7. 퍼텐셜에너지 (Potential Energy)
외력이 책을 ya에서 yb로 올려서 책-지구 계에 행한 일:
: 중력 퍼텐셜(위치) 에너지 (gravitational potential energy)
: 외력(external force)
®
* 고립계
책의 낙하 시, 중력이 책에 행한 일
일-운동에너지 정리로부터
이므로
®
: 역학적 에너지 보존 (Emech = const.)
Emech = K + U : 총 역학적 에너지
* 보존력과 비보존력
보존력(conservative force)
(i) 계 내의 역학적 에너지가 내부에너지로 변환되지 않는 힘
(ii) 보존력에 의한 일은 계가 움직이는 경로와 무관하며 계의 처음과 나중 위치에만 의존한다.
® 보존력에 의한 일은 닫힌 경로를 따라 운동할 경우 0 이 된다.
복원력이 행한 일 (x i to x f )
® 용수철의 복원력 = 보존력
탄성 퍼텐셜에너지
비보존력: 보존적이지 않은 계의 구성요소 사이의 힘 (예: 마찰력)
마찰력에 의한 일: 경로에 의존
(cf. 보존력의 경우 )
고립계의 총에너지(E system )는 계 내의 힘들이 보존력인지 아닌지에 관계없이 보존된다.
®
®
* 보존력과 퍼텐셜에너지
로부터 (외력에 의한 일)
(양변 미분)
3차원의 경우 (U = U(x,y,z))
®
®
®
* 중력과 전기력의 퍼텐셜에너지
따라서
:중력퍼텐셜에너지
®
두 입자계의 중력퍼텐셜에너지
두 전하계의 전기퍼텐셜에너지
<Example> 지구 표면 근처에서의 중력퍼텐셜에너지
지구 표면 근처이므로
* 에너지 그림 및 평형의 안정성
x = 0 : 안정적 평형점
x = 0 : 불안정 평형점
® Fx = 0 at x = 0
* 탄성 위치에너지
복원력(restoring force) F = -kx k: 힘상수(force constant)
경우 (b)에서 용수철을 잡아당기는 힘(Fe = kx)이 행한 일
경우 (b)에서 용수철의 복원력(F = -kx)이 행한 일
→ :운동에너지 변화는 없음 경우 (c)에서 계의 유일한 힘인 용수철의 복원력(F = -kx) 이 행한 일:
(경우 (c)에서는 x1 > x2)
를 탄성 위치에너지로 정의함.
→
이므로
→
따라서 (역학적 에너지 보존)
중력(F = mg) 및 복원력(F = -kx)을 보존력(conservative force)이라 한다.
* 힘과 위치에너지
보존력의 경우 이므로
가 되고 가 된다.
위의 식은 내에서 가 변화할 경우 근사적 표현이 되며, 인 경우 의 변화는 무시할 수 있다.
따라서 라 쓸 수 있다.
예) 탄성 위치에너지 로부터 보존력
삼차원 공간에서는
따라서 보존력의 각 성분은 이 되며
