7. 부정정 구조물의 개요
7.1. 개설
7.1.1. 부정정구조물
■ 구조물을 구성하고 있는 부재 혹은 그들의 접합부 및 지점에 의한 구속조건이 붕괴의 방지 를 위해 필요한 수보다 많은 경우 정역학적 부정정구조물이라 한다. 과잉부재 및 과잉구속 조건에 의해 발생하는 힘을 부정정력, 여용력 혹은 과잉력이라 하며 부정정력수는 부정정 차수로 표현되고 이는 구조물이 보유하고 있는 구조형식으로 인한 안정성의 여유 정도를 나타낸다.
■ 정정구조물의 해석: 해제조건을 고려한 평형방정식에 의해 미지 반력을 구하고 이를 이용 해 부재 내부력을 해석
■ 부정정구조물의 해석: 미지력의 수가 평형조건식 수보다 많아 추가적인 조건식이 필요하므 로 변형의 적합조건(Compatibility Condition)을 이용, 변형과 힘의 관계는 재료의 물성과 부재단면특성에 의해 표현
7.1.2. 부정정구조물의 기본개념
■ 응력법(Force Method) : 부정정력을 미지변량으로 취하여 방정식을 세운다.
예) 변위일치법, 3연 모멘트법, 최소일의 방법
■ 변위법(Displacement Method) : 변위를 미지변량으로 취하여 방정식을 세운다.
예) 처짐각법, 모멘트 분배법
■ 부정정 차수()의 판별
￭ 판별식 방법 1
- 구조물을 구성하고 있는 부재들을 절단하여 양단에 절점을 갖는 열린 부재들로 구성 - 지점 반력과 각 부재에 나타나는 미지 단면력이 미지력
- 각 절점에 세워지는 평형방정식과 부재 내부의 해제조건식이 사용 가능한 방정식 수
· ·
(7.1.1)부재수 해제조건수
반력수 절점수
단면력성분수 절점별 평형방정식 수
미지력수 방정식수
￭ 판별식 적용 예
아래 구조물의 지점 A, B에 절점을 정의하여 2개의 절점과 한 개의 부재로 고려
- 미지반력 4개
- 부재수는 한 개 이며 부재 절점에 나타나는 미지 내부력 , , 는 , , 와 각각 종속되어 미지력은 3개, 즉 양단에 6개의 미지 단면력을 갖고 한 개의 자유물체도에 평형방정식 3개를 고려하면 3개 단면력만이 미지력
- 절점 A, B에는 위에 언급한 7개의 미지력 (반력 4, 부재력 3) 외에 추가적인 미지력이 나 타나지 않으며, 두 절점에서 각각 3개의 평형방정식이 세워짐
- 부재 내부의 모멘트 힌지로부터 추가 조건식
- 따라서, 부정정 차수 = 반력수 + 부재수 당 3개의 미지력 – 절점 당 3개의 평형방정식 – 해제조건식 수 = 4 + 1×3 – 2×3 – 1 = 0 : 정정
￭ 부재 단면에 발생하는 미지력 수와 평형 방정식 수는 구조형식에 따라 아래 표와 같다.
구조 차수 평면 구조물 입체 구조물
구조 형식 들보 보, 라멘 트러스 들보 보, 라멘 트러스
절점 평형방정식 수 2 3 2 4 6 3
부재 단면력 수 2 3 1 2 6 1
￭ 판별식 방법 2 (Cut-Tree 방법)
- 구조물을 구성하고 있는 부재들을 절단하여 절점을 정의하고, 각각의 절단된 부재(강체) 의 절점에 미지 내부력을 표시하여 자유물체도를 구성
- 절단된 부재는 강체이어야 하므로 힌지에서 절단
- 각 자유물체도는 평형을 이루므로 각 각 세 개의 평형조건식이 주어지며 반력을 포함한 절점 미지 내부력 수는 구하여야 할 미지력의 수
×
부정정차수 절점 미지력수 평형방정식수 반력수 절점수
미지력수 방정식수
￭ Cut-Tree 방법 적용 예
위의 예를 Cut-Tree 방법으로 분석하면 모멘트 힌지C에 절점을 정의하고 2개의 자유물체 도를 고려
- 반력 4개
- 절점C의 미지력 2개
- 부재수 (자유물체도 수) 2개
- 부정정 차수 = 반력 + 절점 미지력 – 자유물체도 수×평형방정식 수 (=3) = 4 + 2 – 2×3 = 0 : 정정
￭ 부정정 판별 예
- 판별식 방법 1:
· ·
- 판별식 방법 2:
×
예1) 예2)
1.
= 4,
= 3,
= 2,
= 2 1.
= 9,
= 14,
= 9,
= 19
= 4 + 3×3 – 3×2 – 2 = 5
= 9 + 14×3 – 3×9 – 19 = 5 2.
= 4,
= 7,
= 2 2.
= 9,
= 38,
= 14
= 4 + 7 – 2×3 = 5
= 9 + 38 – 14×3 = 5예3) 예4)
1. 1.
2. 2.
예5) 예6)
1. 1.
2. 2.
8.변위일치법
n 기본개념
￭ 대상 구조물에 부정정력 발생시키는 구속들을 선택하고 해제하여 정정구조물로 만들어
이를 기본 시스템 (Fundamental system)으로 취한다.
￭ 기본시스템에 실제 하중을 가하여 구속이 해제된 위치에서의 변위를 구한다.
￭ 부정정력 ⋯ 등을 기본 시스템에 하중으로 가하여 구속이 해제된 위치에서의 변위를 구한다.
￭ 이때 기본시스템의 구속이 해제된 위치에 실제하중에 의해 발생하는 변위를 원상복구 시켜, 구속이 해제되기 전의 실제시스템의 변형조건과 일치하게 하는 힘들을 찾으면 그 힘들이 부정정력이다.
￭ 정정인 기본시스템에 실제하중과 앞에서 찾은 부정정력들을 하중으로 가하여 실제 시 스템을 해석한다.
￭ 이때 부정정력의 선택에 따라 해석이 간단해 질 수 있으며, 각각의 변위는 단위하중법 으로 구할 수 있다.
예) 1차 부정정보: 반력을 부정정력으로 선택
1) 부정정력 선택
￭ 지점 의 수직 변위에 대한 구속을 해제하고 이에 대응하는 반력 를 부정정력으로 선택한다.
2) 기본시스템
￭ 선택한 정정시스템에 실제하중을 가한다.
￭ 실제 하중 에 의해 점에는 의 처짐이 발생한다.
⊖
3) 단위하중 시스템
￭ 선택한 정정시스템이 부정정력을 단위하중 로 가한다.
￭ 에 의해 점에는
의 처짐이 발생한다.
⊕
4) 각각의 처짐 와
은 단위하중법으로 구한다.
이때 사용되는 가상의 힘에 의한 모멘트도는 단위하중시스템에서의 모멘트도와 동일하다.
5) 에 배한 힘 에 의한 변위 ·
이 와 같다면, 지점 에서의 처짐은 “”
이 되어 지점 에서의 실제보의 경계조건을 만족하고 이때의 는 실제보의 점 반력
이다.
6) 부정정력 와 실제하중 를 기본시스템에 가하여 나머지 반력과 보의 부재력을 정정 해석법에 의해 구한다. 이때 기본시스템에서 구한 모멘트도와 반력은 단위하중시스템 에서 구한 모멘트도 및 반력을 배하여 중첩할 수 있다. 전단력도 또한 동일한 방법으 로 구하거나 모멘트와 전단력의 관계를 이용하여 구할 수 있다.
여기서 Q는 부정정력으로 고차 부정정구조물의 경우 여러개의 부정정력이 나타나며 이를 단위하중 와 동일하게 표시한다. 구하고자 하는 실제 시스템의 응답(반력, 단면 력도, 변형, etc.)은 실제하중과 부정정력 에 대한 기본시스템의 응답 와 을 중첩하여 구한다.
(8.2.1) : 부정정 차수 : 부정정력, · · ·
: 기본시스템의 응답 : 단위하중 시스템의 응답
■ 앞에 기술한 내용은 다음과 같이 체계화 된다.
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
￭ : 실제하중 에 의해 이 작용하는 위치에 발생하는 변위
￭ 이때 이 힘이므로 는 이에 대응하는 변위 즉, 처짐이다.
⊖
3) 단위하중 시스템
⊕
￭ : 에 의해 이 작용하는 위치에 발생하는 변위, 즉 처짐
￭ 여기서 구한 값들은 수동적 일이므로 이들의 단위도 일의 단위 · 이어야 하나 적 용된 힘이 단위 없이 “” 로 고려되어 계산결과의 단위는 일의 단위와 일치하지 않는 다. 단지 일의 계산에 단위하중 “”이 사용되어 계산된 일의 양은 구하고자 하는 변위 의 양과 동일하다.
4) 처짐계수
￭ · · 가 음수인 것은 와 가상의 단위하중 의 방향이 반대이므로 이들에 의한 일의양이 음의 값을 가짐을 나타낸다.
￭ 한편 , 즉 는 항상 양의 값을 갖는데 이는 와 는 항상 같은 방향을 나타내 기 때문이다.
5) 부정정력
6) 내부력 계산
￭ 반력
￭ 모멘트 및 반력
⊖
⊕
⊕
￭ 전단력
예) 1차 부정정보 : 단면 모멘트를 부정정력으로 선택
￭ 보의 임의의 한점에 회전 구속을 해제하는 모멘트 힌지를 설정하고 실제보의 그 단면 에 발생할 단면 모멘트를 부정정력으로 선택한다. 이때 실제보의 처짐곡선에서 해당점 좌우의 회전각은 같다. 즉, 그 점에서의 상대회전각은 “”인 조건을 적용한다.
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
⊖
￭ : 실제하중에 의해 작용위치에 발생하는 변위
이때, 변위는 부정정력 이 모멘트이므로 이에 대응하는 회전각이다(상대회전각).
3) 단위하중 시스템
⊕
￭ : 부정정력 에 의해, 이 작용하는 위치에 발생하는 변위 즉, 회전각(상대회전각)
4) 처짐계수
·· ··
·
·
·
·
·
· · ··
·
· ··
￭ 위에서 와 의 계산이 각각 수행되지 않았다. 과 은 각각 힌지 좌우측의 을 개별적으로 계산하여 구해진다.
￭ 여기서 · · 이 음수인 것은, 과이 과 각각 반대 방향임에 기인한 다.
+ 1 1
+ 1 1
+ 1 1
+ 1
+ 1
1 1 +
1 1
5) 부정정력
·
6) 내부력 계산
⊖
⊕
·
·
⊕
예) 1차 부정정보 : 모멘트 반력을 부정정력으로 선택
￭ 고정단에 모멘트 힌지를 설정하고 실제보의 고정단에 발생할 모멘트 반력을 부정정으 로 선택한다. 이때, 고정단에 (상대)회전각은 발생하지 않는 조건을 고려한다.
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
⊕
3) 단위하중 시스템
⊕
4) 처짐계수 · ·
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·
· ·
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5) 부정정력
·
6) 내부력 계산
·
·
·
·
예) 탄성지점을 갖는 1차 부정정보
￭ 탄성지점에 전단 힌지를 설정하고 그 점에 발생할 전단력을 부정정력으로 선택한다. 이
때 구한 부정정력은 지점에서의 전단력 즉, 반력이다.
￭ 탄성지점에서 변위는 발생하나 그 점의 좌·우 상대변위는 발생하지 않는 조건을 적용 한다.
￭ 계산의 편의상 아래 계산에서 지점강성
로 가정한다.
: 지점 강성계수
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
￭ 은 실제하중에 의해 기본시스템의 지점 에 발생하는 상대변위
⊖
3) 단위하중 시스템
⊕
￭ 에 의한 지점 변위
이다.
￭ 은 단위하중 시스템의 지점 에 발생하는 상대변위이다. 은 내부일 로 계산되며 지점 의 변위 은 가상의 힘 에 대하여 외부일 ·로 계산 된다. 이는 가상의 힘 에 대한 방향을 고려한 반력 을 이용하여 · 로도 표현된다. 즉, · ·
· · ·
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4) 처짐계수
· ·
·
· ·
·· ·· ··
··
· ··
5) 부정정력
6) 내부력 계산
·
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·
·
예) 탄성지점을 갖는 1차 부정정보
￭ 고정단의 지점에 힌지를 설정하고 그 점에 발생할 모멘트 반력을 부정정력으로 선택하 여 지점의 모멘트 반력을 구한다.
￭ 고정단에서 (상대)회전각은 발생하지 않는 조건을 고려한다.
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
⊕
·
￭ 는 탄성지점을 고려하지 않고, 하중에 의한 처짐각 와 탄성지점 변위로 인한 처짐 각 의 합이다
· · ·
·3) 단위하중 시스템
⊕
·
￭ · · ·
·4) 처짐계수
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·
5) 부정정력
6) 내부력 계산
·
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·
·
■ 처짐계수 의 일반식
·
여기서,
= 탄성지점 수 = 에 대한 번째 탄성지점 반력
= 실제하중 또는 에 대한 번째 탄성지점 변위 = 이동지점 수
= 에 대한 번째 이동지점 반력 = 번째 이동지점 변위
온도하중과 지점이동의 경우 단지 에만 고려된다.
예)
···
···
···
예) 등분포하중을 받는 1차 부정정보
￭ 일반적으로 반력을 부정정력으로 선택하는 것이 간편할 수 있으나, 다음에서는 부재의 임의의 점에 전단힌지를 설정하고 단면 전단력을 부정정력으로 선택한다. 이때, 실제보 에서 전단힌지 위치에서 좌우 상대처짐은 발생하지 않는 조건을 만족시키는 부정정력 의 크기가 실제보의 단면에 작용하는 전단력이다.
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
3) 단위하중 시스템
·· ··
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4) 처짐계수
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·
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5) 부정정력
6) 내부력 계산
·
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7) 모멘트도
예) 구배온도하중을 받는 양단 고정보
￭ 양 고정단에 힌지를 설정하고 모멘트 반력을 부정정력으로 선택한다.
￭ 양 고정단에서 (상대)회전각이 발생하지 않는 조건을 적용하여 부정정력을 계산한다.
×
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
3) 단위하중 시스템
⊕
4) 단위하중 시스템
⊕
5) 처짐계수
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·· ( Maxwell의 정리. )
6) 부정정력
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7) 내부력도
⊖
(BMD) (SFD)
￭ BMD에서 나타내듯이 온도변화가 음(-)인 측에 인장응력이 발생한다.
￭ 이 예의 경우, 양 고정단에서 동일한 모멘트 반력이 발생함을 고려하면 단지 1개의 부정정력 을 양쪽 고정단에 적용할 수 있다.
예) 지점변위가 주어진 1차 부정정보의 내부력
￭ 지점변위는 처짐계산에 포함시키지 않고 처짐 방정식의 우변에 고려할 수 있다.
·
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
⊕
·
￭
￭ 지점 변위 는 단위하중 시스템 에 대하여 외부일을 발생, · ·
3) 단위하중 시스템
⊖
4) 처짐계수
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5) 부정정력
(는 방향과 반대)
6) 내부력계산
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n 지점변위는 처짐계산에 포함시키지 않고 처짐 방정식의 우변에 고려할 수도 있다.
예) 온도변화와 지점변위를 갖는 구조물 (과제)
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1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
3) 단위하중 시스템
4) 처짐계수
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5) 부정정력
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6) 모멘트도
예) 2개의 내부지점을 갖는 연속보
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
3) 단위하중 시스템
⊖
4) 단위하중 시스템
⊕
5) 처짐계수
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6) 부정정력
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7) 내부력 계산
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8) 내부력도
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§ 본 예는 대칭 시스템이므로 대칭되는 부정정력 2개를 선택하여 일차 부정정 구조물로 해석하는 것이 효율적이다.
예) 아래 부정정보에서 점의 모멘트를 구하시오.
￭ 보의 중앙에 모멘트 힌지와 전단힌지를 설정하고 실제보의 처짐곡선에서 해당점 좌우 의 상대회전각과 상대변위는 발생하지 않는 조건을 적용
1) 부정정력 선택
2) 기본시스템
⊖
⊖
3) 단위하중 시스템
⊕
⊖
