정답과해설

정답과해설

II III

IV

실수와 그 연산 1. 제곱근과 실수`_ 2

2. 근호를 포함한 식의 계산`_ 7 인수분해

1. 인수분해`_ 18 이차방정식

1. 이차방정식과 풀이`_ 27 2. 이차방정식의 활용`_ 33 이차함수

1. 이차함수와 그 그래프`_ 43 2. 이차함수의 활용`_ 49

I

P.9～12

STEP 1 ^{유형별 문제 공략하기}

1^-1① 1^-2—'2 1^-3'3 1^-4-2b 1^-5-2x 2^-1175 2^-216 2^-314, 44, 86 2^-463 2^-5a=84, b=112 3^-1⑤ 3^-25 3^-36개 3^-4 , , 'a, a, a¤ 4^-1③ 4^-2③ 4^-3④ 4^-4① 5^-1④

5^-2⑴ '5 ⑵ P(1+'5) ⑶ Q(1-'5) 5^-310 5^-42+'2 6^-1③ 6^-2A>B>C 6^-3③

1 'a 1 a

실수와 그 연산

I

ㄱ. a의 제곱근이 x이면 x¤ =a이다.

ㄴ. (-3)¤ =9이므로 -3은 9의 제곱근이다.

ㄷ. '∂49=7

ㄹ. a<0이면 "ça¤ =-a이다.

ㅁ. "√(-4)¤ ='1ß6=4이므로

"√(-4)¤ 의 제곱근은 —2이다.

ㅂ. "√'∂256='1ß6=4이므로 16의 양의 제곱근이다.

ㅅ. '4=2

ㅇ. a-1<0이므로 "√(a-1)¤ =-(a-1)=-a+1 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ, ㅅ의 3개이다.

a>0이므로 "ça¤ =a=16

∴ b='a='∂16=4

따라서 'b='4=2의 제곱근은 —'2이다.

'2-3<0, -6-'2<0이므로 øπ"√"√('2-3)¤ +√"√(π-6-'2)¤

=øπ"√-('2-3)π+√(6+'2)

="ç'9='3

a-b>0, ab<0이므로 a>0, b<0 따라서 b-a<0, -b>0이므로

"√(b-a)¤ -"√a¤ +"√(-b)¤ =-(b-a)-a+(-b)

=a-b-a-b

=-2b

-1<x<0이므로 <-1 따라서 x+ <0, x- >0이므로

æ≠{x+ }2 -æ≠{x- }2 =-{x+ }-{x- }

=-x- -x+

=-2x

1 x 1

x

1 x 1

x 1

x 1

x

1 x 1

x 1

1

1

1

1

1

æ≠ =æ≠ 이 자연수가 되려면

x=7, 7_3¤ , 7_5¤ , 7_3¤ _5¤

따라서 세 자리의 자연수는 7_5¤ =175

= 가 자연수가 되려면 n은 480의 약수이 어야 한다.

"√3(n-4)가 자연수가 되려면 n-4=3m¤ `(m은 자연수) 이어야 하므로

n=3m¤ +4

∴ n=7, 16, 31, 52, y

따라서 480의 약수이면서 "√3(n-4)가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 n의 값은 16이다.

n이 두 자리의 자연수이므로 10…n…99

∴ 20…n+10…109 y㉠

"6√(n+10)이 자연수가 되려면

n+10=6_1¤ , 6_2¤ , 6_3¤ , 6_4¤ , 6_5¤ , y 이때 ㉠을 만족해야 하므로

n+10=6_2¤ 에서 n=14 n+10=6_3¤ 에서 n=44 n+10=6_4¤에서 n=86

∴ n=14, 44, 86

"√2057+121a="√121(17+a)="√11¤ (17+a) 이므로 17+a는 17보다 큰 제곱수이어야 한다.

즉, 17+a=25, 36, 49, y

이때 a가 가장 작은 자연수 이어야 하므로 17+a=25 ∴ a=8

∴ b="√11¤ (17+8)=55

따라서 a+b의 최솟값은 8+55=63

a : b=3 : 4이므로 a=3k, b=4k(k>0)라 하면 'ƒa+b='∂7k 가 자연수가 되어야 하므로

k=7_1¤ , 7_2¤ , 7_3¤ , 7_4¤ , y

이때 3k는 두 자리의 자연수이고 4k는 세 자리의 자연수 이므로

k=7_2¤ =28

∴ a=84, b=112

① a<b<0의 각 변에 -1을 곱하면 -a>-b>0

② -a>-b>0이므로 (-a)¤ >(-b)¤

∴ a¤ >b¤

③ -a>-b>0이므로 "ç-a>"ç-b

④ a<b<0이므로 >

⑤ a<b<0의 각 변에 a를 곱하면 a¤ >ab>0 ∴ "ça¤ >"çab 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

1 b 1 a

3

2

2

2

2fi _3_5 n 480

2

3¤ _5¤ _7 x 1575

2

1 ^{제곱근과 실수}

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

3

-'1å7<-'x<-2의 각 변에 -1을 곱하면 2<'x<'1å7

각 변을 제곱하면 4<x<17 y㉠ '6<'3ßx<4의 각 변을 제곱하면 6<3x<16 각 변을 3으로 나누면 2<x< y㉡

따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 자연수 x의 값은 5이다.

2<"√a+4b<4의 각 변을 제곱하면 4<a+4b<16 a, b가 소수이므로

b=2일 때, -4<a<8 ∴ a=2, 3, 5, 7 b=3일 때, -8<a<4 ∴ a=2, 3

bæ5인 소수일 때, 주어진 조건을 만족하는 소수 a는 없다.

따라서 구하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (5, 2), (7, 2)의 6개이다.

0<a<1이므로 a= 이라 하면

'a= , =4, =2, a¤ =

∴ > >'a>a>a¤

① Ƭ =Æ = (유리수)

② 4096=64¤ 이므로 "√'∂ƒ4096='ß∂64=8(유리수)

③ "√2+'9='ƒ2+3='5(무리수)

④ "ç0.H1=Æ = (유리수)

⑤ 'ƒ0.16=0.4(유리수) 따라서 무리수인 것은 ③이다.

① 2<'5<3이고, 3<'∂10<4이므로 3이 두 수 사이에 있다.

② 두 수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재한다.

④ 두 수 사이에는 무수히 많은 무리수가 존재한다.

⑤ 유리수이면서 무리수인 수는 없다.

① a=2, b='2이면 b-'a='2-'2=0 (유리수)

② a=2, b=-'2이면

'a+b='2+(-'2)=0 (유리수)

③ a=2, b='2이면 = =1(유리수)

④ (유리수)+(무리수)=(무리수)이므로 a+b는 무리수

⑤ a=4, b='2이면 b¤ 'a=('2)¤ _'4=4 (유리수) 따라서 항상 무리수인 것은 ④이다.

ㄱ. (유리수)—(유리수)=(유리수)이므로 두 유리수 x, y에 대하여

y-x+'2 ∴ y+x+'2 ㄴ. 직선 y='2x는 점 (0, 0)을 지난다.

ㄷ. x=0일 때, y는 존재하지 않는다.

4

'2 '2 b 'a

4

4

1 3 1 9

3 2 9 4 27

4

1 'a 1 a

1 16 1

'a 1

a 1 2

1

3

3

16 3

3

고 x_ =1이므로 무리수 y가 존재한다.

ㅁ. x='2, y=-'2이면 x-y=2'2 (무리수)이지만 x+y=0(유리수)

ㅂ. x=-'3, y='3이면 x+y=0 (유리수) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ의 2개이다.

ABCD= _AC” ¤ =4

∴ AC”=BD”='8

(∵ AC”>0)

① BO”는 한 변의 길이가 1 인 정사각형의 대각선이 므로 BO”='2

② PC”=AC”='8이므로 P(3-'8)

③ BQ”=BD”='8이므로 Q(1+'8)

④ BR”=BO”='2이므로 R(1+'2)

⑤ PQ”=(1+'8)-(3-'8)=2'8-2 따라서 옳은 것은 ④이다.

⑴ 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓 이는 밑변의 길이, 높이가 각각 2, 1 인 직각삼각형의 넓이이므로 2_1_ =1

∴ ABCD=1+4_1=5 ABCD는 정사각형이므로 ABCD=AD” ¤ =5

∴ AD”='5 (∵ AD”>0)

⑵ AD”='5이므로 P(1+'5)

⑶ CD”=AD”='5이므로 Q(1-'5)

두 정수 x, y와 x+'1å3, y-'1å3을 넓이가 13인 정사각 형을 이용하여 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

x와 x+'1å3 사이에 있는 정수의 개수는 3개, y-'1å3과 y 사이에 있는 정수의 개수는 3개이므로 x, y 사이에 있는 정수의 개수는 3+3+3=9(개)이다.

따라서 y=x+10이므로 y-x=10

AC”는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선이므로 AC”='2

이때 점 A는 다음 그림과 같이 이동한다.

따라서 점 A'에 대응하는 수는 2+'2이다.

A(0) B(1) C(2) A B C

A' B' C'

5

x y

넓이 13 넓이 13

x+ 13 y- 13

5

1 2

B

D A C

5

P 1 3

A

B

D

C O

Q R 1

5

1 x

1 x

① '5>'3이므로 '5+'4>'3+'4

② '1å0-('9+1)='1å0-4<0

∴ '1å0<'9+1

③ '0ß.6>0.6이고, æ = 이므로

'0ß.6 - >0.6-æ

④ ('1å2+1)-5='1å2-4<0

∴ '∂12+1<5

⑤ ('6+2)-(3+'5)='6-'5-1<0

∴'6+2<3+'5 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

A-B=(2+'2)-('2+'3)

=2-'3>0

∴ A>B

B-C=('2+'3)-('3+1)

='2-1>0

∴ B>C

∴ A>B>C

a¤ =('1å7+'8)¤ =17+2'1ƒ7_8+8

=25+2'1∂36

b¤ =('1å9+'5)¤ =19+2'1ƒ9_5+5

=24+2'9å5

c¤ =('1å5+'1å0)¤ =15+2'1ƒ5_10+10

=25+2'1∂50

이때 a>0, b>0, c>0이므로

a¤ -b¤ =1+2'1∂36-2'9å5>0에서 a>b b¤ -c¤ =-1+2'9å5-2'1∂50<0에서 b<c a¤ -c¤ =2'1∂36-2'1∂50<0에서 a<c

∴ b<a<c

6

6

1 4 1

2

1 2 1 4

6

x=1, 2, 3일 때, N(x)=1

˙k N(1)+N(2)+N(3)=1_3=3 x=4, y, 8일 때, N(x)=2

˙k N(4)+y+N(8)=2_5=10 x=9, y, 15일 때, N(x)=3

˙k N(9)+y+N(15)=3_7=21 x=16, y, 24일 때, N(x)=4

˙k N(16)+y+N(24)=4_9=36

즉, N(1)+y+N(24)=3+10+21+36=70이고, N(25)=N(26)=5이므로

N(1)+N(2)+y+N(26)=70+5_2=80

∴ x=26

æ≠ =æ≠

=æ≠

=æ≠

=æ– =

'2å8<a<'3å2에서 5<'2å8, '3å2<6이므로 5<a<6

∴ "√(a-1)¤ +"√(a-2)¤ +"√(a-3)¤ +y+"√(a-10)¤

=(a-1)+y+(a-5)+(6-a)+y+(10-a)

=-1-2-3-4-5+6+7+8+9+10

=25

① x<0에서 2-x>0이므로 "ç√(2-x)¤ =2-x

② x<0에서 x-2<0이므로 -"ç√(x-2)¤ =-(-x+2)=x-2

③ y>-2에서 y+2>0이므로 "ç√(y+2)¤ =y+2

④ y<0에서 y-2<0이므로 -"ç√(y-2)¤ =-(-y+2)=y-2

⑤ y<0에서 -y>0이므로 -"ç√(-y)¤ =-(-y)=y 이때 -2<x<y<0이므로 x-2<y-2<y<y+2<2-x 따라서 가장 큰 것은 ①이다.

x=øπ5+"√5+'ƒ5+y 의 양변을 제곱하면 x¤ =5+"√5+'ƒ5+y, 즉 x¤ =5+x

∴ x¤ -x=5

∴ x¤ -x+3=5+3=8

㈎에서 'ßa¡, 'ßa™, 'ßa£, 'ßa¢, 'ßa∞가 자연수이므로 a¡, a™, a£, a¢, a∞는 모두 제곱수이다.

㈏, ㈐에서 a¡=4, a™=9, a£=16 이때 a™='ßa¢, a£='ßa∞이므로 'ßa¢=9, 'ßa∞=16

따라서 a¢=81, a∞=256이므로 a¢+a∞=81+256=337

0 7 0 6 0 5 0 4

1 5 1 5¤

5¤ › (5⁄ ‚ +1) 5¤ fl (5⁄ ‚ +1)

5‹ › +5¤ › 5‹‹ fl +5¤ fl

(5¤ )⁄ ‡ +5¤ › (5‹ )⁄ ¤ +(5¤ )⁄ ‹ 25⁄ ‡ +5¤ ›

125⁄ ¤ +25⁄ ‹

0 3 0 2

P.13～15

STEP 2 ^{실전 문제 정복하기}

æ≠ {a_ }=0.H3의 양변을 제곱하면 {a_ }={ }

¤ ∴ a=

㈎`에서 a를 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 하므로 ㈏, ㈐에 의해

p=3, q=5

∴ a= = =1 5 3 3_5 p

3q

p 3q 1

3 q p 1 3

q p 1

0 1

01 0226 03 0425 05① 068 07337 0844 09108

10세 자리 112개 1212 13⑤ 1478개 15㈎ 서로소 ㈏ 3p' ㈐ 3의 배수 16④ 17_10'5p 18④ 19'ƒa-b>'a-'b 20①

1 5 1

5

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

5

'1ƒ96-a-'6ƒ4+b가 가장 큰 정수가 되려면

'1ƒ96-a는 가장 큰 정수가 되고, '6ƒ4+b는 가장 작은 정 수가 되어야 한다.

이때 a, b는 자연수이므로 '1ƒ96-a가 가장 큰 자연수가 되려면 196-a의 값이 196보다 작은 제곱수 중 가장 큰 수 이어야한다.

즉, 196-a=13¤ ∴ a=27

'ƒ64+b가 가장 작은 정수가 되려면 64+b의 값이 64보다 큰 제곱수중 가장작은 수이어야한다.

즉, 64+b=9¤ ∴ b=17

∴ a+b=27+17=44

14¤ <209<15¤ 이므로 14<'ƒ209<15 3¤ <14<'∂209<15<4¤ 이므로 a=3

즉, Æ 이 자연수가 되려면 n=3_m¤ (m은 자연수)이어 야 한다.

m=5일 때, n=75 m=6일 때, n=108

따라서 100에 가장 가까운 자연수 n의 값은 108이다.

10…'∂18n<100이므로 각 변을 제곱하면 100…18n<10000

∴ …n< y㉠

100…'∂50n<1000이므로 각 변을 제곱하면 10000…50n<1000000

∴ 200…n<20000 y㉡

㉠, ㉡`에서 200…n< 이므로 n은 세 자리의 자연수이 다.

"√n¤ +24=m(m은 자연수)이라 하면 n¤ +24=m¤

24=m¤ -n¤ =(m+n)(m-n)

이때 (m+n)+(m-n)=2m은 짝수이고,

m+n>m-n이므로 순서쌍 (m+n, m-n)은 (12, 2), (6, 4)이다.

따라서 순서쌍 (m, n)은 (7, 5), (5, 1)이므로 n의 개 수는 2개이다.

1<"√|3-x|<2의 각 변을 제곱하면 1<|3-x|<4

⁄ 3-xæ0, 즉 x…3일 때, 1<3-x<4

∴ -1<x<2

이를 만족하는 정수 x는 0, 1이다.

¤ 3-x<0, 즉 x>3일 때, 1<-3+x<4

∴ 4<x<7

이를 만족하는 정수 x는 5, 6이다.

따라서 ⁄, ¤에 의해 주어진 조건을 만족하는 모든 정수 x의 값의 합은

0+1+5+6=12

12 11

5000 9 5000

9 50

9

10

n 3

0 9

0 8

n'2…'ƒ1000의 양변을 제곱하면 2n¤ …1000, n¤ …500 이때 n은 자연수이므로 1…n…22 따라서 직선이 지나는 점은 모두 22개이다.

⁄ 'n이 무리수이어야 하므로 n+k¤ (k는 자연수) n이 될 수 없는 수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100의 10개

¤ '∂2n이 무리수이어야 하므로 n+2p¤ (p는 자연수) n이 될 수 없는 수는 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98의 7개

‹ '∂3n이 무리수이어야 하므로 n+3q¤ (q는 자연수) n이 될 수 없는 수는 3, 12, 27, 48, 75의 5개 따라서 ⁄, ¤, ‹에서 중복되는 자연수가 없으므로 구하 는 n의 개수는

100-(10+7+5)=78(개)

① a가 유리수이므로 3a¤ 은 유리수이다.

이때 (유리수)+(무리수)=(무리수)이므로 3a¤ +b는 무리수이다.

② a=1, b=1+'2이면 a¤ b¤ =3+2'2 (무리수)

③ b='2-1이면 b¤ =3-2'2 (무리수)

④ a가 유리수이므로 a¤ 은 유리수이고, b가 무리수이므로 3b는 무리수이다.

이때 (유리수)-(무리수)=(무리수)이므로 a¤ -3b는 무리수이다.

⑤ a=0, b='2이면 ab=0_'2=0 (유리수) 따라서 항상 옳은 것은 ④이다.

원의 넓이가 5p이므로 원의 반지름의 길이를 r라 하면 pr¤ =5p

∴ r='5 (∵ r>0)

이때 원을 다섯 바퀴 굴렸으므로 OP”=5_(원의 둘레의 길이)

=5_(2p_'5)=10'5p

따라서 점 P에 대응하는 수는 10'5p이다.

q=p+1이고, BE”=BD”='2이므로 r=p+'2

ㄱ. (유리수)+(유리수)=(유리수), (유리수)+(무리수)=(무리수)이므로

p가 유리수이면 q는 유리수, r는 무리수이다.

ㄴ. p='2이면 r=p+'2=2'2 (무리수) ㄷ. r=p+'2=q-1+'2 (∵ p=q-1)

-1+'2가 무리수이므로 q가 유리수이면 r는 무리수 이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

('aƒ-b)¤ -('a-'b)¤ =(a-b)-(a-2'aåb+b)

=2'aåb-2b

=2'aåb-2"≈b¤ >0

(∵ a>b>0이므로 'aåb>"≈b¤ )

∴ ('aƒ-b)¤ >('a-'b)¤

이때 'aƒ-b>0, 'a-'b>0이므로 'aƒ-b>'a-'b

19

18

17

16

14

13

0<a<1이므로 A>0, B>0, C>0 A¤ -B¤ =(1-'a)¤ -('1∂-a)¤

=(1-2'a+a)-(1-a)

=2a-2'a

=2(a-'a)<0 (∵ a¤ <a이므로 a<'a)

∴ A¤ <B¤

∴ A<B y㉠

B¤ -C¤ =('1∂-a)¤ -{1- }¤

=(1-a)-{1-a+ }

=- <0

∴ B¤ <C¤

∴ B<C y㉡

따라서 ㉠, ㉡에서 A<B<C a¤

4

a¤

4 a 2

20

되어야 한다.

이때 B도 자연수이므로 B=5, 3¤ _5, 5‹ , 3¤ _5‹

㈏에서 B=æ≠ 의 양변을 제곱하면 B¤ = 이므로 C=

⁄B=5일 때, C= =3› _5

¤B=3¤ _5일 때, C= =5

‹B=5‹일 때, C= =

›B=3¤ _5‹ 일 때, C= =

⁄~› 중에서 C가 자연수인 ⁄, ¤에서 A의 값을 각 각 구하면

⁄B=5일 때, A=æ≠ =15

¤B=3¤ _5일 때, A=æ≠ =5

따라서 구하는 자연수 A, B, C의 순서쌍 (A, B, C)는 (15, 5, 405), (5, 45, 5)

⑴ '∂5n이 자연수이므로 n=5k¤ `(k는 자연수) 이때 n…100이므로

n=5_1¤ , 5_2¤ , 5_3¤ , 5_4¤

∴ n=5, 20, 45, 80

⑵ '∂8n="≈√2¤ _2n이므로 <'∂8n >=<'∂2n >=5 즉, '∂10n이 자연수이므로 n=10k¤ (k는 자연수) 이때 n…100이므로

n=10_1¤ , 10_2¤ , 10_3¤

∴ n=10, 40, 90

⑶ '∂18n="≈√3¤ _2n이므로 <'∂18n>=<'∂2n >

즉, <'∂18n>+<'∂8n >=<'∂2n >+<'∂2n >

=2_<'∂2n >=6

∴ <'∂2n>=3

즉, '∂6n이 자연수이므로 n=6k¤ (k는 자연수) 이때 n…100이므로

n=6_1¤ , 6_2¤ , 6_3¤ , 6_4¤

∴ n=6, 24, 54, 96

처음 네 자리의 자연수의 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 숫자를 각각 a, b, c, d(ad+0)라 하면 A=1000a+100b+10c+d,

B=1000d+100c+10b+a이므로 A-B=(1000a+100b+10c+d)

-(1000d+100c+10b+a)

=999(a-d)+90(b-c)

=9{111(a-d)+10(b-c)}

∴ 'ƒA-B="√3¤ {111(a-d)√+10(b-c)}

"√3¤ {111(a-d)√+10(b-c)}가 자연수이므로 근호 안의 수는 제곱수이다.

0 5 0 4

3¤ _5‹

3¤ _5 3¤ _5‹

5

1 5‹

3› _5‹

3› _5fl 3›

5‹

3› _5‹

5fl 3› _5‹

3› _5¤

3› _5‹

5¤

3› _5‹

B¤

3› _5‹

C

3› _5‹

C

0 3

P.16～17

STEP 3 ^{최고 수준 완성하기}

011282 026개 03(5, 45, 5), (15, 5, 405) 04⑴ 5, 20, 45, 80 ⑵ 10, 40, 90 ⑶ 6, 24, 54, 96 0578 06180 07ㄱ, ㄴ

`f(1)='ƒ1_2_3_4+1-1¤

='∂25-1

=5-1=4

`f(2)='ƒ2_3_4_5+1-2¤

='∂121-4

=11-4=7

`f(3)='ƒ3_4_5_6+1-3¤

='∂361-9

=19-9=10

`f(4)='ƒ4_5_6_7+1-4¤

='∂841-16

=29-16=13

⋮

∴ f(n)=3n+1

∴ f(427)=3_427+1=1282

a.Hb=a+ = 이므로

"≈ça.Hb=æ≠ =

따라서 가 유리수가 되려면 9a+b가 제곱수가 되어야 한다.

이때 a와 b는 한 자리의 자연수이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, 7), (2, 7), (3, 9), (5, 4), (7, 1), (8, 9)의 6개이 다.

'߃9a+b 3

'߃9a+b 3 9a+b

9 9a+b

9 b

0 2

0 1

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

7

즉, 111(a-d)+10(b-c)=k¤ (k는 자연수) y ㉠ ad+0이고, a, d는 모두 한 자리의 자연수이므로 -8…a-d…8

그런데 ㉠에서 a-d<0일 때 좌변이 음수가 되므로 0…a-d…8

∴ a-d=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

이때 a-d는 k¤ 의 일의 자리의 숫자이고, 제곱수의 일의 자리의 숫자는 0, 1, 4, 5, 6, 9뿐이므로 위의 a-d의 값 중에서 k¤ 이 최댓값을 가질 때의 a-d의 값은 6이다.

∴ k¤ =111(a-d)+10(b-c)=666+10(b-c) 또 -9…b-c…9이므로

576(=24¤ )…666+10(b-c)…756<784(=28¤ ) 즉, k¤ =24¤ , 25¤ , 26¤ , 27¤ 인데 이 중 일의 자리의 숫자가 6인 k¤ 의 최댓값은 26¤ 이다.

∴ "√A-B="√3¤ {111(a-d)√+10(b-c)}

…"√3¤ _26¤ =3_26=78 따라서 구하는 최댓값은 78이다.

'∂101-'∂100< <'∂100-'ß99, '∂102-'∂101< <'∂101-'∂100, '∂103-'∂102< <'∂102-'∂101,

⋮

'ƒ10001-'ƒ10000< <'ƒ10000-'ƒ9999 이므로 각각의 변끼리 더하면

'ƒ10001-'∂100

< { + + +y+ }

<'ƒ10000-'∂99 각각의 변에 2를 곱하면 2('ƒ10001-10)

< + + +y+

<2(100-'ß99)

이때 'ƒ10001=100.^___, 'ß99=9.^___이므로 180.___< + +y+ <180.___

따라서 이 값보다 크지 않은 최대의 정수는 180이다.

ㄱ. 삼각형은 외접하는 직사각형이 항상 존재하므로 오른쪽 그림에서

△`ABC= `DECF-(△`ADB +△`BEC+△`CFA) ㄱ.이때 (유리수)-(유리수)=(유리수)이

므로 삼각형의 넓이는 항상 유리수이다.

ㄴ. 임의의 정사각형의 한 변의 길이는 "ç(자연수)의 꼴이므 로 정사각형의 넓이는 항상 정수이다.

ㄷ. 임의의 오각형은 한 꼭짓점에서 그은 대각선에 의해 3 개의 삼각형으로 나누어지므로 ㄱ에 의해 오각형의 넓 이는 항상 유리수이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

B

D F

E A

C

0 7

1 'ƒ10000 1

'∂101 1

'∂100

1 'ƒ10000 1

'∂102 1

'∂101 1

'∂100

1 'ƒ10000 1

'∂102 1

'∂101 1

'∂100 1 2

1 2'ƒ10000 1

2'∂102 1 2'∂101

1 2'∂100

0 6

P.20～24

STEP 1 ^{유형별 문제 공략하기}

1^-1⑴ 216'3 ⑵ - ⑶ - 1^-22'2 1^-3③ 2^-1 2^-26'2 2^-3

3^-1⑴ 6'3+2'6 ⑵ 5'7+4 ⑶ 0

3^-2⑴ '3+2'5 ⑵ '∂10 3^-33'2-5 3^-4 4^-1a=3, b=6 4^-2 4^-3④ 4^-4-4 5^-16-3'3 5^-2

5^-3⑴ 4'2 ⑵ -16'2 5^-44 6^-19 6^-22'3+3'2-'3å0 6^-3(3'2-3)cm

6^-410+4'6 6^-5'5 7^-11.4008 7-2②, ④ 7^-3⑴ 14.21 ⑵ 0.1738 ⑶ 5.656 ⑷ 3.47

7^-411.4126 8^-14 8^-25p-3 8^-34-3'2 8^-4'∂35-5 8^-5② 8^-65

'6 3 9 2 7'3

9

4'6 15 2'3

3

4 45 2'5

3

⑴ (주어진 식)="√2_3_2› _3‹ √_2_3‹

="√2fl _3‡

=2‹ _3‹ '3

=216'3

⑵ (주어진 식)={- }_ _

=-

⑶ (주어진 식)={- }_ _3›

=-

(주어진 식)= ="Ωç'∂64 ='8=2'2

ㄱ. 100'a='1ƒ0000a ㄴ. "ça‹ 'b=a'a'b=a'∂ab

ㄷ. 'ƒ0.001a=æ≠ =æ≠ = ㄹ. a>0이므로 "(√-a)¤ b="ça¤ b=a'b 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

x¤ = 이므로

= = = æ;3$;= =2'3

3 2'3 '3'3

;7*;

;7^;

æ1≠+;7!;

æ1≠-;7!;

"√1+x¤

"√1-x¤

1

2

'∂10a 100 10a

10000 a

1000

1

;2!;

;12!8;

1

4 45

1 15'2 4'2

3fi 2'5

3

2 '3 '∂15 2'2 2'2

3

1

2 근호를 포함한 식의 계산

Æ +Æ = + = +

= + =

= =3'8=6'2

=2에서

5a+3b=6a-2b ∴ a=5b 주어진 식에 a=5b를 대입하면

=æ≠ = = =

⑴ (주어진 식)=12'3-6'6+8'6-6'3

=6'3+2'6

⑵ (주어진 식)=4'7-2'7+4+3'7

=5'7+4

⑶ (주어진 식)=æ≠ + -æ≠

= + -

= + - =0

⑴ (주어진 식)=2'3+'5- +

=2'3+'5-'3+'5

='3+2'5

⑵ (주어진 식)

= -2+{'∂12+ } +2-'2

= -2+'2+ +2-'2='∂10

A='∂18-2=3'2-2 B=A'2-3=(3'2-2)'2-3

=6-2'2-3=3-2'2 C=B'2+1=(3-2'2)'2+1

=3'2-4+1=3'2-3

∴ A-3B-2C=(3'2-2)-3(3-2'2)-2(3'2-3)

=3'2-2-9+6'2-6'2+6

=3'2-5

(주어진 식)='3- ='3-

='3- ='3-

='3- ='3-

='3- =7'3 9 2'3

9

2 3'3 1

3'3 2

1 '3+'3

2 1

'3+

3 2'3

1 1 '3+112

112'33 1

1 '3+1111

'3 '3-123

3

3

3'∂10 5 2'∂10

5

1 '6 3'∂60

5 2'2

'5

15 3'5 15

3

3'3 5 2'3

5 '3

5

6'3 10 2'3

5 2'3

10

108 100 6'3

15 12 100

3

4'6 15 4'2'3 5'3'3 4'2

5'3 32b¤

3_25b¤

"ç32b¤

"ç3a¤

5a+3b

2

24'8 8

'aåb(a+b) ab a'aåb

ab b'aåb

ab

'aåb b 'aåb

a 'a 'b 'b 'a a b b

2

a-3=0이어야 하므로 a=3

(6+a'5)(b-3'5)=6b-18'5+ab'5-15a

=(6b-15a)+(ab-18)'5 ab-18=0이어야 하므로 ab=18

∴ b=6

(주어진 식)= -2- +3

=1+ -

=1+{ - }`'6 - =0이어야 하므로 =

∴ k=

(1+2'2)a-(-1+'2)b=a+2a'2+b-b'2

=(a+b)+(2a-b)'2

=5+7'2 이때 a, b는 유리수이므로

a+b=5, 2a-b=7

두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=1

∴ a-b=4-1=3

(a≠b)+(2b≠a)=(a'2+b)+(2b'2+a)=1이므로 (a+b)+(a+2b)'2=1

이때 a, b는 유리수이므로 a+b=1, a+2b=0

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ (b'2)≠(-a)=(-'2)≠(-2)

=-'2'2-2

=-2-2

=-4

(2+'3 )(2-'3 )=4-3=1 (2+'3 )‹ (2-'3 )›

={(2+'3)(2-'3 )}‹ _(2-'3 )

=2-'3

(2+'3 )fi (2-'3 )‡

={(2+'3 )(2-'3 )}fi _(2-'3 )¤

=(2-'3 )¤

=7-4'3

∴ (주어진 식)=1-(2-'3 )+(7-4'3)

=6-3'3

x ◎ y= =

= = '3 6 1 2'3

('3+'2)('3-'2) ('3+'2)+('3-'2) xy

5

5

4

4

9 2

3 2 k 3 k

3 3 2

k 3 3 2

k'63 3'62

k'2 '3 3'3

4

4

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

9

x y = =

= =2'2

∴ (x ◎ y)(x y)= _2'2=

⑴ (주어진 식)={('2+1)+'3 }{('2+1)-'3 } +{'3-('2-1)}{'3+('2-1)}

⑴ '2+1=A, '2-1=B로 치환하면 (A+'3)(A-'3)+('3-B)('3+B)

=A¤ -3+3-B¤ =A¤ -B¤

=('2+1)¤ -('2-1)¤

=(3+2'2)-(3-2'2)

=4'2

⑵ (주어진 식)={'3+('2+1)}‹ {'3-('2+1)}‹

'2+1=A로 치환하면

('3+A)‹ ('3-A)‹ ={('3+A)('3-A)}‹

=(3-A¤ )‹ ={3-('2+1)¤ }‹

=(-2'2)‹ =-16'2

('2-1)« =A, ('2+1)« =B로 치환하면 (주어진 식)=(A+B)¤ -(A-B)¤

=(A¤ +2AB+B¤ )-(A¤ -2AB+B¤ )

=4AB

=4('2-1)« ('2+1)«

=4 {('2-1)('2+1)}«

=4(2-1)« =4

분모를 유리화하면

(주어진 식)=('2-1)+('3-'2)+('4-'3)

+y+('1∂00-'9å9)

=10-1=9

'2+'3=X로 치환하면

= =

= =

=

=

=2'3+3'2-'3å0

넓이의 비가 1：2이므로 둘레의 길이의 비는 1：'2이다.

(작은 정삼각형의 둘레의 길이)=9_

=

=9'2-9 (cm)

∴ (작은 정삼각형의 한 변의 길이)= (9'2-9)

=3'2-3 (cm) 1

3 9('2-1) ('2+1)('2-1)

1 1+'2

6

12('2+'3-'5)'6 2'6'6 12('2+'3-'5)

2'6

12('2+'3-'5) ('2+'3)¤ -5 12(X-'5)

X¤ -5

12(X-'5) (X+'5)(X-'5) 12

X+'5 12

'2+'3+'5

6

6

5

5

'6 3 '3

6 2'21

('3+'2)-('3-'2) ('3+'2)('3-'2) x-y

xy x= = =5+2'6

∴ (주어진 식)

=

=

= =2x

=2(5+2'6)=10+4'6

(x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=36-4_4=20

∴ x-y='2å0=2'5 ( ∵ x>y)

∴ =

=

= = ='5

+ = + = +

=1.118+0.2828=1.4008

① 'ƒ5200='ƒ52_100=10'∂52

② 'ƒ520='ƒ5.2_100=10'∂5.2

③ '∂0.52=Æ… =

④ 'ƒ0.052=Æ… =

⑤ 'ƒ0.0052=Æ… =

따라서 그 값을 구할 수 있는 것은 ②, ④이다.

⑴ '∂202='ƒ2.02_100=10'ƒ2.02

=10_1.421=14.21

⑵ 'ƒ0.0302=æ≠ =

= =0.1738

⑶ '∂32=4'2=4_1.414=5.656

⑷ 'ƒ12.04='ƒ4_3.01=2'∂3.01

=2_1.735=3.47

'∂136='ƒ1.36_100=10'ƒ1.36

=10_1.166=11.66 'ƒ0.0612=æ≠ =æ≠ =

= =0.2474

∴ x='∂136-'ƒ0.0612

=11.66-0.2474

=11.4126 1.237

5

'ƒ1.53 5 1.53

25 4_1.53

100

7

1.738 10

'∂3.02 10 3.02

100

7

'5å2 100 52

10000 '∂5.2

10 5.2 100

'5å2 10 52 100

7

'2 5 '5

2 2 5'2 5 2'5 2 '∂50 5

7

10 2'5 6+2'4

2'5 x+y+2'xåy

x-y ('x+'y)¤

('x-'y)('x+'y) 'x+'y

'x-'y

6

4x 2

2x-2'ƒx+1 'ƒx-1 +2x+2'ƒx+1 'ƒx-1 (x+1)-(x-1 )

('ƒx+1-'ƒx-1 )¤ +('ƒx+1+'ƒx-1 )¤

('ƒx+1+'ƒx-1 )('ƒx+1-'ƒx-1 ) ('3+'2)¤

('3-'2)('3+'2) '3+'2

'3-'2

6

1<'3<2이므로 2<4-'3<3

∴ a=2, b=(4-'3)-2=2-'3

∴ + = +

= +

= =4

2<'7<3이므로 p='7-2 ∴ '7=p+2 13<'∂175<14이므로 '∂175의 소수 부분은 '∂175-13=5'7-13=5(p+2)-13

=5p+10-13

=5p-3

2'2='8이고 2<'8<3이므로 a=2'2-2 1<3-'2<2이므로 b=2-'2

이때 a, b는 소수 부분이므로

0…a<1, 0…b<1에서 1-a>0, b-1<0

∴ "√(1-a)¤ -"√(b-1)¤ =1-a-(-b+1)

=-a+b

=-2'2+2+2-'2

=4-3'2

=-4에서 5x-2y=-4(3x-4y) 5x-2y=-12x+16y

17x=18y ∴ y= x 주어진 식에 y= x를 대입하면

=æ≠ = = ='3å5

이때 5<'∂35<6이므로 '∂35의 소수 부분은 '∂35-5이다.

f(n)=8에서 'n의 정수 부분이 8이므로 8…'n<9, 64…n<81

∴ a=64, b=80

따라서 f(ab)는 'ƒ64_80의 정수 부분이다.

71<'ƒ64_80<72

∴ f(ab)=71

'n<8에서 n<64이므로 이를 만족하는 가장 큰 자연수 n은 63이다.

7<'6å3<8이므로

'6å3의 정수 부분 p=7, 소수 부분 q='6å3-7

∴ = = = '7+

'7+ =a'7+b이므로 a= , b=

∴ a+b= + =10=5 2 7 2 3 2

7 2 3 2 7

2 3 2

7 2 3 2 7('6å3+7)

14 7

'6å3-7 p

q

8

8

;1#8%;x

;1¡8;x x+;1!8&;x

x-;1!8&;x x+y

x-y 'ƒx+y

'ƒx-y

17 18

17 18 5x-2y

3x-4y

8

8

8

2+'3+2-'3 (2-'3)(2+'3)

1 2+'3 1

2-'3

1 2_2-(2-'3) 1

2-'3 1

2a-b 1

b

8

P.25～28

STEP 2 ^{실전 문제 정복하기}

< < (x는 자연수)이라 하면

= = , = = 이므로

< <

이때 7<'6å3<8, 12<'∂147<13이므로 x가 될 수 있는 수는 8, 9, 10, 11, 12이다.

따라서 기약분수는 , , 이다.

∴ + + =

'0∂.31=æ≠ = = '0∂.124=æ≠ =æ≠

=æ≠ = =

∴ '0∂.31-'0∂.124= -

a<0일 때, "ça¤ =-a이므로 a=-"ça¤

마찬가지로 b<0일 때, "çb¤ =-b이므로 b=-"çb¤

∴ aæ +bæ =-"ça¤ æ -"çb¤ æ

=-æ≠a¤ _ -æ≠b¤ _

=-'∂ab-'∂ab

=-2'∂ab=-2'3

'3x+x+3-'2=x+2'2 '3x=3'2-3

∴ x= ='6-'3

따라서 m=6, n=3이므로 m+n=6+3=9

3'2-3 '3

0 4

a b b

a

a b b

a a

b b a

0 3

p 5 q 10

p 5 '3∂.1

5 3.1

25

31 250 124

1000

q 10 '3å1

10 31

0 2

29 21 11 21 10 21 8 21

11 21 10 21 8 21 '1∂47

21 x 21 '6å3

21

'1∂47 21 7'3

21 '3

3 '6å3

21 3'7

21 '7

7

'3 3 x 21 '7

0 1

01 02 - 03_-2'3 049 05 06_6'∂10 0775 0833

09x=1+ , y= 10-1 11② 12 13③ 14x=9, y=-9 15 1645 17_'3 18 1911 2034 21⑴ 0.08 ⑵ 180000 22142 231 24 25_2'2-2 26-1 27④

4 (a+2)(b+5)

6

5 6

3 2 '∂70

5

12 19 '∂35

19 64'5

3

p 5 q 10 29

21

'6('3-'2)x-'3>3'2x-1에서 3'2x-2'3x-3'2x>-1+'3 -2'3x>-1+'3

∴ x< = =

이때 -1< <0이므로 주어진 부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 큰 정수는 -1이다.

a Ωb= ='2이므로

b'3+'2=a'2+'2 b'3=a'2 y`㉠

1Ωb= ='3이므로

b'3+'2=2'3 b'3=2'3-'2

∴ b= =2-

b=2- 을 ㉠`에 대입하면

{2- } '3=a'2 a'2=2'3-'2

∴ a= ='6-1

a : b : c=('5+'2) : ('3-'2) : ('5-'3)이므로 a=('5+'2)k, b=('3-'2)k, c=('5-'3)k로 놓고 a+b+c='7에 각각 대입하면

('5+'2)k+('3-'2)k+('5-'3)k='7 2'5k='7

∴ k= =

a=('5+'2) = b=('3-'2) = c=('5-'3) =

∴ a-b-c= =

연결한 나무막대 A, B의 개수를 각각 x개, y개라 하면 (2+'3)x+(3-'3)y=19+2'3

(2x+3y)+(x-y)'3=19+2'3 이때 x, y는 자연수이므로 2x+3y=19, x-y=2 두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=3

따라서 나무막대 A는 5개, 나무막대 B는 3개를 연결하 였다.

13

'∂70 5 2'∂70

10

5'7-'∂105 10 '∂35

10

'∂105-'∂70 10 '∂35

10

5'7+'∂70 10 '∂35

10 '∂35

10 '7 2'5

12

2'3-'2 '2 '6

3 '6

3

'6 3 2'3-'2

'3 b'3+'2

1+1 b'3+'2

11

'3-3 6

'3-3 6 (-1+'3)'3

-2'3'3 -1+'3

-2'3

10

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

11

정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 넓이가 80이므로 a='8å0=4'5

(가로의 길이) : (세로의 길이)=3 : 5이므로 4'5 : (세로의 길이)=3 : 5

∴ (세로의 길이)=

∴ x=2{4'5+ }=

ABCD의 넓이가 10이므로 한 변의 길이는 '∂10이다.

즉, AB”='∂10

이때 AP”=4AB”=4'∂10이므로 점 P의 좌표는 P(1+4'∂10) 또 AQ”=2AB”=2'∂10이므로 점 Q의 좌표는 Q(1-2'∂10)

∴ PQ”=(1+4'∂10)-(1-2'∂10)

=1+4'∂10-1+2'∂10

=6'∂10

AB”=OB”-OA”='x-'∂48='x-4'3 BC”=OC”-OB”='∂108-'x=6'3-'x 이때 AB”=BC”이므로

'x-4'3=6'3-'x 2'x=10'3 'x=5'3='∂75

∴ x=75

두 자연수 x, y가 'x='∂2y+'3을 만족하려면 '∂2y 와 '3의 합을 계산할 수 있어야 하므로 '∂2y=a'3 (a는 자연수)의 꼴이 되어야 한다.

'∂2y=a'3="ç3a¤ 이므로 2y=3a¤

이때 y가 최솟값이어야 하므로 2y=3_2¤ ∴ y=6

y=6을 'x='∂2y+'3에 대입하면 'x='∂12+'3=2'3+'3=3'3='∂27

∴ x=27

∴ x+y=27+6=33

g 에서

㉠_'5, ㉡_'7을 하면 g

㉢-㉣을 하면 19y=12 ∴ y=

y= 를 ㉢에 대입하면

'∂35x+ ='∂35+5

'∂35x='∂35+ ∴ x=1+'∂35 19 35

19 60 19 12 19

12 19 '∂35x+5y='∂35+5 y㉢ '∂35x-14y='∂35-7 y㉣ '7x+'5 y='7+'5 y㉠ '5x-2'7y='5-'7 y㉡

0 9 0 8 0 7 0 6

64'53 20'53

20'53

0 5

+

=

=

=

이 값이 유리수가 되려면 3x+3y=0이어야 한다.

즉, y=-x를 2x+y=9에 대입하면 2x-x=9 ∴ x=9

∴ y=-x=-9

k¤ =('a+'b)¤ =a+b+2'aåb이므로 a+b+2'aåb=2+ =2+2Ƭ

∴ a+b=2, ab=

이때 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab이므로 (a-b)¤ =4-4_ =

즉, a-b=—

∴ |a-b|=

{ }2 = = 이므로

{ }4 ={ }2 = =

{ }2 = = 이므로

{ }4 ={ }2 = =

∴ [{ }4 -{ }4 ]2 ={ }2 =(3'5 )¤ =45

x¤ =4+2'3, y¤ =4-2'3이므로 x¤ +y ¤ =(4+2'3)+(4-2'3)=8 x¤ y ¤ =(4+2'3)(4-2'3)=16-12=4

∴ xy=2 (∵ x>0, y>0) (x+y)¤ =x¤ +2xy+y ¤ =8+4=12

∴ x+y=2'3 (∵ x+y>0) (x-y)¤ =x¤ -2xy+y ¤ =8-4=4

∴ x-y=2 (∵ x>y)

∴ = ='3

x= , y= 이므로

'3-'2=X로 치환하면

x+y= + =

= = = =

∴ (x+y)¤ ={ }¤=5 6 '5 '6

'5 '6 2'5 2'6 2'5

5-('3-'2)¤

2'5 5-X¤

('5-X)+('5+X) ('5+X)('5-X) 1

'5-X 1

'5+X

1 '5-'3+'2 1

'5+'3-'2

18

2'3 2 x+y x-y

17

6'5 2 1-'5

2 1+'5

2

7-3'5 2 14-6'5

4 3-'5

2 1-'5

2

3-'5 2 6-2'5

4 1-'5

2

7+3'5 2 14+6'5

4 3+'5

2 1+'5

2

3+'5 2 6+2'5

4 1+'5

16

3 2 3 2

9 4 7 16

7 16

7 16 '7

2

15

(-x+y+12)+(3x+3y)'2 17

3x'2-x+6-'2+3y'2+y+6+'2 17

(x+'2)(3'2-1)+(y+'2)(3'2+1) (3'2+1)(3'2-1)

y+'2 3'2-1 x+'2

3'2+1

14

= ='ƒx+1+'x

∴ (주어진 식)

=('2+'1)-('3+'2)+('4+'3)

= -y-('∂99+'∂98)+('∂100+'∂99)

='1+'∂100=1+10=11 {(1+'2 )x}¤ =3-2'2 이므로

x¤ = =

=

=9-12'2+8=17-12'2 {(1-'2 )y}¤ =3+2'2 이므로

y ¤ = =

=

=9+12'2+8=17+12'2

∴ x¤ +y¤ =(17-12'2)+(17+12'2)=34

⑴ '8=2.828이므로

'a= _2.828= =æ– ='ƒ0.08

∴ a=0.08

⑵ '2=1.414이므로

'b =3_100_1.414=300'2='ƒ180000

∴ b=180000

'2=1.414이므로 자연수 n에 대하여 1…n…58이면 1<'2+ <2

∴ ['2+ ]=1

59…n…100이면 2<'2+ <3

∴ ['2+ ]=2

∴ (주어진 식)=(1+y+1)+(2+y+2)

=1_58+2_42=142 1<'2<2이므로 2<4-'2<3

∴ [x]=2

<x>=4-'2-2=2-'2

<x>—⁄ = = = 3<2+'2<4이므로 < <2

∴ [<x>—⁄ ]=1

<<x>—⁄ >= -1=

<<x>—⁄ >—⁄ = 2 ='2 ∴ [<<x>—⁄ >—⁄ ]=1 '2

'2 2 2+'2

2

2+'2 2 3 2

2+'2 2 2+'2

(2-'2)(2+'2) 1

2-'2

23

n 100

n 100 n

100

n 100

22

8 100 '8

10 1

10

21

(3+2'2)¤

(3-2'2)(3+2'2) 3+2'2 3-2'2 3+2'2

(1-'2)¤

(3-2'2)¤

(3+2'2)(3-2'2) 3-2'2 3+2'2 3-2'2

(1+'2)¤

20

'ƒx+1+'x x+1-x

'ƒx+1+'x ('ƒx+1-'x)('ƒx+1+'x) 1

'ƒx+1-'x 1

19

42개 58개

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

13

2<'8<3이므로

a='8-2=2'2-2에서 '2=

5<'2å7<6이므로

b='2å7-5=3'3-5에서 '3=

∴ '6='2'3= _

=

7'2='∂98이므로 9<7'2<10

∴ a¶=7'2-9

=5'2='∂50이므로 7< <8

∴ b¡º= -7

∴ a¶-b¡º=(7'2-9)-{ -7}

=7'2-9-5'2+7

=2'2-2

1<'3<2이므로 y¡='3-1

x™= = =

1< < 이므로

y™= -1=

x£= = ='3+1

2<'3+1<3이므로 y£=('3+1)-2='3-1

따라서 y¡, y™, y£, y은 '3-1과 이 차례로 반 복된다.

즉, y¡ºº= =- + '3 이므로 a=- , b= ∴ ab=-

n¤ <n¤ +n<n¤ +2n+1=(n+1)¤ 이므로

"√n¤ <"√n¤ +n<"√√(n+1)¤

n<"√n¤ +n<n+1 (∵ n은 자연수)

∴ f(n)=n, g(n)="√n¤ +n-n

∴ =

=

= ="√n¤ +n+n

따라서 "√n¤ +n의 정수 부분이 n이므로 의 정수 부 분은 2n이다.

f(n) g(n) n("√n¤ +n+n)

(n¤ +n)-n¤

n("√n¤ +n+n) ("√n¤ +n-n)("√n¤ +n+n)

n 'ƒn¤ +n-n f(n)

g(n)

27

1 4 1

2 1 2

1 2 1 2 '3-12

'3-1 2 2('3+1)

('3-1)('3+1) 2

'3-1

'3-1 2 '3+1

2 3 2 '3+1

2

'3+1 2 '3+1

('3-1)('3+1) 1

'3-1

26

10 '2 10

'2

10 '2 10

'2

25

(a+2)(b+5) 6

b+5 3 a+2

2

b+5 3 a+2

2

24 STEP 3 ^{최고 수준 완성하기}

01p= 02 030

04 …x< 059개 065 076 088

4'23 5'26

7'2+'3 2 11'6

6

두 무리수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면

('2, '3), ('2, '5), ('3, '2), ('3, '5), ('5, '2), ('5, '3)

x='6, '∂10, '∂15이므로 x의 최솟값은 '6

y= , , 이므로

각각 제곱하면 , ,

즉, y의 최솟값은

따라서 x+y의 최솟값은 '6+ =

위의 그림에서 하나의 수를 공통으로 가지는 가로, 세로, 대 각선의 나머지 두 수의 합은 같으므로

2'2+('3-'2)=('2+'3)+㉤ ∴ ㉤=0

㉤+x=㉣+2'2에서 0+x=㉣+2'2

∴ ㉣=x-2'2

㉢+2'2=㉣+x에서 ㉢+2'2=(x-2'2)+x

∴ ㉢=2x-4'2

따라서 ㉢+㉣=('2+'3)+x에서 (2x-4'2)+(x-2'2)=('2+'3)+x 2x=7'2+'3 ∴ x=

에서

㉠+㉡+㉢`을 하면

('2x+'3y)+('3y+'5z)+('5z+'2x)

=('2-'3)+('3-'5)+('5-'2) 2('2x+'3y+'5z)=0

∴ '2x+'3y+'5z=0 y`㉣

㉠을 ㉣`에 대입하면 '2-'3+'5z=0, '5z='3-'2

㉡을 ㉣`에 대입하면 '2x+'3-'5=0, '2x='5-'3

㉢을 ㉣`에 대입하면 '3y+'5-'2=0, '3y='2-'5

∴ 2x+3y+5z

='2('5-'3)+'3('2-'5)+'5('3-'2)

='∂10-'6+'6-'∂15+'∂15-'∂10=0 '2x+'3y='2-'3 y`㉠

'3y+'5z='3-'5 y`㉡ '5z+'2x='5-'2 y`㉢ ({

03

7'2+'3 2

02

11'6 6 5'6

6 5'6

6 64 15 49 10 25

6 8'∂15

15 7'∂10

10 5'6

6

01

㉠ ㉡ '2+'3

㉢ ㉣ ㉤

2'2 '3-'2 x

"√3'2x-5 <"√2'2x-1 <"√7-'2x 에서

≥3'2x-5<≥2'2x-1<7-'2x

⁄ ¤

⁄에서 '2x<4 ∴ x<2'2

¤에서 3'2x<8 ∴ x<

⁄, ¤에서 x< y㉠ 이때 근호 안의 수는 0 이상이어야 하므로

3'2x-5æ0에서 xæ , 2'2x-1æ0에서 xæ 7-'2xæ0에서 x…

∴ …x… y㉡

따라서 ㉠, ㉡`에서 …x<

세 자연수 a, b, c에 대하여 2'a+b'2='c가 성립하려 면 a=2_m¤ (m은 자연수)의 꼴이어야 한다.

2'a+b'2=2m'2+b'2=(2m+b)'2="√2(2m+b)¤

∴ c=2(2m+b)¤

이때 2m+bæ3(∵ b, m은 자연수)이므로 c=2_3¤ =18일 때, (m, b)=(1, 1)

∴ (a, b, c)=(2, 1, 18)

c=2_4¤ =32일 때, (m, b)=(1, 2)

∴ (a, b, c)=(2, 2, 32)

c=2_5¤ =50일 때, (m, b)=(1, 3), (2, 1)

∴ (a, b, c)=(2, 3, 50), (8, 1, 50) c=2_6¤ =72일 때, (m, b)=(1, 4), (2, 2)

∴ (a, b, c)=(2, 4, 72), (8, 2, 72)

c=2_7¤ =98일 때, (m, b)=(1, 5), (2, 3), (3, 1)

∴ (a, b, c)=(2, 5, 98), (8, 3, 98), (18, 1, 98) 따라서 (a, b, c)의 개수는 1+1+2+2+3=9(개)

'3=1+'3-1

=1+ =1+ =1+

=1+ =1+

=1+ =1+

=1+ =1+

따라서 a=1, b=1, c=2, d=1이므로 a+b+c+d=5

1 1+1112132+11112

1+'3 1

1+111213311 2+1113 1132'3+12

1 1+11121332+11131132111

'3-1 1

1+111131 2+'3-1

1 1+1111

'3+1 1

1+111211112 '3-1

1 1+111'3-12 1

111'3+12 1

1111 '3-1

0 6 0 5

4'2 3 5'2

6 7'2

2 5'2

6

7'2 2

'2 4 5'2

6 4'2

3

4'23

0 4

∴ x= , , , , y y`㉠ 2…'∂nx <3이므로 각 변을 제곱하면 4…nx<9 ∴ …x< y`㉡

㉠, ㉡에 의해 x= , , , , 이때 모든 x의 값의 합이 5이므로

(4+5+6+7+8)=5, =5

∴ n=6

'n=a+b이므로 b='n-a를 5a¤ b-b‹ =16에 대입하면 5a¤ ('n-a)-('n-a)‹ =16

5a¤ 'n-5a‹ -(n'n-3na+3a¤ 'n-a‹ )=16 (3an-4a‹ )+(2a¤ -n)'n=16

∴ 3an-4a‹ =16 y ㉠ 2a¤ -n=0 y ㉡

㉡`에서 n=2a¤ 을 ㉠`에 대입하면 6a‹ -4a‹ =16, a‹ =8 ∴ a=2

∴ n=2a¤ =8

0 8

30 n 1

n

8 n 7 n 6 n 5 n 4 n

9 n 4

n 4 n 3 n 2 n 1 n

0 7

0190 023개 03625 04q, p, s, r 05_2'3-'2 06 07④ 08_12'2 094개 10_2+'2 11a= , b=— 12③ 13_570'3 1414 15다섯 자리

16x= , y=- 178 18 19③ 20①

18+7'2 6 1

2 1

4

1 2 1

2 11 190

퍼펙트 단원 마무리

1_3+1=4=2¤, 3_5+1=16=4¤ ,

5_7+1=36=6¤ , y, 17_19+1=324=18¤ 이므로 (주어진 식)

=2+4+6+y+18

=(2+18)+(4+16)+(6+14)+(8+12)+10

=20_4+10=90

"√3('n+1)이 자연수가 되려면 'n+1=3k¤ ( k는 자연수)이어야 하므로 'n=3k¤ -1에서

k=1일 때, 'n=2 ∴ n=4 k=2일 때, 'n=11 ∴ n=121 k=3일 때, 'n=26 ∴ n=676 k=4일 때, 'n=47 ∴ n=2209

그런데 n…2000이므로 자연수 n은 4, 121, 676의 3개 이다.

0 2

0 1

Ⅰ. 실수와 그 연산^●

15

1…k…3일 때, ['k]=1 4…k…8일 때, ['k]=2 9…k…15일 때, ['k]=3 16…k…24일 때, ['k]=4 25…k…35일 때, ['k]=5 36…k…48일 때, ['k]=6 49…k…63일 때, ['k]=7 64…k…80일 때, ['k]=8 81…k…99일 때, ['k]=9 k=100일 때, ['k]=10

∴ f(100)

=1_3+2_5+3_7+4_9+5_11+6_13 +7_15+8_17+9_19+10

=3+10+21+36+55+78+105+136+171+10

=625

0<a<b<1에서 ab<1이고, >1이므로 p<1, q>1, r<1, s<1

p, r, s를 각각 '∂ab로 나누면 1, 'a, 'b

이때 1>'b>'a이므로 p>s>r

∴ q>p>s>r

2'3x+3'2='3x+2'3을 풀면 '3x=2'3-3'2

∴ x= =2-'6

x=2-'6을

'6(x+1)-(k-6)='2(x-1)+3'6 에 대입하면 '6(2-'6+1)-(k-6)='2(2-'6-1)+3'6 3'6-6-k+6='2-2'3+3'6

∴ k=2'3-'2

서로 다른 자연수 20개에서 2개를 뽑으면 x, y가 한 가지 로 정해지므로 전체 경우의 수는

=190(가지)

'x+'y='n이 성립하는 경우의 수는 x=1일 때, y=4, 9, 16의 3가지 x=2일 때, y=8, 18의 2가지 x=3일 때, y=12의 1가지 x=4일 때, y=9, 16의 2가지 x=5일 때, y=20의 1가지 x=8일 때, y=18의 1가지 x=9일 때, y=16의 1가지

∴ 3+2+1+2+1+1+1=11(가지) 따라서 구하는 확률은 이다.

2079=3‹ _7_11이므로

'x+'y='∂ƒ2079에서 'x+'y=3'∂231

0 7

11 190 20_19

2

0 6

2'3-3'2 '3

0 5

b

0 4

0 3

3'∂231='∂231+2'∂231='∂231+'∂924

∴ x=231, y=924 또는 x=924, y=231

∴ x+y=231+924=1155 [다른 풀이]

'x+'y='∂ƒ2079 에서

'y='∂ƒ2079-'x이므로 양변을 제곱하면 y=2079-2'∂ƒ2079x+x

이때 2079+x는 자연수이므로 '∂ƒ2079x도 자연수이다.

즉, 2079x는 제곱수가 되어야 한다.

2079=3‹ _7_11이므로 x=3_7_11_k¤ (k는 자연수) 의 꼴이고, x<2079이므로

x=3_7_11, 2¤ _3_7_11

∴ x=231, y=924 또는 x=924, y=231

∴ x+y=231+924=1155

주어진 직육면체의 겉넓이는

2('a'b+'b'c+'c'a)=12'2+8'3+4'6이므로 '∂ab+'∂bc+'∂ca=6'2+4'3+2'6

='∂72+'∂48+'∂24 이때 ab<ac<bc이므로

ab=24, ac=48, bc=72 (ab)_(ac)_(bc)=(abc)¤

=24_48_72

=2⁄ ‚ _3›

∴ abc=2fi _3¤

따라서 직육면체의 부피는 'a 'b 'c='∂abc="√2fi _3¤ =12'2

가능한 정사각형은 오른쪽 [그림 1], [그림 2]와 같이 모 두 5가지이다.

주어진 점들의 간격이 '2 이므로^{[그림 1]}에서 각 정사

각형의 한 변의 길이는 '2, 2'2, 3'2이고, ^{[그림 2]}에서 각 정사각형의 넓이가 4, 10이므로 한 변의 길이는 각각 2, '1å0이다.

따라서 유리수가 아닌 것은 '2, 2'2, 3'2, '1å0의 4개이 다.

f(-1)=0이므로 a-b+c=0 y㉠ f('7)=7+'7이므로 7a+b'7+c=7+'7 (7a+c)+b'7=7+'7

이때 a, b, c는 유리수이므로 7a+c=7 y㉡, b=1 b=1을 ㉠`에 대입하면 a+c=1 y㉢

㉡, ㉢`을 연립하여 풀면 a=1, c=0

∴ f(x)=x¤ +x

∴ f('2)=('2)¤ +'2=2+'2

10

[그림 1] [그림 2]

09

08

양변을 (a+b'5)« 으로 나누면 (a+b'5)¤ =(a+b'5)+1 (a¤ +5b¤ )+2ab'5=(a+1)+b'5 a, b는 유리수이므로

a¤ +5b¤ =a+1 y㉠

2ab=b y㉡

b+0이므로 ㉡의 양변을 b로 나누면 2a=1 ∴ a=

a= 을 ㉠에 대입하면 +5b¤ = +1, 5b¤ =

∴ b=—

(좌변)= _ _

= _ _

='3_ _

= { }

= '1å5+ -'3- '5

따라서 a= , b=-1, c=- , d= 이므로 a+b+c+d= -1- + =

㈎에서 m'3…100이므로

m… = =57.___

즉, m=1, 2, 3, y, 57이므로 '3, 2'3, 3'3, y, 57'3 이 중 ㈏를 만족하는 것은

m=3k(k=1, 2, 3, y, 19)일 때이므로 3'3, 6'3, 9'3, y, 57'3

∴ 3'3+6'3+9'3+y+57'3

=3'3(1+2+3+y+19)

=570'3

'a+'b<"√2(a+b)이므로 ('∂11+'∂14)+('∂12+'∂13)

<"ç√2(11+14)+"ç√2(12+13)

='ƒ2_25+'ƒ2_25

=10'2

=14.14

또 '∂11>"ç3.3¤ =3.3, '∂12>"ç3.4¤ =3.4, '∂13>"ç3.6¤ =3.6, '∂14>"ç3.7¤ =3.7이므로 '∂11+'∂12+'∂13+'∂14>3.3+3.4+3.6+3.7=14 따라서 14<'∂11+'∂12+'∂13+'∂14<14.14이므로 가장 가까운 정수는 14이다.

14

173 3 100'3

3

13

2 5 1 2 3 5 3 2

1 2 3 5 3

2

3 5 3

2 1

2

5+'1å5-2'5-2'3 2

'1å5 5

('5-2)('5+'3) ('5-'3)('5+'3) 1

'5

'5-2 '5-'3 1+'5

'5('5+1) '3('3+1)

'3+1

'5-2 '5-'3 1+'5

5+'5 3+'3

12

1 2

5 4 1

2 1

4 1 2

1 2

11

=(2› _3¤ _5)¤ _7

=720¤ _7

∴ 25'1ƒ_2_3_y_10=25_720_'7

=18000'7 그런데 2<'7<3이므로

36000<18000'7<54000

따라서 정수 부분은 다섯 자리의 수이다.

1<'2<2이므로 a='2-1, b= =

주어진 식에 a='2-1, b= 를 대입하면 ('2-1-1)x+{ +3}y+2=0

'2x-2x+ y+3y+2=0 (-2x+3y+2)+{x+ y}'2=0 이때 x, y는 유리수이므로

-2x+3y+2=0, x+ y=0 두 식을 연립하여 풀면

x= , y=-

2<'7<3이므로 a='7-2

∴ '7=2+a

2'7='∂28이므로 5<2'7<6 즉, 1<7-2'7<2

따라서 7-2'7의 소수 부분은 (7-2'7)-1=6-2'7

=6-2(2+a)

=2-2a 이므로 m=2, n=-2

∴ m¤ +n¤ =4+4=8

3'2='1å8이므로 4<3'2<5 즉, 2<3'2-2<3이므로 [a]=2

∴ -

= -

= -

= -

= +

= =18+7'2

6-2'2+12+9'2 6 6

4+3'2 6-2'2 2

6

4+3'2 (4-3'2)(4+3'2) (3'2-2)'2

3'2'2 1 4-3'2 3'2-2

3'2

1 2-(3'2-2) 3'2-2

2+(3'2-2) 1 [a]-a a

[a]+a

18 17

1 2 1

4

1 2 1 2 '2

2 '2

2

'2 2 '2

2 1 '2

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