A Study on the Usage of Mathematics Notes in Elementary School Classes
수학노트 활용 사례에 대한 조사 연구
J Yun Sun
장윤선K Sung Joon
김성준This study focuses on the use of mathematics notes in elementary school math- ematics classes as a way of practicing mathematical communication, which was introduced as one of the main themes in the 2007 Mathematical Curriculum Re- vision. We investigate, through interviews with teachers and questionnaires, why and how mathematics notes are used and what are included in them, finding out various aspects of the use of mathematics notes such as the purposes, the necessi- ties and the types. We draw some helpful suggestions for using mathematics notes in classes which has positive effects such as enhancing students’mathematical think- ing and calculation ability. This study is to provide teachers with an appropriate information and basic materials on the use of mathematics notes.
Keywords: mathematical communication, mathematical writing, mathematics notes,
mathematical thinking; 수학적 의사소통, 수학적 쓰기, 수학노트, 수학적 사고.MSC: 00A35, 97C90, 97D40 ZDM: D40
1 서론
오늘날 수학교육은 수학적 사고 능력에 보다 초점을 맞추어 전개되고 있고 이를 위해서 수학적 지식 자체보다는 그 지식을 만들어내는 활동을 강조하고 있다. 7차 수학과 교육 과정[4] 및 개정 2007 수학과 교육과정[5] 은 수학적 사고력의 신장을 기본방향으로 삼고 있으며, 이를 위한 방안으로 수학적 의사소통 능력의 신장과 수학에 대한 긍정적 태도 를 강조하고 있다. 특히 수학적 의사소통을 구체화하기 위해 설명하기, 문제 만들기를 비롯한 다양한 쓰기 활동을 수학 교과서와 수학 익힘책의 내용으로 포함시키고 있다.
NCTM[19] 에서도 수학 학습은 의사소통을 이용해서 다양한 기회를 제공할 수 있어야 하며, 수학적 개념을 그림이나 표들과 연결해서 이러한 개념과 상황을 사고의 결과로 이 끌어낼 수 있는 것이 중요하다고 보고 있다. 특히 일상생활 언어를 수학적 언어나 기호
이 논문은 2013년도 부산교육대학교 교육연구원의 지원을 받아 연구되었음.
Receiveded on Nov. 9, 2012, revised on Jau. 9, 2012, accepted on Jau. 16, 2012.
와 연결시키며, 수학적 상황을 표현하고 토론하며, 수학적 텍스트를 읽고 쓰면서 동시에 말하고 들을 수 있는 활동 등이 이후 실세계에서 수학을 적극적으로 활용하는데 중요한 역할을 한다고 보았다. 국내에서도 NCTM 규준 발표 이후 수학적 의사소통의 학습에 관심이 집중되면서 많은 연구가 진행되어 왔는데, 이를테면 수학적 의사소통 형태와 관 련해서 말하기, 듣기, 쓰기, 읽기가 수학 학습에서 어떻게 구체화될 수 있는지[7], 소집 단 협동학습을 통한 말하기는 어떤 형태로 진행되어야 하는지[17] 등의 관련 연구들이 있다. 이 가운데 특히 수학수업에서 쓰기 활동을 통해서 얻을 수 있는 교육적 효과에 대 한 연구가 가장 많은 부분을 차지하는데, 한 예로 문제해결과정을 분명하게 쓰게 함으 로 학생들의 사고과정의 명료화 및 수학적 개념의 이해 등이 개선될 수 있음을 제시하고 있다[12].
수학수업에서 하나의 개념을 처음 받아들일 때에는 교사나 친구의 도움을 통해 그것이 가능할 수 있으나 이를 발전시켜 수학학습능력을 신장시키고 수학적인 힘을 기르기 위 해서는 스스로에게 질문하고 답하는 과정이 요구된다. 이 과정에서 학생 스스로 자신의 생각을 정리하고 질문하면서 학습하게끔 도와줄 수 있는 가장 기본적인 활동은 수학시 간에 노트를 사용하는 것이며 수학적 쓰기 활동을 통해 이러한 개념과 문제해결과정을 설명할 수 있게 된다.
이런 맥락에서 Emig, Flower 및 Hayes는 쓰기 활동이 사고 활동을 돕는 학습 도구로 중요한 역할을 한다고 보았다[9]. 학생들은 쓰기 활동을 통해 단순히 알고 있는 지식을 나열하는 행위보다는 의미를 구성하는 행동에 더 초점을 맞출 수 있게 되며, 결과보다 는 과정을 강조하게 되며, 쓰기를 일종의 탐구 과정으로 파악할 수 있게 된다[18]. 또한 Vygotsky에 따르면 쓰기는 사고의 기록으로서 수학을 포함한 모든 교과를 학습하기 위 한 방법 곧 수단이 되며, 비판적 사고에 대한 근거를 제시해줄 수 있으며 아울러 아동의 수학적 이해에 도움이 되는 의미망을 구조화시키는 등 학습과 발달에서 다양한 역할을 수행한다[16]. 수업에서 수학노트는 교사에 의해 지도되는 내용이나 교과서에 제시된 내 용뿐만 아니라 학생 스스로 문제를 해결하는 사고 과정이나 계산 과정 등 다양한 요소들 을 포함할 수 있으므로, 교사들에게는 학생의 학습에 대한 이해 정도를 파악하고 이후 지도해야할 내용을 알려주는 역할을, 학생들에게는 자신의 사고 과정을 확인하고 오류의 발생 원인을 파악하고 수정할 수 있는 기회를 제공하는 등 수학학습지도에서 여러 가지 효과를 낳을 수 있다.
그러나 이러한 장점에도 불구하고 수업시간에 수학노트의 사용은 제대로 이루어지지
않고 단순히 문제를 풀어나가는 수동적인 학습에 머물고 있는 것이 현실이다. 이는 일차
적으로 학생들에게 수학노트 정리의 방법이나 기술 등을 가르쳐야 하는 교사 스스로가
학창시절 노트를 정리해본 경험이 없거나 노트를 사용하는 방법을 제대로 익히지 못했기
때문이기도 하겠지만 이에 대한 정보나 기본 자료가 없는 상태에서 교사 개개인이 수학 노트 사용에 대한 두려움 곧, 지도방법이나 지도시간의 안배 등에 따른 수업자체에 대한 부담의 증가를 그 이유로 들 수 있을 것이다. 그러나 최근에는 현장교사들이 수학적 쓰 기 활동의 장점에 보다 많은 관심을 가지면서 수학노트 정리를 연구과제로 하는 연구학 교가 생겨나기도 하며
1), 좋은 수업 커뮤니티 등 다양한 연구회[6, 15]를 통해서 수학노트에 대한 연구가 이루어지고 있다. 수학적 의사소통이 수학적 사고력 신장과 함께 교육과정에서 주요한 목표로 강조되고 있음을 감안할 때 수학노트는 보다 다양한 논의와 함께 다루어질 것으로 기대된다.
본 연구는 이처럼 교육과정에서 핵심적인 주제로 등장한 수학적 의사소통을 교육 현장에 반영하기 위해서, 현재 수학수업에서 수학노트를 사용하고 있는 교사들의 수학노트 활용 사례에 초점을 맞추고 있다. 또한 본 연구는 수학노트를 사용하고자 하는 교사들에게 수학 노트와 관련된 기본적인 정보를 제공하고자 하는 목적을 가지고 있다. 이를 위해 본 연구는 2장에서는 수학적 의사소통, 수학쓰기활동과 관련된 이론적 배경을 간단하게 살펴보고, 3 장에서는 현재 수학노트를 적극적으로 활용하고 있는 교사 3명을 선정하여 면담을 실시하 고 이 과정에서 수학노트와 관련된 기초적인 정보를 구할 것이다. 4장에서는 2장과 3장의 연구를 바탕으로 서술형 설문지 문항을 작성하여 수학노트를 사용하고 있는 교사와 그렇지 않은 교사 각각에서 수학노트 사용의 목적이나 필요성 등에 대한 설문을 실시하고 그 내용을 살펴볼 것이다. 이를 통해 본 연구는 교사들이 사용하고 있는 수학노트에는 어떤 것들이 있 는지 그 유형을 비교하고, 수학노트를 사용하는데 있어서 필요한 조언 등을 살펴봄으로써, 이후 교사들이 수학노트를 선택하고 활용하는데 기본적인 정보와 자료를 제공할 수 있기를 기대한다.
2 이론적 배경
수학적 의사소통 능력은 수학 용어, 기호, 표, 그래프 등의 수학적 표현을 이해하고 정확히 사용하는 능력, 수학적 아이디어를 말과 글로 설명하고 시각적으로 표현하여 다른 사람과 효율적으로 의사소통을 할 수 있는 능력, 수학을 표현하고 토론하면서 자신의 사고를 명 확히 하고 반성함으로써 의사소통이 수학을 학습하고 사용하는데 중요함을 인식하는 태도 등을 말한다[3]. 즉 수학적 의사소통이란, 내가 알고 있는 수학적 지식 또는 수학적인 생각 등을 말과 글 그리고 몸으로 표현하는 것이며 수학적 아이디어의 의사소통은 모든 수준의 학생들의 경험과 관련되어 이루어져야 한다[7]. 의사소통 방식은 크게 말하기, 듣기, 읽기, 쓰기로 나누어 살펴볼 수 있으며, 이들 각각은 신체적 표현 및 구어, 문어 등의 의사소통의
1) 부산광역시의 경우 학진초, 동래초, 금곡초, 명지초, 사남초, 장산초 등이 이러한 연구학교로 선정된 바 있다.
방식을 통해 드러나게 된다[17].
교과부[2] 에서 제시한 초등학교 수학교육이 나아갈 방향을 살펴보면 수학적으로 사고 하는 능력의 개발, 수학적 의사소통 능력의 함양, 수학적 문제해결력의 개발, 수학적 창 의성의 개발, 수학 내적 외적연결성의 추구, 수학의 가치 이해라고 기술되어 있다. 흔히 초등수학에서 쓰기 활동은 문제를 푸는 것 이외에는 자주 사용하지 않는 방법이다. 그러나 최근 수학적 의사소통의 중요성이 강조되면서 수학 학습에서의 쓰기가 수학적 창의력을 신장시키거나[10] 수학적 문제해결력을 향상시키고[14]. 수학적 사고의 명료화와 개념의 이해를 높인다[12] 는 등의 연구결과가 제시되고 있다. 또한 NCTM[20] 의 새로운 규준에 따르면 수학 학습에서의 쓰기는 말로써 상황을 잘 설명하지 못하는 학생에게 이해한 것을 덜 형식적 방법으로 표현하도록 하기 때문에 특히 유용하다. 이를테면, 학생이 문제를 푼 후에 답을 문장의 형태로 써보게 되면 실세계에서 이 문제들이 갖는 위치를 나타내고 그들의 생각을 명료화하는 데 도움을 줄 수 있다.
이러한 수학적 쓰기 활동의 예로서, 먼저 학생은 수업시간에 학습한 것을 친구에게 전하기 위해 편지를 쓸 수도 있다. 이런 유형의 활동은 그 학생들로 하여금 수학을 새롭게 생각하게 해 준다. 만약 편지 왕래가 이루어진다면, 학생들은 친구의 사고 과정을 배우게 된다. 다음 으로 수학 교과 일지를 쓰는 것은 의사소통을 촉진하는 또 다른 방법이며 자신들의 학습을 심사숙고해 볼 수 있는 기회를 준다. 일지는 학습한 수학을 자유롭게 표현하는 방법이 될 수 있기 때문이다. 이와 함께 수학에 관한 학생들 자신의 이야기를 책으로 꾸며볼 수 있다.
이처럼 학생들은 의사소통을 함으로써 자신과 서로에게서부터 학습할 수 있게 된다. 그들이 말하고, 듣고, 쓰고 읽도록 하는 과정은 유의미적 수학 학습을 이끌어내는 계기가 된다.
교사는 학생들이 그들의 생각을 서로 의사소통하는 것을 관찰함으로써 수업에 대한 중요 한 결정을 내릴 수 있게 된다. 즉, 수학 학습 지도에서 글쓰기는 교사와 학생 모두에게 도움 이 된다. 학생은 쓰기 활동을 통해 적극적으로 참여할 수 있고, 아이디어와 개념을 명확히 하면서 토론하고 표현할 수 있는 기회를 가진다. 또한 수학적 개념을 이해하고, 발견하며, 최근 공부했거나 오랫동안 생각해 온 주제를 다시 생각하고 검토할 수 있게 되며, 수학적 과정, 알고리즘, 개념을 기록하여 간직할 수 있다. 수학적 쓰기 활동은 학생에게 수학의 아 름다움에 대한 표현과 기쁨뿐만 아니라 부정적인 느낌과 좌절을 표현하는 적절한 매개체가 되기도 한다. 교사는 학생의 글을 통하여 학생이 수학을 표현할 기회를 갖는 것을 즐겁게 생각한다는 것을 알 수 있고, 학생의 오류와 문제점을 진단하며, 그를 통해 교수 방법을 향상시킬 수 있다. 또한 교사가 학생들에게 글을 써 줌으로써, 학생들은 교사가 자신에게 관심을 갖고 있다는 것을 깨달을 수 있다[17].
이처럼 수학에서의 쓰기 활동에 대한 유용성 및 효과는 여러 선행연구를 통해 확인되고
있다[1, 9]. 김선희[7] 는 여러 학자들의 쓰기 활동에 대한 연구를 바탕으로 쓰기 활동의 효
과를 <표Ⅱ-1> 과 같이 정리한 바 있다.
한편 수학적 쓰기 활동의 유형은 다양한 선행연구에서 다루어져왔다. 이를테면, Lau- ritzen은 쓰기의 전형적인 유형으로 묘사하기, 기록하기, 알리기 또는 설득하기를 들고 있 고, Burns는 일지 쓰기, 수학 문제 해결하기, 수학적 아이디어 설명하기, 사고과정 쓰기와 같이 구분하였다[11]. 김수환[8] 은 쓰기 활동의 유형을 말로 쓰기, 혼합형 쓰기 그리고 수 학 교사들이 지향하는 기호로 쓰기 등으로 구분한 바 있으며, Hackett과 Wilson은 질문에 답하기, 문제 만들기, 보고서 작성하기 등으로, Miller는 일지쓰기, 해설식 쓰기, 교류적 쓰기로 구분하였다. 또한 Nell(1996) 은 수학시간에 활용할 수 있는 수학적 쓰기를 해설적 쓰기, 표현적 쓰기, 창의적 쓰기로 구분한 바 있다[1].
학생이 글을 씀으로써 교사가 학생의 글을 읽음으로써
인 지 적 인 측면
· 개념을 형식화 하고 해석하며 명
확히 한다.· 스스로 수학을 만들고 발견할 기
회를 얻는다.· 학습내용을 생각하고 검토할 수
있다.· 수학적 과정, 알고리즘, 개념을 기
록으로 남긴다.· 학생의 오개념을 진단한다.
· 교수방법을 향상시킨다.
· 연구의 자료를 수집할 수 있다.
· 개별화된 교수를 할 수 있다.
· 학생들의 이해 정도를 파악하고
피드백을 얻는다.정 의 적 인 측면
· 수학의 아름다움과 기쁨이나 좌절
을 표현하는 매개체가 된다.· 글을 읽고 피드백을 줌으로써 학
생과 개인적인 유대 관계를 맺어 화기애애한 교실 분위기를 만들 수 있다.의 사 소 통 측면
· 수학을 토론하고 표현할 기회를
얻는다.· 해석 과정을 설명하고 개인적인
의견을 제시할 수 있다.· 개념을 내면화하고 자신을 평가할
수 있는 기회를 얻는다.· 학생들의 생각을 읽고 학생에게
수학적 개념을 글로 설명할 기회 를 얻어 글쓰기의 모델이 될 수 있 다.· 학생들에게 관심을 갖고 있다는
것을 보여줄 수 있다.<표 II–1> 쓰기 활동의 효과
이상에서 살펴본 바와 같이 수학적 의사소통의 맥락에서 수학적 쓰기와 관련된 선행연
구의 결과들은 수학과 수업에서 수학노트의 필요성을 보여주기에 충분하다. 이에 본 연
구에서는 2007 개정 교육과정 이후 수학교육에서 강조되고 있는 수학적 의사소통이라는
측면에서 현장에서 활용되고 있는 수학노트의 실제를 파악하기 위한 것으로, 일차적으로
초등학교 현장에서 수학노트를 활용하고 있는 교사들을 대상으로 수학노트 사용과 관련된
필요성과 목적, 그 배경 및 활용 효과에 대한 면담을 실시하였으며, 이러한 면담을 토대로
보다 많은 사례들을 수집하고 자료들을 분석하기 위해 수학노트를 활용하는 교사와 그렇지
않은 교사들을 대상으로 각각 서술형 설문지를 작성하여 수학노트 활용의 실제에 대해 조사
하고, 그 활용 사례와 함께 유형을 기술함으로써 수학노트의 효과와 필요성을 구체적으로 보여주고자 하였다.
3 교사면담 결과분석
본 연구는 2장에서 기술한 수학적 쓰기 활동의 효과와 유형을 토대로 하여 현장교사들의 수학노트 활용사례를 알아보기 위한 면담과 설문을 실시하였다. 면담은 서술형 설문지 문 항을 작성하기 위한 목적에서 이를 위한 예비조사의 성격으로 진행되었다. 면담은 3명의 교사를 대상으로 진행되었는데, 이들 모두는 현재 수학수업에서 수학노트를 활용하고 있다.
이중 A교사는 경력 25년차로 부산초등수학교육학회 회원이면서 여러 수학교육 연수에서 강사로 활동을 하고 있다. B교사는 2010년 수학노트의 매뉴얼을 개발하는 시범학교에서 이를 담당했던 경력 7년차이며, C교사 역시 2010년 연구학교에서 수학노트를 활용하여 수업을 진행했던 경력 6년차 교사이다. 다음은 이들과의 면담 내용 가운데 일부를 기술한 것이다.
3.1 A 교사와의 면담
연구자는 A교사와의 면담을 통해 서술형 설문지 문항 작성을 위한 전반적인 방향을 설정할 수 있었다. 본 연구에서 처음 생각했던 주제는‘(분할방법, 형식 등에 따른) 수학 노트의 유형’ 에 초점이 맞추어져 있었다. 그러나 A교사와의 면담을 통해 교사들이 수학노트를 사 용하지 않는 이유가 수학노트의 유형을 모르기 때문이 아니라 수학노트에 담아야 할 내용을 구성하지 못하기 때문이라는데 주목하게 되었다. A교사에 따르면 부산광역시 교육정보원 등에 점판형, 일반공책형, 수직선 형 등 여러 가지 유형의 수학노트를 구안, 제시한 바 있는 데, 이러한 유형들은 수와 연산, 도형 영역 등에서 각 단원의 성격에 맞추어 사용할 수 있는 하나의 예일 뿐 각각의 수학노트에 담을 수 있는 내용이나 구성은 교사의 역할이라는 점을 분명히 하였다. A교사가 구안한 노트의 유형을 살펴보면 다음과 같다.
2)다음은 A교사와의 면담 중 일부 내용을 정리한 것으로, 수학노트를 사용하게 된 계기, 수학노트 사용시 장점, 수학노트의 유형 등에 대한 질문으로 구성되어 있다.
첫 번째 질문은 수학노트를 사용하게 된 계기와 관련된 것이었다. A교사의 경우 처음 현장에서 수학을 가르친 것이 5차 교육과정이 적용되던 시기였고, 이때 초등수학 교과서는 지금보다 크기가 작았고 또 교과서 여백이 부족하여 현실적으로 필기가 어려웠기 때문에 초임교사로 수학을 지도할 때부터 수학노트는 생각을 정리하고 문제를 풀기 위한 중요한
2) 격자형, 대각격자형, 점판형 등은 일반형과 비교했을 때, 수식을 비롯하여 도형이 많이 등장하는 단원에서 그 용도에 맞게 사용할 수 있을 것이다. 이를테면, <그림Ⅲ-2> 의 대각격자형은 삼각형을 나타내는데 효과 적으로 사용되고 있다.
- 5 -
- 5 -
수단이 되었다고 말했다. 이는 되돌려보면 지금처럼 수학 교과서의 크기가 커지면서 그리고 여백이 많아지면서 수학노트에 대한 수요가 줄었다는 가설을 낳게 한다. 처음에는 대부분 교사들이 그러했듯이 풀이과정만을 노트에 쓰게 하다가 차츰 내용 영역 및 학습지도방법에 따라 수학노트를 재구성하게 되었는데, 따라서 경력이 많은 교사를 대상으로는 수학노트 를 사용하게 된 계기보다는 수학노트를 사용하는 과정에서 그 형식이나 내용 등에서 어떤 변화가 있었는지를 살펴보는 것이 더 중요하다고 말했다.
두 번째는 수학노트를 사용하는 목적과 관련해서 어떤 장점이 있는지를 물었다. A교사는
수학노트 정리를 통한 수준별 학습의 가능성을 강조했는데, 수학노트를 검사하면서 학생이
알고 있는 수준과 선수학습의 내용, 부진의 정도 등을 파악할 수 있다고 말했다. 또한 수업
시간에 조작 활동했던 내용을 노트에 붙이고 학습한 내용을 정리하는 동안 자신이 알게 된
사실을 마인드맵으로 정리하게끔 하는데, 이때 만들어지는 마인드맵은 각자 이해한 정도에
따라 차이를 보이고 학생 개개인에게서도 각기 다른 마인드맵이 나오게 된다. 따라서 학생
들의 마인드맵과 같은 수학노트를 통해 각기 다른 수준을 파악할 수 있게 되며, 학생들에게 부족한 부분들은 교사가 보충해서 채워나갈 수 있게 된다.
세 번째 질문은 수학노트의 유형에 관한 것이었다. 일단 A교사는 수학노트의 유형이라는 것 자체를 중요하게 보지 않았는데, 이를테면 좌측분할이니, 균등분할이니 하는 노트의 형 식은 수학노트에서 중요한 부분이 아니라고 말했다. 그에 따르면 수학노트는 생각을 정리 하기 위한 것이고, 그 형식보다는 학생들의 생각을 다양하게 펼칠 수 있는 방법적인 측면을 우선하는 것이 중요하다. A교사가 격자형, 점판형 등 여러 가지 형태를 만든 것은 각 영역에 따라 수학노트를 좀 더 간편하게 사용할 수 있으면 좋겠다는 의도에서 만든 것으로, 도형 학습에는 점판형을, 수직선이 필요할 때는 수직선을 노트에 포함시켜 놓은 것일 뿐 이러한 것들을 수학노트의 형식으로 볼 수는 없다고 말했다. 결국 수학노트 활용과 관련해서 그 형식이나 유형이 중요한 것이 아니라 학생들의 생각을 어떻게 이끌어내어 정리할 수 있게 만드느냐가 중요한 것이 된다. 이를테면, 생각정리를 할 때 마인드맵을 이용하면 학생들이 교과서의 틀에 박힌 익히기, 약속하기가 아니라 스스로 다양한 조작 활동을 하면서 알게 된 점을 써내려간다. 그리고 이것은 교과서나 어떤 참고서보다 훌륭한 자료가 된다. 학생들에 게 생각을 적으라고 하면 한 문장도 쓰기가 어렵다. 이때 자신이 알고 있는 것을 생각을 정 리하는 방식으로 자유롭게 표현하면 효과적이며 이는 A교사가 수학노트를 사용하는 가장 중요한 이유이기도하다.
네 번째 질문은 수학노트 활용과 관련해서 자유롭게 의견을 묻는 것이었다. A교사는 수 학노트 연수 강의를 통해 현장교사들로부터‘안 된다’ 는 말을 많이 듣는다고 했다. 그런데 이는 교사의 연구가 부족하기 때문이며, 수업시간에 하는 활동이나 생각을 담을 수 있는 그 릇으로 노트가 필요하다는 인식을 하는 것이 무엇보다 중요하다고 말했다. 그리고‘어떻게 수학노트를 쓸까?’ 보다‘어떻게 수업을 풀어내어 학생들의 생각을 정리하게 할 수 있을까?’
에 초점을 맞추어야 한다고 말했다.
3.2 B 교사와의 면담
B교사는 경력 7년차 교사로 수학노트 시범학교를 운영하면서 B교사가 그동안 사용해왔던
수학노트를 전체교사를 대상으로 적용하는 것이 좋겠다는 교사들의 의견에 따라 본인의
방식을 수학노트 매뉴얼로 구안, 제시한 바 있다. 따라서 B교사와의 면담은 시범학교에서
수학노트 매뉴얼을 어떻게 구안하였는가에 초점이 맞추어졌다. 시범학교 자료로 제출된
매뉴얼은 모든 교사들과 공유하였으며 수학노트는 교과서의 흐름에 맞추어 정리하였다. B
교사는 수학노트 사용에 따른 효과에 대해서 동의하면서 다만 그 형식에 있어서는 가급적
복잡하지 않고 단순한 형태로 제시하는 것이 중요하다고 말했다. <표Ⅲ-1> 은 B교사가 수
학 노트를 구안할 때 참고로 한 일본 히가시나누세 초등학교의 산수노트 매뉴얼이며[13],
<표Ⅲ-2> 는 B교사가 시범학교 운영에 사용한 수학노트 매뉴얼이다. 일본의 산수노트 매뉴 얼이 수직적으로 구성되었다면 이에 비해 B교사가 구안한 수학노트 매뉴얼은 수평적으로 한 눈에 들어올 수 있도록 제시된 것이 특징이라고 할 수 있다.
/ (날짜) 목표
◦내용에 따라 [∼하자] (목표), [∼일까?] (과제)가 된다.
◦위에서 4번째 줄에 미리 빨간 선을 그어둔다. (구획 표시용임)
과제◦문제를 푸는 것을 통해서 목표(과제)를 해결한다.
예상하자
◦답의 검토 ◦순서의 예상, 확인
생각하자
◦도표와 그림 ◦수직선과 선분도
◦식 ◦말(설명)
◦서로 이야기하는 것이 끝난 후, 중요한 생각과 친구들의 좋은 의견도 메모하도
록 한다.정리하자
◦[목표]와 [정리]가 연동하는 것처럼 한다.
연습하자
◦정리한 것을 활용해서 첫 번째 문제는 다 같이 풀어보자.
◦교과서 문제와 아이템, 프린트 등을 사용해서 열심히 연습을 도모한다.
◦하위 학생은〔여기까지 할 수 있으면 합격〕이라는 라인을 표시하고, 아이들에게
성취감을 가지게 한다.◦상위 학생은 발전문제와 문제 만들기 등에도 도전 할 수 있도록 한다.
<표 III–1> 히가시나누세 초등학교의 산수노트 매뉴얼
다음은 B교사와의 면담 중 일부 내용을 정리한 것으로, 주로 시범학교 수학노트 매뉴얼 작성과 관련된 질문으로 구성되어 있다.
B교사가 수학노트 매뉴얼 구안에서 가장 중점을 둔 부분은, 무엇보다 학생들이 힘들지 않도록, 시간이 많이 걸리지 않도록 하는데 있었다. 수학노트를 쓰다 보면 노트를 쓰는 것 자체가 우선되고 그러다 보면 시간이 많이 걸리면서 중요한 내용을 파악하거나 자신의 생각 을 제대로 정리하지 못하는 경우가 많은데, 이러한 이유로 인해 수학노트의 효과가 반감될 수 있기 때문에 학생들이 수학노트를 쉽게 생각하고 접근할 수 있도록 하는 동시에 시간을 최소화하는데 중점을 둔 것이다.
B교사는 시범학교로 선정되기 1년 전부터 본격적으로 수학노트를 사용했는데, 그때와
지금을 비교하면 5학년을 지도할 때에는 5학년이라면 수학노트를 통해 학습내용이나 생
각을 정리할 필요가 있는 시점이라는 판단에서 작성방법을 잡아주었으며 학생들은 비교적
쉽게 수학노트를 작성할 수 있었던 반면, 현재 맡고 있는 1학년의 경우 쓰는 속도가 느리
날짜 정리 목표 (공부할 내용)
(위에서 4번째 줄에 빨간선)
예상하자 연습하자
생각하자 – 표와 그래프 – 수직선과 선분도 – 식
– 말 (설명) 머리말 다음으로 그래서 결론
계산 일기
–알게 된 것과 깨달은 것
–지금까지의 학습과 비슷한 것과 다른 것 – 스스로 생각하는 것 가운데 좋은 것 – 친구들의 생각에서 옳은 것 – 의문스럽게 생각하는 점 – 다음에 학습하고 싶은 것
<표 III–2> B교사가 구안한 수학 노트 매뉴얼
고 무언가를 쓰는 것이 습관화되지 않은 상태에서 수학노트를 통한 지도가 다소 어렵다고 말했다. 이러한 B교사의 경험은 저학년과 고학년에서 각각 수학노트를 사용하기 위해서는 단순히 형식적인 측면이 아니라 노트에 기록하는 내용이나 방법 측면에서, 수학노트 사용 자체에 대한 필요성을 포함하여 보다 신중하게 접근할 필요가 있음을 보여주는 대목이다.
B교사가 학생들에게 제시한 수학노트 작성 요령을 살펴보면, 교과서에 제시된 학습문 제나 활동 등은 별도로 기록하지 않고 ©등 아이콘만으로 표시한다. 이는 문제를 쓰는 대신 자신이 문제를 해결하는 방법과 생각을 정리하는데 더 많은 시간을 할애하기 위한 것이다.
전반적인 과정은 교과서의 흐름대로 노트를 작성해나가는데, 이를테면 목표, 활동1, 활동 2에서 문제를 해결하는 과정을 기록한 후에 약속하기와 같은 용어는 암기가 필요한 부분이 므로 노트에 꼭 기록하게 했다. 또한 B교사의 경우에도, 교과서의 흐름에 따라 수학노트를 기록하기 때문에 굳이 영역에 따른 수학노트의 유형이 달라질 필요가 없다고 보았으며, A 교사와 마찬가지로 수학노트의 유형에 대해서는 중요하게 생각하지 않고 있었다.
수학노트의 효과에 대해서는 수학노트를 쓰는 것은 일기를 쓰는 것과 유사한데 이는 수 학노트가 일기를 통해 자신의 생각을 정리하는 것과 같은 역할을 하기 때문이라고 했다.
특히 마지막 부분에서 하는‘생각정리’ 는 자신의 생각을 반성하는 메타인지의 역할을 하는
데, 처음에는 학생들이‘생각정리’ 가 의미하는 것을 이해하지 못했으나 시간이 지나면서
이 부분의 내용이 점점 다양해지는 것을 발견할 수 있었다. 한 예로 처음에는 단순히‘수학
시간이 재미있다.’ ,‘난 100점이다.’ 등 짧은 문장으로 된 소감을 쓰는데 그쳤던 학생들이
점점‘나는 규칙 찾기를 통해서 〜〜〜을 (를) 알았다.’ ‘ 〜〜〜에서 규칙 찾기를 발견할 ,
수 있었다.’등으로 구체적으로 본인의 생각을 배운 내용과 관련지으면서 정리하는 것을 볼
수 있었다. 더불어 처음에는 칠판이나 교과서를 보면서 그대로 따라 쓰기만 했던 학생들이
- 8 -
<그림Ⅲ-5>
나중에는 교과서의 흐름에 그치지 않고 자신의 생각을 수학노트에 정리하는 모습을 발견할 수 있었다. 이러한 경험을 통해 B교사의 경우에도 A교사와 마찬가지로 수학노트는 생각정 리의 수단이 된다는 점에서 수학노트의 역할과 효과를 강조하였다.
3.3 C 교사와의 면담
B교사가 시범학교 책임교사였다면 같은 학교에 근무하는 다른 교사의 경우 수학노트 매뉴 얼을 어느 정도 활용하고 있는지 알아보기 위해 C교사와의 면담을 실시하였다. C교사는 수학노트를 처음 사용하는 경력 6년차 교사로, 그동안 수학 교과서와 수학 익힘책에 문제를 바로 풀 수 있다고 생각해서 수학노트를 별도로 사용하지 않았다.
처음 1학기에는 학교에서 주어진 수학노트 매뉴얼대로 수업을 진행하였으나, 이 매뉴얼 의 형식으로는 시간이 부족하여 수업시간에 수학노트를 활용하는 것이 현실적으로 어려웠 으며 결국 2학기에는 약간의 변형된 형태를 사용하였다. 처음 주어진 수학노트 매뉴얼은
‘목표-문제-예상하기-생각하기 (도표, 그래프, 수직선과 선분, 식, 말 등)―정리-연습하기-
계산 일기
3)’ 의 순서대로 쓰는 2쪽 분량이었으나, C교사는 이를 단순화하여‘목표-계산 일기-정리하기’ 는 반드시 쓰게 하고 나머지 부분은 매차시마다 다르게 사용했다. C교사가 세 가지를 가장 중요하게 생각한 이유는, 목표를 알아야 무엇을 배우는지 알 수 있고, 계산 일기를 씀으로써 문제를 푸는 과정을 이해할 수 있게되고, 마지막으로 그 차시의 핵심을 정리할 수 있어야만 수학을 이해할 수 있기 때문이었다. 이를 통해 문제를 푼다는 것은 답을 쓰는 것이 아니라 자신의 풀이 과정을 설명할 수 있어야 하는 것을 학생들이 이해하고, C 교사 역시 수학노트를 활용하여 각 과정이 왜 그렇게 되는지를 알 수 있도록 학생들 스스로 정리하는데 초점을 맞추어 수업을 진행하였다고 말했다.
수학노트의 틀을 변형하게 된 계기로는, 학생들이 틀에 맞추어 노트를 쓰다 보니 시간이 많이 걸리고 형식에 맞추다보니 다소 억지스러운 부분이 있었는데, 이를 해결하기 위해 필 수 요소와 선택 요소로 구분하게 되었다. 이와 함께 노트의 유형을 일원화하지 않았는데, 이를테면 정리 단계에서는 주로 마인드맵을 사용하였으며, 영역별로 초점을 달리하여 수와 연산은 문제풀이를 학습지를 이용해서 하고 별도로 개념 정리가 필요한 부분은 정리를 주로 하도록 하였으며 도형에서는 생각을 많이 해야 하므로 생각하기를 주로 하도록 구성했다.
또한 수학은 무조건 글로 쓰는 것만이 중요한 것이 아니라 표나 그림, 그래프를 이용해서 정리하는 방법이 중요하므로 이에 대해서도 설명하였다. 그 결과 풀이과정 속에 표나 그림, 그래프 등을 넣어 풀이과정을 정리하는 등 1학기의 정형화된 틀 속에서 어려움을 겪었던 것과는 달리 2학기에는 학생들이 각각의 유형을 선별하여 보다 자유롭게 수학노트를 작성 하였으며 자연스럽게 수학노트를 수학시간에 활용할 수 있게 되었다.
지금까지 3명의 교사와 수학노트 활용과 관련된 면담을 실시하면서 서술형 설문지에 필요 한 문항을 개발하고 수정할 수 있었다. 이를테면, A교사와의 면담과정에서 나왔던 영역별 수학노트 사용에 대한 문항의 경우, 유형이 정해져 있으면 오히려 각 단계를 따라 사용하기 힘들게 되며 B교사가 제안한 것처럼 예시 자료를 교사와 학생의 상황에 맞게 사용하는 것이 바람직하다는 의견을 반영하였다. 그 결과 처음에 설정했던 설문의 방향은 정형화된 수학 노트의 틀을 제공함으로써 수학노트 사용의 효과를 높이는데 맞추어졌으나, 이를 수정한 결과 다양한 활용 사례를 제시함으로써 이후 수학노트를 사용하려는 교사에게 참고가 될 수 있는 수학노트의 활용사례를 강조하게 되었다. 또한 C교사와의 면담을 통해 서술형 설문지 문항에서 수학노트에 기록이 필요한 단계나 내용에 대한 의견을 묻는 문항을 넣게 되었다.
곧, 교사들이 수학노트를 활용한 수업을 할 때 이를 통해 기를 수 있는 수학적 능력과 수학 노트에 반드시 포함되어야 하는 내용을 문항으로 구성하였다.
이처럼 A, B, C교사와의 면담을 통해, 본 연구는 분할노트나 수학 일지와 같이 어떤 형식
3)‘계산 일기’는 <표Ⅲ-2> 와 <그림Ⅲ-5> 를 참조하면 알 수 있듯이, 굳이 계산에 국한되는 것이 아니라 수학 학습을 통한 학생 자신의 소감과 생각을 자유롭게 기술하는 것이다.
을 주고 안내를 하는 것보다 수업시간에 활용할 수 있는 다양한 쓰기의 방법들을 알아보고 어떻게 학생들의 생각을 정리하고 끌어낼 수 있는지에 초점을 맞추어 진행하게 되었다. 또 한 교과서의 내용을 수학노트에 옮기는 과정에서 사용가능한 다양한 유형을 서술형 설문을 통해 알아보고자 하였다.
수학노트를 사용하는 것과 관련해서 학습자 측면에서 그 효과에 대한 연구는 비교적 많이 이루어져왔으나 현장 교사 측면에서 느끼는 수학노트의 사용 효과에 대한 의견이나 실제 수학노트 사용을 위한 매뉴얼 등에 대한 조사 연구는 찾아보기 힘든 것이 현실이다. 이에 본 연구는 지금까지 이루어진 면담 결과를 토대로 수학노트 사용 효과 및 실제 매뉴얼 작성에 필요한 기초자료를 현장교사에게 제공하기 위해 두 가지 유형의 서술형 설문지를 작성하였 는데, 먼저 수학노트를 사용하고 있는 교사들에게 수학노트를 사용하고 있는 목적과 사용 방법을 알아보는데 초점을 맞추었으며, 다음으로 현재 수학노트를 사용하지 않고 있는 교 사들에게는 수학노트를 사용하지 않는 구체적인 이유와 이후 수학노트를 사용한다면 어떤 면이 어렵게 생각되는지를 알아보고자 하였다. 이를 통해 수학노트를 사용하는 교사들에게 서는 수학노트의 효과 및 방법적인 측면을, 그리고 수학노트를 사용하지 않고 있는 교사들 에게는 수학노트 사용과 관련해서 그들이 생각하는 어려움에 대해 설문을 통해 물어보았다.
4 서술형 설문 결과분석
서술형 설문은 설문이 이루어진 시점에 수학노트를 사용하고 있는 교사 17명과 수학노트를 사용하지 않고 있는 교사 6명 등 총 23명을 대상으로 실시하였다. 수학노트를 사용하고 있는 설문지의 문항은 7개로, 수학노트를 사용하지 않고 있는 교사 대상 설문지의 문항은 5개로 구성하였으며, 각 문항에 대한 답변은 그에 해당하는 모든 경우를 기술하게 하였다.
4)4.1 수학노트를 사용하지 않고 있는 교사 설문 분석
이들 교사를 대상으로 한 설문에서 첫 번째 문항은 수학노트를 사용하지 않고 있는 이유를 묻는 것이었다. 이에 대한 답변으로 설문에 응한 6명 모두 시간 부족을 가장 큰 이유로 꼽 았으며, 이어서 복수응답으로 3명이 수학노트를 지도하는 방법 자체를 모르기 때문이라고 하였다. 그 밖에 자료가 더 많아지는 것에 대한 부담, 학습과제가 많아질 수 있다는 것에 대한 부담, 그리고 수학노트의 필요성을 느끼지 못해서 수학노트를 사용하지 않는다는 응 답이 있었다. 본 설문에 응답한 교사들이 모두 5년 미만의 경력을 가진 교사임을 감안할 때 시간부족이나 지도방법 등에 대한 부담은 수학노트에 대한 정보나 노하우가 없는 상태에서
4) 설문지 문항 개수의 차이는 수학노트의 사용 여부에 따라 결정되는데, 이를테면 수학노트를 사용하는 경우 는 노트 사용에 따른 학생들의 변화, 구체적인 노트 지도법 등에 대한 문항이 추가적으로 구성되어 있다.
구체적인 문항은 결과분석과 함께 제시하고 있다.
갖게 되는 부담에서 비롯된다는 것을 알 수 있다.
두 번째 질문은 이후 수학노트를 사용한다면 어떤 부분이 가장 궁금한지를 묻는 것이었 다. 이에 대해 4명은 수학노트의 형식을, 3명은 수학노트 쓰는 법에 대한 지도를, 그리고 2 명은 수학노트의 활용 방법을 알고 싶다고 하였으며, 그 외 검사방법이나 주어진 정규시간 에 수학 교과서와 수학 익힘책을 수학노트와 동시에 사용할 수 있는 방법, 학생들이 수학노 트에 흥미를 가지게 하는 방법 등에 대한 응답이 나왔다. 여기서 수학노트 쓰는 법이나 활용 방법은 수학노트의 형식과 직접적으로 관련되어 있었는데, 이는 앞서 면담에서 수학노트를 활용하고 있는 교사들에게 수학노트의 유형이나 형식은 중요한 요인이 아니었던 것과 대비 되는 부분이다. 이는 곧, 수학노트를 사용하지 않고 있는 교사들이 일차적으로 관심을 갖는 부분이 그리고 동시에 부담이 되는 부분이 수학노트의 형식에 있음을 보여주는 대목이다.
세 번째 문항은 수학노트를 사용한다면 학생들의 어떤 수학적 능력을 신장시킬 수 있을 것인지에 대한 것이었다. 이를 통해 교사들이 생각하는 수학노트 사용 목적을 가늠할 수 있 는데, 실제 수학노트를 사용하지는 않지만 수학노트를 사용한다면 학생들의 수학적 개념의 구조화 (5명) 나 계산 능력의 신장 (4명), 그리고 정리하는 능력의 신장 (3명) 등에 도움이 될 것으로 보고 있었다. 이와 함께 단계적 사고 능력, 풀이 과정에 대한 이해, 자기 주도적 학습 능력, 원리 발견, 논리적 사고 능력 등을 이끌어낼 수 있을 것이라는 반응을 보였다. 특징 적인 것은 이러한 능력들이 초등수학 교육과정에서 강조하고 있는 인지적인 목표와 대부분 일치하는 것으로, 이는 결국 수학노트의 사용이 이러한 초등수학교육의 목표와 부합될 수 있다는 점을 교사들 역시 직간접적으로 인식하고 있음을 말해준다.
네 번째 문항 분석에서 요구되는 물음은 수학노트 사용에 있어서 반드시 포함되어야 하는 내용에 대한 것이었다. 이는 세 번째 문항의 수학노트 사용 목적과 연관해서 생각해볼 수 있는데, 계산 과정은 꼭 넣어야 한다는 응답이 4명, 학생 본인의 생각을 기록하게 한다는 응답이 3명, 그리고 개념과 수업 시간에 알게 된 내용을 쓰게 한다는 응답이 2명이었으며, 그 외 오답 정리, 문제 만들기 등이 포함되어야 한다고 응답했다. 이러한 요소들은 수학적 개념과 계산 능력, 그리고 정리하는 능력이 수학노트를 통해 길러질 수 있다고 본 것과 같 은 시각에 있는 것으로, 실제 수학노트를 사용하고 있는 교사들을 대상으로 한 설문에서도 동일하게 기술되고 있다.
마지막으로 수학노트에 대한 정보와 관련해서 동료교사나 또는 인터넷을 통해 수학노트 를 본 적이 있는지를 묻는 문항에 대해서는 응답자 대부분이 수학노트를 경험한 적이 없다고 하였는데, 이는 교사들이 수학노트를 사용하고 싶어도 수학노트의 활용사례를 접할 기회가 거의 없으며 또한 인터넷 등 정보공유의 장에서도 이와 관련해서 수업을 위해 정리된 형태의 수학노트 정보와 자료가 부족하기 때문으로 보인다.
지금까지 수학노트를 사용하지 않고 있는 교사를 대상으로 한 설문의 결과를 살펴보았다.
이들이 갖고 있는 수학노트 사용과 관련해서 갖고 있는 선입견들은 대체적으로 사용하지 않는 상태에서 막연하게 생겨난 것들로, 예를 들어 시간부족에 대한 염려, 지도방법에 대 한 부담 등이 있었다. 이는 경력이 낮은 교사를 설문대상으로 삼았다는 점에서 그 이유를 찾아볼 수 있으나 한편 경력과 상관없이 수학노트 자체에 대한 업무 부담이나 정보 부재로 인한 문제점은 결국 수학노트를 사용하지 못하게 만드는 원인이 되고 있음을 알 수 있다. 수 학노트의 활용 목적을 보면 수학적 개념의 구조화, 계산 능력이나 생각을 정리하는 능력을 기를 수 있다고 보고 있으며 따라서 이러한 능력들을 이끌어낼 수 있는 요소들이 수학노트 에 포함되어야 한다고 보았다. 이에 비해 교사들이 수학노트에 대한 체계화된 정보를 쉽게 접할 수 없다는 점과 수학노트 매뉴얼 및 그 활용과 관련해서 수업시간에 직접적으로 수학적 의사소통의 맥락에서 설명할 수 있는 자료들의 부족 또한 문제점으로 지적하고 있었다.
4.2 수학노트를 사용하고 있는 교사 설문 분석
수학노트를 사용하고 있는 교사 설문은 처음에는 총 17명의 교사를 대상으로 하였으나, 분 석하는 과정에서 교사들의 경력 및 수학노트를 사용해본 경험에 따라 기술한 내용의 차이와 그 폭이 크다는 점에 주목하게 되었다. 이러한 부분을 연구결과에 반영하기 위해 교사의 경력에 따라 5년 미만의 교사 4명, 5년 이상 15년 미만의 교사 10명, 15년 이상의 교사 3 명, 이렇게 세 그룹으로 나누었으며 이들 사이의 유사점과 차이점을 동시에 살펴보았다.
5)설문의 첫 번째 물음은 수학노트를 사용하는 동안 학생들에게서 어떤 변화를 관찰했는 지에 관한 것으로, 수학노트 사용을 통해 가장 많이 길러 줄 수 있는 능력을 묻는 것이었다.
이에 대한 응답을 살펴보면, 두 측면으로 나누어 그 답을 구분할 수 있는데, 하나는 수학노트 사용 자체가 영향을 미치는 능력이나 습관, 다른 하나는 수학노트뿐만이 아니라 넓게 보면 수학학습에서부터 길러질 수 있는 능력이었다. 고경력 교사 그룹은 수학적 사고력과 의사 소통능력 등 수학을 통한 보다 일반적인 능력을 그 기준으로 삼았다. 이에 비해 저경력과 중경력 교사 그룹에서는 요약, 정리, 메모하는 습관이나 수학 내용의 정리, 구조화라고 해서 수학노트 사용의 직접적인 효과를 우선적으로 지적하였으며, 이어서 논리력이나 사고력, 원리 발견 능력 등을 수학노트를 사용하는 목적으로 보았다.
설문에서 두 번째 문항은 수학노트 사용에서 필수적인 요소에 대해 묻는 것으로, 현재 수학노트를 사용하면서 노트에 꼭 포함하고 있는 내용에 관한 물음이었다. 이 경우에도 저경력과 중경력 교사와 고경력 교사 사이의 차이를 발견할 수 있는데, 저경력과 중경력 교사는 풀이과정을 가장 중요한 요소로 그리고 이어서 학습문제를 두고 있는 반면, 고경력 교사는 풀이과정보다 학습문제를 먼저 중요하게 생각하고 있었다. 고경력 교사에게 학습 문제는 한 차시 수업의 진행에서 무엇에 대해 공부하는지를 인식시키는데 중요한 역할을
5) 이후 본 연구에서 이들 그룹을 각각 저경력, 중경력, 고경력 교사 그룹으로 구분하여 사용한다.
5년 미만 교사 (N=4)
5년 이상 15년 미만 교사 (N=10)
15년 이상 교사 (N=3)
① 수학 내용의 정리, 구조화 (3)
② 원리 발견 능력
③ 자기 주도적 학습 능력
④ 논리력
① 요약, 정리, 메모하는 습관 (4)
② 논리력, 사고력 (2)
③ 기억에 오래 남음
④ 체계성
⑤ 계산식의 구조화
⑥ 문제해결의 다양한 방법
⑦ 생각정리
⑧ 개념정리
⑨ 추론능력
⑩ 정보의 조직화 능력
① 수학적 사고력 (2)
② 의사소통능력 (2)
③ 기록으로 인한 정리하는 실 력이 늘고, 논리력이 생김
④ 개념형성
<표 IV–1>
하고, 단원명 및 그 차시에 공부할 핵심이기 때문에 가장 필수적인 요소라고 보았다. 또 하나의 차이점은 저경력과 중경력 교사의 경우 핵심정리 내용을 나만의 언어로 서술하거나 개념에 대해 자신만의 방법으로 정리하고 적용하는 것을 필수내용으로 제시하고 있으나, 고경력 교사의 경우 교사가 제시하는 핵심을 기록하는 것이 중요하다고 본 부분이다. 물론 고경력 교사에게서도 적용, 발전에 대한 내용이 등장하긴 했지만, 저경력과 중경력 교사의 경우 알게 된 점, 더 알고 싶은 점, (개념을 이용한) 문제 만들기, 발견하는 과정 등 학생들이 수학노트 사용의 주체로서 그 역할이 주어지는 것과는 대비되는 부분이라고 할 수 있다.
특히 이러한 저경력 · 중경력 교사의 응답은 수학노트를 학생들의 사고를 확장하고 정리할 수 있는 도구로 보는 것으로, 앞서 수학노트의 사용 목적과도 관련지어 생각해볼 수 있는 대목이다.
세 번째 문항은 수학노트 사용과 관련해서 학년 초에 노트 사용법을 어떻게 지도하는
지에 관한 물음이었다. 이 질문에서는 그룹에 상관없이 공통적으로 교사들은 칠판에 노트
사용법을 1-2차시 동안 1개 단원 정도를 직접 설명하거나 실물화상기를 이용하여 노트에
차례대로 적는 방법을 보여주는 등의 시연을 통한 지도가 가장 많았고, 그 다음으로 예시
자료 (예시공책, 부착형 샘플자료, 실제공책 등) 를 제시하면서 노트 사용법을 설명한다고
하였다. 교사들은 학생들에게 노트를 사용하는 방법을 지도함에 있어서는 직접 보고 따라
하게 하는 것과 동시에 예시자료를 보여주는 것이 효과적이고, 이는 수학노트를 사용하고자
하는 교사들에게 지도방법과 관련해서 중요한 시사점을 제공한다. 또한 수학노트 사용법
지도에서 필요한 자료와 정보로 가장 중요한 것은 예시 공책 (샘플자료, 실제 공책) 의 성격
을 띤 수학노트 매뉴얼이었고 이에 대한 정보의 공유가 수학노트 사용의 출발점임을 알 수
있다. 특징적인 부분은 중경력 교사의 경우, 고학년과 저학년을 구분하여 노트 사용법을
지도하는데 이를테면 고학년에서는 부착형 샘플자료를 사용하고 저학년에서는 1개 단원
5년 미만 교사 (N=4)
5년 이상 15년 미만 교사 (N=10)
15년 이상 교사 (N=3)
① 풀이과정 (3)
② 학습문제 (2)
③ 활동내용
④ 알게 된 점
⑤ 단원명
⑥ 핵심정리 내용을 나만의 언 어로 서술
⑦ 수학적 개념을 정리
① 풀이과정 (7)
② 학습문제 (5)
③ 알게 된 점 (2)
④ 개념에 대한 자신만의 정 리, 적용 (2)
⑤ 연습문제
⑥ 단원명
⑦ 더 알고 싶은 점
⑧ 약속하기
⑨ 교사의 점검
⑩ 문제 만들기 (개념을 이용 한)
⑪ 공식, 원리를 발견하는 과 정
⑫ 마인드 맵 (브레인스토밍)
① 학습문제 (3)
② 단원 (2)
③ 풀이과정 (2)
④ 교사가 제시하는 핵심
⑤ 적용, 발전
<표 IV–2>
정도를 함께 필기하면서 지도한다고 했는데, 이는 학년별 수학노트 지도법에 차이를 두는 것이 필요하다는 생각을 반영한다. 이에 대해서는 다음 설문 문항에서 보다 자세하게 살펴 볼 것이다. 또한 고경력 교사의 경우 학부모 연수 또는 학생 연수를 통해 수학노트 사용법을 일괄적으로 동시에 지도한다는 의견을 제시하였다.
5년 미만 교사 (N=4)
5년 이상 15년 미만 교사 (N=10)
15년 이상 교사 (N=3)
① 예시 공책을 보여주고 1차 시에 노트 사용법을 설명해 준 다.
② 우리반만의 틀을 매시간 나 눠줘 붙이게 하고, 그 곳에다 필기를 한다.
③ 칠판에 같이 정리한다.
① 부착형 샘플자료 (4) : 고학 년의 경우만 (1)
② 칠판에 그려서 제시 (4)
③ 1개 단원 정도 함께 필기하 면서 가르쳐 준다. (2): 저학년 의 경우만 (1)
④ 교사의 시연—실물화상기 를 이용하여 교사가 노트에 직 접 보여줌
⑤ 그때그때 지도한다.
① 직접 칠판에 판서하며 1∼2 차시를 공책에 써보고 자율적 으로 필기한다. 거의 교사가 칠 판에 적어주며 학생 나름대로 의 방법은 각자 기록한다.
② 실제 공책을 실물화상기로 보여주면서 시연한다. 복사자 료만 주면 이해가 힘들다.
③ 학부모 연수 및 학생 연수
<표 IV–3>
네 번째 문항은 수학노트를 사용하면서 학년에 따른 차이가 있는지를 묻는 것으로, 1-2 학년, 3-4학년, 그리고 5-6학년을 대상으로 각각 수학노트를 지도할 때 어떤 부분에 특히 주의를 기울이는지 살펴보았다.
이들 학년을 대상으로 한 수학 노트의 사용에 있어서 저경력 교사는 현장 경력이 짧은
관계로 저학년을 맡아본 경험이 있는 교사가 적었으나 각각의 학년차를 고려해서 이에 맞
5년 미만 교사 5년 이상 15년 미만 교사 15년 이상 교사
(N=4) (N=10) (N=3)
1–2
학년 그림, 수직선을
이용하여 개념을 정리한다.
① 교사의 노트를 그대로 따라 하게 함
② 노트를 사용하지 않는다.
③ 분량을 적게 해 사용한 다.(활동1개, 약속하기 정도)
④ 약속하기를 강조하고, 계산 과정에서 정확한 알고리즘을 강조한다.
① 글씨가 느리고 요약, 정리 가 안 되므로 사고력 관련 부 분은 중학년 이후 사용이 좋을 듯하다.
② 생각나는 대로 떠올리는 정 도가 적당하다.
③ 교사 중심, 내용을 최소화 한다.
3–4 학년
① 그림, 표, 수직선 등 풀이과 정과 기록을 강조한다.
② 중학년만 강조하는 것은 없 다.
기초 수학개념이 부족하므로 기초 수학 개념을 강조한다.
5–6 학년
개념정리나 식을 풀어나가는 계산과정을 정확히 쓸 수 있게 지도한다.
① 노트사용 자체가 고학년에 더 효과적이다.
② 오답노트를 함께 사용한다.
③ 큰 틀만 제시하고 알아서 사 용한다.
④ 고학년은 문제 내기나 작도 등을 더 사용한다.
⑤ 수학일기와 문제 만들기를 강조한다.
개인생각을 펼칠 수 있게 한다.
기타
해본적은 없으나 저
·중·고학년에
맞는 틀을 줘야 할 것 같다.① 학습 내용이나 양에 차이를 둔다.
② 저, 중학년-문제를 쉽게 정 리, 식�풀이과정 중시 고학년- 생각정리 중시
<표 IV–4>
는 틀이 필요하다는 응답을 보였다. 중경력 교사와 고경력 교사의 설문을 보면 1-2학년의 경우에는 글씨가 느리고 요약하는 능력이 다소 부족하므로 수학노트를 쓰지 않거나 교사가 강조하는 몇 가지 정도의 내용만 노트에 쓰도록 하는 것이 좋으며, 3-4학년에서는 기초적인 수학 개념을 강조하기 위해서 그리고 풀이과정을 정확하게 기술하는 능력을 기르기 위해서 수학노트를 주로 사용한다고 하였다. 특히 5-6학년의 경우 개인의 사고 과정이나 문제해결 과정, 문제 만들기 등 개인의 사고를 확장시키거나 다른 사람과 의견을 교환할 수 있는 도 구로서 수학노트를 사용하는데, 이런 면에서 보면 5-6학년이 가장 효과적이기에 적극적인 수학노트의 활용이 필요하다는 입장을 보이고 있다.
교사들은 수학노트를 사용하면서 학생들의 변화를 다양한 차원에서 경험하게 된다. 다섯
번째 문항은 이러한 변화를 묻는 질문으로 이는 앞서 수학노트 사용의 목적이 어느 정도 달
성되고 있는가를 알아보는 물음이기도 하다. 교사들은 대체적으로 수학노트를 사용하면서
수학적 개념에 대한 명확한 이해와 수학에 대한 흥미가 높아졌다고 답했다. 저경력 교사와
중경력 교사의 경우 개념 이해 및 수학에 대한 흥미에서 많은 변화가 있었다고 말한 반면, 고경력 교사의 경우 주로 필기와 정리하는 능력에서의 변화에 주목하고 있다. 이외에도 수 학적 원리나 공식을 기억하거나 이해하는 경우, 정리 및 요약하는 방법의 향상 등을 들 수 있는데, 이러한 결과는 첫 번째 질문이었던 수학 노트를 사용하면서 학생들에게 길러질 수 있는 능력들이 일정 부분 효과적으로 나타나고 있으며 교사들이 기대한 바와 같이 학생들의 능력이 향상되고 있음을 보여주는 대목이다.
5년 미만 교사 (N=4)
5년 이상 15년 미만 교사 (N=10)
15년 이상 교사 (N=3)
① 노트에 정리하며 개념을 확 실히 이해하게 됨
② 원리, 공식, 성질을 발견하 는 기쁨을 느낌
③ 수학 공책에 교사와 같이 틀 린 것을 풀면서 계산과정을 쓰 기 시작하고 글씨도 줄에 맞춰 서 쓰기 시작함
④ 다른 과목도 스스로 정리함
① 풀이과정에 대한 이해력 향 상 (3)
② 수학에 대한 흥미 (3)
③ 수학적 개념을 명확히 할 수 있음
④ 문제 해결과정에서 실수가 줄어듦.
⑤ 노트 정리기술 향상
⑥ 자신의 생각을 체계화
⑦ 계산식 구조화
⑧ 문제의 여러 가지 해결방법 을 알게 됨
⑨ 단위 시간 목표도달에 도움 이 됨
① 필기, 정리 능력이 높아진 다.
② 세로셈에서 자리의 위치를 바로 알 수 있다.
<표 IV–5>
여섯 번째 문항은 현재 교사들이 사용하고 있는 수학노트의 유형을 간단하게 예시와 함께 기술하는 것이었다. 수학노트를 사용하는 교사들의 노트 형식은 각각의 특징들을 가지고 있었으나 전반적으로 보면 앞서 수학노트의 목적이나 학생들의 변화가 나타난 부분을 묻는 설문 문항에서 알 수 있듯이 전반적으로 비슷한 부분을 강조하여 노트를 사용하고 있음을 알 수 있다. 다음은 설문에서 교사들이 제시한 수학노트를 몇 가지 유형으로 구분하여 정리 해본 것이다.
㉠ 개념 강조형
개념 강조형에 해당하는 수학노트는 개념형성 학습모형에서 주로 사용되는 유형으
로, 교과서에 제시된 약속하기 또는 중요 개념만을 기록하거나 이러한 주요 개념을
활용한 문제 익히기 또는 문제 만들기 등을 포함하여 함께 기술하는데 사용될 수 있는
유형이다. 물론 두 경우 모두 핵심은 개념에 놓여 있다. 다음 그림에서 위의 2개는
설문대상 교사가 설문지에 기재한 개념 강조형에 해당하는 양식이며, 아래 그림 2
개는 약속하기와 그 방법을 기록한 노트에 해당한다.
- 17 - - 17 -
㉡ 교과서 흐름형
교과서 흐름형은 교과서에 제시된 순서를 그대로 따라가면서 노트를 사용하는 방식으
로, 교과서의 구성 순서대로 공부할 문제, 활동, 약속하기, 익히기 또는 교사가 내는
연습문제를 기록하고 마지막 단계에서 문제를 만들어 보거나 새로 알게 된 사실을 기
록하는 유형이다. 개념 강조형이 약속하기를 비롯한 주요 개념을 정리하는데 초점을
맞춘 반면 교과서 흐름형은 이것을 포함하여 교과서에서의 활동 등을 그대로 써내려
간다는 점에서 차이를 보인다. 다음 그림에서 위의 2개는 설문대상 교사가 설문지에
기재한 교과서 흐름형에 해당하는 양식이며, 아래 그림은 교과서 흐름형에 따라 실제
노트를 작성한 예에 해당한다.
- 18 -- 18 -
- 19 -
㉢ 활동 기록형
활동 기록형은 수학노트를 사용하는 가장 간단한 유형에 해당하는데, 수학수업에서 그 차시의 활동만을 기록하고 마지막에 자신의 생각을 간단하게 쓰게 함으로써 교과 서에 제시된 활동을 통해 각 차시의 내용과 문제를 학습하게 하는 유형이다. 다음은 이를 도식화해서 간단하게 제시한 것이다.
㉣ 문제풀이 중시형
문제풀이 중시형은 문제와 풀이 과정에 초점을 맞춘 수학노트 유형으로, 노트에는
교과서에 제시된 연습문제와 익히기 문제를 차례대로 풀이과정과 함께 쓰게 하고 동
시에 별도로 교사가 제시한 또는 학생 스스로 만든 연습문제를 풀이과정과 함께 써내
- 19 - - 19 - - 19 -
려간다. 이 유형은 앞서 보았던 개념 강조형이나 활동 기록형과 같이 별도로 개념이나 활동 등을 기술하지 않으며 오직 문제와 그 풀이에만 집중하는 유형이다. 다음 그림은 문제풀이 위주로 수학노트를 사용한다고 밝힌 교사들이 설문지에 기술한 양식이다.
㉤ 문제 풀이와 스스로의 개념 정리 중시형
이 양식은 문제풀이를 강조하면서 동시에 그 문제에서 사용되고 있는 개념을 동시에 생각하도록 함으로써 단순 문제풀이에 치우칠 수 있는 문제점을 보완하기 위한 유형 으로, 수학노트를 이용하여 풀이 과정을 적으면서 자신의 생각을 정리하는 공간을 별도로 지정하여 함께 기록하는 유형이다.
㉥ 교사 주도형
지금까지와 달리 정해진 틀이 있는 것이 아니라 선별된 내용만을 노트에 기록하는데 주로 교사가 가장 중요하다고 생각되는 부분만을 수학노트에 기록하게 하는 유형이 다. 이 경우 개념이나 교과서 흐름, 활동, 문제 등 어느 한 영역에 초점을 두지 않고 중요한 내용이 등장할 때마다 그것을 중심으로 노트에 쓰게 한다. 다음 그림은 이에 해당하는 하나의 예로 제시된 각 문제마다 방법들 중심으로 기록한 노트이다.
일곱 번째 문항은 현재 수학노트를 사용하고 있는 상황에서 앞으로 수학노트를 활용하려
- 20 -
는 교사들에게 해주고 싶은 조언을 기술하는 것이었다. 그 내용들을 정리하면 다음과 같다.
- 매 차시 활동을 충분히 적었다면 칭찬해주어라. 노트 쓰는 실력이 늘어난다.
- 꼭 필요한 내용에만 수학 노트를 사용하라.
- 늘 같은 틀보다는 단원의 특성에 맞춘 유동적인 노트의 활용이 필요하다.
- 처음 한 달간은 노트 검사를 꼼꼼하게 하라.
- 정리법과 정리 포인트를 안내하면 스스로 정리해야 하는 부담감이 줄어든다.
- 필기만을 위한 노트 사용은 지양해야 한다.
- 학생들에게 도움이 되는 만큼 수학노트는 사용해볼 가치가 충분하다.
- 이미 나와 있는 유용한 노트 양식을 이용하는 것도 괜찮은 방법이다.
- 교사가 계속 관심을 가지면서 노트를 체크해야 제대로 정리가 될 수 있다.
- 수학노트는 현재를 보고 사용하는 것이 아니라 미래를 보고 사용하는 것이다.
- 수학노트의 형식에 지나치게 얽매이지 마라.
수학노트를 사용하고 있는 교사들의 조언을 살펴보면 노트를 잘 활용하기 위한 출발점은
첫째, 많이 칭찬해 줘라. 둘째, 틀에 박힌 노트 정리 보다는 특성에 맞추어 노트를 사용하며
노트에 들어가는 내용이 적을수록 좋다는 것으로 요약할 수 있다. 즉‘수학노트 필기를 위한
수학 수업’ 이 되지 않게 하며 이를 위해서 교사들은 아이콘으로 학습의 단계를 설명하거나
최소화된 요소들 (방법, 익히기, 약속, 문제 등) 을 정해놓고 이러한 요소들 중심으로 노트를
정리한다고 하였다. 또한 수학노트 검사를 꼼꼼하게 하는 것이 필수적이며 이는 아이들에게
동기부여가 될 수 있으므로 노트를 적극적으로 사용하게 하는 방법이 될 수 있다고 하였다.
5 결론
