)  960 mm

²

면적-3:

y

3

 y A

2

,

3

 A

2

무게중심:

2 2

1 1 2 2

1 2 2

1 2

2 (6 mm)(3312 mm ) (40 mm)(960 mm )

18.48 mm

2 3312 mm 2(960 mm )

i i i

y A y A y A

c A A A

 

   

 

 

c

2

   h c

1

80 mm 18.48 mm   61.52 mm

관성모멘트: ^{1 1 1 12}

1

^{3 1 1 2 4}

( ) ( ) ( 2 )( ) ( / 2) 555, 600 mm

z c

12

I  I  A d  b  t t  A c  t 

2 3 2 4

2 3 2 2 2 2 2 1

( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) 956, 600 mm

z z c

12

I  I  I  A d  t h  A y  c 



I

_z

 ( ) I

_{z 1}

 ( ) I

_{z 2}

 ( ) I

_{z 3}

 2.469 10 mm 

^{6 4}

단면계수: ^{1 3 2 3}

1 2

133, 600 mm , 40,100 mm

z z

I I

S S

c c

   

최대응력:

양의 최대굽힘모멘트 단면에서 (밑면: 인장, 윗면: 압축);

pos

2 3

2

2.025 kN m

50.5 MPa 40,100 mm

t

M

    S  ^ 

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-20

pos

1 3

1

2.205 kN m

15.2 MPa 133,600 mm

c

M

     S   ^  

음의 최대굽힘모멘트 단면에서 (밑면: 압축, 윗면: 인장);

neg

1 3

1

3.61 kN m

26.9 MPa 133,600 mm

t

M

     S   ^{ } 

neg

2 3

2

3.61 kN m

89.8 MPa 40,100 mm

c

M

    S  ^{ }  



( 

_t

)

max

 50.5 MPa

_

( 

_c

)

max

  89.8 MPa

_

5.6 굽힘응력에 대한 보의 설계

보의 설계:

1. 보의 형태와 크기 결정 (단면계수의 선택, ^max

allow

S M

 

₎

2. 구조해석을 통해 하중작용시 발생하는 실제응력산정 (최대응력산정) 3. 실제응력 < 허용응력 인지 검토

구조용 강: 부록 E

Mechanic

 여러 보의 효율 (a) 직사각

S 

(b) 정사 원과

정사

원:



S

(c) 이상적 면적

cs of Materials

가지 보 형상 율: 재료가 중 각형: 높이가

2

6 6

bh Ah

  

각형과 원형 과 같은 단면적

사각형:

S

^square

3 circle

32 S _  d

square circle

S 1.18

S 

적인 보 적의 절반씩을

s, 7

^th

ed., Jame

상의 상대효율 중립축에 멀리 가 클수록 유리

0.167 Ah



비교

적의 정사각형

3

e

6 4

h 

 

3

0.0982d



8

을

 h / 2

에 위

es M. Gere &

율

리 분포하면 리함

형:

h  ( / d

3

48 0.11

 d _ d

3

위치시킴

Barry J. Goo

유리함

2)  60d

3

dno

Pa

age 05-22

2 2

2 , 0.5

2 2 4 / 2

A h Ah I

I S Ah

h

  

         

(d) WF 형 보

- 이상적인 보에 가깝게 설계된 단면

-

S  0.35 Ah

(직사각형 보에 비하여 큰 값)

- 보통 폭이 넓기 때문에 직사각형 보에 비하여 측면 좌굴에 강함 - 웨브가 너무 얇으면 국부좌굴의 가능성 및 과단 전단응력을 받음.

Mechanic

 예제 문제

allow

 

부록 F 의

풀이 보의 크기

(1) (2) (3) (4) (5)

cs of Materials

5-5

1,800 psi

_{, 비}

의 표에서 적

기 미정  보

주어진 등분 보에 대한 임 등분포 하중 선택된 보가 만족하지 않

s, 7

^th

ed., Jame

비중량

  3

절한 크기 선

보의 무게 미

분포하중에 근 임시크기를 선 중에 보의 무게 가 새로운 단 않는 경우 단계

es M. Gere &

35 lb / ft

3

선택하기.

미정  시행착

근거한 요구되 선택함 (표 F 게를 더하여 면계수를 만족 계 (2)로 돌아

Barry J. Goo

착오

되는 단면계수 F 참조)

새로운 단면 족하는가 확 아감.

dno

수 계산

면계수 계산 인

Pa

age 05-24

(1) 보의 최대 굽힘 모멘트

2 max

(420 lb/ft)(12 ft)(12 in/ft)

90, 720 lb-in

8 8

M  qL  

요구되는 단면계수

^{max 3}

allow

90, 720 lb-in

50.4 in 1800 psi

S M

   

(2) 부록 F 의 표로부터

50.4 in

³이상의 단면계수를 갖는 가장 가벼운 보인

3 12 in 

보 선택 이 보의 단면계수는

52.73 in

³, 무게는

35 lb / ft

³ 

6.8 lb / ft

(3) 보의 균일 하중은 이제

426.8 lb / ft

이며 이에 대응되는 요구되는 단면계수는

³

426.8 lb / ft

³

(50.4 in ) 51.22 in

420 lb / ft S        

(4) 앞서 선택한

3 12 in 

의 단면계수

52.73 in

³는 요구되는 단면계수

51.22 in

³보다 크다.  (5) 이 경우는 여기서 풀이가 종료되지만, 만일 (4)항에서 만족이 안되면 (2)항으로 돌아간다.

Mechanic

cs of Materials

s, 7

^th

ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

Pa

age 05-26

 예제 문제

allow

 

WF 형 보

풀이 (1) 등분포 (2) 최대 (3) 부록 (4) 하중에 (5) 선택된 (6) 만족되

5-7

18, 000 psi

_,

보 형상의 구

포 하중에 의 굽힘모멘트 E-1 에 임시 에 무게를 추 된 보가 여전 되지 않으면

자중을 고려 조용 강철보

의한 최대 굽 로부터 단면 시의 WF 보 선

추가하여 (1),(

전히 만족하는 (2)항으로 돌

려하여 선정하기.

힘모멘트 계 계수 추정 선정 및 무게

(2) 과정 반복 는지 판별

돌아가 반복함 산

추산 복

함.

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-28 반력:

 M

_A

 0, 0  M

_B



^에서



R

_A

 18,860 lb R

_B

 17,140 lb

좌측 지지점으로부터

V  0

이 되는 단면까지의 거리

x

1_은

1

0 (0 12 ft)

V  R

A

 qx    x

_ 1

18,860 lb

9.430 ft 2, 000 lb / ft

R

A

x  q  

최대굽힘모멘트는

V  0

인 단면에서 발생함.

2 1

max 1

88, 920 lb-ft

A

2

M  R x  qx 

요구되는 단면계수는

^{max 3}

allow

(88, 920 lb-ft)(12 in / ft)

59.3 in 18,000 psi

S M

   

임시보의 선택

부록 표 E-1 에서

S  59.3 in

³보다 큰 단면계수의 WF 형 보중 가장 가벼운 보는

W 12 50 

W 12 50 

_{의 특성:}

S  64.7 in

³, 무게는

50 lb / ft

주어진 하중과 자중을 고려한 굽힘 모멘트를 다시 계산함.

반력:

 M

_A

 0, 0  M

_B



^에서



R

_A

 19, 380 lb R

_B

 17, 670 lb

좌측 지지점으로부터

V  0

이 되는 단면까지의 거리

x

1_은

1

0 (0 12 ft)

V  R

A

 qx    x

_ 1

19,380 lb

9.454 ft 2, 050 lb / ft

R

A

x  q  

최대굽힘모멘트는

V  0

인 단면에서 발생함.

2 1

max 1

91, 610 lb-ft

A

2

M  R x  qx 

요구되는 단면계수는

^{max 3}

allow

(91, 610 lb-ft)(12 in / ft)

61.1 in 18,000 psi

S M

   

W 12 50 

_{의 단면계수}

S  64.7 in

³이므로 선택된 보는 아직도 만족됨. 

Mechanic

 예제 문제

0.8 m s 

cs of Materials

5-8

m, 2.0 h  m

s, 7

^th

ed., Jame

allow

m, 8  

es M. Gere &

.0 MPa

_일

Barry J. Goo

때 기둥의 요

dno

요구되는 치수

수

b

구하기.

Pa

age 05-30

풀이

기둥에 작용하는 분포하중은 삼각형 분포임 (그림 (c)참조), 최대 세기는

q

0

  hs

최대굽힘모멘트는 밑판에서 발생

3 0

max

2 3 6

q h h h s M         

요구되는 단면계수는:

3 max

allow

6

allow

M h s

S 

 

 

정사각형 보의 단면 계수는:

3

6 S  b



3 3 3

3 3 6 3

allow

(9.81 kN / m )(2.0 m) (0.8 m)

0.007848 m 7.848 10 mm 8.0 MPa

b  h s

     

_



b  199 mm



Mechanic

5.7 불균

- 단면이 - 무게를 - 단면치  기존 - 단면계  최대

 완전응 - 모든 단 - 설계시  실제 - 완전응 - 자동차

cs of Materials

균일단면 보

길이에 대해 를 줄이고, 겉모

수가 점차적 존의 굽힘공식

수가 변화하 대응력점과 최

응력보 (fully 단면에서 최대

가정된 것과 제로 얻기는 응력보의 성질 차 겹판 스프링

s, 7

^th

ed., Jame

보

해 균일하지 모양 개선을 적으로 변하면

식 사용 가능 하므로

최대굽힘모멘

stressed be 대허용 굽힘응 과 다른 하중

힘듬

질 이해  최 링, 테이퍼 거

es M. Gere &

않음

위해 사용됨 면

능.

멘트점 불일치

eam)

응력을 가짐.

중의 가능성

최소 무게의 구 거더, 등등

Barry J. Goo

됨.

치함

.

구조물 설계에

dno

에 도움이 됨

됨.

Pa

age 05-32

 예제 문제 고정단에 (

d

_B

/ d

_A

풀이 단면계수

d

^x





S

굽힘응력



¹



고정단에



^B



5-9

에서의 응력



 2

₎

수:

A

(

B

d  d  d

3

32 3

x x

S _  d _ 

력: 굽힘모멘트

x



x A

M

S ^  d

에서의 최대응

3

4

A

PL

 d





B_{와 최대굽}

A

) d x

L

32  _{ } d

^A

( d

^B



트가

Px

_이므

32

A

(

B A

Px d d

 

응력; 식 (5-32

굽힘응력



m

3 B A

)

d x L

 



므로



³

)( / ) x L

2)에

x  L ,

max구하기.

(5-

B

2

A

d  d

_를

32)

를 대입하여 구구함.



Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-34 보의 최대응력:

식 (5-32)는

d

_B

 2 d

_{A인 경우;} 1 3 3

4

(1 / )

A

Px

d x L

 ^  

^(b)

식 (b)의 최대값은

d 

1

/ dx  0

_으로부터



₁이 최대가 되는

x

값을 구할 수 있다.



2

x  L

, 이 값을 (b)에 대입하면,

^max

128

^{3 3}

4.741

27

_{A A}

PL PL

d d

 ^  ^ 

^

Note: ^max

4.741 4 1.19

B



 ^{ }

 예제 문제 모든 단면 풀이 굽힘모멘

M  Px

굽힘공식

높이에 대

이 식에

(g)을 이용 5-10

면의 최대 응

멘트와 단면계

_x2

x S  bh

식: ^allow

M

  S

대해 풀면,

h

x  L

을 대

용하며 (f)를

응력이



allow

계수

/ 6

2

/ 6

x

M Px

S  bh 

allow

6

x

h Px

b 



대입하면,

h

^B

간단히 하면

가 되도록

h

x

2

6

x

Px

 bh

w

allow

6PL b 



면,

h

^x

 h

^B

x구하기

(f)

(g)

x L



