집합과 수리논리 중간고사

(1)

다음 명제의 부정을 써라.

(가) 6은 2의 배수이거나 3의 배수이다.

(나) 0 아닌 유리수는 양수이거나 음수이다.

(다) 임의의 양수 a > 0에 대하여 성질 “n ≥ N =⇒ |f (n)| < a” 을 만족하는 자연수 N 이 존재한다.

0과 1로 이루어진 수열 전체의 집합 {0, 1}^N과 집합 X의 부분집합 전체의 집합 P(X)을 생각하고, 다음 두 명제를 증명하여라.

• 집합 N에서 {0, 1}^N으로 가는 임의의 함수는 전사가 아니다.

• 임의의 집합 X에 대하여, X에서 P(X)으로 가는 임의의 함수는 전사가 아니다.

위 두 명제 및 증명 사이에 어떤 유사성이 있는지 설명하여라.

두 집합 Z^X×Y와 (Z^X)^Y사이에 전단사함수를 정의하여라.

좌표평면 R × R의 두 점 (a, b)와 (c, d)에 대하여 “원점까지 거리가 같다”라는 관계를 a, b, c, d 로 표현하고, 이 관계 ∼가 동치관계임을 보여라. 몫집합 R × R/ ∼을 어떤 집합으로 이해할 수 있는지 설명하여라.

순서집합이 다음 성질

• 공집합이 아닌 임의의 부분집합이 최소원소를 가진다.

을 만족할 때 이를 정렬집합이라고 부른다. 서로 “다른” 정렬집합 두 개의 예를 들고, 이 두 순서집합이 왜 다른 것인지 설명하여라.

다음 집합들이 자연수인지 아닌지 살펴보아라.

0, {0}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}

자연수집합으로부터 정수집합을 구성하고 연산과 순서를 정의하는 방법의 개략을 설명하여라.

실수집합 R을 데데킨트 절단으로 정의하는 방법의 개략을 설명하고, 이를 이용하여 α² = 2를 만족하는 실수 α가 존재함을 보여라.

^{아무 거나 써라.}