국민대학교 교육대학원

석 사 학 위 논 문

중학 수학의 음수에 관한

교과서 내용 비교 및 지도 방법 연구

국민대학교 교육대학원

수 학 교 육 전 공

김 민 정

2 0 0 4

중학 수학의 음수에 관한

교과서 내용 비교 및 지도 방법 연구

지도교수 김 창 범

이 논문을 석사학위 청구 논문으로 제출함

2004년 12월 일

국민대학교 교육대학원

수 학 교 육 전 공

김 민 정

2 0 0 4

김 민 정 의

석사학위 청구논문을 인준함

2004년 12월 일

심사위원장 (인) 심 사 위 원 (인) 심 사 위 원 (인)

국민대학교 교육대학원

목 차

국문 요약………ⅳ

Ⅰ. 서론………1

1. 연구의 필요성 및 목적………1

2. 연구 내용………3

3. 연구의 제한점………4

Ⅱ. 이론적 배경 ………5

1. 음수의 역사………5

2. 음수 지도 방법 ………7

가. 수직선 모델………7

나. 셈돌 모델 ………10

다. 귀납적 외삽법 ………13

라. 형식불역의 원리 ………14

3. 음수 지도법의 장‧단점 ………15

Ⅲ. 교과서 음수 지도 내용 비교‧분석 ………18

1. 우리나라 수학 교과서………19

2. 미국 수학 교과서………23

3. 우리나라와 미국 교과서의 음수 지도 내용 비교………27

Ⅳ. 연구의 실제………29

1. 연구 대상 및 선정 방법………29

2. 연구 기간 ………29

3. 연구 방법 및 절차 ………30

가. 연구집단과 비교집단의 선정………30

나. 연구 실시 ………31

다. 교수-학습 지도안 설계………32

라. 사후 학업성취도 검사 실시 ………41

마. 자료의 분석 방법………41

Ⅴ. 결과 분석………42

1. 사후 학업성취도 검사 결과 분석………42

2. 인지적 오류 분석………43

Ⅵ. 결론 및 제언 ………49

1. 결론………49

2. 제언………51

참고문헌 ………53

ABSTRACT ………55

부록 1. 사후 학업성취도 검사지………57

부록 2. 형성평가지………58

부록 3. 교사의 연구집단 활동지 자료 ………59

부록 4. 학생 활동지 ………64

표 목 차

<표 1> 수직선에서의 정수의 덧셈과 뺄셈 ………8

<표 2> 셈돌 모델과 기호 모델………10

<표 3> 기호 모델을 이용한 정수의 덧셈과 뺄셈………11

<표 4> 기호 모델을 이용한 정수의 곱셈 ………12

<표 5> 귀납적 외삽법에 의한 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈………13

<표 6> 7-가 단계 수학과 교과서 분류 ………20

<표 7> 7-가 단계 교과서 음수 사칙계산 지도 방법 ………21

<표 8> 미국 교과서에서 음수 사칙계산 지도 방법………24

<표 9> 연구 기간………30

<표 10> 두 집단 간의 사전 학업수준 검사 결과………30

<표 11> 연구집단과 비교집단에 적용한 음수 지도 모델 ………32

<표 12> 지도 계획 ………34

<표 13> 연구집단에 적용한 학습 지도안의 예………34

<표 14> 비교집단에 적용한 학습 지도안의 예………38

<표 15> 두 집단 간의 사후 학업성취도 검사 결과………42

<표 16> 형성평가지 결과 분석………44

국문 요약

중학 수학의 음수에 관한 교과서 내용 비교 및 지도 방법 연구

김 민 정

국민대학교 교육대학원 수학교육전공

본 연구는 효과적인 음수 지도 방안을 고찰하기 위하여 교과서 내용 중 사칙계산에 관심을 가지고 여러 교과서를 비교하여 자료를 제시하고, 지도 모델 중 두 가지를 선택하여 학생들에게 적용하였을 때 인지적 영역에 어 떠한 영향을 미치는지 검증하기 위하여 다음과 같이 연구 문제를 설정하였 다.

가. 7-가 단계의 <정수와 유리수>를 중심으로 우리나라 수학 교과서 16 종과 미국 수학 교과서는 정수의 사칙계산을 어떻게 구성하고 있는지 비교

‧분석한다.

나. 교과서에 제시될 수 있는 모델 중 구체적 조작물로 활동 수업이 가 능한 기호 모델이 수학 7-가 교과서에서 가장 많이 제시되고 있는 수직선 모델보다 중학교 1학년 학생들을 지도하는데 보다 효과적임을 검증하기 위 하여 비교집단에는 수직선 모델, 연구집단에는 기호 모델을 적용하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 지도한다. 그리고 두 집단 모두 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 지도한다. 구체적 조작물을 이용한 활동 수업에서 정의적 영역 부분은 긍정 적 변화를 충분히 예상할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 인지적 영역의 변 화에 관심을 가지고 이를 검증하는데 목적을 둔다.

다. 음수 연산에서의 이해 실태를 조사하기 위하여 연구집단과 비교집단 이 아닌 1개 학급을 임의로 선정하여 형성평가지를 이용하여 그 결과를 분 석한다.

이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 서울시에 소재한 J중학교 1학년을 대상으로 사전 학업수준 검사를 실시하여 연구집단 1개 학급과 비교집단 1 개 학급을 선정하여 실험을 진행하였다.

본 연구를 통하여 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

첫째, 제6차 교육 과정의 교과서에 비해 제7차 교육 과정의 교과서는 보 다 다양한 음수 지도 방법을 제시하고 있었다. 그러나 직접 구체적 조작물 을 이용하도록 하는 예제와 문제가 거의 없으며, 전반적으로 미국 교과서에 비해 단순한 계산식의 비중이 높고, 생활 소재의 문장제 문제와 시각자료가 부족함을 알 수 있었다.

둘째, 수직선 모델로 지도한 비교집단과 기호 모델로 지도한 연구집단의 실험 결과로부터 인지적 영역에 유의한 차이가 있음을 확인할 수 있었다.

따라서, 구체적 조작물인 기호 모델을 직접 이용한 연구집단이 비교집단보 다 학업성취도가 높으므로 기호 모델을 이용하여 중학교 1학년 학생들을 지도하는 것이 보다 효과적이라고 할 수 있다.

셋째, 중학교 1학년 학생들이 음수 개념에 대해 어떠한 장애를 갖고 있 는지 파악하기 위해 사후 학력검사와는 별도로 형성평가지를 20문항으로 구성하여 연구집단과 비교집단이 아닌 1개 학급을 임의로 선정하여 검사를 실시하였다. 결과를 분석해 보면 대부분의 학생들이 음수 계산을 잘 해결하 였으나, 덧셈과 뺄셈의 계산에 곱셈 부호규칙을 적용하여 문제를 해결하는 경우가 많았으며, 수직선 모델을 이용한 문제에서는 그 해석과 표현에 혼란 을 겪고 있는 것을 확인할 수 있었다.

학생들은 수의 기본 계산과 그 성질에 습관이 들고 너무 분명하여 그에 대해 생각하거나 언급할 필요를 느끼지 않도록 학습되어야 한다. 그러나 교 사는 역사적인 발달 과정에서 음수의 이해를 방해했던 지적 어려움이 학생 들의 이해를 방해할 수 있다는 점을 인지하여 음수의 개념과 그 연산의 지 도에 있어서 학생들에게 적합한 지도 방법을 선택하여 이해도를 높이는 방 향으로 수업을 진행해 나가야 할 것이다.

Ⅰ. 서 론

1. 연구의 필요성 및 목적

수 개념과 계산은 수학뿐만 아니라 다른 영역의 학습 활동에도 영향을 주는 중요한 기본 학습 분야이다. 2001년부터 적용된 7-가 단계의 <정수와 유리수>에 처음 도입되는 음수의 개념과 연산은 학생들이 이해하기 어려워 하는 부분이지만, 교사로서도 어떻게 가르쳐야 되는지에 대한 뚜렷한 방안 이 없어 확신이 없는 상태로 학생들을 지도하게 된다. 연구자는 중학교 1학 년을 지도하는 두 교사와의 면담에서 이를 확인할 수 있었다. A교사는 음 수의 사칙계산을 지도할 때 덧셈은 이익‧손해 모델, 뺄셈은 셈돌 모델, 곱 셈은 귀납적 외삽법, 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 지도하지만 어떻게 지도 하는 것이 가장 효과적인지는 확신하지 못하고 있었다. B교사는 덧셈과 뺄 셈은 수직선 모델, 곱셈은 귀납적 외삽법, 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 지 도하고 있는데 학생들이 사칙계산을 내면적으로 이해하도록 지도하는 것이 힘들다고 한다. A교사는 한 학급을 예로 들며 음수의 덧셈은 학생들의 약 95%, 뺄셈은 80%, 곱셈은 85%, 나눗셈은 80% 정도가 계산 과정을 이해하 고 있다고 한다. B교사도 A교사와 비슷하게 생각하고 있었지만, 내면적 이 해도는 덧셈 70%, 뺄셈 30%, 곱셈 30%, 그리고 나눗셈 30% 정도로 생각 하고 있었다.

학교 현장에서 어떤 방법으로 음수를 가르쳐야 하는가는 교육적으로 매 우 중요한 문제이다. 교사는 학생들에게 음수의 개념과 계산을 지도할 때, 직관적 모델을 통해 도입할 수도 있고 본질에 입각하여 형식적으로 정의할 수도 있다. 직관적 모델은 음수의 형식적 본질을 나타내지 못하고 모델을

이용하기 위해서 또다른 규약이 필요한 불완전한 모델이다. 이런 이유로 수 학자들은 음수는 학생들에게 형식적인 수학을 가르칠 첫 기회라고 하면서 형식적인 접근을 주장한다. 그렇지만 음수는 구체적인 물리적 세계의 여러 분야에서 중요한 역할을 하고, 직관적 모델은 이해도가 높기 때문에 학생들 에게 음수를 지도할 때 대수적 논리가 그것을 정당화한다는 이유로 형식적 인 대수적 접근만을 주장할 수는 없다.

본 연구에서 연구자는 효과적인 음수 지도 방안을 고찰하기 위하여 선 행 연구를 살펴보고 교과서를 분석하여 여러 가지 직관적 지도 방법 중에 서 제7차 중학교 수학과 교육 과정 개정의 방향에 적합하고 보다 효과적이 라고 생각되는 방법을 선택하여 연구를 진행할 것이다. 학문적 지식을 가르 칠 지식으로 변환하는 것, 교육적 의도에 의한 지식의 변형을 Chevallard(1985)는 지식의 ‘교수학적 변환’이라고 불렀다. 수학적 지식의 교수학적 변환의 주체는 교과서 저자와 교사이다. 교과서는 지식의 교수학 적 변환의 구체적인 모습을 알아볼 수 있는 전형적인 자료이다.¹⁾ 교과서는 교사와 학생의 교수 및 학습 활동의 직접적인 대상이 되며, 교수 활동의 내 용이나 범위, 순서에 영향을 미치고 있으므로 효과적인 음수 지도 방안을 고찰하기 위하여 현행 교과서를 분석해보는 것은 의미가 있다.

지금까지 가장 많이 사용되고 있는 수직선 모델을 이용한 수업보다 자 연수 개념을 물건의 개수와 관련짓는데 익숙한 학생들에게 무리없이 정수 를 가르칠 수 있다는 장점이 있는 셈돌 모델을 이용할 때 보다 효과적인 수업을 구성할 수 있고 제7차 중학교 수학과 교육 과정 개정의 방향에도 적합하다고 연구자는 생각한다. 셈돌 모델과 동형인 기호 모델이 네델란드 RME²⁾에 제시된 것도 이와 같은 이유일 것이다.

1) 우정호, 수학 학습-지도 원리와 방법, 서울대학교출판부 (2000), p.454.

2) 네델란드의 Freudenthal 연구소와 Wisconsin-Madison 대학의 수학과학교육연구소는 공동으로 수학교재 ‘문맥에서의 수학(Mathematics in Context)’을 개발하였다. 두 연구소는 ‘문맥에서의 수

구체적 조작물을 활용한 교수-학습 과정에서 학생들은 친구들과 토론을 하거나 교사에게 질문을 하는 등 활발한 수학적 의사소통을 경험하게 된다.

구체적 조작물을 학생들이 직접 조작하면서 소집단 활동을 통하여 계산 과 정을 스스로 유추할 수 있도록 수업을 진행한다면 동기 유발로 인한 능동 적인 수업 참여로 집중력과 이해력 향상에 도움이 될 것이다.

2. 연구 내용

본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 내용을 설정한다.

가. 7-가 단계의 <정수와 유리수>를 중심으로 우리나라 수학 교과서 16 종과 미국 수학 교과서는 정수의 사칙계산을 어떻게 구성하고 있는지 비교

‧분석한다.

나. 교과서에 제시될 수 있는 모델 중 구체적 조작물로 활동 수업이 가 능한 기호 모델이 수학 7-가 교과서에서 가장 많이 제시되고 있는 수직선 모델보다 중학교 1학년 학생들을 지도하는데 보다 효과적임을 검증하기 위 하여 비교집단에는 수직선 모델, 연구집단에는 기호 모델을 적용하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 지도한다. 그리고 두 집단 모두 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 지도한다. 구체적 조작물을 이용한 활동 수업에서 정의적 영역 부분은 긍정 적 변화를 충분히 예상할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 인지적 영역의 변 화에 관심을 가지고 이를 검증하는데 목적을 둔다.

다. 음수 연산에서의 이해 실태를 조사하기 위하여 연구집단과 비교집단

학’의 교육 과정 중에 ‘연산(operations)’이라는 제목의 교재에서 음수의 지도를 실제적 상황을 통 해 접근하여 다루고 있다. -최병철, 음수 지도의 교수현상학적 고찰, 서울대학교 교육학석사학위논 문 (2002), p.92,

RME 교재에서 사용된 기호단추(plus minus chip) 모델(⊝⊕)은 셈돌 모델과 동형이다.

Roby(1981)는 기호 모델이 동형인 다른 모델보다 효과가 있었음을 실험을 통하여 입증하고 있 다.-상게서, p.96.

이 아닌 1개 학급을 임의로 선정하여 형성평가지를 이용하여 그 결과를 분 석한다.

3. 연구의 제한점

가. 본 연구의 대상은 서울특별시에 소재한 J중학교 1학년 3개 반을 연 구자가 임의로 선정하였기 때문에 본 연구 결과를 다른 지역의 학생들에게 확대하여 적용할 수 없다.

나. 본 연구에서는 중학교 1학년 <정수와 유리수>에서 정수 지도를 위 주로 실험을 진행하였으므로 다른 영역으로 일반화하는데 제한을 갖는다.

Ⅱ. 이론적 배경

1. 음수의 역사

수학을 가르치는 것은 수학하는 사고 과정을 가르치는 것이므로 역사에 서 음수가 수학화된 과정을 살펴보는 것은 교육적으로 의미가 있다.

반직관적 개념인 음수와 실제적인 양을 나타내는 초보적인 수 개념 사 이의 갈등은 음수 역사의 초기부터 나타났다. 방정식을 풀 때 나온 음수를

‘허구의 근’이라 하며 음수를 정당한 수로 인정하지 않으면서도 오랫동안 수학자들은 부호의 계산규칙을 사용하여 양수와 음수의 계산을 하였다.

1세기경 중국 한나라 시대의 수학책인 <구장산술>에서는 연립일차방정 식의 해법이 다루어지고 있는데 그 가운데 양수와 음수의 덧셈과 뺄셈 법 칙이 나온다. 3세기경 그리스 수학자 Diophantus는 방향 붙은 수의 부호규 칙을 언급하고 있지만, 그러한 규칙은 그에게 양수를 얻기 위한 과도적 절 차에 불과한 것으로 생각되었다.3) 7세기경 인도의 수학자 Brahmagupta도 양‧음 부호에 관한 법칙을 서술하고 있지만 이차방정식의 풀이에서 음수를 해로 인정하지는 않았다.

16세기경 유럽에서 음수가 사용된 증거는 이탈리아 수학자 Girolamo Cardano가 1545년에 출판한 Ars magna이다. 그러나 당시 유럽의 수학자들 은 음수를 인정하는 것을 거부하였는데 Descartes는 음의 근을 ‘거짓 근’

이라고 불렀고, Pascal은 ‘0보다 작은’ 수는 존재하지 않는다고 말하였다.

그러나 불가능한 수 혹은 거짓된 수로서의 음수는 그 자체의 유용성에 의 해서 그것이 인정되든 안되든 수학에서 계산 대상으로 계속 사용되었다. 프

3) 우정호, 수학 학습-지도 원리와 방법, 서울대학교출판부 (2000), p.98.

랑스의 수학자 Arnauld는 음수에 대하여 다음과 같은 두 가지 의문을 제기 하였다. 첫째, 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가? 둘째, 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 것은 모순을 일으킨다. 예를 들어, 1:-4가 어떻 게 -5: 20과 같을 수 있는가? 첫 번째 의문에 대하여 Prestet은 7냥이 5냥 으로부터 빼질 수 없는 것은 2냥이라고 이해해야 한다고 지적하고 있으며, 또한 두 번째 의문에 대하여 그는 기하적 비례를 다룰 때 단순히 부호를 고려해서는 안된다고 주장하고 있다. 이러한 설명은 19세기까지는 만족스럽 게 받아들여지지 않았다.⁴⁾

17세기에 이르러 Descartes에 의한 기하학의 좌표화는 음수에 대한 확 신을 한층 강화시켜 도형의 대수적 기술이 음수 존재의 확립을 가능하게 하였다. 18세기 수학의 급속한 발전과 함께 19세기에 수에 대한 관점이 구 체적인 관점에서 형식적인 관점으로의 변화가 일어났다. 음수의 존재를 확 립하기 위한 오랜 기간에 걸친 많은 노력 끝에 완전한 성공을 거둔 것은 19세기 독일의 수학자 Hankel이었다. Hankel은 음수를 받아들이기 위하여 구체적인 모델을 더 이상 찾지 않았다. 여기서 비로소 음수 개념을 양의 개 념과 관련짓지 않고 순전히 형식적인 개념으로 간주할 수 있게 되었다.⁵⁾ 음수의 역사적 기원은 방정식 풀이의 일반성을 확보하려는 형식적인 필요 성이다. 일차방정식 ax+b=0의 해가 모든 경우에 존재한다고 하기 위해서는 새로운 수가 필요하였던 것이다.

현재 중학교 수학에 도입되어 사용되고 있는 음수가 수학적으로 받아들 여진 것은 놀랍게도 19세기 중엽이며, 그것은 음수가 사용되기 시작한지 1500년 이상의 오랜 역사적 과정을 거쳐 비로소 인식론적 장애를 극복하여 얻게 된 결과였다.

4) 최병철, 음수 지도의 교수현상학적 고찰, 서울대학교 교육학석사학위논문 (2002), p.9, 재인용.

5) 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부 (2001), p.203.

2. 음수 지도 방법

음수의 개념과 연산은 학생들이 이해하기 어려운 내용일 뿐만 아니라, 교사로서도 어떻게 가르쳐야 되는지에 대한 뚜렷한 방안이 없기 때문에 지 도방법에 대해 많이 고민하는 부분이다. 이러한 이유로 음수 지도에 대한 비유를 이용한 설명 방법이나 수업 모델들이 다른 단원에 비해 많은 편이 다.

학생들은 자연수의 연산에서처럼 음수도 구체적이고 직관적인 대상을 통하여 파악하려고 하기 때문에 수학자들은 음수의 모든 계산규칙을 만족 하는 적절한 모델을 찾으려는 시도를 계속하였다. 그러나 음수를 정당한 수 로 받아들이고 있는 오늘날에도 음수 개념과 사칙계산을 모두 만족시키는 적합한 모델을 찾지 못하고 있다. 그러나 그런 이유로 학생들에게 무조건 음수 연산의 알고리즘만을 획득하도록 지도할 수 없으므로, 불완전한 모델 이지만 학생들에게 다양한 직관적 해석을 제공하기 위해 형식적인 분석적 접근 방법과 함께 상보적으로 사용하고 있다. 즉 직관적인 수학적 모델⁶⁾을 사용한 설명은 음수 개념의 장애요소를 극소화하면서 형식적 이해에 도달 하는 길을 안내하는데 필요한 것이다.⁷⁾

음수 지도 방법으로는 수직선 모델, 셈돌 모델, 귀납적 외삽법, 형식불역의 원리 등이 있다. 각 지도 방법의 의미와 한계를 살펴보도록 하자.

가. 수직선 모델

오래전부터 사용되고 있는 수직선 모델은 정수를 수직선 위의 점과 동

6) 수학적인 개념, 원리, 관계를 원형으로 하여 이것과 동형성을 가지면서, 동시에 보다 받아들이기 쉬운 것으로 바꾼 것이 수학적 모델이다.-신유신, 음수 지도 모델에 관한 고찰. 서울대학교 석사학 위논문 (1995), p.22, 재인용.

7) 조숙례, 음수 개념의 이해 실태 분석에 관한 연구, 한국교원대학교 석사학위논문 (2003), p.9.

(+2)+(-3) 0을 출발점으로 한 화살표 의 머리에 더할 수를 나타 내는 화살표의 꼬리를 둔 (-2)+(-3) 다.

일시하거나 정수를 벡터로 해석할 수 있게 한다.

Freudenthal(1973)은 수직선을 현대수학으로부터 차용된 산술교수의 가 장 유용한 도구라고 말하고 있다.⁸⁾ Freudenthal은 수직선을 사용할 때 수평 선보다는 수직선을 사용하는 것이 자연스럽다고 말하고 있다. 그 이유는 온 도계, 수심 등이 수를 표상하는데 더 적절하고 학생들에게 수의 대소 관계 를 설명하는데 효과적이기 때문이다. 수직선은 수의 확장을 설명하기 위한 적합한 내적 구조를 가지고 있다. 수직선은 자연수, 정수, 유리수, 실수와 서로 준동형 또는 동형관계를 가지고 있기 때문이다. 따라서 수의 표현과 대소비교가 용이하다. 실수의 시각화 수단으로서 수직선 모델은 여러 가지 로 해석될 수 있다. 수직선을 자로 해석하면 수직선 위의 점은 실수와 동일 시된다. 수직선에서 원점, 단위, 방향을 임의로 잡을 수 있는 것으로 해석하 면 실수는 점의 좌표로 해석된다. 그리고 수직선을 고정 불변의 기초로 보 고 실수를 그 위의 작용소로 볼 수도 있다.⁹⁾

수학 7-가 <정수와 유리수>에서 가장 많이 제시된 형태로 정수의 덧셈 과 뺄셈을 정리하면 <표 1>과 같다. 수직선 위에서 수는 방향과 크기를 갖 는 화살표로 나타낸다. 뺄셈은 빼고자 하는 수의 화살표를 반대 방향으로 놓는 것이다.

<표 1> 수직선에서의 정수의 덧셈과 뺄셈

8) 최병철, 음수 지도의 교수현상학적 고찰, 서울대학교 교육학석사학위논문 (2002), p.31, 9) 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부 (2001), p.209.

(+2)-(+3)

자연수에서와 같이 정수에 서도 뺄셈은 덧셈의 역이 다. 수직선에서 반대 방향 을 역이라 하면 자연스럽 다. 빼고자 하는 수의 화살 표를 반대 방향으로 놓는 다.

(+2)-(-3)

(-2)-(+3)

(-2)-(-3)

수직선 위에서 정수의 곱셈을 가시화하는 방법은 여러 가지가 있지만 그 한계가 드러난다. 수직선 모델을 도입할 때 양의 정수는 오른쪽을 향하 는 화살표였지만 곱셈에서는 이 약속이 지켜지지 않고 승수의 양의 부호는 피승수의 방향과 같은 방향으로 승수만큼 반복되는 것을 의미한다. 즉 승수 가 양수인 경우는 동수누가로 해석하여 (-2)×3=(-2)+(-2)+(-2)=-6으로 수 직선 위에 나타낸다. 그러나 (-2)×(-3)과 같이 승수가 음수인 경우는 이렇 게 해석되어질 수 없다. 이 경우는 피승수 방향의 반대 방향으로 승수만큼 반복되는 것으로 한다.

수직선에서 곱셈을 팽창으로 해석하는 모델도 있다. a×2는 a를 2배 팽 창시키는 것이며, a×(-2)는 a의 반대 방향으로 2배 팽창시키는 것이다. 이 때, 팽창은 원점을 기준으로 한다.¹⁰⁾

수직선 위에서 곱셈 연산을 지도할 때 현재의 위치를 원점, 동쪽을 양의 방향, 서쪽을 음의 방향, 미래의 시각을 양수, 과거의 시각을 음수로 하고, (속력)×(시간)=(거리)의 관계를 이용하면 다음과 같이 설명할 수 있다.

동쪽으로 시속 4㎞로 걷고 있다면

2시간 후의 위치는 (+4)×(+2)=+8, 2시간 전의 위치는 (+4)×(-2)=-8

10) 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부 (2001), p.208.

셈돌 모델 기호 모델

특 성 물리적 모델

구체적-표상적 모델 준-물리적 대응모델

양의 정수와 음의 정수의 표현

양의 정수 음의 정수

○

●

양의 정수 음의 정수

+ ╺

서쪽으로 시속 4㎞로 걷고 있다면

2시간 후의 위치는 (-4)×(+2)=-8, 2시간 전의 위치는 (-4)×(-2)=+8 이러한 설명은 음수의 개념을 크기의 개념에 방향을 가진 대상으로서 규정 하는 것으로 물리적 현상을 이용하여 음수가 포함된 곱셈 연산을 학생들이 이해하기 쉽게 교수학적으로 변환하는 효과를 가지고 있다.

나. 셈돌 모델

셈돌 모델은 제6차 교육 과정의 교과서에서는 제시되지 않았지만 제7차 교육 과정의 교과서에서는 음수 지도의 구체적인 접근방법의 하나로 소개 되고 있다. Gattegno가 제안한 정수의 셈돌 모델은 두 가지 색의 돌을 이 용하여 정수를 나타내고 연산을 지도하는 모델이다.

Roby는 음수의 연산에 대한 형식적 이해보다는 실제적인 음수의 의미 를 학생들이 구성할 수 있는 구체적인 모델을 제시하고자 하였다.

Roby(1981)는 셈돌 모델에 대한 세 가지 세분된 모델, ‘정수요소(Integer Components) 모델’, ‘정수셈돌(Integer Checkers) 모델’, 그리고 ‘기호 (Symbols) 모델’을 제시하고 정수를 가르치기에 더 효과적인 것이 어떤 모 델인지 실험을 통하여 위의 세 가지 모델 중 기호 모델이 음수 지도에 효 과적이었음을 밝히고 있다.¹¹⁾

<표 2> 셈돌 모델과 기호 모델

11) 최병철, 음수 지도의 교수현상학적 고찰, 서울대학교 교육학석사학위논문 (2002), p.44, p.47.

(+1)+(-1) ⊕ ⊝ = 0

(-3)+(-5)

⊝⊝⊝ + ⊝⊝⊝ = ⊝⊝⊝⊝

⊝⊝ ⊝⊝⊝⊝

(+3)+(-5)

⊕ ⊝⊝ ⊕⊝⊝ ⊝ ⊕ + ⊝⊝ ⇨ ⊕⊝⊝ ⇨ ⊝ ⊕ ⊝ ⊕⊝

(+3)-(+5)

⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕

⇨ ⊕⊕ ⇨ ⊕⊕ ⇨ ⊝⊝

⊝⊝ ⊝⊝

[방법 1]

⊕이 3개뿐인데 5개를 제거해야 한다. 따라서 ⊕ 5개가 존재하여 제거할 수 있도록 ‘0’에 해당하는 ‘⊕⊝’ 2쌍을 첨가한다.

⊝⊝⊝⊝⊝ ⊝⊝⊝⊝⊝ ⊝⊝⊝⊝⊝ ⊝ ⊕⊕⊕⊕⊕ ⇨ ⊕⊕⊕⊕⊕ ⇨ ⊕⊕⊕ ⇨ ⊝ ⊕⊕⊕

[방법 2]

두 수 중에서 절대값이 큰 수(+5)만큼 ‘^⊕⊝’ 쌍을 준비한 후 다 른 수(+3)에 해당하는 모델을 준비하여 ^⊕ 5개를 제거한다.

셈돌 모델에서 덧셈은 셈돌을 합치는 것이고, 뺄셈은 제거하는 것이다.

셈돌 모델과 동형인 기호 모델로 설명하면, 부호가 다른 두 정수의 뺄셈은

‘없는 쌍(⊕⊝) 만들어내기’가 필요하다. 정수의 덧셈, 뺄셈은 상쇄로 연산을 해결하고 안될 때에는 쌍(⊕⊝)을 첨가하여 해결한다. 이러한 방법은 덧셈 에 대한 교환법칙과 결합법칙을 보다 자연스럽게 설명해 준다.

<표 3> 기호 모델을 이용한 정수의 덧셈과 뺄셈

(-3)-(+5)

⊝⊝⊝ ⊝⊝⊝

⊝⊝⊝

⇨ ⊝⊝⊝⊝⊝ ⇨ ⊝⊝⊝⊝⊝

⊕⊕⊕⊕⊕

(+3)-(-5)

⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕

⇨ ⊕⊕⊕⊕⊕ ⇨ ⊕⊕⊕⊕⊕

⊝⊝⊝⊝⊝

(-3)-(-5)

⊝⊝⊝ ⊝⊝⊝

⇨ ⊝⊝ ⇨ ⊕⊕

⊕⊕

(-3)×(+2)

⊝⊝⊝

⊝⊝⊝ + ⊝⊝⊝ = ⊝⊝⊝

승수가 양수인 경우는 동수누가로 본다. ⊝을 3개씩 2번 더한다.

(-3)×(-2)

⊝⊕⊝⊕ ⊕⊕

⊝⊕⊝⊕ ⇨ ⊕⊕

⊝⊕⊝⊕ ⊕⊕

승수가 음수인 경우, ^⊝을 3개씩 2번 제거하는 것으로 규정한다.

⊝이 6개 되도록 ‘⊕⊝’ 6쌍을 준비한 후 제거한다.

셈돌 모델에서 곱셈은 승수가 양수인 경우는 동수누가로 설명하고, 승수 가 음수인 경우는 제거하는 것으로 부호의 계산법칙을 규정해야 한다. 셈돌 모델은 자연수 개념을 물건의 개수와 관련짓는 데 익숙한 학생들에게 덧셈 과 뺄셈을 지도하기에 적합하다.

<표 4> 기호 모델을 이용한 정수의 곱셈

3+2 = 5 3+1 = 4 3+0 = 3 3+(-1) =…

3+(-2) =…

……

2+3 = 5 1+3 = 4 0+3 = 3 (-1)+3 =…

(-2)+3 =…

……

3-2 = 1 3-1 = 2 3-0 = 3 3-(-1) =…

3-(-2) =…

……

3-1 = 2 2-1 = 1 1-1 = 0 0-1 = -1 (-1)-1 =…

……

3×2 = 6 3×1 = 3 3×0 = 0 3×(-1) =…

3×(-2) =…

……

(-3)×2 = -6 (-3)×1 = -3 (-3)×0 = 0 (-3)×(-1) =…

(-3)×(-2) =…

……

다. 귀납적 외삽법

귀납적 외삽법은 수학 내적인 유추로서 자연수 영역에서 더 큰 영역인 정수로의 유추적 확장이다.¹²⁾ 귀납은 한 단계에서 그 다음 단계를 구성해 나아가는 것으로 유한개의 구성 후 직관을 통하여 그 다음 단계의 구성을 계속 진행할 수 있도록 하는 것이다. 귀납적 외삽법은 대수방정식의 해가 유일함을 전제로 한다. 귀납적 외삽법으로 학생들에게 음수의 덧셈, 뺄셈 그리고 곱셈을 아주 자연스럽게 지도할 수 있으며 곱셈의 부호법칙을 쉽게 인식시킬 수 있다. 귀납적 외삽법에 의한 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 정리하면 <표 5>와 같다. 귀납적 외삽법으로 나눗셈을 지도하는 것은 양수 나누기 음수 에 대하여 직관적으로 설명이 되지 않기 때문에 음수 나누기 음수를 유도 하는 것이 적합하지 않다.

<표 5> 귀납적 외삽법에 의한 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈

Freudenthal은 귀납적 외삽법을 직관적인 접근이 가능하면서도 가치 있 고, 수직선을 전혀 사용하지 않지만 가장 자연스러운 접근이라고 말한다.

그러나 Roby(1981)는 귀납적 방법에 의한 설명은 계산규칙을 정당화하고, 순환적으로 그 규칙은 그 양식을 설명한다고 지적하면서 정수 그 자체의 기초가 되는 본성을 밝혀주지 못한다고 비판하고 있다. 또 그러한 절차는 학생들로 하여금 문제를 해결하기 위하여 비수학적인 전략을 사용하도록 오도할 수 있음을 지적하고 있다.13)

12) 신유신, 음수 지도 모델에 관한 고찰, 서울대학교 석사학위논문 (1995), p.58.

13) 최병철, 음수 지도의 교수현상학적 고찰, 서울대학교 교육학석사학위논문 (2002), p.49.

라. 형식불역의 원리

음수는 양의 표현과 측정 및 뺄셈 계산을 자유롭게 하기 위한 실제적 필요성 때문에, 그리고 대수에서 방정식의 풀이 방법에 일반성을 부여하기 위한 이론적 필요성 때문에 출현하였다. 음수의 모든 대수적 성질을 일관성 있게 만족시키는 직관적 모델은 찾기 힘들기 때문에 직관을 초월한 이론적 설명이 필요하다고 하면서 Freudenthal은 처음부터 음수를 방정식의 해로 형식적으로 도입하고 음수의 연산을 다음과 같이 대수적인 형식불역의 원 리를 이용하여 형식적으로 도입할 것을 주장한다.¹⁴⁾

음수 -a, -b는 각각 자연수 a, b에 대하여 방정식

x + a = 0 ……① y + b = 0 ……②

를 만족시키는 x, y로 정의한다. ①식과 ②식을 변끼리 각각 더하고, 형식 불역의 원리에 의해 새로운 수 x, y의 덧셈이 자연수의 덧셈과 같은 성질 을 만족한다고 하면 교환법칙과 결합법칙에 의해

(x+y)+(a+b) = 0 따라서

x+y = -(a+b) 이 방정식의 해는 유일하므로

(-a)+(-b) = -(a+b) 또한 ①식에 b를 곱하고, ②식에 x를 곱하면,

bx+ab = 0, xy+bx = 0 이므로

-bx = ab, xy = -bx 따라서

xy = ab

14) 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부 (2001), p.207.

곧,

(-a)(-b) = ab.

자연수 영역의 기본적인 연산법칙이 확장된 정수 체계에서도 성립하도 록 요구하여, 새로운 수인 음수의 연산을 정의한다. 이렇게 만들어진 구조 는 매우 잘 정의되어 이전의 영역과 모순되지 않는다. 그러므로 형식불역의 원리는 증명하는 기능이라기보다는 발견술이다.¹⁵⁾

이와 같이 음수의 본질에 따라 음수와 음수의 연산을 형식적으로 다루 면 부호법칙과 대수적 성질을 명확하게 지도할 수 있고, 음수가 대수적 필 요성에서 출현된 개념임을 인식시켜 줄 수 있지만 정수를 도입하는 시점에 서 지도가 가능한지의 문제점이 있다.

3. 음수 지도법의 장‧단점

Glaeser는 음수를 의미있는 수학적 주제로 인식하는 데 어려움을 겪는 이유는 음수의 모든 대수적 성질을 일관성있게 만족시키는 직관적이며 익 숙한 모델을 찾기 힘들기 때문이라고 주장한다. 앞에서 살펴본 지도 모델들 은 분명히 한계점이 있지만 이를 통하여 음수의 다양한 해석을 접할 수 있 으므로 학생들에게 형식적인 방법만으로 지도하는 것은 바람직하지 않다.

모델을 통한 직관적인 지도 방법과 형식적인 분석적 접근 방법을 상보적으 로 사용하는 것이 현대 수학 교육의 사조이다.

각 지도 방법의 장‧단점을 살펴보면 다음과 같다.

수직선 모델에서 뺄셈의 화살표에 대한 해석은 음수의 덧셈이 뺄셈이며 음수의 뺄셈이 덧셈이라는 가역적 관계를 쉽게 제공해주고, 덧셈의 결합적 성질은 잘 표현될 수 있으나 교환법칙은 그렇지 못하며 시각화도 빈약하다.

15) 신유신, 음수 지도 모델에 관한 고찰, 서울대학교 석사학위논문 (1995), p.14, 재인용.

두 정수의 대소 관계를 비교할 때의 수는 수직선 위의 고정된 점으로 보았 고, 덧셈과 뺄셈에서의 수는 수직선 위에서 방향과 크기를 갖는 이동 가능 한 화살표로 해석하고 있다. 두 수의 곱셈에서는 승수가 양수인 경우, 양의 부호는 덧셈에서와 같이 오른쪽을 향하는 화살표를 의미하는 것이 아니라 피승수와 같은 방향으로 곱해짐을 의미하는 것으로 해석하게 된다. 즉 곱셈 에서 피승수는 화살표로 해석하였지만 그 방향은 승수의 부호에 따라 달라 지게 되는 것이다. 이처럼 곱셈에서 수직선 모델의 한계가 드러난다. 어떤 경우에는 수가 수직선 위의 점이 되고, 곱셈에서는 덧셈에서와 같이 양의 정수가 오른쪽으로 향하는 화살표, 음의 정수는 왼쪽으로 향하는 화살표라 는 약속이 계속 준수되지 않아 수직선 모델은 해석이 쉽지 않고 일관성이 없어 학생들에게 혼란을 준다. E.Fishbein은 ‘모델이 해야 할 주요 임무는 개념의 직관적인 의지와, 문제를 푸는 과정에서 직관적인 도약에 필요한 명 확성과 자기-일관성을 제공하는 것이다. 수직선 모델은 너무 교묘히 만들 어져 있고, 인위적으로 연결된 규약을 너무 많이 요구한다. 위의 것이 실제 로 한 일은 부호법칙이 모순없는 방법으로 적용되는 상황을 확인할 수 있 음을 보인 것이다.’라고 하며 음수 지도 모델들이 음수 체계를 만족스럽게 설명하기보다는 음수 체계에 꿰어 맞추어진 것이라고 비판하고, 음수를 도 입부터 형식적으로 다루어야 한다고 주장한다.¹⁶⁾

셈돌 모델은 수에 관한 크기 개념을 보존하면서 양수와 음수를 동등한 수로 인식할 수 있으므로 자연수 개념을 물건의 개수와 관련짓는 데 익숙 한 학생들에게 무리없이 정수의 덧셈과 뺄셈을 가르칠 수 있다. 셈돌 모델 은 정수를 자연수의 순서쌍으로 볼 수 있게 하고, 덧셈과 뺄셈이 서로 역연 산이라는 것을 명확하게 해주며 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙을 보다 자연스럽게 설명해 준다. 반면 곱셈은 부호의 계산규칙을 규정할 수밖에 없

16) 신유신, 음수 지도 모델에 관한 고찰, 서울대학교 석사학위논문 (1995), p.69.

어 한계가 드러난다.

귀납적 외삽법은 음수의 덧셈, 뺄셈 그리고 곱셈을 자연스럽게 지도할 수 있으며, 곱셈의 부호법칙을 쉽게 인식시킬 수 있지만, 다른 모델을 사용 하지 않고 귀납적 외삽법으로만 음수의 연산을 지도한다면 음수가 물리적 세계를 다양하게 해석하게 하는 중요한 개념이라는 것을 학생들에게 인식 시키기 어려울 것이다.¹⁷⁾

17) 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부 (2001), p.216.

Ⅲ. 교과서 음수 지도 내용 비교‧분석

제7차 교육 과정은 이전의 교사와 교과서 중심의 교육을 학생과 교육 과정 중심의 교육으로 전환하고 있다. 교과서는 교육 과정을 실천하는데 있 어서 중요한 매체임은 분명하지만 다양한 교수-학습자료 중 한 가지로 고 려되어야 한다. 그러나 학교 수학은 여전히 교과서 중심으로 수업이 이루어 지고 있다.

제7차 중학교 교육 과정 해설서¹⁸⁾에는 음수가 처음 도입되는 7-가 단계

<정수와 유리수>에서 사칙계산 부분을 다음과 같이 기술하고 있다.

∘정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈 방법을 알아보고 그 계산을 할 수 있게 한다. 수직선 위에서 수와 점을 대응시키는 활동을 통하여 덧셈이 이루어지 는 원리를 이해하게 하고 덧셈을 할 수 있게 한다. 그리고 덧셈과 뺄셈의 역연산 관계를 활용하여 뺄셈이 이루어지는 원리를 이해하게 하고, 뺄셈을 능률적으로 할 수 있게 한다. 또, 덧셈과 뺄셈의 혼합계산을 할 수 있게 함 으로써 정수의 덧셈과 뺄셈을 더욱 깊이 이해할 수 있게 한다.

∘정수의 곱셈 방법을 이해하게 하고 그 계산을 능률적으로 처리할 수 있 게 한다. 정수의 곱셈에서 곱의 부호가 어떻게 결정되는가를 알아보고, 이 를 바탕으로 정수의 곱셈을 형식화하여 그 계산을 능률적으로 할 수 있게 한다.

∘정수의 나눗셈 방법을 이해하게 하고 그 계산을 능률적으로 처리할 수 있게 한다. 곱셈과 나눗셈이 역연산 관계에 있음을 활용하여 정수의 나눗셈 에서 몫의 부호가 결정되는 원리를 이해하게 하고, 이를 바탕으로 정수의 나눗셈의 계산방법을 형식화하여 이를 나눗셈에 활용할 수 있게 한다.

∘유리수의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈은 정수의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나

18) 교육부, 중학교 교육 과정 해설(Ⅲ) (1999), p.44.

눗셈과 같은 방법으로 함을 알게 한다.

∘계산의 결과를 이용하여 덧셈, 곱셈의 교환법칙, 결합법칙과 덧셈에 대 한 곱셈의 분배법칙을 간단히 지도하도록 한다. 연산법칙의 지도는 수 계산 에 도움이 되는 정도로만 간단히 다룬다.

∘셋 이상의 유리수의 사칙계산을 능숙하게 할 수 있도록 지도한다. 정수 도 유리수인 점을 감안하여 유리수의 계산에서 통합하여 지도함으로써 유 리수와 정수는 별개의 것으로 생각하는 잘못이 없도록 하여야 한다. 이 때, 소수나 분수도 함께 사용되어야 한다. 또, 여러 개의 유리수를 곱하는 곱셈 에서는 음수의 개수가 짝수 개이면 곱은 양수, 음수의 개수가 홀수 개이면 곱은 음수임을 알게 하고, 곱셈에 이를 활용할 수 있도록 한다.

∘거듭제곱이 들어 있는 곱셈에서도 음수의 개수에 따라 곱의 부호가 결 정된다는 것을 알게 한다.

위의 내용에서 정수와 유리수의 덧셈은 수직선 위에서, 뺄셈은 덧셈의 역연산을 이용하여 이해하게 한다고 되어 있지만 곱셈에서는 ‘정수의 곱셈 방법을 이해하게 하고 그 계산을 능률적으로 처리할 수 있게 한다.’로 기술 되어 있고 구체적인 방법은 제시하고 있지 않다. 학교 수학은 교과서 중심 으로 수업이 이루어지고 있으므로 각 교과서는 위의 내용을 어떻게 구성하 고 있는지 살펴볼 필요가 있다.

1. 우리나라 수학 교과서

제7차 교육 과정의 기준에 맞추어 집필되어 2001년부터 사용된 교육부 검인정 중학교 7-가 단계 수학과 16종 교과서의 <정수와 유리수> 단원은 음수의 사칙계산을 어떻게 구성하고 있는지 분석하였다. 교과서의 비교‧분 석에 있어서 표기의 번거로움을 피하기 위해 출판사명을 가, 나, 다 순으로

종 류 발간일 출 판 사 표 기 지 은 이

교육인적 자원부 검인정교과 2종 교과서

2001.

고려출판 A 금종해 외 3인

교문사 B 이영하 외 3인

교학사 C 박두일 외 4인

교학연구사 D 전평국 외 4인

금성출판사 E 양승갑 외 6인

금성출판사 F 조태근 외 4인

대한교과서 G 박윤범 외 3인

도서출판 디딤돌 H 이준열 외 4인

두레교육 I 박규홍 외 7인

두산 J 강옥기 외 2인

블랙박스 K 고성은 외 5인

중앙교육진흥연구소 L 강행고 외 9인

천재교육 M 최용준

한서출판사 N 황석근 외 1인

한성교육연구소 O 배종수 외 7인

형설출판사 P 신항균

정렬하여 순서대로 다음과 같이 표기하기로 한다.

<표 6> 7-가 단계 수학과 교과서 분류

제6차 교육 과정의 교과서는 수직선 모델과 역연산, 귀납적 외삽법을 제 시하고 있고, 제7차 교육 과정의 교과서는 수직선 모델과 역연산, 귀납적 외삽법뿐만 아니라 셈돌 모델 등 다양한 방법을 제시하고 있다. 그러나

<표 7>에서 알 수 있듯이 대부분의 교과서가 덧셈은 수직선 모델, 뺄셈은 덧셈의 역연산으로 제시하고 있고 곱셈까지 일관된 모델로 제시하고 있지 않음을 알 수 있다. 구체적 조작 활동이 가능한 모델을 도입하고 있는 교과 서 중에서 B와 E교과서가 일관되게 기호 모델을 이용하여 덧셈과 뺄셈뿐 만 아니라 곱셈까지도 설명하고 있다.

교과서 덧 셈 뺄 셈 곱 셈 나눗셈

A 수직선 모델 역연산 수직선 모델

동수누가/동수누감

역연산

B 기호 모델

수직선 모델 기호 모델, 역연산 속력, 시간, 거리 이용한 수직선 모델, 기호 모델

C 수직선 모델 역연산 속력, 시간, 거리 이용한

수직선 모델

D 수직선 모델 이익‧손해 모델

역연산 귀납적 외삽법

E 기호 모델 기호 모델, 역연산 기호 모델

F 수직선 모델

셈돌 모델

수직선 모델 역연산, 셈돌 모델

속력, 시간, 거리 이용한 수직선 모델

G 수직선 모델 역연산 귀납적 외삽법

H 수직선 모델

셈돌모델

수직선 모델 역연산, 셈돌모델

동수누가/동수누감 풍선과 돌

I 수직선 모델 역연산, 수직선 모델 동수누가/동수누감

J 수직선 모델 역연산, 수직선 모델

귀납적 외삽법 속력, 시간, 거리 관계

K 수직선 모델 역연산 속력, 시간, 거리 이용한

수직선 모델

L 수직선 모델

기호 모델

역연산

기호 모델 동수누가/동수누감

M 수직선 모델 역연산, 수직선 모델 속력, 시간, 거리 관계

N 이익‧손해 모델

수직선 모델

이익‧손해 모델

역연산, 수직선 모델 동수누가/동수누감 O 수직선 모델 역연산, 수직선 모델 속력, 시간, 거리 관계

동수누가/동수누감

P 수직선 모델

셈돌 모델 역연산 동수누가/동수누감

셈돌 모델

<표 7> 7-가 단계 교과서 음수 사칙계산 지도 방법

교육 과정 해설서에 명확하게 제시되지 않은 곱셈 부분은 모든 교과서 가 곱셈의 부호규칙과 함께 다양한 방법으로 구성하고 있다. 곱셈에서는 부 호규칙을 정당화하기 위하여 다음과 같이 (양의 정수)×(음의 정수)는 동수 누감, (음의 정수)×(음의 정수)는 동수누가를 이용하거나 귀납적 외삽의 과

정 또는 속력, 시간, 거리의 세 요소 관계 등을 이용하여 설명하고 있다.

가. P교과서 : 동수누감, 동수누가 (+5)× 0 = 0

(+5)×(-1) = 0 - 5 = - 5 = -(5×1) (+5)×(-2) = (-5) - 5 = -10 = -(5×2) (+5)×(-3) = (-10)- 5 = -15 = -(5×3)

⇒(양의 정수)×(음의 정수) = -(두 수의 절대값의 곱) (-5)× 0 = 0

(-5)×(-1) = 0 -(-5) = 5 = +(5×1) (-5)×(-2) = 5 -(-5) = 10 = +(5×2) (-5)×(-3) = 10-(-5) = 15 = +(5×3)

⇒(음의 정수)×(음의 정수) = +(두 수의 절대값의 곱) 나. G교과서 : 귀납적 외삽의 과정

(1) ☆와 ★로 표시된 줄은 ꀻ방향으로 각각 얼마씩 적어지는가?

(2) 물음 (1)의 규칙을 이용하여 ( )안에 알맞은 수를 넣어라.

3× 4 = 12 3× 3 = 9 3× 2 = 6 3× 1 = 3

3× 0 = ( ) ꀻ 3× (-1) = ( )

3× (-2) = ( ) 3× (-3) = ( ) 3× (-4) = ( ) ☆ ★

교과서 내용을 살펴보면 전반적으로 온도계, 손해와 이익, 동쪽과 서쪽, 시간 등을 이용하여 음수 개념을 도입한 후 정수와 유리수를 정의하고 수 직선 위에 이를 나타낸다. 온도계를 이용한 도입 부분에서는 부호 붙은 수 로서 실제적인 문맥을 통한 예제를 다루고 있지만 다양하지 못하다. 덧셈은 주로 수직선 모델을 이용하고 있지만, 뺄셈은 덧셈으로 바꾸어 계산하는 알 고리즘을 제공하면서 덧셈에서와 다른 모델을 제시하기도 한다. 곱셈 연산 에서는 교과서의 약 50%가 부호규칙을 정당화하고 모델의 불완전함을 보 완하기 위하여 두 가지 지도 방법을 제시하여 학생들의 이해를 돕고 있다.

나눗셈은 모든 교과서가 곱셈의 역연산으로 간단히 도입한 후 부호규칙을 제시하고 있다.

2. 미국 수학 교과서

¹⁹⁾

우리나라는 중학교 1학년 과정에 음수를 도입하여 정수와 유리수를 같이 학습하 도록 구성되어 있지만, 미국 교과서 Scott Foresman-Addison Wesley MIDDLE SCHOOL MATH는 Course 1, 2, 3의 각 권마다 정수의 연산을 별도로 다루고 있 다. Scott Foresman - Addison Wesley MIDDLE SCHOOL MATH Course 1, 2, 3 에서 음수 사칙계산 지도 방법은 <표 8>과 같다.

19) Scott Foresman-Addison Wesley MIDDLE SCHOOL MATH Course 1, 2, 3 (1998), 한국교육평 가원 자료실 소재.

교과서 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 Course 1 Algebra tiles

수직선 모델

Algebra tiles, 수직선 모델, 역연산

spreadsheet, Algebra

tiles, 수직선 모델 역연산 Course 2 Algebra tiles

수직선 모델

Algebra tiles 수직선 모델, 역연산

귀납적 외삽법

Algebra tiles 역연산 Course 3 Algebra tiles

수직선 모델 수직선 모델, 역연산 Algebra tiles

동수누가/동수누감 역연산

<표 8> 미국 교과서에서 음수 사칙계산 지도 방법

가. Course 1 : 뺄셈을 Algebra tiles을 이용하여 <표 3>의 [방법 2]로 제시하고 있 고, 수직선을 이용하여 다음과 같이 지도하고 있다.

수직선에서 정수의 뺄셈은 덧셈에서의 과정을 반대로 하면 된다.

수직선에서 첫 수를 찾는다. 그리고 양수를 빼는 것은 첫 수에서부터 왼쪽 으로 이동, 음수를 빼는 것은 오른쪽으로 이동하면 된다.

나. Course 2 : 덧셈의 예제에서 Algebra tiles과 수직선을 동시에 풀이과정으로 제 시하고 있다. 뺄셈은 Course 1에서와 다르게 <표 3>의 [방법 1]로 제시하고 있다.

곱셈은 부호규칙을 먼저 설명한 후 Algebra tiles과 귀납적 외삽법으로 제시하고 있 지만 Algebra tiles을 이용하는 방법을 자세히 설명하고 있지는 않다. 예를 들어 2×(-3)을 우리나라 교과서 내용인 <표 4>와 다르게 교환을 가정하여 다음과 같이 지도하고 있다.

2×(-3)은 음수 3의 두 그룹을 뜻한다. 따라서 -6이다.

곱셈의 교환법칙으로부터 곱에서의 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다.

다. Course 3 : 뺄셈에서 수직선 모델과 더불어 교실 밖에서 학생들이 직접 수직선 과 시작점을 구성하여 행동으로 표현하는 아래의 활동을 제시하고 있다.

(1) 교실을 바라보는, 왼쪽에서 오른쪽으로 구성된 수직선을 만들기 위해 15명의 친구를 선택하여라. 누가 수직선에서 0을 대신하는가? 양끝의 학생들은 어떤 수를 대신하는가?

(2) 수직선 위에 점을 표현하여라.

다음의 덧셈과 뺄셈 규칙을 이용하여라.

덧셈 : 수직선의 양(positive)의 끝을 향한다.

뺄셈 : 수직선의 음(negative)의 끝을 향한다.

만약 더하거나 빼야할 수가 양수이면 : 앞으로 간다.

만약 더하거나 빼야할 수가 음수이면 : 뒤로 간다.

(3) -3+2를 표현하기 위해서, -3을 대신하는 학생의 앞에 서서, 수직선의 양 (positive)의 끝을 향한다. 그리고 두번째 학생 앞으로 간다.

(4) -3-5을 나타내어라. 결과는 무엇인가?

(5) -1+(-5)을 나타내어라. 결과는 무엇인가?

(6) -1-(-5)을 나타내어라. 결과는 무엇인가?

(7) 이 모델로 -5를 더하는 것과 5를 빼는 것이 같음을 설명하여라.

(8) 이 모델로 5를 더하는 것과 -5를 빼는 것이 같음을 설명하여라.

라. 교과서 예제 : 이 교과서는 문제 구성 형태가 다양하다. Course 2와 Course 3의 문제 몇 가지를 아래에 소개한다. 전반적으로 각 문제에는 시 각자료가 제공되고 있다.

(1) 정수의 개념 도입 문제

Plaquemines Parish, Louisiana에서 석유 시추공은 해수면 아래로 22,750ft를 뚫었다. 해수면은 바다의 평균 높이이다.

㉮ 어떤 경계선이 해수면 아래에 있는 것인가? 해수면 위로 있는 것은?

㉯ Maxico의 Gulf에서 가장 깊은 지점과 Mt. Whitney 중 어떤 것이 해수 면에 더 가까운가? 그리고 얼마나 가까운가?

㉰ Mt. McKinley와 Plaquemines의 시추공 중 어느 것이 해수면으로부터 더 멀리 있는가? 얼마나 멀리 있는가?

㉱ 해수면 위와 아래의 feet수의 차를 나타내는 방법을 써라.

(2) 절대값 개념 도입

Chicago에서 Cleveland까지 비행한다면 340miles 여행하는 것이다. 만약 Chicago에서 Des Moines까지 비행한다면 같은 거리이지만 반대방향으로 여행한 것이다. 그렇다면 -340miles 여행한 것인가?

그렇지 않다! Des Moines와 Cleveland는 모두 Chicago로부터 340 miles 거리에 있다. 여행을 하는데 어떤 방향이 문제가 되지는 않는다. 거리는 양 수이다. 지도에서 거리와 마찬가지로 수직선 위의 거리도 항상 양수이다.

원점에서부터 수까지의 거리를 절대값이라고 한다.

(3) 덧셈 예제

원자는 양자와 전자라 불리는 하전 입자를 가지고 있다. 각 양자는 +1의 전하, 각 전자는 -1의 전하를 갖는다. 황이온은 16개의 양자와 18개의 전자 를 갖는다. 정수를 이용하여 최종의 전하를 나타내어라.

양자의 전하는 +16으로, 전자의 전하는 -18로 표현될 수 있다. 최종 전 하는 16+(-18)의 계산으로 알 수 있다. 16+(-18) = -2 이므로 황이온의 최 종 전하는 -2이다.

(4) 나눗셈 예제

Shelley는 놀이 공원의 미니 골프장에서 골프를 하고 있다. above par인 경우에는 양수로, below par인 경우에는 음수로 점수를 표시한다.

첫 경기의 다섯 hole에서 Shelley의 점수는 -2, -1, +1, -2, -1 이었다.

그렇다면 다섯 hole에서의 평균 점수는 얼마인가? 평균을 구하기 위해 모 든 점수의 합을 hole의 수로 나누어라.

- 2 + (- 1 ) + 1 + (- 2 ) + ( - 1 )

5 = ^{- 5}₅ =-1 따라서 Shelley의 평균점수는 -1 (1 under par)이다.

3. 우리나라와 미국 교과서의 음수 지도 내용 비교

우리나라 교과서는 수의 대소 관계를 설명할 때 수평선을 이용하고 있 으며, 정수와 유리수에서 음수를 도입하고 있다. 제6차 교육 과정의 교과서 에 비해 음수의 도입에 다양한 예제를 다루고 있지만, 사칙계산 부분에서는 실생활을 소재로 한 문장제 문제와 시각자료가 부족하며 계산을 숙달시키 기 위한 문제만 많이 제시되어 있다. 음수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 지도하는 방법에 일관성이 없는 경우가 많았지만, 제7차 중학교 수학과 교육 과정의 개정 방향에 맞춰 기호 모델로 곱셈까지 일관성 있게 제시하고 있는 교과 서가 있음을 <표 7>에서 확인할 수 있었다. 그러나 대부분의 교과서에는 직접 구체적 조작물을 이용하도록 유도하는 문제가 거의 없어서 구체적 조 작물을 직접 이용하도록 수업을 유도하는 효과는 기대하기 어렵다. 교과서 에서 가장 많이 제시되고 있는 수직선 모델은 아래와 같이 원점을 출발점 으로 한 화살표로 나타내고 있다.

미국 교과서는 수직선과 수평선, 두 가지 방법을 사용하여 수의 대소 관 계를 설명하고 있다. 정수 단원에서 음수를 도입하고, 음수의 도입과 사칙 계산에서 실생활을 소재로 한 문장제 문제와 다양한 예제를 다루고 있다.

덧셈, 뺄셈, 곱셈은 일관된 모델을 이용하여 제시하고 있으며, 수직선 모델 의 형태는 아래와 같이 원점을 강조하지 않고 첫 수를 찾아 결과를 표현하 게 한다.

Course 1에서는 소단원으로 좌표평면을 구성하여 정수의 순서쌍으로 점의 위치 를 표시하게 하고 있다. 그리고 Course 1, 2, 3에서 모두 정수의 연산을 다루고 있 다. 미국의 교과서는 학생들이 인지하기 쉽도록 내용이 구성되어 있고, spreadsheet, 좌표평면, 다양한 사고를 할 수 있는 문장제 문제 등으로 다양하게 구성하고 있다.

수학을 학습하는 중요한 이유 중에 하나는 수학적 지식의 습득과 기능 의 숙달을 통하여 실생활 문제를 해결하거나 다른 교과의 학습에 적극적으 로 활용할 수 있도록 하기 위해서이다. 따라서 수학 내용은 가능하면 실생 활의 소재나 인접 교과와 관련되는 것에서부터 도입되어 수학의 실용성과 유용성을 인식하게 해야 한다. 그러나 우리나라 교과서는 사칙계산 부분이 전반적으로 시각적 자료가 빈약하고 접근 방법이 다양하지 못하며 실생활 과 연결된 문제들이 거의 없다. 정수의 계산이 수식을 계산하기 위해 배우 는 것이 아니라 앞으로 선택할 진로 분야에 있어서 정수의 연산이 유용하 게 쓰이고 따라서 반드시 정수 단원을 확실히 배워야 함을 학생 스스로가 깨닫게 할 수 있도록 교과서를 구성해야 한다.

Ⅳ. 연구의 실제

학교 수학은 교과서 위주로 수업이 이루어지기 때문에 교과서 구성이 수업 진행에 많은 영향을 준다. 그런데 음수의 사칙계산에서 대부분의 7- 가 단계 교과서는 수직선 모델을 제시하고 있음을 <표 7>에서 확인할 수 있었다.

연구자는 수직선 모델보다 직접 구체적 조작물을 이용한 활동 수업이 가능한 기호 모델이 중학교 1학년 학생들의 음수 지도에 보다 효과적이라 고 생각하고, 기호 모델이 교과서에 제시될 수 있는 근거를 제시하고자 실 험 수업을 진행하였다.

1. 연구 대상 및 선정 방법

본 연구를 위해서 연구의 대상은 연구자가 임의로 서울특별시에 소재한 J중학교를 선택하여 1학년 학생을 대상으로 사전 학업수준 검사를 실시한 후 연구집단 1학급과 비교집단 1학급을 선정하였다.

2. 연구 기간

본 연구는 2003년 9월부터 2004년 10월까지 진행되었고 구체적인 내용 은 <표 9>와 같다.

연구 기간 연구 절차

2003. 9. ∼ 2003. 12. 문헌 및 선행 연구 고찰을 통한 논문 주제 선정 2004. 1. ∼ 2004. 3. 연구자료 분석 및 검토

2004. 4. ∼ 2004. 5.

실험 전 학업수준 검사 연구의 실행

실험 후 학업성취도 검사 2004. 6. ∼ 2004. 10. 연구결과 정리 및 보고서 작성

검사도구 구분 학생수 평균 표준편차

사전 학업 수준 검사

연구집단 30명 68.67 21.77

비교집단 32명 67.81 20.28

<표 9> 연구 기간

3. 연구 방법 및 절차

가. 연구집단과 비교집단의 선정

본 연구의 문제를 해결하기 위하여 연구집단과 비교집단을 선정할 목적 으로 실험 전 학업수준 검사를 2004년 4월 8일에 실시하였다. 두 집단을 비 교한 결과는 <표 10>과 같다.

<표 10> 두 집단 간의 사전 학업수준 검사 결과

① 귀무가설 H0:

¹

_{1 =}

¹

₂ 대립가설 H_a:

¹

₁

≠ ¹

₂ ② 유의수준 10%, 즉

®

= 0.10

③ 검정 통계량 t= (

X

₁-

X

₂)

S

_p

p ⁿ

^{11 +}

ⁿ

^{12 Sp=}

p ⁽

ⁿ¹

^{- 1 )}

^nS1¹

+

²

⁺

n₂

⁽ - 2

ⁿ²

^{- 1 )}

^S22

④ 기각역 t

≥

t_0.05(60) = 1.671 ⑤

X

₁ = 68.67

X

₂ = 67.81 S1 = 21.77 S2 = 20.28

S_p =

p ⁽

ⁿ¹

^{- 1 )}

^nS1¹²

+ ⁺

n₂

⁽ - 2

ⁿ²

^{- 1 )}

^S22

=

p (30 - 1 )(21

.

77)

²

+ (32 - 1)(20

.

28)

²

30 + 32 - 2

^{≒ 21.01}

∴

t = (

X

₁-

X

₂)

S

_p

p ⁿ

¹1

+ 1

n

₂

= (68

.

67 - 67

.

81) (21

.

01)

p

30¹ + 1

32

≒ 0.161

두 집단간의 사전 학업수준 검사 결과에 대한 t-검증을 실시하였다. 그 런데 유의수준 10%의 양측검정에 대한 기각영역은 t

^≥

1.671인데, t = 0.161<1.671이므로 귀무가설은 기각되지 않는다. 즉 두 집단 간의 성적은 의미 있는 차이가 있다고 할 수 없다. 따라서 연구집단과 비교집단은 유의 수준 10%에서 동질집단임을 알 수 있다.

나. 연구 실시

제7차 교육 과정과 선행 연구자들의 논문을 고찰한 후 Roby의 실험결 과를 참고하여 Algeba tile과 같은 정사각형의 판에 ‘+’기호와 ‘-’기호를 각 각 표시하여 연구집단의 음수 지도 모델로 사용하였다. 그리고 학생 상호교 수의 효과가 있도록 수학 과목 수준이 상‧중‧하인 학생이 균등하게 각 조 에 혼합되도록 두 집단 모두 4인 1조로 이질적 소집단을 구성하여 같은 수 업 환경을 조성한 후, 학생 활동지를 이용한 수업을 진행하였다. 구체적 조 작물을 효과적으로 사용하는데 요구되는 교사의 역할은 수학적 내용을 설